서 론
1. 일의 정의
2. 변화하는 힘에 의한 일
3. 운동에너지와 일-에너지 정리
4. 위치에너지
5. 역학적 에너지의 보존
6. 에너지의 보존
제5장. 일과 에너지
목차
개념흐름도
고전역학 한 입자의 운동 직선운동 여러 입자의운동 평면운동 뉴턴의 운동법칙 에너지 보존 질량 중심의 운동 (선)운동량 보존 등속 원운동 구심 가속도 돌림힘 회전 관성 연속적인 물체의 운동 강체의 운동 구르는 운동 고체의 탄성 유체의 압력과 밀도 회전운동 각운동량 보존세부개념흐름도-5장
일과 에너지
일
일정한 힘에
의한 일
에너지
변하는 힘에
의한 일
위치에너지 (PE)
운동에너지
일
─에너지 정리
중력 PE
탄성 PE
역학적 에너지의 보존
에너지의 보존
비보존력
보존력
에너지
물리학에서 아주 중요한 개념 에너지 형태는 다양 - 운동에너지, 위치에너지 등 • 운동에너지는 운동하는 물체가 가지는 에너지 • 위치에너지는 보존력에 의해서만 정의 - 경로에 무관하여 역학적 문제를 쉽게 접근 총 에너지 보존 법칙 - 고립계(외부와 상호작용하지 않는 계)의 총 에너지는 일정서론
일
힘과 그 힘에 의해 물체가 이동한 거리 등의 양일 : 물체에 힘이 작용하여 이동하였을 경우 힘과 힘의 방향으로의 이동거리의 곱,
혹은 이동방향으로의 힘의 크기와 이동거리의 곱
1. 일의 정의 (일정한 힘에 의한 일)
Fs
W =
s F Fcos F s scoss
F
W
=
cos
=
F
s
cos
s
F
=
W
s F1. 일의 정의
일정한 힘에 의한 일
x F F y F sA B F F F ds F
(
d
W
=
F d
s
)
=
B AW
F
d
s
일의 단위 : 1N의 힘으로 1m를 움직였을 경우 1J의 일을 하였다고 한다. m N 1 m 1 N 1 J 1 = = 1. 일의 정의 (일정한 힘에 의한 일)
변하는 힘에 의한 일
일정한 힘으로 볼 수 있는 충분히 작은 구간으로 운동을 나누어 생각s
F
=
W
=
=
N iW
1 i is
F
극한(
)
(
)
J
490
m
5
N
98
g
N
98
s
/
m
8
.
9
kg
10
g
2=
=
=
=
=
=
=
h
m
W
m
F
mg mgh
F
예제 5.1 중력이 한 일
5 m m = 10 kg 질량이 10 kg인 돌이 5.0 m 높이에서 땅에 떨어졌다. 이 돌에 중력이 한 일은 얼마 인가? 풀이] 중력과 변위가 같은 방향예제 5.2 경사각으로 끌리는 수레
어떤 사람이 지면과 60도의 각도로 수레를 끌고 있다. 사람이 끄는 힘의 크기는 100 N이며, 썰매가 50 m 이동했다고 할 때 사람이 끄는 힘이 한 일은 얼마인가? 또, 이 경우 중력이 한 일은 얼마인가? 풀이] J 2500 60 cos m) N)(50 100 ( cos = = = = o man man F d W F s
J
0
90
cos
m)
g)(50
(
cos
g g g=
=
=
=
om
d
F
W
F
s
(가) 사람이 끄는 힘이 한 일 (나) 중력이 한 일 o 60M g s 외 력 F M g 외 력 F
예제 5.3 경사면을 이용한 이동
수평면과 30도의 경사각을 이루는 경사면이 있다. 경사면 꼭대기 점의 높이는 H이 다. 바닥면에 질량이 M인 물체가 있다. (1) 이 물체를 바로 수직으로 들어올려 꼭대 기 위치까지 올릴 때 그 힘이 한 일은 얼마인가? (2) 이 물체를 경사면을 따라 꼭대 기까지 끌어올릴 때 그 힘이 한 일은 얼마인가? 풀이] (1) 물체를 들어 올리는데 필요한 힘 물체를 들어 올리는 힘이 한 일 Mg F = MgH H Mg W = = 2 = 2 1 ' ' F d MgH W = F d = H H S O 2 30 sin = = Mg Mg F O 2 1 30 sin '= = (2) 경사면으로 물체를 들어 올리는 필요한 힘 경사면의 길이 : 경사면으로 물체를 들어 올리는 힘이 한 일 → 두 경로의 일의 값이 동일 (일의 값은 경로와 무관)일률(Power) : 단위 시간당 한 일 t 시간동안에 W의 일을 하였다면 J/s 1 s 1 J 1 W 1 = =
t
W
P
=
t W t W P t d d lim 0 = = → (평균일률) (순간일률) 일정한 힘이 작용하는 일차원 운동일 경우x
F
W
=
F
v
t
x
F
t
W
P
=
=
=
v
F
=
P
일률의 단위 : 1J 의 일을 1s 동안에 하였다면, 이 때의 일률을 1W(watt)라고 한다.1. 일의 정의 (일정한 힘에 의한 일)
(
10
m/s
)
( )
1
s
5
.
