다음
다음
다음
다음 문제에
문제에
문제에
문제에 대하여
대하여
대하여 답하시오
대하여
답하시오
답하시오.
답하시오
1.다음은
다음은
다음은
다음은 Maxwell 방정식이다
방정식이다
방정식이다
방정식이다. 물음에
물음에
물음에
물음에 답하시오
답하시오
답하시오
답하시오.(30)
①
①
①
① E, H, D, B 의
의
의 단위와
의
단위와
단위와 이들
단위와
이들
이들 사이의
이들
사이의 관계를
사이의
사이의
관계를
관계를
관계를 나타내는
나타내는
나타내는
나타내는 보조식
보조식
보조식
보조식 3개는
개는
개는
개는 ?
2011
2011
2011
2011---- 1
1
1
1
전자기학
전자기학
전자기학
전자기학 기말고사
기말고사
기말고사
기말고사
답 안 지0
,
,
,
∇
⋅
=
∇
⋅
=
∂
∂
+
=
×
∇
∂
∂
−
=
×
∇
D
B
t
D
J
H
t
B
E
r
r
r
r
r
r
r
ρ
E 전계전계전계전계, 전기력선전기력선전기력선전기력선 밀도밀도밀도밀도 V/m N/C Lines/m2 H 자계자계, 자기력선자계자계 자기력선자기력선자기력선 밀도밀도밀도밀도 A/m N/Wb Lines/m2 D 전속밀도전속밀도전속밀도전속밀도, 전속선전속선전속선전속선 밀도밀도밀도밀도 C/m2 - Lines/m2 B 자속밀도자속밀도자속밀도자속밀도, 자 속 선 밀 도 W b/m 2 T=104 Gauss Lines/m 2도전률
투자율
유전률
법칙
의
:
,
:
,
:
)
σ
µ
ε
σ
µ
ε
E
B
H
J
E
Ohm
D
=
,
=
,
=
(
②
②
②
② 발산정리와
발산정리와
발산정리와
발산정리와 Stokes 정리를
정리를
정리를 쓰고
정리를
쓰고
쓰고
쓰고, 수식이
수식이 의미하는
수식이
수식이
의미하는
의미하는 바를
의미하는
바를
바를 설명하시오
바를
설명하시오
설명하시오
설명하시오
..
○ 벡터의 발산(divergence)
표면적이 S 인 미소체적
⊗
⊗
⊗
⊗
v 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리
량인 벡터 A 의 총량을 미소체적 ∆v 로 나눈 스칼라 값
○ 발산정리(divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss theorem)
임의의 체적 V 에서 발산되는 총량 = 체적 V 의 폐곡면 S 를 통
해 빠져나가는 총량 (찐방 공식으로 찐방 내부에서 발생한 김은 찐
방 표면을 통해서 빠져나가는 양과 같다. 틀리면 찐방이 부풀어 오르
거나 쪼그라짐)
v s d A A S v ∆ ⋅ = ⋅ ∇∫
→ ∆ r r rlim
0 정의 수학적 ] [ P P P (a) 양의 발산(
b) 음의 발산 (c) 0의 발산dv
A
s
d
A
V Sr
r
r
∫
∫
⋅
=
∇
⋅
○ 벡터의 회전(circulation) 미 소 면 적 ∆ S 를 감 싸 는 폐 경 로 L을 따라 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S 로 나눈 것 ○ 스톡스 정리(S tokes theorem ): 벡터 A에 대한 면적 S 를 감싸는 폐곡선 L 상의 선 적 분 은 면 적 S 를 수직으로 관통하는 의 법선성분의 면적분
③
③
③
③ 2개의
개의 항등식을
개의
개의
항등식을
항등식을
항등식을 쓰고
쓰고
쓰고, 수식이
쓰고
수식이 의미하는
수식이
수식이
의미하는
의미하는 바를
의미하는
바를
바를
바를
