수학Ⅱ 내신·모의고사 대비 TEST 해설

(1)

Ⅰ. 집합과 명제

Ⅱ. 함수

Ⅲ. 수열

Ⅲ. 지수와 로그

®

[수학Ⅱ]

내신・모의고사

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

(2)

Ⅰ- 1. 집합 본문 350~355쪽 01③ 02⑤ 03⑤ 04 12 05 16 06④ 07 64 08② 09 10 10① 11 6 12 {2} 13 6 14③ 15② 16⑤ 17 7 18② 19③ 20④ 21 112 22②, ⑤ 23 110 24 63 25 2 26 31 27③ 28② 29 128 S U M M A C U M L A U D E

0

1

① {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ② {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ③‘가까운’은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다. ④ 백두산과 한라산의 높이는 명확한 기준이므로 집합이다. ⑤ {2, 4, 6, y} ③

0

2

{x|x는 7의 양의 약수}={1, 7}이고 {1, 7};A=0이므로 두 집합 {1, 7}과 A는 서로소이다. ⑤

0

3

A'(AÇ ;B)=(A'AÇ );(A'B) =U;(A'B) =A'B ⑤

0

4

A={2, 3, 4, 5, 6}이고 A-B={2, 6}이므로 A;B={3, 4, 5} 따라서 모든 원소의 합은 3+4+5=12 12

0

5

두 집합 {{3, 4}}와 {3, 4}는 서로 다르므로 집합 안에 1에서 7까지의 자연수가 모두 들어 있다고 해서 부분 집합의 개수가 2‡ =128인 것은 아니다. 전자의 경우는 원 소가 1개 있는 것으로 취급되는 것이고 후자의 경우는 원 소가 2개 있는 것으로 취급되기 때문이다. 그러므로 집합 A의 원소는 4개이므로 부분집합의 개수는 2› =16이다. 16

0

6

집합 A의 원소의 개수가 5이므로 부분집합의 개수는 2ﬁ =32이고, 이 중에서 홀수인 원소 1, 3, 5를 제외 한 원소로 이루어진 집합 {2, 4}의 부분집합의 개수는 2¤ =4이므로 홀수가 한 개 이상 속해 있는 부분집합의 개 수는 32-4=28 ④

0

7

집합 C의 원소 c를 구해 보면 a=1, b=-2 Δ c=1_(-2)+(-2)¤ =2 a=1, b=0 Δ c=1_0+0¤ =0 a=1, b=2 Δ c=1_2+2¤ =6 a=2, b=-2 Δ c=2_(-2)+(-2)¤ =0 a=2, b=0 Δ c=2_0+0¤ =0 a=2, b=2 Δ c=2_2+2¤ =8 a=3, b=-2 Δ c=3_(-2)+(-2)¤ =-2 a=3, b=0 Δ c=3_0+0¤ =0 a=3, b=2 Δ c=3_2+2¤ =10 집합 C={-2, 0, 2, 6, 8, 10}으로 원소의 개수는 6이 므로 C의 부분집합의 개수는 2ﬂ =64이다. 64

(3)

수학Ⅱ

Ⅰ- 1. 집합

내신・모의고사 대비 TEST

03

Ⅰ- 1. 집합

0

8

a+b이므로 A는 완전제곱수를 원소로 가진다. 집합 {1, 4, 9}의 부분집합 중 두 개의 원소를 가지는 집합 은 조건을 만족하므로 이들 집합의 개수는 3이고, 또한 집 합 {2, 8}도 조건을 만족하므로 구하는 집합 A의 개수는 3+1=4이다. ②

0

9

A={2, 3, 5, 7}의 부분집합 중에서 원소의 개 수가 소수가 되려면 집합 A의 부분집합의 원소의 개수가 2 또는 3이어야 한다. 원소의 개수가 2인 A의 부분집합은 {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}로 6개이 고, 원소의 개수가 3인 A의 부분집합은 {2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 5, 7}, {3, 5, 7}로 4개이다. ∴ 6+4=10 10

10

1이 포함된 원소가 2개 이상인 부분집합의 개수는 2fi —⁄ -1=15 1은 포함되지 않고 2는 포함된 원소가 2개 이상인 부분집 합의 개수는 2fi —¤ -1=7 1, 2는 포함되지 않고 3은 포함된 원소가 2개 이상인 부분 집합의 개수는 2fi —‹ -1=3 1, 2, 3은 포함되지 않고 4는 포함된 원소가 2개 이상인 부 분집합의 개수는 2fi —› -1=1 1, 2, 3, 4는 포함되지 않고 5는 포함된 원소가 2개 이상인 부분집합은 없다. ∴ 15_1+7_2+3_3+1_4=42 ①

11

A={4, 8, 12, y, 48}, B={6, 12, 18, y, 48}, C={8, 9, 10, y, 19}이므로 A;BÇ ={4, 8, 16, 20, 28, 32, 40, 44}이다. ∴ (A;BÇ );CÇ ={4, 20, 28, 32, 40, 44} 따라서 (A;BÇ );CÇ 의 원소의 개수는 6이다. 6

12

가장 작은 소수는 2이므로 a=2이다. 따라서 b=a¤ =2¤ =4이므로 A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6} ∴ A;B={ 2 } {2}

13

A;B={2}에서 x¤ -2ax+a¤ =0에 x=2를 대입하면 4-4a+a¤ =0 ∴ a=2 ∴ A={2} 그런데 A'B={1, 2}이므로 B={1, 2}이다. 즉, x¤ -bx+2=0의 두 근이 1, 2이므로 근과 계수의 관 계에 의하여 b=1+2+3 따라서 ab=2_3=6이다. 6

14

두 집합 A'BÇ , (A;B)Ç 을 벤 다이어그램으 로 나타내면 다음과 같다. U A B (A;B)Ç U A B A'BÇ

(4)

ㄱ. 위의 벤 다이어그램이 나타내는 집합을 보면 두 집합 의 합집합이 전체집합과 같음을 알 수 있다. 이것을 식 으로 구해 보면 (A'BÇ )'(A;B)Ç =(A'BÇ )'(AÇ 'BÇ ) =(A'AÇ )'(BÇ 'BÇ ) =U'BÇ =U ㄴ. ∴ U=(A'BÇ )'(A;B)Ç ={2, 4, 5, 8, 12}'{1, 3, 5, 9} ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12} (참) ㄴ. 위의 벤 다이어그램에서 A;B=(A'BÇ )-(A;B)Ç 이 성립함을 알 수 있다. ∴ A;B={2, 4, 5, 8, 12}-{1, 3, 5, 9} ={2, 4, 8, 12} (거짓) ㄷ. 드모르간의 법칙에 의해 AÇ ;B=(A'BÇ )Ç 이므로 AÇ ;B=(A'BÇ )Ç =U-{2, 4, 5, 8, 12} ={1, 3, 9} ㄷ.따라서 집합 AÇ ;B의 원소의 개수는 3이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

15

주어진 벤 다이어그램의 색칠된 영역이 나타내 는 집합은 A-B, 즉 A;BÇ 이다. ① A-B=A;BÇ

② A;(A-B)Ç =A;(A;BÇ )Ç =A;(AÇ 'B) =(A;AÇ )'(A;B)=A;B ③ A-(A;B)=A;(A;B )Ç =(A;AÇ )'(A;BÇ )

=A;BÇ

④ AÇ ;A=A;BÇ

⑤ A;(A;B)Ç =A;(AÇ 'BÇ )

=(A;AÇ )'(A;BÇ )=A;BÇ 따라서 벤 다이어그램이 나타내는 집합이 아닌 것은 ②이다.

②

16

ㄱ. A-BÇ =A;(BÇ )Ç =A;B (참) ㄴ. (A-B)-C=(A;BÇ )-C =A;BÇ ;CÇ =A;(B'C)Ç =A-(B'C) (참) ㄷ. A;(B-A)Ç =A;(B;AÇ )Ç =A;(BÇ 'A) =A (∵ A,(BÇ 'A)) (B-A);A=(B;AÇ );A=_0이므로

{A;(B-A)Ç }'{(B-A);A}=A'0=A (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

17

A,C,B를 만족시켜야 하므로 집합 C는 집 합 B의 부분집합으로 A의 원소인 1과 2를 반드시 원소 로 가져야 한다. 그러므로 집합 C의 개수는 2‹ =8이다. 그런데 B+C이므로 만족시키는 집합 C의 개수는 8-1=7이다. 7

18

ㄱ. 3 이하의 소수는 2, 3이므로 A£={2, 3} 4의 양의 약수는 1, 2, 4이므로 B¢={1, 2, 4} ∴ A£;B¢={2} (참)

(5)

수학Ⅱ

Ⅰ- 1. 집합

05

Ⅰ- 1. 집합

a…n<n+1이고 a는 소수이므로 a<A«≠¡ ∴ A«,A«≠¡ (참) ㄷ. (반례) m=4, n=8이면 B¢={1, 2, 4}, B•={1, 2, 4, 8}이므로 B¢,B• ㄷ. 그런데 4는 8의 배수가 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②

19

{(A;B)'(A-B)};B=B HjK {(A;B)'(A;BÇ )};B=B HjK {A;(B'BÇ )};B=B HjK (A;U);B=B HjK A;B=B HjK B,A ㄱ. B,A (참) ㄴ. (반례) U={1, 2, 3, 4, 5}라 하고 A={1, 2, 3}, B={1, 2}라 하면 A-B={3}이므로 A-B+0 (거짓) ㄷ. A'BÇ =U (참) 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

20

ㄱ. A={1}일 때 S(A)=1,

A=U일 때 S(A)=15이므로 1…S(A)…15이다. (참) ㄴ. A'B=B이면 A,B이므로 S(A)…S(B)이다. (거짓) ㄷ. S(A;B)= =3, S(A'B)=15이므로 ㄷ. S(A)+S(B)=S(A'B)+S(A;B)=18 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④ S(U) 111₅

