1. 등차수열과 등비수열 본문 381~383쪽

01② 02 32 03 -8 04④ 05 247 06② 07④ 08③ 09③ 10④ 11② 12 1 13④ 14 31

0 1

수열 {a«}은 첫째항이 0, 공차가 3인 등차수열이 므로

a«=0+(n-1)¥3=3n-3

수열 {b«}은 첫째항이 500, 공차가 -7인 등차수열이므로 b«=500+(n-1)¥(-7)=-7n+507

이때, a˚=b˚를 만족시키려면 3k-3=-7k+507 10k=510

∴ k=51 ②

0 2

등비수열이므로 가운데 항(등비중항)의 제곱은 양옆으로 이웃한 항의 곱과 같다.

a¡a£=a™¤ =16, a™=4=2¤ (∵ a«>0) a™a¢=a£¤ =64, a£=8=2‹ (∵ a«>0)

∴a«=2«

∴ a∞=2fi =32 32

0 3

세 실근이 등비수열을 이루므로 세 근을 a, ar, ar¤ 으로 놓자.

근과 계수의 관계에서

수학Ⅱ Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열

^{내신・모의고사}대비 TEST

31

Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열

06

10=2_5이므로 1부터 100까지의 자연수 가운 데 소인수로 2 또는 5를 포함하는 모든 수를 제거하면 서 로소만 남는다.

(1부터 100까지의 자연수의 합)

=1+2+3+y+100

= =5050

(1부터 100까지의 자연수 가운데 2의 배수의 합)

=2+4+6+y+100= =2550

(1부터 100까지의 자연수 가운데 5의 배수의 합)

=5+10+15+y+100= =1050

1에서 100까지의 합에서 2의 배수의 합과 5의 배수의 합 을 빼면 2와 5의 공배수의 합이 한 번씩 더 빼지는 꼴이 되 므로 이를 다시 더해 주어야 한다.

(1부터 100까지의 자연수 가운데 10의 배수의 합)

=10+20+30+y+100=

=550

따라서 구하려는 1~100까지의 자연수 가운데 10과 서로 소인 수들의 합은

5050-(2550+1050-550)=5050-3050=2000

②

07

AC”, OC”, BC”가 순서대로 등비수열을 이루므로 AC”=a, OC”=ar, BC”=ar¤ 이라 하자.

△ABC에서 ∠ACB=90˘이므로

a¤ +(ar¤ )¤ =(2ar)¤ 에서 r› -4r¤ +1=0

∴ r¤ =2—'3

10(10+100) 1111112 20(5+100) 1111122 50(2+100) 1111122 100(1+100)

1111112

{ }¤ ={ }¤ =r¤ >1 (∵ AC”<OC”<BC”)

∴ { }¤ =2+'3 ④

08

15‡ =3‡ ¥5‡ 이므로 15‡ 의 양의 약수 가운데 3‹ 의 배수이면서 3fi 의 배수가 아니려면 3‹ 또는 3› 을 포함해야 한다.

따라서 가능한 모든 약수의 합은 (3‹ ¥1+3‹ ¥5⁄ +3‹ ¥5¤ +y+3‹ ¥5‡ )

+(3› ¥1+3› ¥5⁄ +y+3› ¥5‡ )

=(3‹ +3› )(1+5⁄ +5¤ +y+5‡ )

= ③

09

{a«} : a, a+2, a+4, y, b-4, b-2, b

항의 개수는 +1=

따라서 수열의 합을 계산하면

S=

S= (b-a+2)(a+b)=100 (b-a+2)(a+b)=400

이때, 0<a<b에서 2<b-a+2<a+b이므로 가능한 (b-a+2, a+b)의 순서쌍은

(4, 100), (8, 50), (10, 40)

따라서 a+b의 최솟값은 40이다. ③

114 b-a+2

{1111}_(a+b)2 31111111112

b-a+2 11112 112b-a2

(3‹ +3› )(5° -1) 1

1111111141111122 113OC”

AC”

12ara 113OC”

AC”

10

카트의 길이가 80 cm이고 두 개의 카트를 겹쳐 놓을 때, 카트 길이의 인 60 cm가 겹쳐지므로 한 개의 카트를 추가하여 겹칠 때마다 전체 길이는 20 cm씩 늘어 난다.

따라서 카트 n개를 겹칠 때 전체의 길이를a«이라 하면 수열 {a«}은 첫째항이 80, 공차가 20인 등차수열과 같다.

a«=80+(n-1)_20=20n+60

∴a£º=660

따라서 30개의 정돈된 카트 전체의 길이는

660 cm=6.6 m ④

11

=0.4이므로 a«=0.4n이다.

b«=[a«+ ]=[0.4n+0.4]이므로 b™ºº•=[a™ºº•+0.4]

b™ºº•=[2008_0.4+0.4]

b™ºº•=[803.6]

b™ºº•=803

[참고]b«은 a«을 반올림한 것이다.

b« : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, y 같은 숫자끼리를 하나의 군으로 설정하여 묶으면 다음과 같다.