설 명 하 시 오 . :스 칼 라 계 의 기 울 기 의 회 전 은 0이다. 0 n s l d A Lim A L s ˆ 0 ∆ ⋅ = × ∇∫
→ ∆ ρ ϖ ρ 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 P 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 P∫
∫
⋅
=
∇
×
⋅
S LA
d
l
A
d
s
r
r
r
r
)
(
0 ) (∇ ≡ × ∇ V 0 ) (∇× ≡ ⋅ ∇ A A × ∇ 면 면면 면S s d l d L 폐곡선 폐곡선 폐곡선 폐곡선 미소면적 미소면적 미소면적 미소면적 미소길이 미소길이미소길이 미소길이+
=
: 임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다. ④ ④ ④ ④ Gauss 법칙을법칙을법칙을 유도하고법칙을유도하고유도하고유도하고, 수식이수식이 의미하는수식이수식이의미하는의미하는의미하는 바를바를바를 설명하시오바를설명하시오설명하시오.설명하시오 ○ Maxwell 제 3 법칙 : 이 수식에 발산정리를 적용하면, 다음과 같이 Gauss 법칙이 유도됨. 따라서, Gauss 법칙은 자유공간에서 임의의 폐곡면 S를 통하여 나가는 총 전속(또는 전 기력선 수)는 체적 V 내에 존재하는 총 전하 (또는 총 전하를 ε0로 나눈 수) 와 같다. 0 ) (∇× ≡ ⋅ ∇ Aρ
=
⋅
∇ D
Q
dV
dV
D
D
V V V V⇒
∇
⋅
=
=
=
⋅
∇
ρ
∫∫∫
(
)
∫∫∫
ρ
0)
(
ε
ε
E
E
d
s
Q
D
Q
s
d
D
s
d
D
dV
D
S S S V=
⋅
=
=
⋅
⇒
⋅
=
⋅
∇
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
,
이므로
⑤
⑤
⑤
⑤ 물질상수
물질상수
물질상수 ρ
물질상수
ρ
ρ
ρ, εεεε, µ
µ
µ
µ와
와
와 R(저항
와
저항), C(정전용량
저항
저항
정전용량
정전용량
정전용량), L(유도용량
유도용량
유도용량
유도용량)과의
과의 관계를
과의
과의
관계를
관계를
관계를 수식으
수식으
수식으
수식으
로
로
로
로 나타내시오
나타내시오
나타내시오.(이때
나타내시오
이때
이때 형상에
이때
형상에
형상에 따른
형상에
따른
따른
따른 기호를
기호를 반드시
기호를
기호를
반드시
반드시
반드시 같이
같이
같이
같이 표기
표기 해야
표기
표기
해야
해야
해야 함
함
함
함)
○ 저항률 ρ (=1/σ)인 물채의 저항률 (Ω) ○ 유전률이 ε인 콘덴서의 정전용량(C) (단, Edge부분의 전계 집중을 무시) ○ 투자률이 µ인 이고, 권선수가 n인 솔레노이드(또는 전자석)의 유도용량(L) 면적 S 간격 d 유전률 ε]
[F
d
S
C
=
ε
]
[Ω
=
S
R
ρ
l
길이 ℓ 저항률 ε (도전률 σ 역수) 면적 S (단, Edge부분에서의 누설자속은 무시) ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ Poisson과과과과 Laplace 방정식을방정식을방정식을방정식을 유도하시오유도하시오유도하시오유도하시오. ○ 임의의 매질에서 성립하는 정전계의 2개의 기본적인 미분방정식 : 여기서 항등식(기울기의 회전은 항상 0이다)을 적용하면, 선형이고 등방성 매질에서는 가 성립함으로, 유전률 ε는 위치의 함수이며, 균질한 매질에 대하여 상수이며, 발산 연산자 밖으로 나올 수 있다. 따라서, Poisson 방정식이 유도됨.]
