2020 짱쉬운유형 미적분 답지 정답

유형`01. 수열의 극한

01

10

= =3

11

= =4

12

= =;3*;

13

= =;2&;

14

= =;2#;

15

= =5

16

= = =;2#;

17

=4에서 a+0이면 ¶ 또는 -¶로 발산하 므로 a=0이다. 즉, = =;3B; 이므로 ;3B;=4에서 b=12 ∴ a+b=0+12=12 7 b+1_n 1 3+15_n lim n⁄¶ bn+7 3n+1 lim n⁄¶ an¤ +bn+7 3n+1 lim n⁄¶ 2 1 3+1-14 n n¤ 1 2+14 n¤ lim n⁄¶ 3n¤ +2n-1 2n¤ +1 lim n⁄¶ (n+1)(3n-1) 2n¤ +1 lim n⁄¶ 1 5+14 n‹ 3 1+14 n‹ lim n⁄¶ 5n‹ +1 n‹ +3 lim n⁄¶ 1 1 3+1+14 n n¤ 1 2+14 n¤ lim n⁄¶ 3n¤ +n+1 2n¤ +1 lim n⁄¶ 1 7-1_n 3 2+15 n¤ lim n⁄¶ 7n¤ -n 2n¤ +3 lim n⁄¶ 1 8+14 n¤ 2 3-14 n¤ lim n⁄¶ 8n¤ +1 3n¤ -2 lim n⁄¶ 6 4+14 n¤ 3 1+1 n lim n⁄¶ 4n¤ +6 n¤ +3n lim n⁄¶ 3 6-14 n¤ 5 2+1 n lim n⁄¶ 6n¤ -3 2n¤ +5n lim n⁄¶

01

;n@;는 꼴이므로 0에 수렴한다.

02

분모의 최고차항 n¤ 으로 분모, 분자를 나누면 = =0

03

= = =3

04

= =;2!;

05

= =;3!;

06

= =;3@;

07

분자, 분모를 n으로 나누면 = =0

08

= =3

09

("√n¤ +n-n)= = = = 1₁ =;2!; Æ…1+1+1_n lim n⁄¶ n "çn¤ +n+n lim n⁄¶ n¤ +n-n¤ "çn¤ +n+n lim n⁄¶ ("√çn¤ +n-n)("√çn¤ +n+n) "çn¤ +n+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 3+1 n 2 Ƭ1-13_n¤ lim n⁄¶ 3n+1 "√n¤ -2 lim n⁄¶ ;n#; 1 Ƭ1+13_n¤ lim n⁄¶ 3 "√n¤ +1 lim n⁄¶ 1 2+14 n¤ 5 3-1 n lim n⁄¶ 2n¤ +1 3n¤ -5n lim n⁄¶ 2 1+14 n¤ 3 3+14 n¤ lim n⁄¶ n¤ +2 3n¤ +3 lim n⁄¶ 1 1-1_n 1 2+1_n lim n⁄¶ n-1 2n+1 lim n⁄¶ 3+0 1-0 3+;n!; 1-;n#; lim n⁄¶ 3n+1 n-3 lim n⁄¶ 4 1 1-14_{n n¤} 2 1+1_n lim n⁄¶ 4n-1 n¤ +2n lim n⁄¶ (상수) ¶ lim n⁄¶

01

①

02

③

03

⑤

04

④

05

②

06

④

07

①

08

③

09

④

0

1

본문009`~`010쪽

수열의 극한

10

③

11

④

12

②

13

③

14

③

15

⑤

16

①

17

12

18

③

19

③

20

①

21

14 본문010`~`012쪽

18

= = =;5#;

19

= = =;2#;

20

= = =1

21

("√n¤ +28n -n) = = = =:™2•:=14

22

= =;3@;

23

= =;5@;

24

= =;2#; 1 3-14 n¤ 1 2 2-1+14 n n¤ lim n⁄¶ 3n¤ -1 2n¤ -n+2 lim n⁄¶ 5 2+14 n‹ 2 5-14 n¤ lim n⁄¶ 2n‹ +5 5n‹ -2n lim n⁄¶ 1 2-14 n¤ 1 3+14 n¤ lim n⁄¶ 2n¤ -1 3n¤ +1 lim n⁄¶ 28 111111 Æ…1+:™n•:+1 lim n⁄¶ 28n "√n¤ +28n +n lim n⁄¶ ("√n¤ +28n -n)("√n¤ +28n +n) "√n¤ +28n +n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 '9-1 1 2+1_n 1 Ƭ9+13-1_n¤ lim n⁄¶ 2n+1 "ç9n¤ +1-n lim n⁄¶ '9 2 æ≠9+;n$;+;n¤:¡: 2+;n%; lim n⁄¶ "√9n¤ +4n+1 2n+5 lim n⁄¶ 'ƒ9+0 5-0 4 Ƭ9+14_n¤ 2 5-1_n lim n⁄¶ "√9n¤ +4 5n-2 lim n⁄¶

25

= = =2

26

= =a ∴ a=-3

27

a«=S«-S«–¡ =(n¤ +2n)-{(n-1)¤ +2(n-1)} a«=(n¤ +2n)-(n¤ -1) a«=2n+1(단, `næ2) ∴ = = =2

