우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

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3-8-1. 삼각함수의 극한 (복습)  호도법 (Radian)

 반지름 r인 원(그림 3-8.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 360° _{= 𝑟: 1}  360°= 2π [rad]  부채꼴에서 호의 길이와 면적  호의 길이 (ℓ) 1 [rad] 일 때 호의길이ℓ= r 이므로, ℓ: r =θ: 1

𝑙 = 𝑟 · 𝜃

 부채꼴의 면적 (S) 2π ∶ π 𝑟2 _{= θ: 𝑆 이므로,}

_{S =}

1 2

𝑟

2

_{θ =}

1 2

𝑙 · 𝑟

(예제) 지름 10cm, 중심각 π 5 인 부채꼴의 호의 길이(ℓ)와 면적(s)을 구하라. O B A

r

r

(그림 3-8.1)

 함수

𝑓 𝑥 =

sin 𝑥 𝑥 에서, 𝑥 → 0 일 때 sin 𝑥 𝑥 의 극한값은? (단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)

lim

𝑥→0 sin 𝑥 𝑥

= 1

(단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)



lim

𝑥→0 sin 𝑥 𝑥

= 1

(단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) 의 증명  그림 (3-8.3) 에서 △𝑂𝐴𝐵 의 중심각 𝑥 는 0 < 𝑥 <𝜋₂ 이고,  𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟 이 때, 각 도형의 면적관계는  △𝑂𝐴𝐵 < 부채꼴 𝑂𝐴𝐵 < △𝑂𝐴𝑇 △𝑂𝐴𝐵 = 1 2𝑂𝐴 · 𝐵𝐻 = 1 2𝑟 · 𝑟 sin 𝑥 = 1 2𝑟 2_{sin 𝑥} 부채꼴 𝑂𝐴𝐵 =1₂𝑟2 𝑥 △𝑂𝐴𝑇 = 1₂𝑂𝐴 · 𝐴𝑇 = 1₂𝑟 · 𝑟 tan 𝑥 = 1₂𝑟2tan 𝑥 ∴ 1 2𝑟 2_{sin 𝑥 <} 1 2𝑟 2 _{𝑥 <} 1 2𝑟

2_{tan 𝑥 sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥}

 위 식을 sin 𝑥 로 나누고, 이 결과를 역수로 취하면, 1 > sin 𝑥_𝑥 > cos 𝑥

 여기서, 𝑥 → 0 일 때, cos 𝑥 → 1 , (즉, lim 𝑥→0cos 𝑥 = 1 ) O B A (그림 3-8.3) 𝑥 𝑟 𝑟 _H T

4 예제 3-3) 다음의 극한값을 구하라. 1)

lim

𝑥→0 sin 2𝑥 sin 𝑥

=

0 0 2)

lim

𝑥→0 tan 𝑥 𝑥

=

0 0

※ Remember!!

𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

lim 𝑥→0 sin 2𝑥 sin 𝑥 = 𝑥→0lim 2sin 𝑥 · cos 𝑥

sin 𝑥 = 𝑥→0lim2cos 𝑥 =2

lim

𝑥→0 tan 𝑥 𝑥

= lim

_𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 cos 𝑥

= lim

_𝑥→0 sin 𝑥 𝑥

·

_𝑥→0

lim

1 cos 𝑥

= 1

 지수함수의 정의  실수 𝑥 에 대하여, 2𝑥 , 5𝑥 등 과 같이 𝑎𝑥 의 값이 정해지는 함수. _{𝑦 = 𝑎}𝑥 , _{(𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 로 표시되며, 𝑦 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 𝑥 의 지수함수라 함.}  지수함수에서 𝑎 > 1 인 경우와 0 < 𝑎 < 1 인 경우

 지수함수의 성질: 𝑦 = 𝑎𝑥 _{, ( 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 ) 에서} 1) 정의역은 실수 전체의 집합 2) 치역은 양의 실수 전체의 집합 3) 𝑎 > 1 일때, 𝑥 가 증가하면 𝑦 도 증가 (단조증가) 4) 0 < 𝑎 < 1 인 경우, 𝑥 가 증가하면 𝑦 는 감소 (단조감소) 5) 그래프는 점(0,1)을 지나고, 𝑥 축 (𝑦 = 0) 이 점근선 1 1 𝑎 1 1 𝑎 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥

