생명과학을 위한 수학 2 중간고사 (2018년 10월 20일 오후 1:00–3:00) 학번 : 이름 : 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [20점] 다음 급수의 수렴, 발산을 판정하고 그 근거를 밝히 시오. (a) (5점) ∞ ∑ n=1 tan1 n (b) (5점) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1log n n (c) (5점) ∞ ∑ n=1 log n 2n (d) (5점) ∞ ∑ n=2 1 n√log n 문제 2 [20점] 다음을 구하시오. (a) (10점) 멱급수 ∞ ∑ n=1 n 3n(2x− 1) n의 수렴반경과 수렴구간을 구하시오. (b) (10점) ∞ ∑ n=0 (−1)nn 3n 의 값이 존재하면 그 값을 구하시오. 문제 3 [15점] 다음을 만족하는 an에 대하여 a2018을 구하고 그 근거를 밝히시오. (1 + ex)3= ∞ ∑ n=0 anxn 문제 4 [25점] 함수 ∫ x 0 1 1 + t2 dt의 테일러 급수를 이용하여, 급수 ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n + 1)(n + 1) 1 2n+1 의 값을 구하시오. 문제 5 [20점] 다음과 같이 정의된 주기 2π 인 함수 f (x) 에 대하여 물음에 답하시오. f (x) = π2− x2, − π ≤ x < π (a) (15점) 함수 f (x) 의 푸리에 급수를 구하시오. (b) (5점) 급수 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n2 의 합을 구하시오. 문제 6 [10점] 자식이 4명인데 적어도 딸이 둘인 가족에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 나머지 두 명이 모두 딸일 확률을 구하시오. (b) (5점) 첫째가 딸일 때 나머지 세 명이 모두 딸일 확률을 구하 시오. ⟨ 연습용 여백 ⟩ 1
생명과학을 위한 수학 2 중간고사 문제 7 [10점] 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 음이 아닌 확률변수 X 와 양수 a 에 대하여 마르코프 부등식 P(X ≥ a) ≤ E(X) a 이 성립함을 증명하시오. (b) (5점) 평균이 0 인 확률변수 X, 양수 a 와 실수 b 에 대하여 마르코프 부등식을 이용하여 다음 부등식을 증명하시오. P(|X − b| ≥ a) ≤ V (X) + b2 a2 문제 8 [15점] 수강생이 500명인 생수 강좌의 숙제에 대하여 집중 조사를 하면 정확하게 표절을 밝혀 낼 수 있다고 할 때 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 수강생 중 10명의 학생이 숙제를 표절했다고 한다. 무작위로 n 명을 뽑아 집중 조사를 통해 찾아낸 표절을 한 학생 수의 기댓값을 구하시오. (b) (5점) 각 학생이 숙제를 표절할 확률은 0.02 로 같다고 한다. 표절한 학생의 수에 대한 기댓값을 구하시오. 문제 9 [10점] 학생 A의 1년 동안 결석 횟수는 평균 5회인 푸아송 분포를 따르고, 학생 B의 1년 동안 결석 횟수는 평균 3회인 푸아송 분포를 따른다. 두 학생이 결석하는 사건은 독립일 때, 두 학생의 1 년 동안의 결석 횟수를 합쳐서 10회 이하일 확률을 구하시오. 문제 10 [10점] 서로 독립인 두 확률변수 X1, X2의 확률질량함수 가 다음과 같을 때, f (x) = { x 6, x = 1, 2, 3 0, x̸= 1, 2, 3 확률변수 Y = X1+ X2의 적률생성함수를 구하시오. 문제 11 [15점] 확률변수 X 가 모수 2 인 지수분포를 따를때, X 의 적률생성함수를 이용하여 E(X3 )를 구하시오. 문제 12 [10점] 음이 아닌 변수 X 가 모든 s, t≥ 0에 대하여 다음 등식을 만족하면 X 가 무기억성질을 가진다고 한다. P(X > s + t|X > t) = P(X > s) s, t가 자연수일 때, 기하분포가 무기억성질을 가짐을 보이시오. 문제 13 [20점] 함수 f (x) = e−x22 에 대하여 다음 물음에 답하시 오. (a) (5점) 원점에서 함수 f (x) 의 테일러 급수를 구하고 수렴범위 도 구하시오. (b) (15 점) 확률변수 Z 가 표준정규분포를 따를 때, 즉 Z ∼ N (0, 1)일 때, √ 2π· P(0 ≤ Z ≤ 0.1) 의 근삿값을 오차가 10−4보다 작아지도록 구하시오. ⟨ 연습용 여백 ⟩ 2