28

= = =1

29

= = =-1

30

("√n¤ +2n-n)= = = = =1 2 1+1 2 2 Æ…1+1+1_n lim n⁄¶ 2n "√n¤ +2n+n lim n⁄¶ ("√n¤ +2n-n)("√n¤ +2n+n) "√n¤ +2n+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ "1-2 1 2 Æ…1+13-2_n¤ 1 1+1_n lim n⁄¶ "√n¤ +2-2n n+1 lim n⁄¶ 1 '4-1 2 1-1_n 1 Æ…4+13-1_n¤ lim n⁄¶ n-2 "√4n¤ +1-n lim n⁄¶ 2+;n!; 1+;n@; lim n⁄¶ 2n¤ +n n¤ +2n lim n⁄¶ na« S« lim n⁄¶ 2 a-1_n 1 1+1_n lim n⁄¶ an-2 n+1 lim n⁄¶ 1 2-1_n 1 1-15 n¤ lim n⁄¶ 2n¤ -n n¤ -1 lim n⁄¶ 2n¤ -n (n+1)(n-1) lim n⁄¶

22

③

23

③

24

③

25

②

26

④

27

②

28

④

29

②

30

① 본문012`~`013쪽

유형`02. 등비수열의 극한

03

01

①

02

④

03

④

04

3

05

②

06

⑤

0

2

본문015쪽

등비수열의 극한

01

{;3@;}n =0, {;2!;}n =0이므로 [{;3@;}n +{;2!;}n ]=0

02

= 2=2

03

3« ±⁄ =3_3« 이므로 = = 3=3

04

2« ±⁄ =2_2« 이므로 = = 3=3

05

= [2+{;2!;} n ]=2+0=2

06

= [4+{;4@;}n ]=4+0=4

07

= _{[3-13_{;9!;}}n_]=3

08

= [2_3+5_{;3!;} n ]=6

09

= [4_3+{;3!;}«] =12+0=12

10

= [5_7+3_{;7!;} n ]=35 lim n⁄¶ 5_7« ±⁄ +3 7« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 4_3« ±⁄ +1 3« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2_3« ±⁄ +5 3« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3_9« -13 9« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 4« ±⁄ +2« 4« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2« ±⁄ +1 2« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 6_2« 2_2« lim n⁄¶ 6_2« 2« ±⁄ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3_3« 3« lim n⁄¶ 3« ±⁄ 3« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2_5« 5« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶

07

3

08

⑤

09

⑤

10

⑤

11

①

12

③

13

④

14

②

15

④

16

③

17

⑤

18

③ 본문016`~`017쪽

11

= {;5!;- } =;5!;-=;5!;

12

= =3

13

= =5

14

= = =8

15

= =;5@;

16

= =6a=4 ∴ a=;3@;

17

{2+ }{a+ }=2_a=10 ∴ a=5

18

첫째항이 3이고 공비가 3인 등비수열 {a«}의 일반항 a«은 a«=3_3« —⁄ =3« ∴ = ∴ =lim_{[3-7_{;3!;}n ]=3} n⁄¶ 3_3« -7 3« lim n⁄¶ 3« ±⁄ -7 a« lim n⁄¶ 1 2« 1 3« lim n⁄¶ 5 6a-{1}n₆ 5 1+{1}n₆ lim n⁄¶ a_6« ±⁄ -5« 6« +5« lim n⁄¶ 2-{;5#;}n 5+{;5@;}n lim n⁄¶ 2_5« -3« 5n+1 +2« lim n⁄¶ 8-0 1+0 1 8-{1}₂ « 1111₃ 1+13 8« lim n⁄¶ 8« ±⁄ -4« 8« +3 lim n⁄¶ 5+2_{;5!;}n 1+{;5#;}n lim n⁄¶ 5« ±⁄ +2 5« +3« lim n⁄¶ 1 3+{1}₂ « 1111₃ 1+13 4« lim n⁄¶ 3_4« +2« 4« +3 lim n⁄¶ 3 5« ±⁄ lim n⁄¶ 3 5« ±⁄ lim n⁄¶ 5« -3 5« ±⁄ lim n⁄¶

19

③

20

15

21

①

22

④

23

18

24

①

25

①

26

1

27

①

28

①

29

6

30

③ 본문018`~`019쪽

∴ a=6

30

첫째항이 5이고 공비가 r인 등비수열 {a«}의 일반항 a«은 a«=5_r« —⁄ a™=5r=10 ∴ r=2 따라서 a«=5_2« —⁄ 이므로 = = =:¡5™: 6+4_{;2!;}n ;2%; lim n⁄¶ 3_2« ±⁄ +4 5_2« —⁄ lim n⁄¶ 3_2« ±⁄ +4 a« lim n⁄¶

01

수열 {a«}은 첫째항이 a, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 a¡+a™+a£+y= a¡+a™+a£+y= a¡+a™+a£+y=2a

02

수열 {a«}은 첫째항이 4, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 a«=a¡+a™+a£+y = = =8 4 125 ;2!; 4 1123 1-;2!; ¶ ¡ n=1 a 125 ;2!; a 1123 1-;2!;

19

= [5+3_{;7!;}n ]=5

20

= [15-4_{;5!;}n ]=15

21

= =;2!;

22

= =6

23

= =18

24

= =-5

25

= = =;4@;=;2!;

26

= = =1

27

= =;5!;

28

= = =;9!;

