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들어서며 1. 파동운동 2. 파동의 여러 현상 3. 정상파와 공명 4. 악기 5. 음파의 속력 6*. 진행하는 음파 7. 음파의 세기, 간섭과 맥놀이 8. 도플러 효과

제12장. 파동과 음파

목차

개념흐름도

고전역학 한 입자의 운동 직선운동 여러 입자의운동 평면운동 뉴턴의 운동법칙 에너지 보존 질량 중심의 운동 (선)운동량 보존 등속 원운동 구심 가속도 돌림힘 회전 관성 연속적인 물체의 운동 강체의 운동 구르는 운동 고체의 탄성 유체의 압력과 밀도 회전운동 각운동량 보존 주기적 운동: 단순조화운동 파동 간섭현상 정상파 맥놀이 도플러효과

들어서며 (서문)

시간과 공간에 대해 반복되는 운동

파동의 수학적 표현

주기와 파장 음파의 속력

파동의 여러 현상

반사와 투과 회절 간섭현상

간섭현상의 특별한 예

파동의 종류

역학적 파동 : 음파, 수면파동, 지진파 전자기 파동 : 빛, X-선 불질 파동 : 원자 세계의 입자의 운동 종파 : 음파 횡파 : 수면파동, 전자기파 진행파 : 음파, 전자기파 정상파 : 기타줄, 관악기의 소리

파동

) 0 ( sin = = A kx t y ) ( ) (x₁ = y x = x₁ +



y ) sin( ) ( sin sin 1 1 1   k kx A x k A kx A y + = + = =



2 진행파(traveling wave)

1. 파동 운동

파장과 파수

t A t A t y(0, ) = sin(− ) = − sin ) , 0 ( ) sin( ) ( sin ) , 0 ( t y T t A T t A T t y = + − = + − = +   

T





=

2

: 각진동수   2 1 = = T f _{: 진동수} T : 주기

1. 파동 운동

진동수와 주기

t=0에서의 파동 : y = Asin kx t후의 파동이 x만큼 진행하였을 경우 : y = Asin k(x − x) 파동의 진행 속력 : t x v   = T t x =  =  ,



=

_vT

(

)

x t





 − 

1. 파동 운동

파동의 진행속도

Wave

https://www.vascak.cz/data/android/physicsatschool/template. php?s=kv_vlnostroj&l=en

예제 12.1 파동의 속력

매질(줄)을 따라 +x축으로 진행하는 횡파의 파동식이 로 주어진다( x와 y의 단위 : m, t의 단위 : sec). 이때, 파 동의 속력은 몇 m/s인가? 풀이] 파동식에서 1 1 2 , 6 − − ₌ = m s k    m/s 3 6 / 2 / = = =     k v       ₋ = x t t x y 2 6 sin 1 ) , (   

반사 및 투과

서로 다른 두 매질의 경계면에서 파동은 일부는 반사하고 일부는 통과

줄

반사 굴절

2. 파동의 여러 현상

예) 방파제를 통과할 때 퍼지는 물결

2. 파동의 여러 현상

회절

중첩의 원리

둘 이상의 파가 같은 공간을 통과할 때 입자의 변위는 각각의 파의 변위의 합

간섭

둘 이상의 파가 겹쳐질 때 일어나는 현상 - 보강간섭, 소멸간섭

) sin( ) sin( 2 1







− − = − = t kx A y t kx A y 진동수와 진폭이 같고 위상차가 인 두파가 같은 방향으로 진행할 경우 ) 2 sin( 2 cos 2 2 1







− −       = + = y y A kx t y

)

sin(

2

,

0

y

A

kx



t



=

=

−

0

,

=

=



y



(보강간섭) (소멸간섭)

2. 파동의 여러 현상

예제 12.2 파동의 간섭 I

같은 파장의 두 파동이 줄을 따라 같은 속도로 전파되며 간섭을 일으키고 있다. 파 동의 진폭은 각각 10 mm이며 두 파동의 위상차는 90o이다. (1) 간섭 현상에 의해 형성된 파동의 진폭은 얼마인가? (2) 간섭에 의한 파동의 진폭이 각 파동의 진폭과 같으려면 위상차가 얼마이어야 하는가? 풀이] (1) 간섭파 ) 2 sin( 2 cos 2 ) , ( '   − +       = A kx t t x y mm 1 . 14 ) mm)cos(45 10 ( 2 2 cos 2 '= A  = o  A (2) 

예제 12.3 파동의 간섭 II

두 개의 파동 와 가 간섭하여 하나의 파동을 이룬다고 하자. 이 파동의 진폭은 얼마인가? 풀이] ) sin( ) , ( 1 x t A kx t y = −



y₂(x,t) = Acos(kx −



t) 중첩파 ) cos( ) sin( ) , ( ) , ( ) , ( ' x t y₁ x t y₂ x t A kx t A kx t y = + = −