[
2H
s
n
L
l
µ
=
길이 ℓ 투자율 µ 면적 S 권선수 n 0 , ∇× = = ⋅ ∇ Dρ
V E V E=−∇ E D=ε
∇⋅ε
E=ρ
V ⇒∇⋅(ε
∇V)=−ρ
V 0 2 = ∇ V 자유전하가 없는 단순 매질에서는 ρv가 0이고, 다음과 같이 Laplace 방 정식으로 변환됨.ε
ρ
v V =− ∇22. (필수필수필수필수)정전계에정전계에정전계에 있어서정전계에있어서 다음있어서있어서다음다음 물음에다음물음에물음에물음에 답하시오답하시오답하시오답하시오.(15) ① ① ① ① 자유공간에서자유공간에서자유공간에서자유공간에서 정전계의정전계의정전계의정전계의 기본기본기본기본 가정가정(미분형가정가정 미분형미분형미분형, 적분형적분형적분형적분형)을을을 기술하시오을기술하시오기술하시오기술하시오. ② ② ② ② 점전하점전하점전하점전하 Q에에에에 의한의한 거리의한의한거리거리거리 R에서의에서의에서의 전계는에서의전계는전계는전계는? ○ 경계가 없는 자유 공간에서 정지 상태의 단일 점전하 q에 의한 전계는 다음과 같이 Gauss 법칙에 의해 구할 수 있다. 원점이 아닌 곳에서는 좌표계를 다음과 같이 변환 시켜야 한다 미분형 정전계 Maxwell 방정식 적분형 정전계 Maxwell 방정식 (Gauss 법칙) ε ρV E= ⋅ ∇ 0 = × ∇ E 0
ε
Q
s
d
E
S=
⋅
∫∫
0 = ⋅∫
CE dl 0ε
Q
s
d
E
S=
⋅
∫∫
]
/
[
4
4
)
(
2 0 0 2 0m
V
R
q
E
E
q
R
E
ds
E
q
ds
E
R R R R S R S R R Rπε
ε
π
ε
a
a
E
a
a
=
=
=
∴
=
=
⇒
=
⋅
⇒
∫∫
∫∫
R a E R q qp a E R q R R− ′ R′ 시켜야 한다 ③ ③ ③ ③ 대기대기대기 중에서대기중에서중에서 균일한중에서 균일한균일한균일한 선전하선전하 밀도선전하선전하 밀도밀도밀도 ρρρρℓ을 갖는을을을 갖는갖는갖는 무한히무한히무한히 긴무한히 긴긴긴 선전하의선전하의 전계선전하의선전하의전계전계 강도를전계강도를강도를강도를 구하구하구하구하 시오 시오시오 시오 ④ ④ ④ ④ 균일한균일한 면전하균일한균일한면전하면전하 ρ면전하ρρρs을을을을 갖는갖는 무한갖는갖는무한무한무한 판전하의판전하의판전하의판전하의 전계전계전계전계 강도를강도를강도를강도를 구하시오구하시오구하시오구하시오. ○ 무한히 대전된 면에 의해 발생하는 전계는 모든 지점에서 대칭이므로, 대전면에 대해 수직 성분만 존재. 따라서, 그림과 같이 원통모양을 가정하고 가우스 법칙을 적용하면, 상부와 하부면을 통해서만 빠져나가므로 다음과 같이 된다. 34
)
(
R'
R
R'
R
E
−
−
=
πε
q
p
q R′0
]
/
[
2
,
0
]
/
[
2
2
2
2
)
(
)
)(
(
)
(
<
−
=
−
=
=
>
=
=
=
⇒
=
∴
=
=
=
=
−
⋅
−
+
⋅
=
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
z
m
V
E
E
z
m
V
E
E
E
S
Q
ES
ds
E
ds
E
ds
E
s
d
E
s z z s z z s s S S z z z z Sε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
a
a
E
a
a
E
a
a
a
a
하부
상부