29

= =;3A;=2 a+{;3!;}n 3+{;3@;}n lim n⁄¶ a_3« +1 3« ±⁄ +2« lim n⁄¶ 8_{;9*;}n +;9!; 1-{;9*;}n lim n⁄¶ 8_8« +;9!;_9« 9« -8« lim n⁄¶ 8« ±⁄ +3¤ « —¤ 3¤ « -8« lim n⁄¶ ;5!; 1-{;5#;}n lim n⁄¶ 5« —⁄ 5« -3« lim n⁄¶ 1+{;6#;}n 1+{;6@;}n +{;6#;}n +{;6!;}n lim n⁄¶ 6« +3« 6« +2« +3« +1 lim n⁄¶ 6« +3« (2« +1)(3« +1) lim n⁄¶ 2+3_{;4!;}n 4+{;2!;}n lim n⁄¶ 2_4« +3 4_4« +2« lim n⁄¶ 2_4« +3 4« ±⁄ +2« lim n⁄¶ {;5@;}n -5 {;5#;}n +1 lim n⁄¶ 2« -5« ±⁄ 3« +5« lim n⁄¶ 6_3-2_{;3@;}n 1+{;3@;}n lim n⁄¶ 6_3« ±⁄ -2« ±⁄ 3« +2« lim n⁄¶ 2_3+{;3!;}« 1-2_{;3!;}« lim n⁄¶ 2_3« ±⁄ +1 3« -2 lim n⁄¶ 3 1+155 2« 11155₂ lim n⁄¶ 2« +3 2« ±⁄ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3_5« ±⁄ -4 5« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 5_7« +3 7« lim n⁄¶

01

③

02

④

03

⑤

04

③

05

①

06

③

07

②

0

3

본문021쪽

급수

유형`03. 급수

05

03

수열 {a«}은 첫째항이 6, 공비가 ;3!;인 등비수열이므로 a«=a¡+a™+a£+y = = =:¡2•:=9

04

급수 { } n 은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비급수이다. ⁄x=0인 경우 ⁄첫째항이 0이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. ¤x+0인 경우 ⁄-1< <1에서 -3<x<3 ⁄정수 x의 값은 ⁄-2, -1, 1, 2 ⁄, ¤에서 정수 x의 개수는 1+4=5

05

급수 a«이 3에 수렴하므로 a«=0

06

급수 (a«-4)가 8에 수렴하므로 (a«-4)=0 a«-4=b«이라 하면 a«=b«+4 ∴ a«= (b«+4) ∴ a«=0+4 ∴ a«=4

07

= { - } ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y = [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y +{ - }+{ - }] = {1- } =1 ∴ a=1 1 n+1 lim n⁄¶ 1 n+1 1 n 1 n 1 n-1 lim n⁄¶ 1 n+1 1 n ¶ ¡ n=1 1 n(n+1) ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 x 3 x 3 x 3 x 3 ¶ ¡ n=1 6 125 ;3@; 6 1123 1-;3!; ¶ ¡ n=1

08

18

09

12

10

⑤

11

5

12

③

13

16 본문022쪽

08

수열 {a«}은 첫째항이 12, 공비가 ;3!;인 등비수열이므로 a«= =18

09

수열 {a«}은 공비가 ;5!;인 등비수열이고 a«=15이므로 a«= =;4%;a¡=15 ∴ a¡=12

10

급수 { } n 은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비급수이다. ⁄x=0인 경우 ⁄첫째항이 0이므로 주어진 등비급수는 수렴한다. ¤x+0인 경우 ⁄-1< <1에서 -5<x<5 ⁄정수 x의 값은 ⁄-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4 ⁄, ¤에서 정수 x의 개수는 1+8=9

11

급수 {a«- }이 수렴하므로 {a«- }=0 a«- =b«이라 하면 a«=b«+ 이고 b«=0이므로 a«= {b«+ }=5

12

급수 (2a«-3)이 수렴하므로 (2a«-3)=0 2a«-3=b«이라 하면 a«=;2!;(b«+3)이고 b«=0이므로 a«= ;2!; (b«+3)=;2#; 즉, r=;2#;이므로 = = = =;4(;

13

등비수열 {a«}의 공비를 r (r>0)라 하면 a¡+a™=a¡+a¡r=a¡(1+r)=20 ;4(;-0 1+0 ;4(;-{;3@;} n 1+{;3@;} n lim n⁄¶ {;2#;} n+2 -1 {;2#;} n +1 lim n⁄¶ r« ±¤ -1 r« +1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 5n n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 5n n+1 5n n+1 5n n+1 lim n⁄¶ 5n n+1 ¶ ¡ n=1 x 5 x 5 x 5 x 5 ¶ ¡ n=1 a¡ 1123 1-;5!; ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 12 1123 1-;3!; ¶ ¡ n=1

∴ a¡= yy`㉠ a«= = =;3$; ∴ 3a¡r¤ =4(1-r) yy`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 3{ }r¤ =4(1-r) 15r¤ =(1-r)(1+r) r¤ =;1¡6; ∴ r=;4!; (`∵ r>0) r=;4!;을 ㉠에 대입하면 a¡=16

14

5{;4#;}n - 1 = = =20

15

a«= = = =16 ∴ a=16_;4#;=12

16

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=ar=12㉠ yy`㉠ a£=ar¤ =8㉠ yy`㉡ ㉡÷㉠을 하면 r=;1•2;=;3@; 이것을 ㉠에 대입하면 ;3@;a=12 ∴ a=12_;2#;=18 ∴ a«= = =54

17

등비수열 {a«}의 공비를 r라 하면 a™=12, a£=2x에서 = =r= = 이므로 -1< <1 ∴ -6<x<6 따라서 구하는 정수 x의 개수는 11이다.