0
m
2
1
g
2
1
2 2 2=
=
=
x
t
(
)
(
)
(
)
W 50 s 0 . 1 m .0 5 m/s 10 kg 0 . 1 g 2 = = = = = t x m t x F t W P(
10 m/s)
( )
2 s 20 m/s g = 2 = = t v(
1
.
0
kg
)
(
10
m/s
)
(
20
m/s
)
200
W
g
=
2=
=
=
Fv
m
v
P
예제 5.4 자유 낙하하는 물체의 일률
m = 1.0 kg g 질량이 1.0 kg인 물체를 자유낙하시켰다. 낙하시킨 후 1.0초간 중력이 하는 평균 일 률은 얼마인가? 또, 낙하시킨 후 2.0초가 되는 순간 중력이 하는 순간 일률은 얼마 인가? 풀이] 1초간 이동한 거리 : 1초간의 평균 일률 : 2.0초 때 순간속력 : 2.0초 때 순간일률 :예제 5.5 엔진 추진력의 일률
달리는 자동차가 받는 마찰력은 속도에 비례한다. 즉, Ff = - bv로 마찰력을 나타 낼 수 있다( b는 상수임). 자동차가 일정한 속도 v0로 달릴 때, 엔진 추진력이 하는 일률은 얼마인가? 풀이] 엔진 추진력 Fe는 마찰력과 크기는 같고 방향은 반대 bv Fe = 2 obv
P
=
F
v
=
엔진 추진력이 하는 일률 :용수철이 물체에 작용하는 힘
x
F
=
−
k
: Hook’s law k : 힘의 상수(force constant) F : 복원력(restoring force)2. 변화하는 힘에 의한 일
용수철에 의한 힘변하는 힘에 의한 일
힘 F와 위치 x의 그래프의 넓이용수철에 의한 힘(
F
s)이 물체에 해준 일
=
0 0d
x sx
F
W
0
2
1
d
02 0 0
−
=
−
=
kx
x
kx
x 용수철에 가한 힘(F
)이 한 일 2 0 0 02
1
d
d
0 0kx
x
kx
x
F
W
=
x=
x=
O A B F dr Fr
F
W
d
cos
d
d
=
F
r
=
=
=
B A B A ABF
r
W
F
d
r
cos
d
2. 변화하는 힘에 의한 일
L
m
x
F
k
=
=
g
L
L
m
m
k
m
k
F
L
2
g
g
2
g
2
'
'
=
=
=
=
예제 5.6 용수철 상수 측정과 일
(1) 용수철 상수 : 질량이 m인 물체를 용수철에 매달았더니 길이 L만큼 늘어났다. (1) 이 용수철의 용 수철 상수는 얼마인가? 여기에 다시 질량이 m인 물체를 하나 더 매달았다. (2) 용수 철이 늘어난 길이는 얼마인가? 풀이] (2) 2 m 이 매달렸을 때 용수철이 늘어난 길이F
s gF
s'
F
g'
F
연습문제
용수철 상수가 k인 용수철을 같은 길이가 되도록 2개로 잘랐다. 잘라진 반쪽 용수 철의 용수철 상수는 얼마인가? ① k ② (1/2)k ③ 2k ④ (1/4)k ⑤ 4k2 0 0 2 0
d
d
3
0 0x
a
x
ax
x
F
W
x x=
=
=
예제 5.7 변하는 힘이 한 일
로 거리에 따라 작용하는 힘이 있다. 거리 x = 0에서 x = x0가 될 때까지 힘 이 한 일은? 풀이] 2ax
F =
2ax
F =
변하는 힘이 한 일
=
=
