복소적분의 중요성

(1)

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch 14 Complex Integration Ch 14 Complex Integration Ch. 14 Complex Integration Ch. 14 Complex Integration

14 1 Line Integral in the Complex Plane 14.1 Line Integral in the Complex Plane 14.2 Cauchy’s Integral Theorem

14.3 Cauchy’s Integral Formula

14.4 Derivatives of Analytic Functions

2

(3)

Ch. 14 Complex Integration

Ch. 14 Complex Integration((복소적분복소적분))

z

복소적분의 중요성

p g

p g ((복소적분복소적분))

z

복소적분의 중요성

•

실질적 이유 : 실적분 계산법으로 접근이 용이하지 않은 응용분야에서

나타나는 일부 적분들을 복소적분에 의해 계산해 낼 수 있기 때문.

•

이론적 이유 : 해석함수의 몇 가지 기본 성질들을 다른 방법들로는 증명하기 어렵기 때문.

z

내용 : 복소적분의 정의, Cauchy의 적분정리, Cauchy의 적분공식

(4)

14.1 Line Integral in the Complex Plane 14.1 Line Integral in the Complex Plane ee eg aeg a e Co p ee Co p e a ea e

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

z (복소)선적분(Line Integral):

복소정적분으로 피적분함수를 주어진 곡선 또는 그것의 일부를 따라 적분한다.

( )^z ^dz

f

C∫

복소정적분으로 피적분함수를 주어진 곡선 또는 그것의 일부를 따라 적분한다.

• 적분경로(Path of Integration) C : z( ) ( )t = x t +iy( ) (t a ≤t ≤b)

• 양의방향(PositiveSense) : C에 대하여 t가 증가하는 방향

도함수 아닌

이 연속이고 점에서

모든 곡선

• 매끄러운

( ) ( ) ( )^를 ^갖는 ^곡선

도함수 아닌

이 연속이고 점에서

모든

0 :

) Curve (Smooth

t y i t dt x

t dz

z = = + 곡선

매끄러운

dt

(5)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

1. 선형성(Linearity):

z 기본적인 속성들은 정의에 의해서 직접적으로 나타난다.

( ) ( )

[^k ^f ^z ^k ^f ^z ]^dz ^k ∫ ^f ( )^z ^dz ^k ∫ ^f ( )^z ^dz

∫ ¹ ¹ ⁺ ² ² ⁼ ¹ ¹ ⁺ ² ²

1. 선형성(Linearity):

2.

( ) ( )

[ ^f ^f ] ^f ( ) ^f ( )

C C

C∫ ¹ ¹ ² ² ¹∫ ¹ ²∫ ²

( )^z ^dz ^f ( )^z ^dz

f

z

z z

z∫ ⁼ ⁻∫⁰

0

3. 경로 분할(Partitioning of Path) :

z z₀

( )^z ^dz ^f ( )^z ^dz ^f ( )^z ^dz

f

C C

C∫ ⁼ ∫ ⁺ ∫

2 1

C₁

C₂ Z

z₀

(6)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

첫 한

z 첫 번째 계산방법 : 부정적분과 상, 하한의 대체

• 일반적으로 통용되는 개념

단순 닫힌 곡선(Simple Closed Curve) : 자신과 교차하지 않는 닫힌 곡선 단순 닫힌 곡선(Simple Closed Curve) : 자신과 교차하지 않는 닫힌 곡선

단순 연결(Simply connected) : 단순 닫힌 곡선이 집합에 속한 점들만 에워쌀 때 Ex 원판(Circular Disk)은 단순연결되어 있지만

• Indefinite Integration of Analytic Functions (해석함수의 부정적분) Ex. 원판(Circular Disk)은 단순연결되어 있지만,

환형(Ammulus)은 단순연결되어 있지 않다.

g y (해석함수의 부정적분)

( )

( ) ( )^를 ^만족하는 ^해석함수 ( )^가 ^존재

내에

해석적 내에서

영역 단순연결

'

:

z F z

f z F D

D z

f

( )= ( ) ( )