21

이과 학생의 총 수는 600-300-20=280이다. 물리를 듣는 학생의 집합을 A, 화학을 듣는 학생의 집합 을 B라 했을 때, 물리나 화학 중 적어도 한 과목을 듣는 학생의 수는 n(A'B)=280_0.9=252이고 물리를 듣는 학생의 수는 전체 이과 학생의 50 %인 n(A)=280_0.5=140이다. 따라서 화학만 듣는 학생의 수는 n(B)-n(A;B)=n(A'B)-n(A) =252-140=112 112

22

딸기와 사과는 좋아하지만 수박은 좋아하지 않 는 사람의 집합：A;B;CÇ ②와 ⑤는 위의 벤 다이어그램과 결과가 같지만 나머지 ①, ③, ④는 다음과 같다. ① (A'B)-C ③ (A△C);(B△C) ④ A△B△C 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. ②, ⑤ A B C A B C A B C A B C

(6)

23

바나나 우유를 좋아하는 사람의 집합을 A, 딸기 우유를 좋아하는 사람의 집합을 B라 하자. n(A;B)의 최댓값은 n(A)나 n(B)보다 클 수 없으 므로 최댓값 b는 90이다. 그리고 n(A'B)…200이어야 하므로 n(A;B)의 최솟값 a는 130+90-200=20이다. 따라서 a+b=110이다. 110

24

x는 자연수이므로 xæ1, 7-xæ1을 만족한다. ∴ 1…x…6 만약 x=1이 A의 원소라면 7-1=6도 A에 속해야 하 고, x=6이 A의 원소가 되려면 1도 A에 속해야 한다. 즉, 1과 6은 동시에 A에 속하거나 속하지 않아야 한다. 같은 원리로 2와 5, 3과 4도 동시에 A에 속하거나 속하 지 않아야 한다. 그러므로 집합 A는 {1, 6}, {2, 5}, {3, 4}의 세 집합을 넣느냐 마느냐에 따라 달라지게 된다. 따라서 집합 A의 개수는 a=2‹ -1=7 (∵ A+0) 그러면 집합 B={2, 3, 4, 5, 6, 7}이 되므로 집합 B의 진부분집합의 개수는 2ﬂ -1=63이다. 63

25

사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사 각형의 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려 보면 다음 그 림과 같다. 30개의 사다리꼴 중 7개는 평행사변형이 아니므로 평행사 변형은 23개이다. 즉, A：직사각형 모양의 집합, B：마름모 모양의 집합 일 때, n(A'B)가 23 이하이어야 한다. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)이고 n(A)æ10, n(B)=15이므로 n(A;B)가 2 이상일 때, n(A'B)가 23 이하가 될 수 있다. (단, A;B는 정사각형 모양의 집합) 따라서 정사각형 모양의 종이 수의 최솟값은 2이다. 2

26

A△B=(A-B)'(B-A)이므로 n(A△B)=n(A)+n(B)-2n(A;B)임을 알 수 있 다. 따라서 n(A)+n(B)-2n(A;B)=52 n(B)+n(C)-2n(B;C)=43 n(A)+n(C)-2n(A;C)=63 이고, 위의 세 식을 모두 더하면 2{n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) 2{-n(B;C)-n(A;C) }=158 ∴ n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) -n(B;C)-n(A;C)=79 yy㉠ 사다리꼴 평행사변형 직사각형 마름모 정사 각형 ○ ○ ○ ○ ○ × ○ × ○ × ○ ○ ○ × × × ○ × × × ○ {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 5, 6} {1, 3, 4, 6} {2, 3, 4, 5} {1, 6} {2, 5} {3, 4} {1, 6} {2, 5} {3, 4} A

(7)

수학Ⅱ

Ⅰ- 1. 집합

07

Ⅰ- 1. 집합 포제의 원리에 의하여 n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) =-n(B;C)-n(A;C)+n(A;B;C) HjK 110=79+n(A;B;C) (∵ ㉠) ∴ n(A;B;C)=31 31

27

ㄱ. A¡(3)={x|N(3, x)=1}이고 3과 4는 서 로소이므로 공약수의 개수가 1이다. ∴ 4<A¡(3) (참) ㄴ. A£(4)={x|N(4, x)=3}이고 4의 약수의 개수가 3 이므로 A£(4)는 4의 배수의 집합이다. ∴ n(A£(4))=25 (거짓) ㄷ. A™(a)={x|N(a, x)=2}이고 a가 소수이면 약수의 개수가 2이므로 A™(a)는 a의 배수의 집합이다. ㄷ. ∴ n(A™(a))=[ ] (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

28

A△B={x|-3…x<1 또는 3<x…5}에서 (A△B)△C={x|-3…x…-2 또는 1…x<2 또는 3<x…5} 그리고 (A△B)△C=A△(B△C)이므로 A△(B△C)도 위와 같다. ∴ (A△B)△C=A△(B△C) ={x|-3…x…-2 또는 1…x<2 또는 3<x…5 } 따라서 보기 중에서 공통 원소로 옳은 것은 ② 1이다. ② 100 11_a

29

조건 ㈎에서 A'X=X이므로 집합 A는 집합 X의 부분집합이다. 즉, A,X이다. 그러므로 집합 A의 두 원소 1과 2는 집합 X의 원소이다. 또, 두 집합 A와 B에서 A={1, 2}이고 B={2, 3, 5, 7} 이므로 B-A={3, 5, 7} 조건 ㈏에서 (B-A);X={5, 7}이므로 {3, 5, 7};X={5, 7} ∴ 5<X, 7<X, 3≤X 즉, 1, 2, 5, 7은 반드시 집합 X에 속해야 하고 3은 속하지 않아야 한다. 따라서 전체집합 U={x|1…x…12, x는 자연수}의 원소 의 개수는 12이므로 주어진 조건을 만족시키는 집합 X의 개수는 2⁄ ¤ —› —⁄ =2‡ =128 128

(8)

Ⅰ- 2. 명제 본문 356~363쪽 01② 02④ 03② 04⑤ 05③ 06 ;4(; 07 81 08②, ③ 09풀이 참조 10③ 11④ 12③ 13④ 14 16 15③ 16④ 17② 18④ 19③ 20② 21 72 22 ;5!; 23③ 24⑤ 25 22 26④ 27 1 28 32

0

1

① 3은 12의 약수이므로 참인 명제이다. ② 3x+4=7은 x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명 제가 아니다. ③ 마름모는 평행사변형이므로 참인 명제이다. ④ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180˘이므로 거짓인 명제 이다. ⑤ 0.H3은 무한소수이지만 유리수이므로 주어진 문장은 거 짓인 명제이다. ②

0

2

‘p이면 q이다.’가 거짓임을 보이는 원소는 P의 원소이면서 Q의 원소가 아닌 것이다. 따라서 반례가 속하는 집합은 ④ P;QÇ ④

0

3

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-1<x<3}, Q={x|x>a} 명제 p⁄ q가 참이 되려면 P,Q 이어야 하므로 오른쪽 그림에서 a…-1 따라서 a의 최댓값은 -1이다. ②

0

4

ㄱ. 역：x¤ =4이면 x=-2이다. (반례) x=2이면 x¤ =4이지만 x+-2이다. (거짓) ㄴ. 역：xy=0이면 x=0이다. (반례) x=1, y=0이면 xy=0이지만 x+0이다. (거짓) ㄷ. 역：x¤ -x-2<0이면 -1…x…2이다. (참) (∵ x¤ -x-2<0 HjK -1<x<2) ㄹ. 역：x=0이고 y=0이면 x¤ +y¤ =0이다. (참) 따라서 역이 참인 명제는 ㄷ, ㄹ이다. ⑤

0

5

rjjK ~q이므로 qjjK ~r 또한 pjjK q이므로 pjjK ~r ∴ rjjjjKK ~p ③

0

6

{x+;]!;}{ +y}=;4!;+xy+ +1 æ_{2æ≠xy_} _+;4%; =1+;4%;=;4(; 단, 등호는 xy= , 즉 (xy)¤ =;4!;일 때 성립한다. 따라서 최솟값은 ;4(;이다. ;4(; 1 122_4xy 1 122_4xy 1 122_4xy 1 12_4x x -1 a P Q 3

(9)

수학Ⅱ

Ⅰ- 2. 명제

09

Ⅰ- 2. 명제

0

7

주어진 명제의 부정은 ‘모든 실수 x에 대하여 x¤ -18x+kæ0’ 실수 전체의 집합에서 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x¤ -18x+kæ0이 성립하려면 이차방정식 x¤ -18x+k=0의 판별식 D가 D…0이어야 한다. 즉, =9¤ -k…0 ∴ kæ81 따라서 k의 최솟값은 81이다. 81

0

8

가능한 진리집합의 경우는 다음과 같이 여러 가 지가 있다. 따라서 항상 참인 명제는 ②, ③이다. ②, ③

0

9

대우‘두 자연수 a, b에 대하여 ab가 홀수이면 a¤ +b¤ 은 짝수이다.’가 참임을 보이면 된다. ab가 홀수이면 a, b가 모두 홀수이므로 a=2m-1, b=2n-1(m, n은 자연수)이라 하면 a¤ +b¤ =(2m-1)¤ +(2n-1)¤ a¤ +b¤=4m¤ -4m+1+4n¤ -4n+1 a¤ +b¤=2(2m¤ -2m+2n¤ -2n+1) 이므로 a¤ +b¤ 은 짝수이다. R P=Q Q R P R Q P Q R P D 12₄ 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참 이다. 풀이 참조