6  지수함수의 극한  𝑎 > 1 인 경우 lim 𝑥→∞𝑎 𝑥 _{= ∞} lim 𝑥→−∞𝑎 𝑥 _{= 0}  0 < 𝑎 < 1 인 경우

lim 𝑥→∞𝑎 𝑥 _{= 0} lim 𝑥→−∞𝑎 𝑥 _{= ∞}

예제) 다음의 극한값을 구하라. 1)

lim

𝑥→∞ 4𝑥 3𝑥

=

∞ ∞ 1 𝑎 1 𝑦 𝑥 1 1 𝑎 𝑦 𝑥 lim 𝑥→∞ 4𝑥 3𝑥 = lim_𝑥→∞ 4 3 𝑥 =∞

3-8-3. 로그함수의 극한  로그함수의 정의  임의의 양수 𝑏 에 대해, 𝑎𝑥 _{= 𝑏 , (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 를 만족시키는 실수 𝑥 는 오직 하나 존재함.}  이 임의의 양수 𝑏 에 대한 𝑥 값은, 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑏 로 표시됨. 이 때, 𝑥 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 𝑏 의 로그(logarithm)라고 하며, 𝑏 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 로그 𝑥 의 진수(anti-logarithm)라 함.  로그함수에서 𝑎 > 1 인 경우와 0 < 𝑎 < 1 인 경우  로그함수의 성질: 𝑦 = log_𝑎𝑥, (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 에서 1) 정의역은 양수 전체의 집합 2) 치역은 실수 전체의 집합 3) 𝑎 > 1 일때, 𝑥 가 증가하면 𝑦 도 증가 (단조증가) 4) _{0 < 𝑎 < 1 인 경우, 𝑥 가 증가하면 𝑦 는 감소 (단조감소)} 1 1 𝑎 1 1 𝑎 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦

8  로그함수의 극한  𝑎 > 1 인 경우 lim 𝑥→∞log𝑎𝑥 = ∞ lim 𝑥→+0log𝑎𝑥 = −∞  0 < 𝑎 < 1 인 경우

lim 𝑥→∞log𝑎𝑥 = −∞ lim 𝑥→+0log𝑎𝑥 = ∞ 예제) 다음의 극한값을 구하라. 1)

lim

𝑥→1+0

log

2

(𝑥 − 1) = −∞

1 𝑎 1 𝑥 𝑦 1 1 𝑎 𝑥 𝑦

<퀴즈 review>  극한값의 계산 (1) 확정형: 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 가 다항함수이고 분수식의 분모 𝑔(𝑥) ≠ 0 일 때, 𝑥 의 정해진 값을 대입. 예제) lim 𝑥→1 3𝑥2−3 𝑥+1 = 0 (2) 불능형: 함수에 𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶₀ 형 (𝐶는 상수)의 불능이 되는 경우 예제) lim 𝑥→2+0 −1 (𝑥−2) = −∞ , lim𝑥→1−0 −1 (𝑥−1) = ∞ (3) 부정형 (a) 0 0 형 : (분수함수) 분모, 분자를 인수분해 하여 약분 (무리함수) 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→2 𝑥3−8 𝑥2_−3𝑥+2 = 0 0 𝑥→2lim (𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4) (𝑥−2)(𝑥−1) = lim𝑥→2 (𝑥2+2𝑥+4) (𝑥−1) = 12 2) lim 𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3 = 0 0 𝑥→0lim 𝑥 𝑥+9−3 = lim𝑥→0 𝑥 ( 𝑥+9+3) ( 𝑥+9−3)( 𝑥+9+3)= lim𝑥→0 𝑥( 𝑥+9+3) 𝑥 = 6

10 (b) ∞ ∞ 형 : (분수함수) 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눔 (무리함수) 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눔 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→∞ 6𝑥2−5𝑥 3𝑥−1 = ∞ ∞ _𝑥→∞lim 6𝑥2−5𝑥 3𝑥−1 = lim𝑥→2 6𝑥−5 3−1 𝑥 = ∞ 2) lim 𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2₋₂ = ∞ ∞ 𝑥→∞lim 6𝑥 3+𝑥2₋₂ = lim_𝑥→∞ 6 3 𝑥2+1− 2 𝑥 = 6 (c)

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

형: 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산. 예제) 다음의 극한값을 구하라. 1) lim 𝑥→1 4 𝑥−1− 2 𝑥2₋₁ = ∞ − ∞ lim_𝑥→1 4(𝑥+1)−2 (𝑥−1)(𝑥+1)= lim𝑥→1 4𝑥+2 (𝑥−1)(𝑥+1) = ∞ 2) lim 𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2 × 1 (𝑥2₋₁₎ = 0 × ∞ lim_𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2 × 1 (𝑥−1)(𝑥+1) = lim𝑥→1 1 𝑥2_(𝑥+1) = 1 2