( ) ( ) ( )^가^성립

대하여 경로에

모든 내의

연결하는 을

와 점 두

내의 ₀ ₁ ₁ ₀

1

0

z F z

F dz z f D

z z D

f

z z

−

=

⇒ ∫

(7)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

Ex 1 ¹∫⁺ⁱ^z²^dz ⁼ ¹ ^z³¹⁺ⁱ ⁼ ¹( )¹⁺ⁱ ³ ⁼ ⁻² ⁺ ²ⁱ

Ex. 1 ^z ^dz ^z ( )ⁱ ⁱ

3 1 3

3 3 ₀

0

+

−

= +

=

∫ =

i ⎛ ⎞

Ex. 4 ⁱ ( )ⁱ ⁱ^π ⁱ^π ⁱ^π

z

i dz

i

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

=

−

∫ =

− Ln Ln 2 2

z i

z

z ln Arg

Ln

= +

(8)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

z 두 번째 계산방법 : 경로에 대한 표현식의 사용

• Integration by the Use of the Path (경로를 사용한 적분)

( ) b

C ( ) 구분적으로 매끄러운 경로

( )

⎞

⎛

≤

= C z

f

b t a t z z C

:

;

:

함수 연속인

위에서

경로 매끄러운

구분적으로

( ) [ ]( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ =

=

⇒ ∫ ^f ^z ^dz ∫^b ^f ^z ^t ^z ^t ^dt ^z ^dz_dt

a C

• 적용하는 과정

A. ^경로^C^를^z( ) (^t ^a ^≤^t ^≤^b)^의^형태로^표시

( ) ^를 ^계산한다

함수 dz

B.

C.

( ) ^.

를 계산한다

도함수 dt

t dz z =

( )z ^의^모든z^에z( )t ^를^대입한다^. f

D. ^f[ ]^z( )^t ^z( )^t ^를^t^에^대해^a^에서^b^까지^적분한다^.

(9)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

Ex 5 A Basic Result: Integral of 1/z Around the Unit Circle

. 2

1/

) 0 , 1

(반지름 중심 인 원을 따라반시계방향으로 를 적분하면 이다

단위원 i

z z dz

C

π

=

= ∫

Ex.5 A Basic Result: Integral of 1/z Around the Unit Circle

(10)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

Ex 5 A Basic Result: Integral of 1/z Around the Unit Circle

. 2

1/

) 0 , 1

(반지름 중심 인 원을 따라반시계방향으로 를 적분하면 이다

단위원 i

z z dz

C

π

=

= ∫

Ex.5 A Basic Result: Integral of 1/z Around the Unit Circle

A.

B.

( )

^cos ^sin

(

⁰ ²

^π )

:

C z t

=

t

+

i t

=

e^it

≤

t

≤ 단위원

( )^t ^ie^it

z

=

B.

C.

( )

( ) ( )z( )t z t ^e ^it

f

= 1 =

⁻

2 2

D. e ie dt i dt i

z dz

C

it

it ^π π

π

2

0 2

0

=

∫

∫ ∫ ⁻

(11)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

Ex.6 Integral of 1/z^m with Integer Power m (정수 거듭제곱을 포함하는 적분)

( ) ( )

( )

.

₀ ₀ ₀

적분하여라 를

방향으로 반시계

따라

주위를 원의

인 중심이 이고

반지름이 하자

이라고 때

상수일 가

정수이고 이

z f

z z

z z f z

m = − ^m ρ

( ) .

방향으로 를 적분하여라 반시계

따라 f z

(12)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

( ) ( )

( )

.

₀ ₀ ₀

적분하여라 를

따라

주위를 원의

인 중심이 이고

반지름이 하자

이라고 때

상수일 가

정수이고 이

z f

z z

z z f z

m = − ^m ρ

Ex.6 Integral of 1/z^m with Integer Power m (정수 거듭제곱을 포함하는 적분)

( ) .

방향으로 를 적분하여라 반시계

따라 f z

( ) ( ) ( )

( )

≤

≤ +

= +

+

= ₀ cos sin ₀ 0 2 dt

i d

t e

z t i t z

t z

it imt

m m

it π

ρ ρ

( )

( − )

=

−

⇒

∫

,

2 0

0

dz z

z

dt e i dz e

z z

C

m

it imt

m ρ

ρ

( )

( ) ( ) ^⎤

⎡

=

∫

∫ ⁺

+

2 2

2

0

1

1 e dt

iρ^m ⁱ ^m ^t

π π

π

( ) ( )

( )

⎨⎧ = −

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + + +

= ⁺ ∫ ∫

1

2

1 sin

1 cos

0 0

1

m i

dt t m i

dt t m i ^m

π ρ

( )

⎩⎨ ≠ −

= 0 m 1 및 정수

(13)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

z Dependence on Path (경로 의존성) z Dependence on Path (경로 의존성)

일반적으로 복소선적분은 경로의 양끝점에 의존할 뿐 아니라, 경로의 기하학적 현상에도 의존한다.