18

급수 {a«- }이 수렴하므로 3n-1 2n+1 ¶ ¡ n=1 x 6 x 6 2x 12 a¡r¤ a¡r a£ a™ 18 125 ;3!; 18 1123 1-;3@; ¶ ¡ n=1 4a 3 a 125 ;4#; a 1123 1-;4!; ¶ ¡ n=1 5 125 ;4!; 5 1123 1-;4#; ¶ ¡ n=1 20 1+r a¡r¤ 1-r a£ 1-r ¶ ¡ n=3 20 1+r {a«- }=0 a«- =b«이라 하면 a«=b«+ ∴ a«= {b«+ } ∴ a«= ·b«+ ‚ ∴ a«=0+;2#;=;2#;

19

급수 a«이 수렴하므로 a«=0 ∴ = =-3

20

(a«-3)=5이므로 (a«-3)=0 ∴ a«=3=r ∴ = = {;3!;} n ∴ = =;2!;

21

=10 { - } =10[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y] =10 {1- } =10 1 n+1 lim n⁄¶ 1 n+1 1 n ¶ ¡ n=1 10 n(n+1) ¶ ¡ n=1 ;3!; 11155 1-;3!; ¶ ¡ n=1 1 3« ¶ ¡ n=1 1 r« ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 2_0-3 0+1 2a«-3 a«+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 3-;n!; 11155 2+;n!; lim n⁄¶ 3n-1 2n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3n-1 2n+1 3n-1 2n+1 3n-1 2n+1 lim n⁄¶

14

④

15

12

16

⑤

17

11

18

⑤

19

①

20

②

21

③ 본문023쪽

유형`04. 지수함수와 로그함수의 극한

07

01

⑴ { } x =0 ⑵ = { } x =0 ⑶ = =3 ⑷ log™(x+5)=log™ 8=log™ 2‹ =3 ⑸ log£ = log£ = log£ (x+7) =log£ 9=log£ 3¤ =2

02

(1+x) = {(1+x) }2=e¤ 따라서 a=2, b=2이므로 a+b=4

03

{1+ } 3x = [{1+ } x ]3 =e‹ 따라서 a=3, b=3이므로 a+b=6

04

{1+ } -2x = [{1+ } x ] -2 {1+ } -2x =e—¤ =

05

(1+2x) = {(1+2x) }fl =efl

06

{1+ } = [{1+ } ] =e

07

= = ln(1+x) = ln e=

08

x ln {1+ }2 =2 ln {1+ }x =2 ln e=2

09

= _ =1_ {∵ =1} =1 3 e≈ -1 x lim x⁄0 1 3 1 3 e≈ -1 x lim x⁄0 e≈ -1 3x lim x⁄0 1 x lim x⁄¶ 1 x lim x⁄¶ 1 2 1 2 1 x lim x⁄0 1 2 ln(1+x) x lim x⁄0 1 2 ln(1+x) 2x lim x⁄0 2 3 2 3 x 2 2 x lim x⁄¶ x 3 2 x lim x⁄¶ 1 2x lim x⁄0 3 x lim x⁄0 1 e¤ 1 x lim x⁄¶ 1 x lim x⁄¶ 1 x lim x⁄¶ 1 x lim x⁄¶ 1 x lim x⁄0 2 x lim x⁄0 lim x⁄2 (x-2)(x+7) x-2 lim x⁄2 x¤ +5x-14 x-2 lim x⁄2 lim x⁄3 3 3-2 3≈ 3≈ -2≈ lim x⁄1 3 5 lim x⁄¶ 3≈ 5≈ lim x⁄¶ 1 3 lim x⁄¶

10

= _2 =1_2=2

11

= = _1 {∵ =1} =

12

=3 =3

13

= [ _ ] =1_4=4

14

= [ _ + ] = _1+ =6

15

= [ _ _;3!;] =1_5_;3!;=;3%;

16

= { _ } =1_;3%;=;3%;

17

= = + = + { _;2#;} =1+1_;2#;=;2%;

18

= { _2+10} =1_2+10=12 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ +10x-1 x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 3x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e‹ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 (e¤ ≈ -1)+(e‹ ≈ -1) 2x lim x⁄0 e¤ ≈ +e‹ ≈ -2 2x lim x⁄0 5x 3x efi ≈ -1 5x lim x⁄0 efi ≈ -1 3x lim x⁄0 x¤ +5x x 3x ln(1+3x) lim x⁄0 x¤ +5x ln(1+3x) lim x⁄0 9 2 3 2 9 2 ln(1+3x) 3x 3 2 lim x⁄0 ln(1+3x)+9x 2x lim x⁄0 12x 3x ln(1+12x) 12x lim x⁄0 ln(1+12x) 3x lim x⁄0 ln(1+3x) 3x lim x⁄0 ln(1+3x) x lim x⁄0 1 3 ln(1+x) x lim x⁄0 1 3 ln(1+x) x lim x⁄0 1 3 ln(1+x) 3x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 x lim x⁄0

01

⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ 3 ⑷ 3 ⑸ 2

02

④

03

③

04

①

05

⑤

06

③

07

④

08

③

09

①

10

④

0

4

본문025`~`026쪽

지수함수와 로그함수의 극한

11

③

12

③

13

④

14

6

15

③

16

②

17

⑤

18

12

19

①

20

③

21

②

22

④

23

②

24

① 본문026`~`028쪽

19

= = -=3_ -2_ =3-2=1

20

= = =3

21

= _ =1_;2!;=;2!;