+ −



) 2 / sin( ) cos(kx −



t = kx −



t +



) 2 / sin( ) sin( −



+ −



+



= A kx t A kx t       −       + = + 2 cos 2 sin 2 ) sin( ) sin(



A



A









A ) 4 / cos( ) 4 / sin( 2 −



+





= A kx t ) 4 / sin( 2 −



+



= A kx t A A' = 2 

정상파

거리 l 만큼 떨어진 두 기둥에 팽팽하게 줄을 따라서 진행하는 파동은 양 끝에서 반사파를 형성 시킨다. 반사파는 중첩의 원리에 의하여 입사파와 합쳐진다. 즉, 입사파 : 반사파 : 합쳐진 파 : _{sin( ) sin( )} 2 1 y A kx t A kx t y y = + = − + + t kx A

y = 2 sin cos



: 정상파(standing wave)

  or , , , , 3_{2 4} 3₄ 2     ₌ = x kx y_m = 2A : 배(anti-node)   or , , , 3 , 2 , 3₂ 2   _    = = x kx

_y

_m

=

₀

: 마디(node)

3. 정상파와 공명

) ( ) sin( ) ( ) sin( 2 1  + = → − = t kx A y t kx A y





정상파 동영상

0 sin 2A kL = n L n kL =  or  _n = 2 L v n v f n n 2 = =  : 공명진동수(자연진동수) L v f 2 1 = : 기본진동수  , , ₃ 2 f f : n차 조화진동수 진동할 수 있는 계에 외부에서 고유진동수와 같은 진동수로 충격을 가할 경우 이 계는 큰

3. 정상파와 공명

공명

그림과 같이 양끝이 고정된 길이 L인 줄에 파가 진행할 경우 양끝은 움직이지 않으 므로

- 줄에서의 파동의 속력 : v



T v = T : 줄의 장력  : 줄의 선밀도 - 자연진동수 :  T L n L v n f_n 2 2 = =

3. 정상파와 공명

줄에 의한 정상파와 공진

예제 12.4 정상파의 진동수

길이가 L인 기타줄이 있다고 하자. 이때 기타줄을 튕겼을 때 나오는 음의 기본 진 동수를 f₁이라고 하고, 길이가 9L/10인 지점을 손가락으로 강하게 누르고 줄을 튕 겼을 때 나오는 음의 기본 진동수를 f₂라고 할 때, 두 진동수 비 f₁/ f₂은 얼마인가? 풀이] 길이 L의 기타줄의 기본 진동수 L v f 2 1 =       ₌ L L 10 9 '  1 9 10 ) 10 / 9 ( 2 L f v = = ' 2 2 L v f =

현악기 : 기타, 바이올린, 첼로, 피아노

줄의 양 끝이 고정~마디

관악기 : 피리, 트럼펫, 파이프오르간

막힌 끝 : 마디 열린 끝 : 배 양쪽이 열린 경우 한쪽이 막힌 경우  T L n L v n f_n 2 2 = = ) , 3 , 2 , 1 ( 2 =  = n L v n f_n ) , 5 , 3 , 1 ( 4 =  = n L v n f_n

4. 악기

타악기 :

면진동

막대의 경우

: 고정점이 마디

음계 <참고> 조화진동 do re mi fa sol la ti do’ C-major C D E F G A B C’ 264 297 330 352 396 440 495 528 8/9 9/10 15/16 8/9 9/10 8/9 15/16 D-major D E F G A B C D’ 297 334 371 396 445 495 557 594

4. 악기

음파의 속력

현악기의 줄에 발생한 파동의 속력 T : 줄의 장력, μ : 줄의 질량밀도 - 줄의 양끝을 잡아 당길수록 고음이 발생하고, 질량밀도가 큰 줄을 사용할 수록, 저음이 발생한다. 고체봉인 경우, 봉 내부에서 발생한 파동의 속력 Y = 줄의 영률,  : 봉의 질량밀도 관악기인 경우, 공기를 사용  T v =  Y v =

5. 음파의 속력

속력 :



B v =  : 매질의 밀도 V V P B   − = _{: 부피 탄성율} 특성 관성 특성 탄성 = v

6*. 진행하는 음파

음파

: 물질을 통해서 진행하는 종파

가청 주파수 : 20 Hz ~ 20,000 Hz

dx ds B x s B x A s A B V V B p = −   − =   − =  − =  A: 관의 단면적, Δx: 진동소의 길이, 피스톤을 움직일 경우 부피의 변화 : 입자의 변위 압력 ) cos(kx t s s = _m − ) sin( ) sin( t kx P t kx Bks P m m   −  = − =  m m m Bs k v s k P = =   2 s A V =  

6*. 진행하는 음파

음파의 세기 :

• 단위시간동안 단위면적에 전달되는 음파의 평균 에너지: • 단위 : 귀로 들을 수 있는 음파의 세기 : 10-12_{~1 W/m}2 소리의 세기 : 소리의 준위 [dB] 10 ) 12 (log log 10 0  + =       = I I I  2 12 0 10 W/m − = I : 사람의 귀로 들을 수 있는 문턱세기

v

s

I

=

1₂



(



_m

)