10

㈎에서 A¯B이고, ㈏에서 B의 모든 원소 x에 대하여 x는 C의 원소가 아니므로 B와 C는 서로소, 즉 B;C=0이므로 ①, ④, ⑤번은 답이 될 수 없다. ②번의 경우 A의 모든 원소가 B에 속하므로 ㈎를 만족 시키는 x는 존재하지 않는다. 따라서 벤 다이어그램 중 두 명제가 참이 되도록 하는 것은 ③ ③

11

'2 가 무리수가 아니라고 가정하자. 즉, '2 가 유 리수라고 가정하면 '2= (m, n은 서로소인 자연수) yy㉠ 꼴로 나타낼 수 있다. ㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 m¤ =2n¤ yy㉡ 여기서 이 2의 배수이므로 도 2의 배수이다. m=2k(k는 자연수)로 놓고 ㉡에 대입하여 정리하면 n¤ =2k¤ 이때, 이 2의 배수이므로 도 2의 배수이다. 즉, m, n이 모두 짝수이므로 라는 가 정에 모순이다. 따라서 '2는 무리수이다. ④ m, n이 서로소 n n¤ m m¤ m 12_n U C A B

(10)

15

p, q, r의 진리집합 P, Q, R 사이의 포함 관계 는 Q,P, R,P이다. 따라서 qjjK p이므로 q는 p이기 위한 충분조건이다. ③

16

A, B, C, D가 검출되는 것을 각각 조건 a, b, c, d로 나타내면 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ을 다음과 같이 표현할 수 있다. Ⅰ. cjjK ~a Ⅱ. ~cjjK ~d Ⅲ. bjjK a Ⅱ의 대우는 djjK c이고, Ⅲ의대우는 ~a jjK ~b이므로 djjK c jjK ~a jjK ~b 가 성립한다. 따라서 djjjjKK`~b임을 알 수 있다. ④

17

A가 빨강 모자를 쓰고 있다고 하면 Ⅰ에서 모순 이 발생한다. 또한 A가 초록 모자를 쓰고 있다고 하면 Ⅱ에서 모순이 발생하므로 A는 노랑 모자를 쓰고 있다는 것을 알 수 있 다. Ⅲ에서 노랑 모자를 쓴 사람, 즉 A는 항상 참만을 말 하므로 C가 초록 모자를 쓰고 있다. 그러면 B는 빨강 모자를 쓰고 있다. 따라서 A는 노랑 모자, B는 빨강 모자, C는 초록 모자를 쓰고 있다. ②

18

남녀 선생님이 한 명씩 짝을 지어 배정되었다는 점을 이용하여 각 조건을 차례대로 고려하면 된다. Ⅰ에서 A가 G와 같은 날의 감독일 경우 Ⅱ와 모순이 발 생하므로 A와 E가 같은 날의 감독이다. Ⅳ에서 A는 H

12

조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p 가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 되지 않으려면 Q,P, P+Q이어야 한다. ㄱ. P={-5, -1}, Q={-1}이므로 Q,P ㄴ. P={x|-1<x<1}, Q={x|x<1}이므로 P,Q ㄷ. P={(x, y)|x>y>0 또는 y<x<0}, Q={(x, y)|x>y>0}이므로 Q,P 따라서 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

13

조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x||x-1|<3}={x|-2<x<4}, Q={x|a-1…x…b+2} 이때, p가 q이기 위한 충분조건이므로 P,Q이다.

a-1…-2에서 a…-1이므로 a의 최댓값은 -1, b+2æ4에서 bæ2이므로 b의 최솟값은 2이다. 따라서 a의 최댓값과 b의 최솟값의 합은 1이다. ④

14

P={2, 3, 5, 7}이고 명제 ~p2⁄ q가 참이 되기 위해서는 PÇ ,Q이어야 한다. 따라서 {1, 4, 6, 8, 9, 10},Q,U를 만족시키는 집합 Q의 개수는 2⁄ ‚ —ﬂ =2› =16 16 x -2 a-1 P Q 4 b+2

(11)

수학Ⅱ

Ⅰ- 2. 명제

11

Ⅰ- 2. 명제 와 같은 날의 감독일 수 없으므로 H와 D가 같은 날의 감 독이다. 따라서 ④ D, H는 같은 요일의 감독이라고 추측할 수 있 다. ④

19

A：수학이 90점 이상, B：영어가 80점 이상, C：물리가 40점 이상, D：수학이 80점 이상, E：국어가 90점 이상, F：영어가 70점 이상 인 학생의 집합이라고 하자. 조건Ⅰ에서 A,B, 조건Ⅱ에서 CÇ ,DÇ , 조건 Ⅲ에서 EÇ ,FÇ 가 되고, 수학이 90점 이상이면 당 연히 수학은 80점 이상이므로 A,D, 영어가 80점 이상 이면 당연히 영어는 70점 이상이므로 B,F이다. ∴ A,D,C, A,B,F,E 주어진 보기들은 ① E,D ② B,C ③ A,E ④ BÇ ,D ⑤ A,CÇ 를 나타내므로 옳은 것은 ③이다. ③

20

㈎~㈑의 사실로부터 몇 가지 가능한 경우를 생 각하여 적절한 것을 찾으면 된다. 가능한 네 가지의 경우에서 B는 항상 2급에 포함되는 것 을 알 수 있다. 따라서 B는 2급에 합격하였다. ②

21

직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 x, y라 하 면 넓이는 xy이고 대각선의 길이는 12이므로 "√x¤ +y¤ =12 ∴ x¤ +y¤ =144 x¤ >0, y¤ >0이므로

x¤ +y¤ æ2"√x¤ ¥y¤ =2xy HjK 144æ2xy HjK xy…72 단, 등호는 x=y일 때 성립한다. 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 72이다. 72

22

코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ )(1¤ +1¤ +1¤ +1¤ +1¤ ) æ(a+b+c+d+e)¤ 이므로 양변을 5로 나누면

(a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ )æ (a+b+c+d+e)¤

이것은 절대부등식이므로 보다 작은 n에 대해서도 항 상 성립한다. 따라서 실수 n의 최댓값은 이다. ;5!;

23

pjjK q이므로 P,Q yy`㉠ ~pjjK q이므로 PÇ ,Q yy`㉡ ~rjjK p이므로 RÇ ,P yy`㉢ ㉠, ㉡에서 P'PÇ ,Q이므로 U=Q yy`㉣㉠, ㉢에서 RÇ ,P,Q ㄱ. ㉡에서 PÇ ,Q이다. (참) ㄴ. (반례) P={1, 2}, R={2, 3}, Q={1, 2, 3}일 때, ㄴ. R-PÇ =R;P={2}+0 (거짓) ㄷ. ㉣에서 RÇ 'PÇ ,Q이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③ 1 1 1₅ 1 1₅ 1 1₅ 1급 2급 3급 A B, D C C A, B D C B, D A D A, B C

(12)

24

조건 p : |a|+|b|=0 HjK a=b=0 조건 q : a¤ -2ab+b¤ =0 HjK (a-b)¤ =0

조건 q : a¤ -2ab+b¤ =0 HjK a=b

조건 r : |a+b|=|a-b| HjK |a+b|¤ =|a-b|¤ HjK ab=0

조건 q : a¤ -2ab+b¤ =0 HjK a=0 또는 b=0

ㄱ. p는 q이기 위한 충분조건이다. (참) ㄴ. ~p : a+0 또는 b+0 ㄴ. ~r : a+0 이고 b+0 이므로 ~p는 ~r이기 위한 필요조건이다. (참) ㄷ. q이고 r이면 a=b=0이므로 ㄴ. q이고 r은 p이기 위한 필요충분조건이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

25

(x+y)(y+z)=xy+xz+y¤ +yz =y(x+y+z)+xz æ_{2'ƒxyz(ƒx+y∂+ßzå)=22} 단, 등호는 y(x+y+z)=xz일 때 성립한다. 따라서 (x+y)(y+z)의 최솟값은 22이다. 22

26

㈎ p가 참이거나 ~q가 참, 즉 q가 거짓일 때 이다. ㈏ p가 거짓이고 ~q가 거짓, 즉 q가 참이므로 p∨~q는 거짓이다. 즉, 이다. ㈐ 모든 가능한 p, q의 진릿값에 대하여 두 명제의 진릿값 이 일치하므로 . 즉, 두 명제는 동치이다. ∴ ㈎ 참 ㈏ F ㈐ 같다 ④ 같다 F 참

27

점 P의 좌표를 P{a, }이라 하면 OQPR의 넓이는 이 된다. 그런데 OQPR의 둘레의 길이가 4로 일정하므로 2=a+ æ_2æa¥– _{— =2æ} ∴ …1 단, 등호는 a= 일 때 성립한다. 따라서 OQPR의 최대 넓이는 1이다. 1

28

x¤ +4xy=k라 하면 y= - x 이것을 x¤ +y¤ =4에 대입하여 정리하면 x¤ +{ - + _{x¤ }=4} 4+ k= x¤ + x¤ + æ2æ ≠ x¤ _≠ ≠ = k 4+ kæ k ∴ k…32 단, 등호는 x= , y= 일 때 성립한다. 따라서1215x¤ +4xy의 최댓값은 32이다. 32 2 2 11 '1å7 8 11 '1å7 17 12₁₆ 15 12₁₆ 17 12₁₆ k¤ 114_16x¤ 289 11₆₄ k¤ 114_16x¤ 289 11₆₄ k¤ 114_16x¤ 289 11₆₄ 15 12₁₆ 225 11₆₄ 15k 11₁₆ k¤ 114_16x¤ 15 12₈ k 12_4x 15 12₂ 1 13_a¤ 1 1_a 1 1_a 1 13_a¤ 1 13_a¤ 1 1_a 1 13_a¤ y=f{x} 1 a@ x y O R Q {a, } P

(13)