22

=;2%; _ =;2%;_1_1 =;2%;

23

=2 _ =2_1_1=2

24

함수 f(x)가 x=0에서 연속이려면 f(0)= f(x)가 성립하 여야 한다. b= yy㉠㉠ 에서 x → 0일 때 (분모) → 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) → 0이어야 한다. 즉, (e¤ ≈ +a)=0이므로 1+a=0 ∴ a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 b= = _2=1_2=2 ∴ a+b=1 e¤ ≈ -1 2x lim x⁄0 e¤ ≈ -1 x lim x⁄0 lim x⁄0 e¤ ≈ +a x lim x⁄0 lim x⁄0 3x ln(1+3x) lim x⁄0 efl ≈ -1 6x lim x⁄0 efl ≈ -1 ln(1+3x) lim x⁄0 2x e¤ ≈ -1 lim x⁄0 ln(1+5x) 5x lim x⁄0 ln(1+5x) e¤ ≈ -1 lim x⁄0 1 x¤ +2 lim x⁄0 e≈ -1 x lim x⁄0 e≈ -1 x(x¤ +2) lim x⁄0 1 ;3@;-;3!; 1 e› ≈ -1 e¤ ≈ -1 1115-1115_{6x 6x} lim x⁄0 6x e› ≈ -e¤ ≈ lim x⁄0 e› ≈ -1 4x lim x⁄0 efl ≈ -1 6x lim x⁄0 e› ≈ -1 2x lim x⁄0 efl ≈ -1 2x lim x⁄0 (efl ≈ -1)-(e› ≈ -1) 2x lim x⁄0 efl ≈ -e› ≈ 2x lim x⁄0

25

①

26

④

27

②

28

②

29

④

30

④

31

⑤

32

④

33

3 본문028`~`029쪽

25

= _(-3) =1_(-3) {∵ =1} =-3

26

= [ _ _;2!;] =1_(-6)_;2!;=-3

27

= _ =1_;3$; {∵ =1} =;3$;

28

= = _ =1_1=1

29

= _ _;3!; =1_1_;3!; =;3!; [다른 풀이] = = = =;3!;

30

= + = _;2%;+ _;2!; =;2%;+;2!;=3

31

= = _6- _3+ =6-3+2=5

32

= _ _ _4 =1_;2!;_1_4=2 ln(1+4x) 4x 1 2 2x e¤ ≈ -1 lim x⁄ 0 ln(1+4x) e¤ ≈ -1 lim x⁄ 0 2x x lim x⁄ 0 e‹ ≈ -1 3x lim x⁄ 0 efl ≈ -1 6x lim x⁄ 0 efl ≈ -1-e‹ ≈ +1+2x x lim x⁄ 0 efl ≈ -e‹ ≈ +2x x lim x⁄ 0 e≈ -1 x lim x⁄ 0 efi ≈ -1 5x lim x⁄ 0 e≈ -1 2x lim x⁄ 0 efi ≈ -1 2x lim x⁄ 0 efi ≈ +e≈ -2 2x lim x⁄ 0 1 1+1+1 1 e¤ ≈ +e≈ +1 lim x⁄ 0 ex -1 (e≈ -1)(e¤ ≈ +e≈ +1)

lim x⁄ 0 ex -1 e3x_-1 lim x⁄ 0 3x e3x -1 ex_-1 x lim x⁄ 0 ex_-1 e3x -1 lim x⁄ 0 1 x+1 ex -1 x lim x⁄ 0 ex -1 x(x+1) lim x⁄ 0 ex -1 x¤ +x lim x⁄ 0 e4x_-1 4x lim x⁄0 4 3 e4x_-1 4x lim x⁄ 0 e4x_-1 3x lim x⁄ 0 x¤ -6x x 2x ln(1+2x) lim x⁄ 0 x¤ -6x ln(1+2x) lim x⁄ 0 ln(1-3x) -3x lim x⁄0 ln(1-3x) -3x lim x⁄ 0 ln(1-3x) x lim x⁄ 0

유형`05. 삼각함수

09

33

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)= f(x)가 성립 하여야 한다. b= yy㉠㉠ 에서 x → 1일 때 (분모) → 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) → 0이어야 한다. 즉, ln(2x-a)=0이므로 ln(2-a)=0 2-a=1 ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 b= x-1=t로 놓으면 x → 1일 때 t → 0이므로 b= = _2=1_2=2 ∴ a+b=3 ln(2t+1) 2t lim t⁄ 0 ln(2t+1) t lim t⁄ 0 ln(2x-1) x-1 lim x⁄ 1 lim x⁄ 1 ln(2x-a) x-1 lim x⁄ 1 lim x⁄ 1

01

①

02

④

03

24

04

②

05

②

06

③

07

④

08

①

09

②

0

5

본문031`~`032쪽

삼각함수

01

그림과 같이 점 P(-5, 12)는 제2사분면의 점이므로 OP”="√(-5√)¤ +ç12¤ ='∂169=13 ∴ sec h= =- , tan h=-∴ sec h+tan h=-5 12 5 13 5 1 cos h O P(-5, 12) 13 -5 y x h 12