2

7. 음파의 세기, 간섭과 맥놀이

2 W/m

예제 12.5 스피커의 소리세기준위

출력이 50 W인 조그마한 스피커에서 나오는 소리가 사방으로 균일하게 퍼져 나가 고 있다. 5.0 m 떨어진 곳에서 소리세기와 소리세기준위는 얼마인가? 풀이] 소리세기 2 4 r P I  = dB 112 W/m 10 W/m 0.159 log 10 _{12 2} 2 =       =  ₋ 2 2 0.159 W/m m) 5 )( 4 ( W 50 = =



❖ 두 음원에서 나온 음파들의 경로차이에 의한 간섭현상 ❖ 위상차 ❖ 보강간섭 ❖ 상쇄(소멸) 간섭 ...) 0,1,2,3,.. ( = = d m m d  =  =       2 (경로차) 2

7. 음파의 세기, 간섭과 맥놀이

경로차에 의한 간섭

음파의 경로차에 의한 간섭효과

7. 음파의 세기, 간섭과 맥놀이

맥놀이

: 진동수가 거의 비슷한 두 음파에 의한 시간적 간섭현상

(

f t

)

y A

(

f t

)

A y₁ = sin 2



₁ , ₂ = sin 2



₂ ) 2 sin( ) 2 sin( _{1 2} 2 1 y A f t A f t y y = + =



+



) ( cos ) ( sin 2 cos cos 2 1 2 1       + = + −             +                   − = A f f t f f t 2 2 sin 2 2 cos 2



1 2



1 2



2 1

f

f

f

_b

=

−

진폭 : 맥놀이 진동수

예제 12.6 맥놀이 진동수

기타줄의 첫 번째 줄의 라-음(220 Hz)을 이용하여 두 번째 줄의 음을 조절하고 있 다. 그러나 실수로 두 번째 줄의 음을 시-음(248 Hz)에 맞췄다. 두 음을 함께 들을 때 소리가 크게 들리는 부분은 1초에 몇 번 들리는가? 풀이] 맥놀이 진동수 Hz 28 2 1 − = = f f f_beat 1초에 28번 크게 들린다.

8. 도플러 효과

도플러 효과

관측자와 음원의 상대속도에 의한 음파의 진동수 변화현상 움직이는 관측자와 정지하고 있는 음원 - 관측자 O에 대한 음속 o v v v'= + ) ( ' ' v f v v v f v v v f O O    = + = + = =  - 관측자 듣는 진동수 o v S vT =  관측자 O 0 = S v

8. 도플러 효과

0 0 0 ' f v v T v vT − _s = − s =



f v f v v T v vT v v f S S / / ' ' − = − = =



S v v v f − = 움직이는 음원과 정지하고 있는 관측자 음원과 관측자가 모두 움직이는 경우 S O v v v v f f  =  ' + v₀ : 관측자가 음원에 접근 -v : 관측자가 음원에 대해 후퇴 : 도플러 효과 S v S 관측자 B 관측자 A '



(

v + v_S

)

T = '





'=

(

v −v_S

)

T

예제 12.7 도플러 효과

10 m/s의 속력으로 도망가는 범인을 40 m/s 속력의 경찰차가 사이렌을 울리며 뒤 쫓고 있다. 사이렌의 고유진동수가 f = 1000 Hz일 때, 범인이 듣는 사이렌의 진동 수 f ’을 구하여라(단, 음속은 v = 340 m/s이다). 풀이] 범인이 듣는 진동수 s v v v v f f − − = 0 ' v : 음속 v₀ : 범인의 속력 v_s : 경찰차 속력 Hz 1100 m/s ) 40 340 ( m/s ) 10 340 ( Hz 1000 ' = − − =  f

충격파

만약 v_s가 v보다 빠르다면, S₀에서 출발한 파는 vt만큼 진행하며

음원은 v_st(>vt)만큼 진행한다. 따라서 그림과 같은 삼각뿔이 형성

- 관측자 O에 대한 음속 Mach cone angle : 

s s

v

v

t

v

vt =

=



sin

t v_s Shock wave

v

v

_s



(초음속) number Mach : v v_s

8. 도플러 효과

요약(결론]

파동의 수학적 표현

진행파의 변위는 𝑦 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 파수, 파장, 각진동수, 주기의 관계

파동의 여러 현상

중첩의 원리: 두 파동의 변위를 더한다. 두 파동의 위상의 차에 따라 보강 혹은 상쇄 간섭 나타남

간섭현상의 특별한 예

정상파: 특별한 진동수(조화진동수)를 가진 입사파와 반사파가 동일매질 에서 중첨될 때 고정된 위치에 배와 마디가 나타남. 맥놀이: 진동수가 거의 같은 두 음파가 중첨될 때 나타남.

움직이는 음원과 관찰자: 도플러 효과

관찰자가 듣는 음파의 진동수는 음원과 관찰자의 속도에 의존