Ex.7 Integral of a Nonanalytic Fucntion. Dependence on Path

( )z Rez x를 0에서 1 2i까지, ( ) C*를 따라, ( ) C₁과 C₂로 구성된 C를 따라 적분하라.

f = = + a b

z = 1 + 2i 2

y

C* CC₂₂

C₁

1 x

(14)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

z Dependence on Path (경로 의존성) z Dependence on Path (경로 의존성)

일반적으로 복소선적분은 경로의 양끝점에 의존할 뿐 아니라, 경로의 기하학적 현상에도 의존한다.

Ex.7 Integral of a Nonanalytic Fucntion. Dependence on Path

( )z Rez x를 0에서 1 2i까지, ( ) C*를 따라, ( ) C₁과 C₂로 구성된 C를 따라 적분하라.

f = = + a b

z = 1 + 2i 2

( ) ( ) ( ) y

( ) 1 2 , [ ]( ) ( )

1 0

2

:

*

1

=

= +

=

≤

≤ +

=

t t x t z f i t

z

t it

t t z C

a

C* C₂

( ) ( )

( ) : ( ) (0 1) ( ) 1, ( ) ( )( )

2 2 1 2 1 2 1

1 Re

1

0

=

⇒

≤

=

+

= +

=

∴

⇒ ∫ ∫

t t x t z f t

z t

t t z C

i i

dt i t dz z

C*

b

C₂

C₁

1 x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 1 1

Re Re

Re

1

,

2 0

1 :

2 1

2

+

=

⋅ +

= +

=

∴

⇒

=

⇒

≤

≤ +

=

∫

∫ ^z^dz ^z^dz ^z^dz ^t^dt ⁱ^dt ⁱ

t x t z f i t z t

it t

z

C

1 x

.

0 2

2 0

1

있다 수 다를 적분값이 따라

경로에

∴적분

C C

C

(15)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

z Bounds for Integrals (적분한계값). ML 부등식

( )^z ^dz ^ML(^ML^부등식)

f

C

∫ ≤

( ) ^을 ^만족하는 ^상수

곳에서 모든

위의 길이

의 , :

:C M C f z M

L ≤

Ex 8 Estimation of an Integral Ex.8 Estimation of an Integral

다음 적분의 절대값에 대한 상계(Upper Bound)를 구하여라 선분

까지의 부터 1 0

:

2dz, C i

z +

C∫∫

1

1 C

1

(16)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

z Bounds for Integrals (적분한계값). ML 부등식

( )^z ^dz ^ML(^ML^부등식)

f

C

∫ ≤

( ) ^을 ^만족하는 ^상수

곳에서 모든

위의 길이

의 , :

:C M C f z M

L ≤

Ex 8 Estimation of an Integral Ex.8 Estimation of an Integral

다음 적분의 절대값에 대한 상계(Upper Bound)를 구하여라 선분

까지의 부터 1 0

:

2dz, C i

z +

C∫∫

( ) ² 1

,

2 = ² ≤

= f z z

L

1

8284 C

. 2 2 2

² ≤ =

⇒ ∫ ^z ^dz

C 1

(17)

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

PROBLEM SET 14.1

HW 28 34 (b) HW: 28, 34 (b)

(18)

14.2 Cauchy’s Integral Theorem 14.2 Cauchy’s Integral TheoremCauc y sCauc y s eg aeg a eo eeo e

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

z 단순 닫힌 경로(Simple Closed Path) : 스스로 교차하거나 접촉하지 않는 닫힌 경로 Ex. 원은 단순 닫힌 경로이지만 8자형 곡선은 단순 닫힌 경로가 아니다.

Ex. 원은 단순 닫힌 경로이지만 8자형 곡선은 단순 닫힌 경로가 아니다.

(19)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

z 영역에 대한 정의

• 단순연결영역(Simply Connected Domain):

영역의 모든 단순 닫힌 경로가 오직 영역의 점들만 둘러싸고 있는 영역 영역의 모든 단순 닫힌 경로가 오직 영역의 점들만 둘러싸고 있는 영역 Ex. 원, 타원 또는 어떠한 단순 닫힌 곡선의 내부

• 다중연결(Multiply Connected) : 단순연결되지 않은 영역 Ex. Annulus (환형)

(20)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

z 유계영역(Bounded Domain) : 원점이 중심인 어떤 원의 내부에 완전히 속해 있는 영역 z p중연결( p fold Connected)

z p중연결( p-fold Connected)

• 유계영역의 경계가 공통점이 없는 p 개의 닫힌 연결집합으로 구성되어 있을 때

• 경계의 집합은 곡선, 선분, 또는 점일 수 있다.