B A B A ABF
r
W
F
d
r
cos
d
운동에너지와 일
– 에너지 정리
물체에 작용하는 합력이 작용할 경우 물체는 가속된다. 만일 일정한 합력 F가 질량 m인 물체에 작용할 경우 물체는 일정한 가속도로 운동하게 된다. 일차원으로 가정할 경우 운동에너지 : 22
1
mv
K =
t
v
v
a
=
−
0t
v
v
x
=
+
2
0x
ma
Fx
W
=
=
2 0 2 0 02
1
2
1
2
t
mv
mv
v
v
t
v
v
m
=
−
+
−
=
K
K
K
W
합력=
−
0=
: 일-에너지정리(work-energy theorem)3. 운동에너지와 일
– 에너지 정리
No friction vO v질점에 작용하는 힘 : F1, F2, F3, F4, 각 힘이 한 일 : W1, W2, W3, W4,
K
W
합력=
K
W
W
W
W
1+
2+
3+
n=
3. 운동에너지와 일
– 에너지 정리
질점에 작용한 합력이 한 일은 그 질점의 운동에너지의 변화와 같다.일
– 에너지정리 (work-energy theorem)
h
m
Fx
W
=
=
g
0
2
1
2 0 0= mv
=
K
22
1
mv
K =
0
2
1
g
h
= mv
2−
m
h
v
=
2
g
예제 5.8 떨어지는 돌의 속력
mg h m v 지면으로부터 높이 h인 곳에서 질량이 m인 돌을 떨어뜨렸다. 일 - 에너지 정리를 이용하여 땅에 떨어지는 순간의 돌의 속력을 구하여라. 풀이] 중력이 한 일 일 - 에너지 정리보존력
↔ 비보존력
1. 질점이 왕복운동을 한 후에 그 운동에너지가 처음의 값과 같을 경우 2. 질점이 왕복운동을 하는 동안에 힘이 질점에 해준 일이 0일 경우 3. 두 점간을 움직이는 질점에 대하여 힘이 해준 일이 경로에 무관할 경우 v = 0 K = 0 v = +v0'
2 0 2 1mv
K
K
=
=
v’ = -v0 중력 올라가는 동안 중력이 한 일 : W = -mgh 내려오는 동안 중력이 한 일 : W = mgh 경로1 : 경로2 :h
m
d
m
W
g
cos
g
2−
=
−
=
4. 위치에너지
h
m
W
1=
0
−
g
2 1 C CW
W
=
mg F constant = v h 외부의 힘 F가 한일 : 질점 m을 등속도로 움직이기 위한 최소한의 힘 : F = −mg mgh We = 질점의 위치 변화 중력 mg가 한일 :
W
m
h
C=
−
g
- 등속도로 질점이 움직였으므로 K = 0 위치에너지(potential enegy) : UU
h
m
W
e= g
=
U
h
m
W
C=
−
g
=
−
4. 위치에너지
중력 위치에너지
예제 5.9 물체의 중력 위치 에너지
질량이 2kg인 물체를 2m 높이로 들고 있다. (a) 높이가 1m인 탁자 표면에 대한, 그 리고 (b) 높이가 3m인 천장에 대한 물체의 중력 위치에너지는 각각 몇 J인가? 풀이] 중력 위치 에너지는 물체의 높이의 차이에 대한 중력이 한 일에 비례J
6
.
19
)
1
2
)(
8
.
9
(
2
)
(
g
)
(
a
U
=
m
y
=
−
=
J
6
.
19
)
3
2
)(
8
.