a a a az ---- aaaaz S SS S S SS S⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 정전계에서정전계에서정전계에서정전계에서 유전체유전체유전체(εεεε유전체 1)와와와와 유유전체유유전체전체 (εεεε전체 2) 사이에서의사이에서의사이에서의사이에서의 경계조건을경계조건을경계조건을경계조건을 구하시오구하시오구하시오. 구하시오 ○ 정전계가 만족해야 하는 도체와 유전체의 경계조건 정전계의 경계 조건은 정전계의 기본 가정( )에서 구할 수 있다. nnnn은 유전체와 도체사이의 경계면에 대한 수직벡터. 여기서, 높이 ∆b는 충분 히 작게 만들수 있으므로 무시가능 경계면 종류 성분 두 유전체 경계면 완전도체 경계면 접선방향의 성분 E2t=E1t E1t=0 법선방향의 성분 D2n-D1n=ρs D1n=-ρs L Γ a ∆ b ∆ t E1 n E1 t E2 1 E 2 / h s ρ n D1 1 D t D1 Γ 2 / h S ∆ 단면적 단면적단면적 단면적 t D2 ∆b 0 , ∇× = = ⋅ ∇ D ρV E
→
=
⋅
∫∫
0ε
Q
s
d
E
S → = ⋅∫
0 CE dl n E2 2 E 2 / h D2n h/2 2 D t t CE
⋅
d
l
=
0
→
E
2=
E
1∫
n n s SD
D
Q
s
d
E
ρ
ε
→
−
=
=
⋅
∫∫
2 1 03. 양점전하양점전하 Q가양점전하양점전하 가가가 내경이내경이내경이 R내경이 i이고, 외경이이고이고이고 외경이외경이외경이 R0인인인인 구형구형 도체각구형구형도체각(shell)의도체각도체각 의의 중심에의중심에중심에중심에 있다있다. 반지름있다있다 반지름반지름반지름 R의의의의 함함함함 수로 수로 수로 수로 전계전계전계전계 E와와와 전위와전위전위 V를전위 를를를 구하시오구하시오구하시오(10)구하시오 ○ 다음 그림과 같이 구대칭이기 때문에 gauss 법칙을 사용하여 E를 구한 다음 적분에 의해 V를 구할 수 있다. 서로 다른 3 영역 a) R>R0 b) Ri<R<R0, c) R<Ri으로 구분하여 이 영역 안에 적당한 구형태의 Gauss 표면 을 만든다. 대칭성 때문에 세 영역 모두 . a) R>R0 전계 E는 오른 쪽 그림과 같이 R0보다 큰 영역에서는 구형도체가 없을 때 점전하 Q에 의한 전계 E와 같다. 또한, 무한점에 대한 전위는
]
/
[
4
4
2 0 1 0 2 1m
V
R
Q
E
E
Q
R
E
s
d
E
R R R R Sπε
ε
π
a
a
E
=
=
=
∴
=
=
⋅
∫∫
R RE a E= 0R
Q
2 0 0 2 0 4 4 R Q R Q iπε
πε
R E R i R R Q dR R Q dR E V R R R1 2 1 4 4πε
πε
∫
∫
=− = − = b) Ri< R < R0 정성상태에서는 도체 내부의 전계는 0이다( ). 즉, 도체 내에서 ρv=0이고, 총 전하는 0이기 때문에 R=Ri 인 내경에는 –Q의 음전하가 유도되고 R=R0인 외경에는 +Q가 유도된다. 또한, 도체는 등전위면이다. c) Ri > R Gauss 법칙에 의해 첫 영역에서 구한 것과 같은 방법으로 구한다. 이 영역에서의 전위는 i R R0 0 0 0 4 R Q πε R R V R dR R dR E V R 0 2 0 1 1 4 4πε πε∫
∫
∞ ∞ = − = − = 0 2 = R E 0 0 1 2 4 0 R Q V V R Rπε
= = =]
/
[
4
4
2 0 1 0 2 3V
m
R
Q
E
Q
R
E
s
d
E
R R Sε
πε
π
=
⇒∴
=
=
⋅
∫∫
) 1 1 ( 4 4 4 ) 1 1 ( 4 0 0 0 0 0 0 3 3 i i R R R R R R Q R Q R Q R R Q V dR E V i i = − + = + − + − =∫