• p-1 개의 구멍을 갖게 된다.

Ex. 환형(Annulus)은 이중연결(p = 2)되었다.

(21)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

z Cauchy’s Integral Theorem

( )

,

이다 대하여

에 곡선 닫힌

단순 모든

있는 에

해석적이면 에서

정의역 단순연결

가

∫ ^f ^d

D z

f

( ) 0 . C

모든 단순 닫힌 곡선 에대하여 이다 있는

에 ∫ =

C

dz z f C

D ^D ^C

Ex.1 특이점들이 없다(완전함수들)특이점들이 없다(완전함수들)

n

z z z z

e

, cos , ( )

대하여 경로에

닫힌 임의의

이다 함수

해석적인 대해

에 모든

완전함수 은

( )

∫

⁼ ⁼ ⁼ ⁼

C n C

C

zdz zdz z dz n , ,

e

0 , cos 0 , 0 0 1 "

닫힌 경로에 대하여

임의의

(22)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

Ex.2 윤곽선 밖에 있는 특이점

:

C 단위원

. 2

1

.

,

cos sec 1

2 3 2

2 =±

=

±

=

C i z

z C z

π , π,

z

있다 밖에 의 는 점

않은 해석적이지 가

있다 놓여 밖에 의 모두 점들은 이

않지만 해석적이지

는

"에서

4 0

, 0 sec

4

2 2

+ =

=

∴ +

∫

∫ C

C z

dz dz z z

Ex.3 비해석적인 함수

( ) ( )

( )

2∫

∫ ^π ( ^{( )} ⁽ ⁾)

( ) ^Cauchy ^.

2 0

:

2

0

않는다 적용되지

정리가 의

아니므로 해석함수가

z는 z

f

t e

t z C i dt

ie e dz

z ît ît ît

C

=

≤

=

= ∫

∫ ⁻ ^π ^π

( ) ^y

f

(23)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

Ex.4 해석성은 필요조건이 아니라 충분조건이다.

( ^: )

2 0 C 단위원

dz =z

∫

( ) ¹ ^Cauchy ^.

0에서 ₂이해석적이지않기때문에이결과는 의정리로부터나오지않았다 z z

f z

Cz

=

∫

.

Cauchy

충분조건이다 필요조건이라기보다는

위한 성립하기 정리가

의

조건은 해석적이라는

가 에서 f

∴ D

Ex. 5 단순연결은 필수적이다.

( ) ¹^: ²

), (

: 3 ,

:환형 1 단위원 에포함 에서해석적 dz i

D z

f D

C z

D ⎜⎛ < < ⎟⎞ ^{( )}= ⇒ ∫ = ^π

.

Cauchy

2

:

), (

: 2 , 2

:

필수적이다 아주

조건은 한다는

있어야 되어

단순연결 가

정의역

없다 수 적용할 정리를

의 않으므로

있지 되어 단순연결 가

해석적 에서

포함 에 단위원 환형

D D

z i z D

z f D

C z

D

C

∴

⎟ ⇒

⎜ ⎠

⎝ < < ∫ ^π

.

가 단순연결 되어있어야 한다는 조건은 아주 필수적이다 정의역 D

∴

(24)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

z 경로 독립성 z 경로 독립성

( ) ( )

,

독립이다 경로에

내의 적분은

의

해석적이면 내에서

정의역 단순연결된

가 만일

D z

f

D z

f

z 경로변형의 원리(Principle of Deformation of Path):

( )^z ^의^적분은 ^D^내의^경로에 ^독립이다^.

f

변형경로(양끝을 고정한 채 연속적으로 변형한 적분경로)가 항상 f (z)가 해석적인 점만 포함하는 한, 선적분의 값은 어떠한 변형이 있더라도 같은 값을 유지한다.

같은 값을 유지한다

C₁ z₂

C₂

z₁

(25)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

z 부정적분의 존재성

( )

단순연결 영역 D:

( ) ^에서 ^{해석적이고} ( ) ( )^를 ^만족하는 ( )^의 ^부정적분 ( )^가 ^에서 ^존재

해석적 에서

'

:

D z

F z

f z

f z F D

D z f

=

⇒

z 다중연결 영역에 대한 Cauchy의 정리 C C

D:바깥 경계곡선 ₁과 안쪽 경계곡선 ₂를 갖는 이중연결 영역

( )^z ^D

f

D D

* :

:

*

해석적 내에서

정의역 임의의

포함하는 경계곡선들을

와

( )^z ^dz ^f ( )^z ^dz

f

C

C∫ ⁼ ∫

⇒

2 1

C₁

C₂

(26)

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

HW 16 23 HW: 16, 23

(27)

14.3 Cauchy’s Integral

14.3 Cauchy’s Integral Formula3 Cauc y s3 Cauc y s eg aeg a oFormulao u au a

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

z Cauchy의 적분공식

( ):

:

해석적 에서

영역 단순연결

D z f D

C

z₀ D

( )

( ) ² ( )^, ( ) ¹ ( ) ( ^.)

