생명과학을 위한 수학 2 기출문제 - [2020-2] 생명과학을 위한 수학 2 중간고사

2020학년도

2학기 생명과학을 위한 수학 2

중간고사

모범답안

및

채점기준

모든 문제에서 계산을 끝마치지 못한경우 점수를 받을 수 없습니다.

문제 7

(a)

마르코프 부등식 P (X ≥ a) ≤ E(X) a 를 이용해 P (X ≥ 60) ≤ 40 60 = 2 3 와 같이 문제를 푼 경우 7점 마르코프 부등식을 논리적으로 설명한 경우 7점.

(b)

체비셰프 부등식 P (|X − m| > kσ) ≤ 1 k2 혹은 P (|X| > a) ≤ E(X 2₎ a2 을 적은경우 3점. P (X ≤ 20 or X ≥ 60) = P (|X − 40| ≥ 2 ∗ 10) ≤ 1 4 정규화와 계산을 통해 증명을 완료한 경우 5점. 총 8점

문제 8

(a)

P (2 < x ≤ 6) = F (6) − F (2) = 5 6− 1 3 = 1 2 를 이용하거나 잘 작성된 (b)의 결과를 이용해 P (2 < x ≤ 6) = P (X = 4) + P (X = 6) = 1 6 + 1 3 = 1 2 을 보인경우 5점

(b)

P (X = n) = P (X ≤ n) − P (X ≤ n − 1) = F (n) − F (n − 1) 을 이용해 k 1 2 3 4 5 P (X = k) 1₃ 0 0 1₆ 0 k 6 7 8 9 10 P (X = k) 1₃ 0 0 0 1₆ 를 잘 작성한 경우 3점. E(X) = 1 × 1 3+ 4 × 1 6+ 6 × 1 3 + 10 × 1 6 = 28 6 = 14 3 를 잘 계산한 경우 2점. 총 5점.

문제 9

(a)

1 = ∞ X n=1 pX(n) = C ∞ X n=1 (log 2)2n (2n)! = C elog 2_{+ e}− log 2 2 = 5 4C 임을 계산해 C = 4 5를 도출한 경우 6점.

(b)

확률생성함수 g(x) =P∞ i=1pX(n)xn까지만 작성한 경우 점수를 받지 않음. g(x) = C ∞ X i=1 (log 2)2n (2n)! x n_{= C} ∞ X i=1 ((log 2)√x)2n (2n)! =2 5  e(log 2) √ x_{− e}−(log 2)√x₌4 5cosh (log 2) √ x
를 얻어낸경우 7점.

(c)

g0(x) = 2(log 2) sinh (log 2) √ t
5√t g00(x) = 1 5x −3 2 _{(log 2)(} √

x(log 2) cosh(√x log 2)) − sinh(√x log 2)
를 이용해 E(X) = g0(1) = (1) = 3 10(log 2) 를 계산한 경우 2점. V (X) = g00(1) + g0(1) − (g0(1))2 와 같이 V (X)를 구하는 식을 세운경우 2점. V (X) = 4 25(log 2) 2₊ 3 20(log 2) 임을 정확하게 구한 경우 3점.

문제 10

(a)

던진 횟수를 확률변수 X라고 했을 때, P (X = n) = 1 2n 임을 이용해 P (X is odd) = ∞ X k=1 P (X = 2k − 1) = ∞ X k=1 1 22k−1 = 2 3 를 구한경우 5점.

(b)

확률변수 n과 m에 대해서, n과 m은 독립이다. P (n + m is odd)

= P (n+m is odd|n is odd)P (n is odd)+P (n+m is odd|n is even)P (n is even) = P (m is even)P (n is odd) + P (m is odd)P (n is even)

=1 3P (n is odd) + 2 3P (n is even) 인데, P (n is odd) = ∞ X k=1 1 22k−1 = 2 3 이므로 답은 1 3× 2 3 + 2 3 × 1 3 = 4 9 답을 구한경우 10점. 각 n에 대해 n + m이 홀수일 확률을 다음과 같이 구한경우, n is odd =⇒ P (n + m is odd) = 1 3 n is even =⇒ P (n + m is odd) = 2 3 10점.