13

Ⅱ- 1. 함수 Ⅱ- 1. 함수 본문 364~370쪽 01ㄷ 02 {3, 5, 7, 13, 19, 37} 03ㄱ, ㄷ 04⑤ 05 13+ 06 -6x-5 07 -4 08 0 09 h(x)=;4!;x+2 10 3« x+n 11③ 12④ 13 -2 14② 15 24 16 3 17 -4<a<0 18 490 19⑤ 20① 21 25 22② 23④ 24 ;3$; 25① 26ㄱ, ㄴ 27 134 '6 144₂

Ⅱ. 함수

S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST

수학Ⅱ

0

1

ㄱ. 집합 X의 원소 3에 대응하는 집합 Y의 원소가 없으므로 함수가 아니다. ㄴ. 집합 X의 원소 1에 대응하는 집합 Y의 원소가 a, c로 두 개이므로 함수가 아니다. ㄷ. 집합 X의 각 원소에 대하여 12⁄c, 2 2⁄d, 3 2⁄a와 같이집합Y의원소가하나씩만대응하므로함수이다. 따라서 함수인 것은 ㄷ이다. ㄷ

0

2

18의 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로 f(1)=2_1+1=3 f(2)=2_2+1=5 f(3)=2_3+1=7 f(6)=2_6+1=13 f(9)=2_9+1=19 f(18)=2_18+1=37 따라서 구하는 치역은 {3, 5, 7, 13, 19, 37}이다. {3, 5, 7, 13, 19, 37}

0

3

y축에 평행한 직선과 두 점 이상에서 만나는 것은 함수의 그래프가 아니므로 다음과 같이 ㄴ, ㄹ은 함수의 그래프가 아니다. ㄴ. ㄹ. 따라서 함수의 그래프인 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ

0

4

함수 f(x)=ax+1은 실수 전체의 집합 R에서 R 로의 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다. y=ax+1에서 x를 y에 대한 식으로 나타내면 ax=y-1 ∴ x= 이때, x와 y를 바꾸면 y= , 즉 f—⁄ (x)= ∴ a=3 ⑤

0

5

g(-x+9)=f(2x+8)에 의해서 x=4일 때 g(5)=f(16)이고, x=-1일 때 g(10)=f(6)이므로 f(16)=₁₁₁₁₁'1å6+|16|=10 2 x-1 1444444_a x-1 1444444_a y-1 1444444_a O x y O x y

(14)

f(6)= =3+ ∴g(5)+g(10)=f(16)+f(6) =13+ 13+

0

6

=t로 치환하면 x+4=3t HjK x=3t-4 f { }=4x+8에서 f(t)=4(3t-4)+8 =12t-8 ∴ f { }=12_ -8 =3(1-2x)-8 =-6x-5 -6x-5

0

7

x¤ -7x-8=-11x+13 x¤ +4x-21=0 (x+7)(x-3)=0 ∴ x=-7 또는 x=3 따라서 구하는 원소의 합은 -7+3=-4 -4

0

8

fΩg=gΩf이므로 f(g(x))=g(f(x)) 3(x+k)+9=(3x+9)+k 2k=0 ∴ k=0 0 1-2x 1115₄ 1-2x 1115₄ x+4 1125₃ x+4 1125₃ '6 12₂ '6 1 122₂ '6 12₂ '6+|6| 11115₂

0

9

두 함수 f(x)=7x+29,g(x)=4x-8에 대 하여 (hΩgΩf)(x)=h(g(f(x)))=f(x) HjK g(f(x))=h—⁄ (f(x)) 이므로 h(x)와g(x)는 역함수 관계이다. 이때,g(x)=4x-8에서 g(x)+8=4x HjK x= g(x)+2 ∴ h(x)= x+2(∵ h=g—⁄ ) h(x)= x+2

10

fΩf=f¤ 이라 하면 f : x 2⁄ x+1이므로 f(x)=x+1, f¤ (x)=(x+1)+1=x+2, f ‹ (x)=(x+2)+1=x+3, y ∴ f« (x)=x+n 또, h：x 2⁄ 3x이므로 h(x)=3x, h¤ (x)=3(3x)=3¤ x, h‹ (x)=3(3¤ x)=3‹ x, y ∴ h« (x)=3« x ∴ (fΩfΩyΩfΩhΩhΩyΩh)(x) ∴=f « (h« (x)) ∴=3« x+n 3« x+n

11

y=f(x)에서 점 (1, 2), (3, 3)을 생각해 보면 y=( fΩf )(1)=f( f(1))=f(2)>2 y=( fΩf )(3)=f( f(3))=f(3)=3 즉, f(x)의 함숫값을 다시 f(x)에 넣으면 조금씩 그 함숫 값이 커지는 것을 알 수 있다. 따라서 구하는 그래프는 점 (1, f(2))(2<f(2)<3)를 지나는 그래프이므로 ③이다. ③ 1 1₄ 1 1 1₄ 1 1₄ n개 n개

(15)

15

Ⅱ- 1. 함수

수학Ⅱ

Ⅱ- 1. 함수

12

f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=1이므로 f › (1)=f( f( f( f(1))))=f( f( f(2)))=f( f(3)) =f(4)=1 f › (2)=f( f( f( f(2))))=f( f( f(3)))=f( f(4)) =f(1)=2 f › (3)=f( f( f( f(3))))=f( f( f(4)))=f( f(1)) =f(2)=3 f › (4)=f( f( f( f(4))))=f( f( f(1)))=f( f(2)) =f(3)=4 ∴ f › (x)=x 즉, f › =I(항등함수)이므로 f ¤ ‚ ⁄ ¤ (2)=f ›_ ﬁ ‚ ‹(2)=I(2)=2 f ¤ ‚ ⁄ ¤ (3)=f( f ¤ ‚ ⁄ ¤ (3))=f(I(3))=f(3)=4 ∴ f ¤ ‚ ⁄ ¤ (2)+ f ¤ ‚ ⁄ ‹ (3)=2+4=6 ④

13

x=2일 때 f(3g(2)+4)=2이고 g(x)=f —⁄ (x)이므로 g(f(3g(2)+4))=g(2) 3 g(2)+4=g(2) 2 g(2)=-4 ∴g(2)=-2 -2

14

( fΩg—⁄ )(1)=f( g—⁄ (1)) =f(2)(∵ g(2)=1) =3 (gΩf)—⁄ (4)=( f—⁄ Ωg—⁄ )(4) =f—⁄ (g—⁄ (4)) =f—⁄ (3)(∵ g(3)=4) =2(∵ f(2)=3) ∴ ( fΩg—⁄ )(1)+(gΩf)—⁄ (4)=3+2=5 ②

15

함수 f의 역함수가 존재하면 f는 일대일 대응이 된다. X={a, b, c, d}, Y={1, 2, 3, 4}에서 원소 a가 대응될 수 있는 Y의 원소는 4가지, 원소 b가 대응될 수 있는 Y의 원소는 a에 대응된 원소를 제외한 3가지, 원소 c가 대응될 수 있는 Y의 원소는 a, b에 대응된 원소를 제 외한 2가지, 원소 d가 대응될 수 있는 Y의 원소는 나머 지 1가지이다. ∴ 4_3_2_1=24 24

16

( f —⁄ Ωg)(12)=f —⁄ (g(12)) =f —⁄ (13) (∵ g(12)=13) f —⁄ (13)=k라고 하면 f(k)=13이므로 ⁄k<0일 경우 f(k)=k+4=13 ∴ k=9 그러나 k<0이므로 만족하는 k는 존재하지 않는다. ¤kæ0일 경우 f(k)=k¤ +4=13, k¤ =9 ∴ k=3(∵kæ0) ⁄, ¤에 의해 ( f —⁄ Ωg)(12)=3 3

17

f(x)=(a¤ +4a)x에서 a¤ +4a는 xæ0에서 직선 y=f(x)의 기울기이다.

이때, x<0에서 f(x)=-x의 함숫값이 양의 실수이므 로 기울기 a¤ +4a가 0보다 크면 실수 전체의 집합에서 f(x)는 일대일 대응이 되지 않는다.

따라서 a¤ +4a<0이므로

(16)

18

함수 y=x¤ -6x (xæ3)의 그래프가 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가하므로 그 역함수 y=f—⁄ (x)의 그래프와의 교점은 함수 y=x¤ -6x (xæ3)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다. 이때, 함수 y=x¤ -6x의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하면 x¤ -6x=x HjK x¤ -7x=0 HjK x(x-7)=0 ∴ x=0 또는 x=7 그런데 xæ3이므로 x=7이다. 따라서 a=b=7이므로 10ab=490 490

19

( fΩf )(x)=x HjK f(x)=f —⁄ (x) 즉, f(x)는 자기 자신이 자신의 역함수라는 뜻이다. 따라서 보기의 그래프 중에서 직선 y=x에 대하여 대칭인 그래프를 찾으면 ⑤이다. ⑤

20

그림에서 f(c)=b이므로 g—⁄ ( f(c))=g—⁄ (b) 이때, g—⁄ (b)=k라 하면 g(k)=b이고 그림에서 g(a)=b이므로 k=a이다. ∴g—⁄ ( f(c))=g—⁄ (b)=a ① a a b c b c O x y y=f{x} y=x y=g{x}

21

함수 f : A 22⁄ A가 모든 원소 x(<A)에 대하여 f(-x)=-f(x)를 만족하므로 f(-2)=-f(2) f(-1)=-f(1) f(0)=-f(0) HjK f(0)=0 즉, f(-2), f(-1)의 값만 정해지면 f(2), f(1)의 값 은 자동으로 정해진다. f(x)<A이므로 f(-2)가 될 수 있는 값은 -2, -1, 0, 1, 2로 5가지이 고 f(-1)이 될 수 있는 값도 -2, -1, 0, 1, 2로 5가 지이다. 따라서 구하는 함수 f의 개수는 5_5=25 25