:

0 0

0

방향이다 반시계

방향은 적분

곡선 닫힌 단순 임의의 안의

있는 둘러싸고 를

점 임의의

해석적 에서

∫

∫ ⁼ ⁼

⇒ f z dz

z f z

if z dz

f

D z

C

D z f

π

C

( ) ( ) ( ^.)

2 , 2

0 0

방향은

∫ 적분

∫ ₋ ₋

⇒

C C

z dz z z i

f z

if z dz

z π π

Ex.1 Cauchy의 적분공식

z

i ie

ie z dz

z e

z z C

z

4268 . 46 2

2 2

2 ²

0 = 2 = =

= −

∫ ^π = ^π

대하여 윤곽선에

임의의 둘러싸는

를

idz

∫ z₂³_z⁻⁶_i

C∫ ₂ ₋

(28)

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

z Cauchy의 적분공식

( ):

:

해석적 에서

영역 단순연결

D z f D

C

z₀ D

( )

( ) ² ( )^, ( ) ¹ ( ) ( ^.)

:

0 0

0

방향은 적분

곡선 닫힌 단순 임의의 안의

있는 둘러싸고 를

점 임의의

해석적 에서

∫

∫ ⁼ ⁼

⇒ f z dz

z f z

if z dz

f

D z

C

D z f

π

C

( ) ( ) ( ^.)

2 , 2

0 0

방향은

∫ 적분

∫ ₋ ₋

⇒

C C

z dz z z i

f z

if z dz

z π π

z

i ie

ie z dz

z e

z z C

z

4268 . 46 2

2 2

2 ²

0 = 2 = =

= −

∫ ^π = ^π

대하여 윤곽선에

임의의 둘러싸는

를

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ =

−

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ −

− =

∫

∫ ^z _i^dz ²^z ₁ ³^dz ² ⁱ ₂¹^z ³ ₈ ⁶ ⁱ ^C ^z ₂¹ⁱ

1 2

6

0 3

3 3

π 내부에서

π π _⎟

⎜ ⎠

⎥⎦ ⎝

− ⎢⎣

− ∫ ₌

∫ z i _C z i _z ⁱ

C 2 8 2

2

2 1 ⁰

2

(29)

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

z 다중연결 영역(Multiply Connected Domains)

( )^z ^가^C₁^과^C₂^및^C₁^과^C₂^에^의해^둘러싸인^고리^모양의^영역^안에서^해석적

f

( ) ¹ ( ) ¹ ( )

0 0

성립 가

점 임의의 있는

영역에 그

가

z dz dz f

z z f

f z

∫

∫ ⁺

=

⇒ ( )

.

2 2

2

1 0 0

0

한다 방향으로

시계 적분은

안에서의 하고

적분은 밖에서의

성립 dz가

z z dz i

z z z i

f

C

C∫ ₋ ⁺ ∫ ₋

⇒ π π

(30)

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

HW 14 18 HW: 14, 18

복소적분의 중요성

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

복소적분의 중요성

복소적분의 중요성

실질적 이유 : 실적분 계산법으로 접근이 용이하지 않은 응용분야에서

나타나는 일부 적분들을 복소적분에 의해 계산해 낼 수 있기 때문.

이론적 이유 : 해석함수의 몇 가지 기본 성질들을 다른 방법들로는 증명하기 어렵기 때문.

내용 : 복소적분의 정의, Cauchy의 적분정리, Cauchy의 적분공식

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

cos sin

0 2

:

=

+

=

≤

≤ 단위원

 =

= 1 =

2

=

=

=

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((복소평면에서의 복소평면에서의 선적분 선적분))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

, cos , ( )

대하여 경로에

닫힌 임의의

이다 함수

해석적인 대해

에 모든

완전함수 은

= = = =

0 , cos 0 , 0 0 1 "

닫힌 경로에 대하여

임의의

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분정리 적분정리))

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

((Cauchy Cauchy의 의 적분공식 적분공식))

^cos ^sin

⁰ ²

=

⁼ ⁼ ⁼ ⁼