02

h가 제2사분면의 각이고 sin h= 이므로 그림에서 cos h=- , tan h=-∴ sec h tan h= _tan h

={- }_{- }=

03

csc h=5이므로 cot¤ h=csc¤ h-1=5¤ -1=24

04

cos h= 이므로 sec¤ h=3¤ =9 따라서 tan¤ h=sec¤ h-1=9-1=8이므로 cot¤ h= =

05

cos¤ h=1-sin¤ h=1- = cot¤ h=csc¤ h-1= -1=9-1=8 ∴ cos¤ h+cot¤ h= +8=

06

sin h-cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h-2 sin h`cos h+cos¤ h=

1-2 sin h`cos h= ∴ sin h`cos h= ∴ sec h`csc`h= =

07

sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b이므로 cos a sin b=sin(a+b)-sin a cos b

cos a sin b=;9&;-;9%;=;9@;

08

sin { +h}+sin { -h}

=sin cos h+cos sin h+sin cos h-cos sin h

=2 sin cos h =2_ _cos h =cos h =;4!; 1 2 p 6 p 6 p 6 p 6 p 6 p 6 p 6 8 3 1 sin h`cos h 3 8 1 4 1 4 1 2 80 9 8 9 1 sin¤ h 8 9 1 9 1 8 1 tan¤ h 1 3 15 16 3 4 5 4 1 cos h 3 4 4 5 O -4 (-4, 3) y x h 3 5 3 5

09

sin a= 이므로 cos a="√1-√sin¤ a

=æ1≠-{ }¤

= {∵ 0<a< }

∴ sin{ -a}=sin cos a-cos sin a

`= _ - _ `=

10

cos h=;7!;이므로 csc h_tan h= _ csc h_tan h= csc h_tan h=7

11

1+tan¤ h=sec¤ h이므로 sec¤ h=1+5¤ =26

12

sec¤ h= sec¤ h= sec¤ h=49

13

cos h=-;5#;이므로 sin¤ h=1-cos¤ h=1-;2ª5;=;2!5^; ;2“;<h<p에서 sin h>0이므로 sin h=;5$; ∴ csc(p+h)= ∴ csc(p+h)= ∴ csc(p+h)= 1 =-;4%; -;5$; 1 -sin h 1 sin(p+h) 1 {;7!;} 2 1 cos¤ h 1 cos h sin h cos h 1 sin h 2'2-'3 6 1 3 '3 2 2'2 3 1 2 p 6 p 6 p 6 p 2 2'2 3 1 3 1 3

14

ㄱ. sin{ +h}=cos h cos(p+h)=-cos h ㄴ. cos{ +h}=-sin h sin(p+h)=-sin h ㄷ. tan{ +h}=-cot h cot(p+h)=cot h 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

15

cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b이므로 sin a sin b=cos a cos b-cos(a+b)

sin a sin b=;7$;-;7%;

sin a sin b=-;7!;

16

tan {a+ }=

tan {a+ }= =2

이므로 tan a+1=2(1-tan a), 3 tan a=1 ∴ tan a=

17

cos a="√1-√sin¤ a

=æ1≠-{ }¤ = {∵ 0<a< } ∴ cos { +a}=cos cos a-sin sin a

= _ - _ =

18

∠C=c라 하면 tan c=tan(p-(a+b)) tan c=-tan(a+b) tan c=;2#; 한편, 삼각형 ABC는 AB”=AC”이므로 b=c이다. ∴ tan b=tan c=;2#; ∴ tan a=tan(p-(b+c)) ∴ tan a=-tan(b+c) ∴ tan a =-∴ tan a =-∴ tan a=:¡5™: ;2#;+;2#; 1-{;2#;} 2 tan b+tan c 1-tan b tan c 2'2-'3 6 1 3 '3 2 2'2 3 1 2 p 3 p 3 p 3 p 2 2'2 3 1 3 1 3 tan a+1 1-tan a tan a+tan ;4“; 111111225 1-tan a tan ;4“; p 4 p 2 p 2 p 2

10

7

11

26

12

49

13

③

14

②

15

①

16

①

17

①

18

④ 본문032`~`033쪽

유형`05. 삼각함수

11

19

sec h=6이므로 tan¤ h=sec¤ h-1=6¤ -1=35

20

sec h_cot h= _ sec h_cot h= =csc h=4 ∴ cot¤ h=csc¤ h-1=4¤ -1=15

21

tan h+cot h=-2에서 + =-2 =-2 ∴ sin h`cos

h=-(sin h+cos h)¤ =sin¤ h+2 sin h cos h`+cos¤ h `=1+2_{- }=0

∴ sin h+cos h=0

22

sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=

1+2 sin h cos h= ∴ sin h`cos h= ∴ sec h+csc h= + ∴ sec h+csc h= ∴ sec h+csc h= =

23

sin h-`cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h-`2 sin h`cos h+cos¤ h=

1-2 sin h`cos h= ∴ `sin h`cos h= ∴ `sec h`csc h= _ = =50 9 1 sin h cos h 1 sin h 1 cos h 9 50 16 25 16 25 4 5 24 7 ;3$; 113 ;1¶8; sin h+cos h sin h`cos h 1 sin h 1 cos h 7 18 16 9 16 9 4 3 1 2 1 2 sin¤ h+cos¤ h sin h`cos h cos h sin h sin h cos h 1 sin h cos h sin h 1 cos h

24

sin(p+h)=-sin h, sin(2p-h)=-sin h, tan{ p+h}=-cot h, tan(p+h)=tan h, csc{h- p}= = =sec h sec(2p-h)= = =sec h 이므로 -tan{ p+h}tan(p+h)+ = -(-cot h)tan h+ =1+1+1=3