22

x의 값이 커질수록 소금물의 농도는 점점 높아 지지만 결코 72%보다 높은 농도의 소금물이 될 수는 없 다. 따라서 y=72를 점근선으로 하고 계속 증가하는 그래 프는 ②이다. ②

23

0…2x…2이므로 다음과 같이 나누어 계산할 수 있다. ⁄0…2x< 인 경우, ⁄0- <0…2x<0+ 이므로 < 2x>=0 ⁄ ∴ f(x)=|2x-0|=2x ¤ …2x<1인 경우, ⁄1- …2x<1+11이므로 < 2x>=1 2 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂

(17)

17

Ⅱ- 1. 함수

수학Ⅱ

Ⅱ- 1. 함수

내신・모의고사 대비 TEST ⁄ ∴ f(x)=|2x-1|=1-2x ‹1…2x< 인 경우, ⁄1- …2x<1+ 이므로 < 2x>=1 ⁄ ∴ f(x)=|2x-1|=2x-1 › …2x…2인 경우, ⁄2- …2x…2<2+ 이므로 < 2x>=2 ⁄ ∴ f(x)=|2x-2|=2-2x ⁄~›에 의하여 함수 f(x)의 그래프의 개형은 ④이다. ④

24

집합 X에서 X로의 함수이므로 함수 f(x)=ax-2a+4의 함숫값은 0<f(x)<8을 만족한 다. 한편, f(x)=ax-2a+4=a(x-2)+4이므로 이 그래프는 항상 점 (2, 4)를 지난다. 즉, f(x)가 함수가 되도록 하는 a의 최댓값은 y=f(x) 의 그래프가 점 (8, 8)을 지날 때이므로 f(8)=6a+4=8 ∴ a= a의 최솟값은 y=f(x)의 그래프가 점 (8, 0)을 지날 때 이므로 f(8)=6a+4=0 ∴ a=-12₃ 2 1₃ x y O 8 4 2 8 4 y=a{x-2}+4 1 1₂ 1 1₂ 3 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 3 1₂ 따라서 구하는 a의 최댓값과 최솟값의 차는 -{- }=

25

ㄱ. f(12)=f(3_4)=f(3_2_2) =f(3)+ f(2)+ f(2) =3+2+2=7 (참) ㄴ. f(27)=f(3)+f(3)+f(3) =3+3+3=9 (거짓) ㄷ. f(pμ q« )=f(p)+f(p)+y +f(p) =+f(q)+f(q)+ y +f(q) =mp+nq (∵ p, q는 소수) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①

26

f(x)= 에서 ㄱ. f(a)…0이므로 항상 f(f(a))æ1이고, f(b)æ2이 므로 항상 f(f(b))…-1이다. ∴ (fΩf)(a)>(fΩf)(b) (참) ㄴ. fΩf=f ¤ , fΩfΩf=f ‹ , y 이라고 정의할 때 f(1)=0, f ¤ (1)=f(0)=1, f ‹ (1)=f(1)=0, y ∴ f ¤ « (1)=1 f(-1)=2, f ¤ (-1)=f(2)=-1, f ‹ (-1)=f(-1)=2, y ∴ f ¤ « ±⁄ (-1)=2 ∴ (fΩyΩf)(1)+(fΩyΩf)(-1)=3 (참) 1-x (xæ0) g_{x¤ +1 (x<0)} 4 1₃ 4 1 1₃ 2 1₃ 2 1₃ m개 n개 2n개 (2n+1)개

(18)

ㄷ. (반례) x=3인 경우 ( fΩf )(3)=f( f (3))=f(-2)=5 이므로 (fΩf)(x)=x가 성립하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ

27

f(1)=1 f(2)=f(1)=1 f(3)=f(1)+1=2 f(4)=f(2)=f(1)=1 f(5)=f(2)+1=f(1)+1=2 f(6)=f(3)=f(1)+1=2 f(7)=f(3)+1=f(1)+1+1=3 f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=1 f(9)=f(4)+1=f(2)+1=f(1)+1=2 f(10)=f(5)=f(2)+1=f(1)+1=2 ⋮ f(128)=f(64)=f(32)=f(16) =f(8)=f(4)=f(2) =f(1)=1 1…n…128인 n에서 f(1)=1 f(3)=f(1)+1=2 f(7)=f(3)+1=3 f(15)=f(7)+1=4 f(31)=f(15)+1=5 f(63)=f(31)+1=6 f(127)=f(63)+1 =f(31)+1+1 =f(15)+1+1+1 =f(7)+1+1+1+1 =f(3)+1+1+1+1+1 =f(1)+1+1+1+1+1+1 =7 f(n)은 n=127일 때 최댓값 7을 갖는다. ∴ a+M=127+7=134 134

(19)

19

Ⅱ- 2. 유리식과 유리함수

수학Ⅱ

Ⅱ- 2. 유리식과 유리함수

내신・모의고사 대비 TEST Ⅱ- 2. 유리식과 유리함수 본문 371~376쪽 01~05풀이 참조 06⑴ - ⑵ 07 y= +3 08 a=2, b=1 09⑴ 4…y…7 ⑵ -1…x…0 10㉠=1, ㉡=2 11_{⑴ x=1, y=1 ⑵ x=-;2!;, y=1} 12 3+2'2 13풀이 참조 14 x=15, y=6 15 4 16 -17⑴ —'5 ⑵ —8'5 ⑶ 47 18⑴ 3 ⑵ -6 19 7 20① 21제`1`사분면 22 -9 23 ;3%; 24 ;1¡0; 25 f —⁄ (x)= {1<x<;3%;} 26 27 '2-1 28 2 29 :£4£: '2 134₈ x+1 1344444_x-1 24 13₂₅ 1 1444444_x-2 29 122₁₀₆ 1 1₅

0

1

⑴ ⑵

0

2

⑴ ⑵ ⑶11111111125_{(x+3)(x-3)(x-4)}-x¤ +13x-1 3x+1 11111111125_{(x+1)(x-1)(x-4)} 2bc-3ca-4ab 11111123_abc x+4 121_x-4 2acd 121_b

0

3

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 1

0

4

⑴ ⑵ ⑶ - {= } ⑷

0

5

⑴ -1 ⑵

0

6

x=2k, y=3k, z=4k (k=1, 2, y) 로 놓고 각각을 대입하여 식의 결과를 알아보자. ⑴ = =- =-⑵ = = ⑴ - ⑵

0

8

y=- 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=- +2= ∴ a=2, b=1 a=2, b=1 2x-4 111_x-1 2 113_x-1 2 1_x 29 122₁₀₆ 1 1₅ 29 1 1223344₁₀₆ 4k¤ +9k¤ +16k¤ 11111112_{6k¤ +36k¤ +64k¤} x¤ +y¤ +z¤ 1111115_xy+3yz+4z¤ 1 1 1₅ 5k 122_25k 4k-9k 1111115_4k+9k+12k 2x-3y 111112_2x+3y+3z 1 1212_2x+1 1 1₃ 3 51111_x(x+3) 1 112_x+3 1 1_x 6 32111111111111_{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)} -6x 32111111111111_{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} x-6 1125_x-3 (x-1)(x+1) 11111125_(x-4)(x-7) 1 11111125_(x-1)(x-5)

(20)

0

9

⑴ y= HjK x= +1이므로 2… +1…5 ∴ 4…y…7 ⑵ y= =3+ 이므로 -1…3+ …1 ∴ -1…x…0 ⑴ 4…y…7 ⑵ -1…x…0

10

y= =2+ =㉡+ ∴ ㉠=1, ㉡=2 ㉠=1, ㉡=2

11

⑴ y= =1+ ∴ x=1, y=1 ⑵ y= =1+ ∴ x=- , y=1 ⑴ x=1, y=1 ⑵ x=- , y=1

12

주어진 식을 정리하면 = 이고, 주어진 x=-1+'2를 대입하면 = = _=3+2'2 3+2'2 1 1112_3-2'2 2 1112_6-4'2 ('2 )¤ 11114_('2-2)¤ (x+1)¤ 11123_(x-1)¤ 2x 1123+1_1+x¤ 11111_2x 1-1123 1+x¤ 1 1₂ 1 1 1₂ 1 11234₁ x+1 2 2x+3 111_2x+1 -2 113_x-1 x-3 113_x-1 1 111_x-㉠ 1 113_x-1 2x-1 111_x-1 4 113_x-1 4 113_x-1 3x+1 111_x-1 4 113_y-3 4 113_y-3 3x+1 111_x-1

13

⑴ + =x-3+ -x+3-= = ⑵ -= = = = = ⑶ _ _ _ _ = = ⑷ 부분분수의 변형을 이용하여 계산하면 - + + = + + = - + - + -= -= =11111111131112222 (x-1)(x+2) x+2-x+1 11111134_(x-1)(x+2) 1 112_x+2 1 112_x-1 1 113_x+1 1 1_x 1 113_x+2 1 113_x+1 1 1_x 1 113_x-1 1 111234_x(x+1) 1 11111134_(x+1)(x+2) 1 111234_x(x-1) 1 1123_{x¤ +x} 1 111132_{x¤ +3x+2} 1 1123_x-x¤ 1 1 11_y(x-1)1111133 a‹ bx¤ y(x-2)(a-2)(a-3) 11111111111111134_{a‹ bx¤ y¤ (x-1)(x-2)(a-2)(a-3)}

a 112_a-3 a¤ -5a+6 111122_{x¤ -3x+2} x-2 112_a-2 x¤ y 123_{a‹ b} a¤ b 1124_(xy)¤ 1 1 11_x+113333 (x-1)(x¤ -x+1) 1111111111134_{(x+1)(x-1)(x¤ -x+1)} x‹ -2x¤ +2x-1 1111111111134_{(x+1)(x-1)(x¤ -x+1)} x‹ -x¤ +x-1-x¤ +x 1111111111134_{(x+1)(x-1)(x¤ -x+1)} (x¤ +1)(x-1)-{(x¤ -x-2)+2} 111111111111111_{(x+1)(x-1)(x¤ -x+1)} (x-2)(x+1)+2 1111111132_{(x¤ -1)(x¤ -x+1)} x¤ +1 1123_{x‹ +1} 8 1 11_(x+2)(x+3)11111111111 8(x+3)-8(x+2) 1111111133_(x+2)(x+3) 8 112_x+3 8 112_x+2 1-x¤ 1123_x+3 x¤ -x+2 11112_x+2