πε πε πε πε4. (선택
선택
선택
선택) 다음
다음
다음 원통
다음
원통
원통
원통 커패시터는
커패시터는
커패시터는 반경
커패시터는
반경
반경
반경 a인
인 내부
인
인
내부
내부
내부 도체와
도체와
도체와 내경이
도체와
내경이 b인
내경이
내경이
인
인 외부
인
외부
외부
외부 도체로
도체로
도체로
도체로
구성된다
구성된다
구성된다
구성된다. 고체
고체
고체 사이의
고체
사이의
사이의
사이의 공간은
공간은
공간은
공간은 유전률
유전률
유전률 εεεε의
유전률
의 유전체로
의
의
유전체로
유전체로
유전체로 채워져
채워져
채워져 있으며
채워져
있으며
있으며 커패시터
있으며
커패시터
커패시터
커패시터
의
의
의
의 길이는
길이는
길이는
길이는 L이다
이다
이다. 정전용량을
이다
정전용량을
정전용량을
정전용량을 구하시오
구하시오
구하시오
구하시오.(10)
이 문제에서는 모양상 ① 원통 좌표계를 사용하는 것이 편리. 그리고 내부 도체 표면과 외부 동체 내면에 ② 각각 +Q와 –Q를 가정한다. 내부 및 외부 도체 사이의 유전체에서 ③전계 E는 Gauss 법칙을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다. 도체의 가장자리에서의 edge effect를 무시하면 내부와 외부도체 사이의 ④전위차는 그러므로 원통 커패시터에 대하여5. 미소
미소
미소
미소 거리
거리
거리
거리 d 만큼
만큼
만큼 떨어진
만큼
떨어진
떨어진
떨어진, 크기는
크기는
크기는
크기는 같고
같고 부호는
같고
같고
부호는
부호는
부호는 서로
서로
서로
서로 다른
다른 점전하
다른
다른
점전하
점전하
점전하 +q, -q로
로
로
로 구성
구성
구성
구성
]
/
[
2
2
V
m
rL
Q
E
E
Q
L
rL
E
s
d
E
r r r r Sε
ε
πε
ρ
π
=
=
⇒∴
E
=
=
a
=
a
=
⋅
∫∫
l)
ln(
2
)
(
)
2
(
a
b
L
Q
dr
rL
Q
l
d
E
V
r a b r a r b r abπε
πε
⋅
=
−
=
⋅
−
=
∫
∫
= =a
a
) ln( 2 a b L V Q C abπε
= =5. 미소
미소
미소
미소 거리
거리
거리
거리 d 만큼
만큼
만큼 떨어진
만큼
떨어진
떨어진
떨어진, 크기는
크기는
크기는
크기는 같고
같고 부호는
같고
같고
부호는
부호는
부호는 서로
서로
서로
서로 다른
다른 점전하
다른
다른
점전하
점전하
점전하 +q, -q로
로
로
로 구성
구성
구성
구성
된
된
된
된 전기쌍극자
전기쌍극자
전기쌍극자(electric dipole)가
전기쌍극자
가
가
가 z 방향으로
방향으로 있다
방향으로
방향으로
있다
있다
있다. 쌍극자로부터
쌍극자로부터
쌍극자로부터
쌍극자로부터 거리
거리
거리
거리 R
(>>d)에
에
에
에 있는
있는
있는 임의의
있는
임의의
임의의
임의의 점
점 P에서의
점
점
에서의
에서의 전위와
에서의
전위와
전위와
전위와 전계를
전계를
전계를
전계를 구하시오
구하시오
구하시오
구하시오.(10)
전하 +q와 –q로부터 전계점 P까지의 거리는 각각 R+와 R-라 하면, P 점에서의 전위는 만일 d<<R이면, 거의 평행하다고 할 수 있으므로 이것을 위의 전위식에 대입하면여기서, 로서 전기쌍극자 모멘트(electric dipole moment)이다. 이때 전계는 − = − + R R q V 1 1 4πε0 + ≅ − ≅ − +