(0), (1, 1), (2, 2, 2), (3, 3), (4, 4, 4), (5, 5), (6, 6, 6), y

이 군수열의 특징을 살펴보면 제1군을 제외한 제 n(næ2) 군의 배열이

n이 짝수일 때, (n-1)이 2개 n이 홀수일 때, (n-1)이 3개 로 구성되어 있음을 알 수 있다.

125 125

134

이 군수열에서b™ºº•은 제 804군의 제2항이다.

∴b™ºº•=803 ②

12

점 P와 Q의 좌표를 구하면

P{ , }, Q { , }

세 점 P, B, Q의 x좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므 로

+ =2a

∴ a=2

세 점 P, B, Q의 y좌표가 이 순서대로 등비수열을 이루므 로

{ }{ }=b¤

∴ b=-1 (∵ A, B는 서로 다른 점)

∴ a+b=1 1

13

볼록 n각형의 내각의 크기의 합은180˘(n-2) 이다.

130˘부터 170˘까지 크기가 작은 순서대로 나열한 n개의 항이 등차수열을 이루므로

이 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합은

=150˘n 이며 이것이 180˘(n-2)와 같다.

150˘n=180˘n-360˘

∴ n=12

따라서 이 도형은 12각형이다. ④

n(130˘+170˘) 111111232

1113b-12 1113b+14

1113a-22 1113a+24

1113b-12 1113a-22

1113b+14 1113a+24

수학Ⅱ Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열

^{내신・모의고사}대비 TEST

33

Ⅲ- 1. 등차수열과 등비수열

14

수열 {a«}의 공차를 d라 하면

T«=| |

T¡º=T¡¡이므로

| |=| |

⁄ = 일 때,

⁄

d=-5

⁄

이때, 조건 Tª<T¡º이 성립한다.

¤ =- 일 때,

⁄

d=-⁄

이때, 조건 Tª<T¡º이 성립하지 않는다.

따라서 T«=| |이다.

-5n¤ +105n 11111232 12212

11(100+10d) 11111122 10(100+9d)

11111232

11(100+10d) 11111122 10(100+9d)

11111232

11(100+10d) 11111122 10(100+9d)

11111232

n{100+(n-1)d}

111111112

`f(x)=| |라 하면 함수 y=f(x)의 그래 프는 다음과 같다.

위 그래프에서 f(21)=0이므로 T™¡=0

그러므로 T¡¡>T¡™>T¡£>y>T™¡=0, T™¡<T™™

따라서 T«>T«≠¡을 만족시키는 n의 값은 11, 12, 13, y, 20

이다.

그러므로 최솟값과 최댓값의 합은

11+20=31 31

O 1 1011 21 275

250

x y

y=f(x) -5x¤ +105x

11111232

Ⅲ- 2. 수열의 합( ; ) 본문 384~389쪽

는 1000=7_142+6이므로 142개이다.

따라서 구하려는 분수의 합은

수학Ⅱ Ⅲ- 2. 수열의 합( ; )

^{내신・모의고사대비 TEST}

a˚=32에서 0_x+1_y+2_z=32 yy㉠

a˚¤ =64에서 0¤ _x+1¤ _y+2¤ _z=64 yy ㉡

10

f(n)이 작은 순서대로 나열해 보자.

10+1+8_2=27(장) 필요하다. 27

13

^{S«= a˚= (k+1)=}

수학Ⅱ Ⅲ- 2. 수열의 합( ; )

^{내신・모의고사대비 TEST}

37

Ⅲ- 2. 수열의 합(; )

S«= =(2k+1)(k+2)

따라서 S«은 합성수이다. 즉, 소수가 아니다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

14

수가 배열되는 규칙을 살펴보면 n이 짝수일 때, n 바로 위에 위치한 수는 이며

n이 홀수일 때, n 바로 위에 위치한 수는 이다.

이를 이용하여 122와 238이 어떤 수로부터 갈라져 나왔 는지를 추적해 보면

122 ⁄ 61 ⁄ 30 ⁄ 15 ⁄ 7 ⁄ 3 ⁄ 1 238 ⁄ 119 ⁄ 59 ⁄ 29 ⁄ 14 ⁄ 7 ⁄ 3 ⁄ 1 즉, 7로부터 갈라져 나왔음을 알 수 있다.

∴ F(122, 283)=4+5=9 9

15

a«의 각 항은 3, 9, 27, 81, 243, y이며 각 항 의 일의 자리의 숫자만을 나열한 수열 { f(n)}은 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, y로 네 개의 숫자가 계속해서 반복되어 나 타난다. 이와 마찬가지로 수열 {g(n)}, 수열 {h(n)}도 일정한 규칙으로 같은 숫자들이 반복된다.