(21)

21 수학Ⅱ

Ⅱ- 2. 유리식과 유리함수

내신・모의고사 대비 TEST ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

14

x : y=5 : 2를 이용하여 x=5k, y=2k (k+0) 라고 하면 = = 이고, 이 값이 -1이 되려면 =-1 14k-20k¤ +16k+10k¤ =0 30k-10k¤ =0 ∴ k=3 (∵ k+0) 따라서 x=15, y=6이다. x=15, y=6

15

x : y=4 : k를 이용하여 x=4m, y=km (m+0) 이라고 하면 = = 이고, 이 값이 이 되려면 = k¤ -7k+12=0, (k-3)(k-4)=0 ∴ k=3 또는 k=4 따라서 k의 값 중 가장 큰 값은 4이다. 4 3 1₇ 3k 1113_12+k¤ 3 1₇ 3k 1112_12+k¤ 12km¤ 11111234_{48m¤ +4k¤ m¤} 3xy 111234_{3x¤ +4y¤} 14k-20k¤ 111123_16k+10k¤ 14k-20k¤ 111123_16k+10k¤ 20k-6k-20k¤ 1111111_10k+6k+10k¤ 4x-3y-2xy 1111114_2x+3y+xy 3 11111134_(x-1)(x+2) 1 111234_y(x-1) 1 112_x+1 8 11111134_(x+2)(x+3)

16

=-4에서 3x+7y=-4x+8y ∴ y=7x ∴ = = = = =-=-

-17

⑴ {x- }2 ={x+ }2 -4=3¤ -4=5 ∴ x- =—'5 ⑵ x‹ - ={x- } {x¤ +1+ } ={x- }[{x+ }2 -1] =—'5¥(9-1) =—8'5 ⑶ x¤ + ={x+ }2 -2=9-2=7 ⑶ ∴ x› + ={x¤ + }2 -2 =49-2=47 ⑴ —'5 ⑵ —8'5 ⑶ 47 1 14_x¤ 1 14_x› 1 1_x 1 14_x¤ 1 1_x 1 1_x 1 14_x¤ 1 1_x 1 14_x‹ 1 1_x 1 1_x 1 1_x 24 12₂₅ 24 1 122₂₅ 48x 11_50x x-7(7x) 111124_x+7(7x) x-7y 1115_x+7y 1 7 1-1_y _x 11125₁ ₇ 1+1_y _x 1 7(x+1) 1-11115_y _x(x+1) 11111123₁ ₇ 1+1_y _x 1 7x+7 1-111_y _{x¤ +x} 1111123₁ ₇ 1+1_y _x 3x+7y 1112_x-2y

(22)

18

⑴ 분자, 분모 모두 이차식이므로 분자 (x-2)(x-1)=x¤ -3x+2가 분모로 나누어떨어져 야 주어진 식이 다항식이 된다. 따라서 a=3이다. ⑵ + = = 이 식이 다항식이어야 하므로 분자는 분모로 나누어떨 어져야 한다. 즉, 분모를 f(x)라 하면 f(2)=0, f(-3)=0 f(2)=4(2a+5)+2(a-1)+42=0 10a+60=0 ∴ a=-6 f(-3)=9(2a+5)-3(a-1)+42=0 15a+90=0 ∴ a=-6 ⑴ 3 ⑵ -6

19

주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=1, y=1이므로 주어진 함수는 f(x)=1+ (단, d+0) 이때, 주어진 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로 5=1+ ∴ d=-4 따라서 f(x)=1+ = 이므로 a=1, b=-5, c=-1 ∴ a-b-c=1+5+1=7 7

20

y=a+112_x+b1 꼴로 나타내면 x-5 112_x-1 -4 112_x-1 d 112_0-1 d 112_x-1 (2a+5)x¤ +(a-1)x+42 1123333333112333333333333_(x-2)(x+3) (x+3)(x¤ +ax+8)-(x-2)(x¤ -ax+9) 11233333331123333333112333333311233333_(x-2)(x+3) x¤ -ax+9 1123333333_x+3 x¤ +ax+8 1123333333_x-2 ① y=1+ ② y= + ③ y=1- =1+ ④ y=1+ ⑤ y=-1+ 따라서 평행이동하여 y= 의 그래프와 겹쳐지는 것은 ①이다. ①

21

함수 y= =-2+ 의 그래프는 x=-1, y=-2를 점근선으로 가지는 분수함수의 그래 프로 좌표축과 {-;2!;, 0}, (0, -1)과 만나므로 다음 그 림과 같이 나타낼 수 있다. 따라서 제1 사분면에는 함수의 그래프가 지나지 않는다. 제1사분면

22

점근선의 방정식이 x=3, y=-1이므로 y=112_x-3d -1 (d+0)의 꼴로 나타낼 수 있다. x y O -2 -1 -1 y=-2+_x+11 1 112_x+1 -2x-1 1111_x+1 1 1_x -3 112_x-1 2 112_x-1 2 -1 3 111₄ x+1 3 2 111_3x+4 1 -1 4 111₁ x+1 2 1 1₂ 1 112_x-1

(23)

23 수학Ⅱ

Ⅱ- 2. 유리식과 유리함수

내신・모의고사 대비 TEST 이때, 주어진 함수의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로 -1=2 ∴ d=-6 따라서 y= -1= 이므로 a=-1, b=-3, c=-3 ∴ abc=-9 -9

23

함수 f(x)의 그래프가 점 (-1, 2)에 대하여 대칭이므로 점근선의 방정식은 x=-1, y=2이다. 즉, y= +q (k+0)꼴로 나타내면 y= +2= = ∴ a=2, b=1 따라서 f(x)= 이므로 f(2)= =

24

두 직선 y=mx+1, y=nx+1은 m, n의 값 에 관계없이 점 (0, 1)을 지난다. …x…4에서 부등식 mx+1… …nx+1을 만 족시키려면 직선 y=nx+1의 기울기는 점 { , 3}을 지 날때 최소가 되고, 직선 y=mx+1의 기울기는 점 {4, } 을 지날 때 최대가 된다. 3 1₂ 5 1₂ x-1 112_x-2 5 1₂ 5 1₃ 5 1 1₃ 4+1 112₂₊₁ 2x+1 11234_x+1 ax+1 11234_x+b 2x+k+2 111125_x+1 k 112_x+1 k 112_x-p -x-3 11135_x-3 -6 112_x-3 d 1145_1-3 따라서 m의 최댓값은 이고, n의 최솟값은 이므로 _ =

25

=t 라고 하면 x+4=tx-4t (1-t)x=-4t-4 ∴ x= 즉, f(t)= _ = 이므로 f(x)= _{{x>4, 1<y<} _} f(x)=y라 하면 y= _{{x>4, 1<y<} _} y(x-1)=x+1 ∴ x= {x>4, 1<y< } x와 y를 서로 바꾸면 y= {1<x< , y>4} ∴ f —⁄ (x)= {1<x< } f —⁄ (x)= _{1<x<15_} 3 x+1 112_x-1 5 1 1₃ x+1 1 11_x-112255 5 1₃ x+1 112_x-1 5 1₃ y+1 112_y-1 5 1₃ x+1 112_x-1 5 1₃ x+1 112_x-1 t+1 113_t-1 4(t+1) 11123_t-1 1 1₄ 4(t+1) 11123_t-1 x+4 112_x-4 1 13₁₀ 1 1 122₁₀ 4 1₅ 1 1₈ 4 1₅ 1 1₈ x y y=nx+1 y=mx+1 y= O 5 4 2 x-1 x-2 3 3 2 1

(24)

26

1+ -= -= -= -= -= = a="1√+'3Ωå2이므로 = =

27

+ + + -1 = + + + -= + + + = - + + - + {∵ = - } = + = a= _{(1+'2)를 대입하면} =1111343 _='2-1 _{'2 -1} 3(1+'2) 3 12_4a 3 1₄ 3 12_4a 1 13_4a 1 13_2a 1 1_B 1 1_A B-A 11235_AB 1 1133_{a¤ +4} 1 1133_{a¤ +4} 1 13_4a 1 1133_{a¤ +1} 1 1133_1+a¤ 1 13_2a 1 1133_{a¤ +4} (a-2)¤ 111125_{4a(a¤ +4)} 1 1133_{a¤ +1} (a-1)¤ 111125_{2a(1+a¤ )} a¤ +4 1133_{a¤ +4} a¤ +5 1133_{a¤ +4} (a-2)¤ 111125_{4a(a¤ +4)} 1 1133_{a¤ +1} (a-1)¤ 111125_{2a(1+a¤ )} a¤ +5 1111123_{(a+2)¤ -4a} (a-2)¤ 11114_{4a‹ +16a} 1 1133_{a¤ +1} a¤ -2a+1 111125_2a+2a‹ '2 12₈ '2 1 122₈ 1 122 '3å2 1 1111111 ("1√+'3Ωå2 )¤ -1 1 1132_{a¤ -1} a¤ +a+1-a¤ -a 111111125_(a-1)(a+1) a(a+1) 11111125_(a-1)(a+1) a¤ +a+1 1111112_(a-1)(a+1) a 112_a-1 a¤ +a+1 1111112_(a-1)(a+1) a(a¤ +a+1) 111111113_{(a-1)(a¤ +a+1)} a¤ +a+1 1111112_(a-1)(a+1) a(a¤ +a+1) 1111122_{a‹ -1} a¤ +a+1 11113_{a¤ -1} a{(a+2)¤ -3(1+a)} 1111111112_{a‹ -1} a+2 1132_{a¤ -1}