25

h가 삼각형의 한 내각이고 tan h<0이므로 그림과 같이 h는 제2 사분면의 각이다.

tan h=- 이므로 sin h= , cos

h=-∴ + =cos h+sin h=

26

sin a="√1-√cos¤ a

=æ≠1-{≠ }¤ = {∵ 0<a< } sin{ +a}=sin cos a+cos sin a

= _ + _ = ∴ 6sin{ +a}='2+'2å1

27

cos a="√1-√sin¤ a =æ1≠-{ }¤ = {∵ 0<a< } sin b="√1-√cos¤ b =æ1≠-{ }¤ = {∵ 0<b< } p 2 3 5 4 5 p 2 '3 2 1 2 p 6 '2+'2å1 6 '7 3 '3 2 '2 3 1 2 p 6 p 6 p 6 p 2 '7 3 '2 3 7 13 1 csc h 1 sec h 5 13 12 13 12 5 O y x h -5 12 13 sec h sec h -sin h -sin h csc {h-;2#;p} 111111_sec(2p-h) 3 2 sin(p+h) sin(2p-h) 1 cos h 1 cos(2p-h) 1 cos h 1 1111112 -sin{;2#;p-h} 3 2 3 2

19

35

20

15

21

③

22

⑤

23

⑤

24

⑤

25

①

26

①

27

④

28

③

29

③

30

③ 본문034`~`035쪽

01

= _3=1_3=3

02

= _2=1_2=2

03

= _ =1_ =

04

= _ =1_ =

05

= {1+2_ _2+3_ _3} =1+2_1_2+3_1_3 =1+4+9=14

06

= = =

07

= {3+ }=3+1=4

08

=t로 놓으면 x → ¶일 때 t → 0이므로 x sin = = _2 =1_2=2

09

= _ _2 =1_1_2=2 x sin x ln(1+2x) 2x lim x⁄ 0 ln(1+2x) sin x lim x⁄ 0 sin 2t 2t lim t⁄ 0 sin 2t t lim t⁄ 0 2 x lim x⁄¶ 1 x tan x x lim x⁄ 0 3x+tan x x lim x⁄ 0 1 2 1 1+1 sin x 1125_x 11111_{tan x} 1+1125 x lim x⁄ 0 sin x x+tan x lim x⁄ 0 tan 3x 3x sin 2x 2x lim x⁄ 0 x+2 sin 2x+3 tan 3x x lim x⁄ 0 1 4 1 4 1 x+2 sin(x-2) x-2 lim x⁄ 2 sin(x-2) x¤ -4 lim x⁄ 2 3 2 3 2 3 2 tan 3x 3x lim x⁄ 0 tan 3x 2x lim x⁄ 0 x sin x lim x⁄ 0 2x sin x lim x⁄ 0 sin 3x 3x lim x⁄ 0 sin 3x x lim x⁄ 0

∴ sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b

= _ + _ =

28

tan{a+ }= tan{a+ }= ='3 에서 tan a+ ='3 {1- tan a} ='3 -tan a ∴ 2 tan a='3 - = ∴ tan a= =

29

sin a="√1-√cos¤ a =æ1≠-{- }¤ = {∵ …a…p} cos b="√1-√sin¤ b =æ1≠-{ }¤ = {∵ 0…b… }

∴ cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b

={- }_ + _

=

30

sin{x+ }=sin x cos +cos x sin

sin{x- }=sin x cos -cos x sin ∴ sin{x+ }+sin{x- }

=2sin x cos =2sin x_ =

∴ sin x=1₂ 1 2 1 2 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 4-'1å4 12 '2 4 2'2 3 '1å4 4 1 3 p 2 '1å4 4 '2 4 p 2 2'2 3 1 3 '3 3 1 '3 2 '3 1 '3 1 '3 1 '3 1 tan a+155 '3 1111113₁ 1-155 tan a '3 tan a+tan ;6“; 1111111225 1-tan a_tan ;6“; p 6 4+3'3 10 3 5 '3 2 4 5 1 2

01

3

02

2

03

⑤

04

①

05

14

06

③

07

④

08

④

09

④

10

③

11

⑤

12

④

13

①

0

6

본문037`~`038쪽

삼각함수의 극한

10

= _ _ =1_1_ =

11

= = = _(1+cos x) = { }2 _(1+cos x) =1¤ _(1+1)=2

12

= _ = _ = _ = _{ }2 _ =1_1¤ _ =

13

= = = { }2 _ _ =1¤ _1_ =

14

= { _ } =1_;4&;=;4&;

15

= { _ } =1_;1@;=2 2 cos x sin 2x 2x lim x⁄ 0 sin 2x x cos x lim x⁄ 0 7x 4x sin 7x 7x lim x⁄0 sin 7x 4x lim x⁄0 1 2 1 2 1 1+cos x x ln(1+x) sin x x lim x⁄ 0 sin¤ x x(1+cos x) ln(1+x) lim x⁄ 0 (1-cos x)(1+cos x) x(1+cos x) ln(1+x) lim x⁄ 0 1-cos x x ln(1+x) lim x⁄ 0 1 2 1 2 1 1+cos x sin x x sin(1-cos x) 1-cos x lim x⁄ 0 sin¤ x x¤ (1+cos x) sin(1-cos x) 1-cos x lim x⁄ 0 (1-cos x)(1+cos x) x¤ (1+cos x) sin(1-cos x) 1-cos x lim x⁄ 0 1-cos x x¤ sin(1-cos x) 1-cos x lim x⁄ 0 sin(1-cos x) x¤ lim x⁄ 0 x sin x lim x⁄ 0 x¤ sin¤ x lim x⁄ 0 x¤ (1+cos x) 1-cos¤ x lim x⁄ 0 x¤ (1+cos x) (1-cos x)(1+cos x) lim x⁄ 0 x¤ 1-cos x lim x⁄ 0 1 2 1 2 1 2 2x sin 2x e≈ -1 x lim x⁄ 0 e≈ -1 sin 2x lim x⁄ 0 유형`06. 삼각함수의 극한

