한빛미디어 Matrices and Determinant 1/48
행렬과 행렬식
Matrices and Determinant
행렬과 행렬식
Matrices and Determinant
장윤석
부경대학교 전기공학과
2012. 8. 16
행렬의 곱
행렬의 곱
8.2
행렬의 기본 개념
행렬의 기본 개념
8.1
알아 두어야 할 개념과 공식
알아 두어야 할 개념과 공식
행렬식
행렬식
8.4
행렬과 선형 연립방정식
행렬과 선형 연립방정식
8.3
역행렬
역행렬
8.5
한빛미디어 Matrices and Determinant 3/48
벡터 , 스칼라
행렬의 상등
정방행렬
스칼라행렬
위삼각행렬
단위행렬
대각행렬
아래삼각행렬
행렬이란 ?
8.1 행렬의 기본 개념행렬의 개념 :
수나 함수들을 괄호 안에 행과 열로 배열해놓은 것
원소
: 괄호 안에 배열되어 있는 수나 함수
행렬의 일반 형태
행
(8.2
)
(8.1
)
한빛미디어 Matrices and Determinant 5/48
행렬이란 ?
벡터 :
하나의 행이나 열로 표현되는 행렬
행벡터
열벡터
행과 열로 표현한 행렬식
j : 행 , k :
열
(8.3
)
(8.4
)
(8.5
)
행렬이란 ?
8.1 행렬의 기본 개념
행과 열의 표현
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행렬의 기본 연산
행렬의 상등
행렬 A 와 B 가 같으면 , 상등이라 함 . A=B
,
이므로 두 행렬은 같은 크기를 가짐
크기가 같아야만 행렬이 상등할 수 있음
(8.6
)
행렬의 기본 연산
8.1 행렬의 기본 개념
행렬 간의 합과 차 :
행렬의 크기가 같을 때만 계산 가능
행렬과 스칼라의 곱
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행렬의 전치
행렬의 전치 :
임의 행렬의 열과 행을 바꿔 새로운 행렬을 구성한다
는 의미
j
행 k 열의 원소 k 행 j 열의 원소
전치행렬
행과 열을 바꿈
(8.8
)
행렬의 전치
8.1 행렬의 기본 개념대칭행렬 :
식 (8.9) 를 만족하는 정방행렬
반대칭행렬 :
전치행렬이 원래 행렬의 음이 되는 정방행렬
예제
8-1
(8.9
)
(8.10
)
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행렬의 전치
예제
8-2
행렬의 전치
8.1 행렬의 기본 개념
한빛미디어 Matrices and Determinant 13/48
두 행렬 간의 곱
두 행렬 간의 곱
행렬 행렬 의 곱
=
행렬 AB
(8.11
)
두 행렬 간의 곱
8.2 행렬의 곱
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두 행렬 간의 곱
벡터의 내적
예제
8-6
(8.13
)
(8.14
)
행렬의 곱의 성질
8.2 행렬의 곱행렬의 곱이 수와 유사한 성질을 갖는 경우
(8.15
)
(8.16
)
(8.17
)
(8.15
8
(8.19
)
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행렬의 곱의 성질
행렬의 곱이 수와 다른 성질을 갖는 경우
(
교환법칙이 성립하지 않음 )
이 반드시 , 이나 을 의미하는 것은 아님
가 반드시 를 의미하는 것은 아님
행렬의 곱의 전치
예제
8-7
(8.20
)
행렬의 곱의 성질
8.2 행렬의 곱
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선형 연립방정식
선형 연립방정식의 정의
개의 변수를 갖는 개의 방정식으로 이루어진 선형 연립방정식
제차 연립방정식 : 모두가 0 인 경우
비제차 연립방정식 : 그 중 하나라도 0 이 아닌 경우
(8.21
)
선형 연립방정식
8.3 행렬과 선형 연립방정식
선형 연립방정식 식 (8.21) 을 행렬로 표현하면
식 (8.22) 는 다음과 같이 둘 수 있음
(8.22
)
(8.23
)
한빛미디어 Matrices and Determinant 21/48
선형 연립방정식
계수행렬 : 영행렬이 되어서는 안 됨
:
개의 원소를 가진 행렬
r :
개의 원소를 가진 행렬
첨가행렬 :
계수행렬 의 마지막 열에 열행렬 의 원소를 추가한 행렬
(8.25
)
(8.24
)
선형 연립방정식