28

집합 BÇ 의 영역은 xy…0, 즉 제2, 4사분면의 영역을 나타내므로 집합 A;BÇ 의 영역을 나타내면 다음 그림과 같다. 이때, xy=k HjK y= (x+0) 라 하면 집합 A;BÇ 을 만족시키는 k는 0보다 작거나 같 으므로 y= (x+0, k…0)의 그래프와 집합 A;BÇ 의 영역의 경계선이 접할 때 k는 최소가 된다. 또, y= 의 그래프는 직선 y=-x에 대하여 대칭이다. 이로부터 교점을 구하기 위해 먼저 제2사분면에서 집합 A;B Ç 의 영역의 경계선의 식인 (x+1)¤ +(y-1)¤ =4 와 y=-x를 연립하면 (x+1)¤ +(-x-1)¤ =4 x¤ +2x-1=0 ∴ x=-1—'2 구하는 접점의 좌표는 제2사분면의 점이므로 (-'2-1, '2+1) 이 접점을 지날 때 k는 최소가 되므로 k=xy =(-'2-1)('2+1) =-3-2'2 따라서 구하는 값은 (4'2-6)(-3-2'2)=2 2 k 1_x k 1_x k 1_x O x y xy=k

(25)

25 수학Ⅱ

Ⅱ- 2. 유리식과 유리함수

29

xy-5x=k HjK y= +5이므로 A;B의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다. 이때, k의 값이 점점 작아질수록 쌍곡선은 점 (0, 5)에 다가가므로 쌍곡선이 점 (-3, 4)를 지날 때 k는 최소가 된다. (∵ k>0) ∴ k=(-3)_4-5_(-3) =-12+15=3 한편, 주어진 유리식을 간단히 정리한 후 k=3을 대입하면 + + y`+ = _{ - + - + y+ - } = { - }= = ∴ = 1233 4 33 1 122₄ 1 1111111111111111111334₁ ₁ ₁ 1111+1111112+y+1111245_k(k+2) _(k+2)(k+4) _3k(3k+2) 4 12₃₃ k+1 11121_k(3k+2) 1 111_3k+2 1 1_k 1 1₂ 1 111_3k+2 1 12_3k 1 112_k+4 1 112_k+2 1 112_k+2 1 1_k 1 1₂ 1 111212_3k(3k+2) 1 1112111_(k+2)(k+4) 1 1111_k(k+2) 4 5 O -3 3 5 -5 x y y= +5_xk k 1_x

(26)

Ⅱ- 3. 무리식과 무리함수 본문 377~380쪽 01⑴ x…2 ⑵ x…-1 또는 xæ2 01⑶ x…-1 또는 1…x…5 02 —4 03_{⑴ x+3-"(√x+4√)(√x+2Ω)} 01⑵ ⑶ 'ƒx+1-'ßx 04정의역：{x|xæ-2}, 치역：{y|y…4} 05정의역：{x|x…3}, 치역：{y|yæ5} 06 a=4, b=2 07① 08 —3 09③ 10④ 11 y='ƒ2(x+2)-3 12제`1, 2, 3`사분면 13③ 14 36 15① 16⑤ 17③ x+2+2'ƒx+1 11111125_x

0

1

무리식의 값이 실수가 되려면 근호 안의 값이 0보다 크거나 같아야 한다. ⑴ 2-xæ0 ∴ x…2 ⑵ (x-2)(x+1)æ0 ∴ x…-1 또는 xæ2 ⑶ x¤ -1æ0, 5-xæ0 ∴ x…-1 또는 1…x…5 ⑴ x…2 ⑵ x…-1 또는 xæ2 ⑶ x…-1 또는 1…x…5

0

2

x¤ -ax+4가 완전제곱식의 꼴이 되면 주어진 식은 무리식이 아니므로 x¤ -ax+4={x- }2 - +4 에서 - +4=0 ∴ a=—4 —4 a¤ 15₄ a¤ 15₄ a 1₂

0

3

⑴ x+3-"(√x+4√)(√x+2Ω) ⑵ ⑶ 'ƒx+1-'ßx

0

4

y=-'2ƒx+4+4=-"2√(x+≈2Ω)+4 이므로 주어진 함수의 그래프는 y=-'2ßx의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이 동한 것과 같다. 이것은 점 (-2, 4)에서부터 x의 값이 증가할 때 y의 값 이 감소하는 함수이므로 정의역：{x|xæ-2}, 치역：{y|y…4} 정의역：{x|xæ-2}, 치역：{y|y…4}

0

5

y=2'ƒ-x∂+å3+5=2"√-(xç-≈3Ω)+5 이므로 주어진 함수의 그래프는 y=2'∂-ßx의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 것과 같다. 이것은 점 (3, 5)에서부터 x의 값이 감소할 때 y의 값이 증가하는 함수이므로 정의역：{x|x…3}, 치역：{y|yæ5} 정의역：{x|x…3}, 치역：{y|yæ5}

0

6

y="√-3(√x-aΩ)+b='ƒ-3xƒ+3a+b y_{='ƒ-3xƒ+12+2} ∴ a=4, b=2 a=4, b=2 x+2+2'ƒx+1 11111125_x

(27)

27

Ⅱ- 3. 무리식과 무리함수

수학Ⅱ

Ⅱ- 3. 무리식과 무리함수

0

7

"√(x+1)¤ +"√(x-1)¤ ="√(3-'5)¤ +"√(1-'5)¤ =|3-'5|+|1-'5| =(3-'5)-(1-'5) =2 ①

0

8

근호가 있으므로 다항식이 되기 위해서는 근호 안이 완전제곱식이어야 한다. 최고차항의 계수가 4이므로 근호 안의 식이 완전제곱식이 려면 근호 안이 (2x+k)¤ (k는 실수) 의 꼴이 되어야 한다. 즉, 4x¤ +12x+a¤ =4x¤ +4kx+k¤ 이 모든 x에 대해 참이기 위해서는 k=3이고 a¤ =k¤ HjK a¤ =9이어야 한다. 따라서 a=—3이다. —3

0

9

3a+(a-b)'2=4'2+b-2 좌변으로 이항하면 3a+a'2-b'2-4'2-b+2=0 정리하면 3a-b+2+(a-b-4)'2=0 무리수가 서로 같기 위하여 3a-b+2=0, a-b-4=0이므로 3a-b=-2, a-b=4 이것을 연립하여 풀면 a=-3, b=-7 ∴ ab=21 ③

10

+ = + = = ④

11

y='∂ax의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프와 같으므로 y='ƒa(x+2)-3 또, 점 (0, -1)을 지나므로 -1='∂2a-3 ∴ a=2 ∴ y='ƒ2(x+2)-3 y='ƒ2(x+2)-3

12

y='3ƒx+6-2="3√(x+≈2Ω)-2는 -2 이상인 실수 전체의 집합을 정의역으로 갖는 무리함수이다. 함수의 그래프는 점 (-2, -2), (0, '6-2) 를 지나므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 함수의 그래 프는 제1, 2, 3 사분면을 지나며 제4사분면은 지나지 않 는다. 제1, 2, 3사분면

13

O x -4 -4 1 1 3 3 y y=x y= y={x-1}@-4 {xæ1} x+4+1 1 154444 '∂ab 'a+'b 1544444444444444444444 '∂ab('a+'b) 1 1544444444444444444 'b('a+'b) 1 1544444444444444444 'a('a+'b) 1 154444444444 b+'∂ab 1 154444444444 a+'∂ab x y O -2 -2 y= 3x+6-2

(28)

그림에서 a=4, b=1이므로 f(x)='ƒx+4+1이고 f(x)의 역함수 f—⁄ (x)=(x-1)¤ -4 (xæ1)이다. 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f—⁄ (x)의 그래 프의 교점은 역함수 y=f—⁄ (x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다. (x-1)¤ -4=x, x¤ -3x-3=0 ∴ x= (∵ xæ1) 따라서 교점은 { , }이므로 p+q=3+'∂21 ③

14

a-1-b=2'b에서 a, b가 자연수이므로 a-1-b는 정수이다. 따라서 'b도 정수이므로 b는 제곱수이다. 50 이하의 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49이다. b의 최댓값을 구하기 위해 큰 수부터 대입해 보면 ⁄ b=49인 경우 ⁄ _{a-1-49=2'∂49=14} ⁄ ∴ a=64 ⁄ a가 50 이하이므로 b+49 ¤ b=36인 경우 ⁄ _{a-1-36=2'∂36=12} ⁄ ∴ a=49 따라서 b의 최댓값은 36이다. 36

15

주어진 그래프에서 점근선은 x=3, y=2이므로 y= +2로 나타낼 수 있고, 점 (4, 1)을 지나므로 1=b+2 ∴ b=-1 ∴ a=-3, b=-1, c=2 b 112_x-3 3+'∂21 1244444444₂ 3+'∂21 1244444444₂ 3+'∂21 1244444444₂ 즉, y=a+'bƒx+c=-3+'ƒ-x∂+ß2 =-3+"√-(xç-≈2Ω) 따라서 y=a+'bƒx+c는 y='∂-ßx의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그 래프이므로 옳은 것은 ①이다. ①