9
(
2
)
(
g
)
(
b
U
=
m
y
=
−
=
−
질점에 보존력이 작용할 경우
U
W
C=
2
=
−
1d
r rF
r
보존력에 의한 일은 질점의 위치에너지의 감소와 같다.
− = − = − = 2 1 d 1 2 r r F r C W U U U
+ − = d U0 U F r (예) 스프링 Fe Fs Fe = kx U kx x kx W x e =
= = 2 0 0 2 1 d 0 kx Fs = − U kx x kx W x s = −
= − = − 2 0 0 2 1 d 0 2 0 1 2 2 1 kx U U − = 2 1 ) (x kx U =4. 위치에너지
탄성 위치에너지
J
15
.
0
)
05
.
0
)(
120
(
2
1
2
1
2 2=
=
= kx
U
예제 5.10 용수철의 탄성 위치 에너지
용수철 상수가 120 N/m인 용수철의 원래 길이를 5 cm만큼 줄였다. 용수철이 갖게 되는 탄성 위치에너지는 몇 J인가? 풀이] k = 120 N/mcm
5
외력F
sF
질점에 작용하는 힘이 보존력일 경우 2 1
U
U
U
W
C=
−
=
−
일-에너지 정리 1 2K
K
K
W
=
=
−
1 2 2 1U
K
K
U
−
=
−
2 2 1 1U
K
U
K
+
=
+
: 역학적 에너지 보존 법칙5. 역학적 에너지의 보존
역학적 에너지 보존
보존력만 계에 작용한 경우
2 1U
U
U
W
C=
−
=
−
일-에너지 정리 1 2K
K
K
W
W
=
c=
=
−
1 2 2 1U
K
K
U
−
=
−
2 2 1 1U
K
U
K
+
=
+
: 역학적 에너지 보존 법칙5. 역학적 에너지의 보존
h
m
mv
mv
U
K
g
2
1
0
2
1
2 2 0+
=
+
=
+
h
v
v
=
02−
2
g
예제 5.11 공중에 던진 물체
어떤 물체가 공중의 임의 방향을 향하여 초속력 v0로 던져졌다. 이 물체가 지표면 에서 높이 h인 곳에 있을 때의 속력을 구하여라. 풀이] 역학적 에너지 보존 법칙k = 96 N/m m = 3 kg = 0.2 (바닥 마찰 계수)
( )
22
1
x
k
U
=
마찰계수 : 물체가 미끄러진 거리 : ss
m
s
f
W
=
=
g
( )(
)
(
)
( )
(
96 N m)
1m m 8 s m 8 . 9 kg 3 2 . 0 2 g 2 2 = = = k s m x ( )
x m s k = g 2 1 2
예제 5.12 마찰력이 한 일
용수철 상수가 96 N/m인, 압축된 용수철 끝에 질량이 3 kg인 물체가 놓여 있다. 용 수철을 압축하던 힘을 없애자 물체는 8 m 미끄러진 후 정지하였고, 물체는 용수철 과 분리되었다. 물체와 바닥면의 마찰계수를 0.2라고 할 때, 용수철이 압축되었던 길이는 얼마인가? (단, 중력가속도 g = 9.8 m/s2이다.) 풀이] 용수철의 탄성 에너지 마찰력이 한 일 U = W연습문제
높이가 H인 곳에서 자유 낙하시킨 질량이 m인 물체가 있다. 임의 높이 h인 곳에서 이 물체의 속도를 구하고 그 결과를 이용하여 그 높이에서의 운동에너지를 구하여 라. 이 경우 역학적 에너지는 높이 h에 상관없이 항상 일정함을 보여라.
nc C
F
F
F
F
F
F
=
1+
2+
3+
=
+
합력이 한 일 nc CW
W
W
W
W
W
=
1+
2+
3+
=
+
1 2K
K
K
=
−
=
2 1 U U U WC = − = − 보존력이 한 일 ncW
U
K
=
−
+
0
=
−
+
K
U
W
nc0
)
(
int+
=
+
+
K
U
E
E
others (총)에너지 보존 법칙6. 에너지의 보존
질점에 작용하는 힘에 비보존력이 있을 경우에너지의 보존
에너지의 변환과 보존 동영상 (interactive)위치에너지 곡선