8.3 행렬과 선형 연립방정식예제
8-9
가우스 소거법 :
선형 연립방정식으로부터 첨가행렬을 추출하여 소거과
정을 되풀이하면서 해를 구하는 방법
가우스 소거법의 과정
주어진 선형 연립방정식으로부터 첨가행렬 나열
추축방정식
추축
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선형 연립방정식
추축 아래 사각형으로 표시한 나머지 방정식의 항 소거하기
위의 계산으로 생긴 (b), (c) 를 연립방정식과 첨가행렬에 반영
새로운 추축
선형 연립방정식
8.3 행렬과 선형 연립방정식
추축 아래 사각형으로 표시한 항 소거하기
위의 계산 결과를 연립방정식과 첨가행렬에 반영
(c)
에서 (a) 로 거슬러 올라가며 을 구함
한빛미디어 Matrices and Determinant 25/48
선형 연립방정식
가우스 소거법에서 가능한 기본 연산
❶
한 방정식에 0 이 아닌 상수를 곱하는 것
❷
한 방정식의 상수배를 다른 방정식에 더하는 것
❸
두 방정식을 교환하는 것
예제
10
8-선형 연립방정식
8.3 행렬과 선형 연립방정식
8-한빛미디어 Matrices and Determinant 27/48
행렬식의 정의
2
차 행렬식 :
행렬에 대한 행렬식
3
차 행렬식 :
행렬에 대한 행렬식
3
차 행렬식을 기억하려면
❶
부호가 +, -, + 순
❷
각각의 2 차 행렬식과 그 앞에 곱해진 원소와의 관계를 알아야 함
(8.26
)
(8.27
)
행렬식의 정의
8.4 행렬식
소행렬식 :
원래의 행렬식에서 하나의 원소를 중심으로 구성되는 저차의
행렬식
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행렬식의 정의
여인자를 사용하여 식 (8.27) 을 나타내면
식 (8.27) 의 3 차 행렬식을 풀어쓰면
(8.29
)
행렬식의 정의
8.4 행렬식n
차 행렬식 :
정방행렬에 대한 행렬식
인 경우에 대해 , 여인자를 활용하여 첨자 를 선택해 행에 대해 전개
첨자 를 선택해 열에 대해 전개
(8.30
)
(8.31
)
한빛미디어 Matrices and Determinant 31/48
행렬식의 정의
결과
예제
12
8-(8.33
)
(8.34
)
행렬식의 정의
8.4 행렬식
8-한빛미디어 Matrices and Determinant 33/48
행렬식의 성질
8-행렬식의 성질
8.4 행렬식
8-한빛미디어 Matrices and Determinant 35/48
행렬식의 성질
예제
16
8-행렬식의 성질
8.4 행렬식
8-한빛미디어 Matrices and Determinant 37/48
행렬식의 성질
8-크라메르의 법칙
8.4 행렬식2
개의 미지수를 가진 연립방정식
소거
소거
로 가정하여 , 위 두 식을 로 나눔
(8.35
)
(8.36
한빛미디어 Matrices and Determinant 39/48
크라메르의 법칙
3
개의 미지수를 가진 연립방정식
식 (8.37) 의 해 구하기
식 (8.37) 계수를 원소로 하는
계수행렬로 얻은 행렬식
(8.38
)
(8.37
)
크라메르의 법칙
8.4 행렬식
식 (8.38) 에서 각각의 해의 분자를 다음과 같이 두면
식 (8.38) 은 다음과 같이 쓸 수 있음
(8.40
)
(8.39
)
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크라메르의 법칙
개의 미지수를 가진 연립방정식
식 (8.41) 의 계수행렬의 행렬식
식 (8.41) 의 해
(8.41
)
(8.42
)
크라메르의 법칙
8.4 행렬식
,
한빛미디어 Matrices and Determinant 43/48
크라메르의 법칙
예제
20
8-역행렬
8.5 역행렬역행렬의 표시 :
행렬 A 에 대한 역행렬
모든 행렬에 대한 역행렬이 존재하는 것은 아님
정칙행렬 : 역행렬을 갖는 행렬
특이행렬 : 역행렬을 갖지 못하는 행렬
(8.43
)
한빛미디어 Matrices and Determinant 45/48
역행렬
역행렬의 계산
행렬의 역행렬
역행렬 계산을 행렬로 일반화하면
(8.44
)
(8.45
)
역행렬
8.5 역행렬
행렬의 역행렬
역행렬 계산을 행렬로 일반화하면
예제
22
8-
예제
23
8-(8.46
)
한빛미디어 Matrices and Determinant 47/48