16

x>3일 때, f(x)= = =2+ 이고 조건 ㈎에서 함수 f의 치역이 {y|y>2}, 조건 ㈏에서 함수 f는 일대일 대응이므로 함수 f의 그래프는 다음 그림 과 같아야 한다. f(3)=9에서 a=9 f(2)='ƒ3-2+9=10이므로 f(2)f(k)=10f(k)=40 ∴ f(k)=4 f(k)= =4에서 2k+3=4k-8 ∴ k=:¡2¡: ⑤

17

이차함수 f(x)=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓 점의 좌표가 {;2!;, ;2(;}이므로 f(x)=a {x-;2!;}2 +;2(; 이다. 이때, 그래프가 점(0, 4)를 지나므로 2k+3 k-2 y x O 2 2 3 9 y=2x+3_x-2 {x>3} y=´3-x+9 7 x-2 2(x-2)+7 x-2 2x+3 x-2

(29)

29

Ⅱ- 3. 무리식과 무리함수

수학Ⅱ

Ⅱ- 3. 무리식과 무리함수

내신・모의고사 대비 TEST 4=;4!;a+;2(; ∴ a=-2 ∴ f(x)=-2{x-;2!;}2 +;2(;=-2x¤ +2x+4 따라서 a=-2, b=2, c=4이므로 무리함수g(x)는 g(x)=a"ç√x+b+c=-2"√x+2+4 ㄱ. 무리함수g(x)의 정의역은 {x|xæ-2}이고 ㄱ. 치역은 {y|y…4}이다. (참) ㄴ. 함수 y=g(x)의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. ㄱ. 즉, 그래프는 제`3`사분면을 지나지 않는다. (거짓) ㄷ. 방정식 f(x)=0 jjK -2x¤ +2x+4=0을 풀면 ㄱ. x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ㄱ. ∴ x=-1 또는 x=2 ㄱ. ∴ a=-1, b=2 ㄱ. 따라서 -1…x…2에서 함수g(x)의 최댓값을 구하 면 g(-1)=2 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③ 2 4 -2 O x y y=g{x}

(30)

S U M M A C U M L A U D E a+ar+ar¤ =3 HjK a(1+r+r¤ )=3 yy㉠ a¥ar+a¥ar¤ +ar¥ar¤ =-6 HjK a¤ r(1+r+r¤ )=-6 yy㉡ a¥ar¥ar¤ =k HjK (ar)‹ =k yy㉢㉡을 ㉠으로 나누면 =-2 ∴ ar=-2 ar=-2를 ㉢에 대입하면 k=(ar)‹ =-8 -8

0

4

점 C(y)는 선분 AB를 1:2로 내분하는 점이므로 점 C의 좌표는 y= 이다. x, , 8이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 { }¤ =8x가 성립한다. =8x, x¤ -10x+16=0 따라서 (x-2)(x-8)=0이므로 x=2 (∵ x<8) ④

0

5

f(x)=x‡ +xﬂ +y+x+1 =(x-1)Q(x)+R x=1을 대입하면 R=8 x=2를 대입하면 2‡ +2ﬂ +y+2+1=Q(2)+8 =Q(2)+8 ∴ Q(2)=2° -1-8=247 247 1¥(2° -1) 111123_2-1 4x¤ +32x+64 1111112₉ 8+2x 111₃ 8+2x 111₃ 8+2x 111₃ a¤ r(1+r+r¤ ) 1111112_{a(1+r+r¤ )} Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열 본문 381~383쪽 01② 02 32 03 -8 04④ 05 247 06② 07④ 08③ 09③ 10④ 11② 12 1 13④ 14 31

0

1

수열 {a«}은 첫째항이 0, 공차가 3인 등차수열이 므로 a«=0+(n-1)¥3=3n-3 수열 {b«}은 첫째항이 500, 공차가 -7인 등차수열이므로 b«=500+(n-1)¥(-7)=-7n+507 이때, a˚=b˚를 만족시키려면 3k-3=-7k+507 10k=510 ∴ k=51 ②

0

2

등비수열이므로 가운데 항(등비중항)의 제곱은 양옆으로 이웃한 항의 곱과 같다.

a¡a£=a™¤ =16, a™=4=2¤ (∵ a«>0) a™a¢=a£¤ =64, a£=8=2‹ (∵ a«>0) ∴a«=2«

∴ a∞=2ﬁ =32 32

0

3

세 실근이 등비수열을 이루므로 세 근을 a, ar, ar¤ 으로 놓자.

(31)

수학Ⅱ

Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열

31

Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열

0

6

10=2_5이므로 1부터 100까지의 자연수 가운 데 소인수로 2 또는 5를 포함하는 모든 수를 제거하면 서 로소만 남는다. (1부터 100까지의 자연수의 합) =1+2+3+y+100 = =5050 (1부터 100까지의 자연수 가운데 2의 배수의 합) =2+4+6+y+100= =2550 (1부터 100까지의 자연수 가운데 5의 배수의 합) =5+10+15+y+100= =1050 1에서 100까지의 합에서 2의 배수의 합과 5의 배수의 합 을 빼면 2와 5의 공배수의 합이 한 번씩 더 빼지는 꼴이 되 므로 이를 다시 더해 주어야 한다. (1부터 100까지의 자연수 가운데 10의 배수의 합) =10+20+30+y+100= =550 따라서 구하려는 1~100까지의 자연수 가운데 10과 서로 소인 수들의 합은 5050-(2550+1050-550)=5050-3050=2000 ②

0

7

AC”, OC”, BC”가 순서대로 등비수열을 이루므로 AC”=a, OC”=ar, BC”=ar¤ 이라 하자.

△ABC에서 ∠ACB=90˘이므로

a¤ +(ar¤ )¤ =(2ar)¤ 에서 r› -4r¤ +1=0 ∴ r¤ =2—'3 10(10+100) 111111₂ 20(5+100) 111112₂ 50(2+100) 111112₂ 100(1+100) 111111₂ { }¤ ={ }¤ =r¤ >1 (∵ AC”<OC”<BC”) ∴ { }¤ =2+'3 ④

0

8

15‡ =3‡ ¥5‡ 이므로 15‡ 의 양의 약수 가운데 3‹ 의 배수이면서 3ﬁ 의 배수가 아니려면 3‹ 또는 3› 을 포함해야 한다. 따라서 가능한 모든 약수의 합은 (3‹ ¥1+3‹ ¥5⁄ +3‹ ¥5¤ +y+3‹ ¥5‡ ) +(3› ¥1+3› ¥5⁄ +y+3› ¥5‡ ) =(3‹ +3› )(1+5⁄ +5¤ +y+5‡ ) = ③

0

9

{a«} : a, a+2, a+4, y, b-4, b-2, b

항의 개수는 +1= 따라서 수열의 합을 계산하면 S= S= (b-a+2)(a+b)=100 (b-a+2)(a+b)=400 이때, 0<a<b에서 2<b-a+2<a+b이므로 가능한 (b-a+2, a+b)의 순서쌍은 (4, 100), (8, 50), (10, 40) 따라서 a+b의 최솟값은 40이다. ③ 1 1₄ b-a+2 {1111}_(a+b)₂ 3111111111₂ b-a+2 1111₂ b-a 112₂ (3‹ +3› )(5° -1) 1 11111111₄1111122 OC” 113 AC” ar 12_a OC” 113 AC”

(32)

10

카트의 길이가 80 cm이고 두 개의 카트를 겹쳐 놓을 때, 카트 길이의 인 60 cm가 겹쳐지므로 한 개의 카트를 추가하여 겹칠 때마다 전체 길이는 20 cm씩 늘어 난다. 따라서 카트 n개를 겹칠 때 전체의 길이를a«이라 하면 수열 {a«}은 첫째항이 80, 공차가 20인 등차수열과 같다. a«=80+(n-1)_20=20n+60 ∴a£º=660 따라서 30개의 정돈된 카트 전체의 길이는 660 cm=6.6 m ④

11

=0.4이므로 a«=0.4n이다. b«=[a«+ ]=[0.4n+0.4]이므로 b™ºº•=[a™ºº•+0.4] b™ºº•=[2008_0.4+0.4] b™ºº•=[803.6] b™ºº•=803 [참고]b«은 a«을 반올림한 것이다. b« : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, y 같은 숫자끼리를 하나의 군으로 설정하여 묶으면 다음과 같다. (0), (1, 1), (2, 2, 2), (3, 3), (4, 4, 4), (5, 5), (6, 6, 6), y 이 군수열의 특징을 살펴보면 제1군을 제외한 제 n(næ2) 군의 배열이 n이 짝수일 때, (n-1)이 2개 n이 홀수일 때, (n-1)이 3개 로 구성되어 있음을 알 수 있다. 2 1₅ 2 1₅ 3 1₄ 이 군수열에서b™ºº•은 제 804군의 제2항이다. ∴b™ºº•=803 ②

12

점 P와 Q의 좌표를 구하면 P{ , }, Q { , } 세 점 P, B, Q의 x좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므 로 + =2a ∴ a=2 세 점 P, B, Q의 y좌표가 이 순서대로 등비수열을 이루므 로 { }{ }=b¤ ∴ b=-1 (∵ A, B는 서로 다른 점) ∴ a+b=1 1

13

볼록 n각형의 내각의 크기의 합은180˘(n-2) 이다. 130˘부터 170˘까지 크기가 작은 순서대로 나열한 n개의 항이 등차수열을 이루므로 이 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합은 =150˘n 이며 이것이 180˘(n-2)와 같다. 150˘n=180˘n-360˘ ∴ n=12 따라서 이 도형은 12각형이다. ④ n(130˘+170˘) 11111123₂ 3b-1 111₂ 3b+1 111₄ 3a-2 111₂ 3a+2 111₄ 3b-1 111₂ 3a-2 111₂ 3b+1 111₄ 3a+2 111₄