{ f(n)}：3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, y { g(n)}：7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, y {h(n)}：7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, y ㄱ. f(n+4)=f(n) (거짓)

ㄴ. 수열 { f(n)}과 수열 {g(n)}은 순서만 다를 뿐, 같은 숫자인 1, 3, 7, 9가 반복되고 있다. (참)

ㄷ. 수열 {g(n)}과 수열 {h(n)}은 완전히 같은 수열이 다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

1134n-12 1n2 (2k+1)(2k+4)

1111111242

16

^{⁄k=2« 인 경우}

2« 2⁄ 2« —⁄ 2⁄ 2« —¤ 2⁄ y 2⁄ 1 이므로 a2«=n

¤k=2« +1인 경우

¤

2« +12⁄ 2« 2⁄ 2« —⁄ 2⁄ y 2⁄ 1

이므로 a_{2« +1}=n+1

‹k=2« +2인 경우

¤

2« +22⁄ 2« —⁄ +1 2⁄ 2« —⁄ 2⁄ y 2⁄ 1

이므로 a_{2« +2}=n+1

›k=2« +3인 경우

¤

2« +32⁄ 2« +2 2⁄ 2« —⁄ +1 2⁄ 2« —⁄ 2⁄

y2⁄ 1

이므로 a_{2« +3}=n+2

⁄~›에 의하여

S«= a˚=n+(n+1)+(n+1)+(n+2) S«=4n+4

∴ Sªª=4¥99+4=400 ③

17

^a¡=1!-10[ ¥1!]=1-0=1

a™=1!+2!-10[ (1!+2!)]=3-0=3

a£=1!+2!+3!-10[ (1!+2!+3!)] a£=9-0=9

a¢=33-30=3 a∞=153-150=3 a§=873-870=3

…

즉, a¢부터는 모든 항이 3임을 예측할 수 있다.

ㄱ. a™ºº¶=3 (참)

135101 135101 135101

2« +3 k=2«¡

ㄴ. 제4항부터는 모든 항의 값이 같다. (거짓)

a«æ0에서 -4n+64æ0, 4n…64

∴ n…16

∴ S«= |a˚|= |-4k+64|

∴ S«=

(-4k+64)+ (4k-64)

∴ S«=

+

∴ S«=2n¤ -62n+960

2n¤ -62n+960æ1000에서 n¤ -31n-20æ0 n¤ -31n-20=0에서 근의 공식에 의하여

næ 에서

31.5< <32 (∵ 32<'ƒ1041<33) 이므로 næ32

따라서 S«의 값이 처음으로 1000 이상이 되는 n의 값은

32이다. 32

20

^f(n)= a˚=a¡+a™+a£+y+a«이므로 aμ+aμ≠¡+aμ≠™+y+a£º

주어진 그래프에서 10<m-1<30

∴ 11<m<31

수학Ⅱ Ⅲ- 2. 수열의 합( ; )

^{내신・모의고사대비 TEST}

39

Ⅲ- 2. 수열의 합(; )

f(30)-f(20)=-f(20)

즉, m-1=20에서 m=21이므로 q=21

∴ p+q=12+21=33 33

21

최소인 원소가 1인 부분집합은 {1} : 1개

딩에 동시에 불이 켜져 있는 층수를 낮은 순서대로 나열한 수열을 {c«}이라 하면 c«=12n-7

따라서 100층 이하에서 동시에 불이 켜져 있는 층은 5, 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89층으로 8개의 층이 있다.

5층에서의 두 빌딩 사이의 거리는 18 m이며 한 층을 올라 갈 때마다 간격이 2 m씩 벌어지므로 12층을 올라갈 때마 다 24 m씩 늘어날 것이다.

따라서 구하려는 두 빌딩 사이의 거리의 총합은 {18+24(k-1)}= (24k-6)

=24¥ -6¥8

=864-48=816 (m)

816 m

25

규칙에 따라 몇 개의 수를 더 배열해 보자.

ㄱ. 점 (1, 1)에 2¤ , 점 (2, 2)에 3¤ , 점 (3, 3)에 4¤ , y 이 배열되므로 점 (n, n)에 (n+1)¤ 이 배열될 것임

118¥92

¡8 k=1

¡8 k=1

을 예측할 수 있다. (참)

ㄴ. x>0, y>0일 때, 점 (n, n)을 기준으로 왼쪽 방향 으로 1칸씩 또는 아래 방향으로 1칸씩 이동할수록 (n+1)¤ 에서 2씩 줄어든 값이 배열되므로 제1사분면 에서 직선 y=x에 대하여 대칭인 두 점에 배열된 수는 같음을 알 수 있다. (참)

ㄷ. 점 (n, n)을 기준으로 생각하도록 한다.

점 (44, 44)에 45¤ =2025가 배열되므로

2007은 점 (44, 44)의 왼쪽과 아래쪽에 존재할 것이 다. 왼쪽 방향으로 1칸씩 또는 아래 방향으로 1칸씩 이동할수록 2씩 줄어든 값이 배열되므로

2025-2007=18=9_2로부터 점 (44, 44)로부터 아래 방향으로 9칸만큼 이동한 점 (44, 35) 또는 점 (44, 44)로부터 왼쪽 방향으로 9칸만큼 이동한 점 (35, 44)에 2007이 배열될 것임을 알 수 있다. 이 중 에서 y>x인 점은 (35, 44)이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

수학Ⅱ Ⅲ- 3. 수학적 귀납법

^{내신・모의고사}대비 TEST

41

문서에서 수학Ⅱ 내신·모의고사 대비 TEST 해설 (페이지 30-41)