13

16

= _ =1_1=1

17

= _ _ =1_1_ =

18

= =2 =2_ =2

19

= _ _ =1_1_1=1

20

x→ a일 때 (분모) → 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) → 0이 어야 한다. 즉, (2≈ -1)=0이므로 2å -1=0 ∴ a=0 ∴ = = _ _ = _1_ln 2 {∵ =ln 2} = ln 2 즉, b= 이므로 a+b=

21

= _ = _ =1_2=2 2 x+1 tan 2x 2x lim x⁄ 0 2x x¤ +x tan 2x 2x lim x⁄ 0 tan 2x x¤ +x lim x⁄ 0 1 3 1 3 1 3 2≈ -1 x lim x⁄0 1 3 2≈ -1 x x sin x 1 3 lim x⁄ 0 2≈ -1 3 sin x lim x⁄ 0 2≈ -1 3 sin(x-a) lim x⁄ a lim x⁄ a 2x sin 2x x tan x e2x¤_-1 2x¤ lim x⁄ 0 e2x¤_-1 tan x sin 2x lim x⁄ 0 1 1 e2x_-1 111_2x tan x 1251_x lim x⁄ 0 e2x -1 2x_111 2x tan x x_1251_x lim x⁄ 0 e2x_-1 tan x lim x⁄ 0 5 3 5 3 5 3 3x sin 3x ln(1+5x) 5x lim x⁄ 0 ln(1+5x) sin 3x lim x⁄ 0 1 e≈ tan x x lim x⁄ 0 tan x xe≈ lim x⁄ 0

21

2

22

③

23

③

24

①

25

④

26

②

27

8

28

③

29

⑤

30

②

31

3

32

③

33

② 본문040`~`041쪽

14

⑤

15

2

16

①

17

③

18

④

19

③

20

④ 본문039쪽

29

= _ = _ _(1+cos x) = _ _(1+cos x) = _{ }2 _(1+cos x) =1_1¤ _(1+1)=2

30

x-p=t로 놓으면 x=p+t이고, x → p일 때 t → 0이므로 = = =-1

31

x→ 0일 때 (분자) → 0이고, 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) → 0이어야 한다. 즉, (ax+b)=0이므로 b=0 ∴ = = _ =1_ = = ∴ a=3 ∴ a+b=3

32

= = = _ =k¤ { }2 _ =k¤ _1¤ _ =8 ∴ k¤ =16 ∴ k=4 (∵ k>0)

33

x→ 0일 때 (분모) → 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) → 0이 어야 한다. 즉, (e≈ +a)=0이므로 1+a=0 ∴ a=-1 ∴ = = _ _ =1_1_ = =b ∴ a+b=-2₃ 1 3 1 3 1 3 3x sin 3x e≈ -1 x lim x⁄ 0 e≈ -1 sin 3x lim x⁄ 0 e≈ +a sin 3x lim x⁄ 0 lim x⁄ 0 1 2 1 1+cos kx sin kx kx lim x⁄ 0 1 1+cos kx sin¤ kx x¤ lim x⁄ 0 1-cos¤ kx x¤ (1+cos kx) lim x⁄ 0 (1-cos kx)(1+cos kx) x¤ (1+cos kx) lim x⁄ 0 1-cos kx x¤ lim x⁄ 0 1 3 1 a 1 a 1 a sin x x lim x⁄ 0 sin x ax lim x⁄ 0 sin x ax+b lim x⁄ 0 lim x⁄ 0 -sin t t lim t⁄ 0 sin(p+t) t lim t⁄ 0 sin x x-p lim x⁄ p x sin x ln(1+x¤ ) x¤ lim x⁄ 0 x¤ sin¤ x ln(1+x¤ ) x¤ lim x⁄ 0 x¤ 1-cos¤ x ln(1+x¤ ) x¤ lim x⁄ 0 x¤ (1+cos x) (1-cos x)(1+cos x) ln(1+x¤ ) x¤ lim x⁄ 0 ln(1+x¤ ) 1-cos x lim x⁄ 0

22

= = =

23

= = _ =1_ =

24

sin x=0, =¶이므로 (1+sin x) = {(1+sin x) } =e⁄ =e

25

= = = _ =

26

= _ = _ =

27

= = = _ = { }2 _ =1¤ _ =8

28

= = = = = _ =1_ =1 2 1 1+1 1 1+cos x sin x x lim x⁄ 0 sin x x(1+cos x) lim x⁄ 0 sin¤ x x sin x (1+cos x) lim x⁄ 0 1-cos¤ x x sin x (1+cos x) lim x⁄ 0 (1-cos x)(1+cos x) x sin x (1+cos x) lim x⁄ 0 1-cos x x sin x lim x⁄ 0 16 1+1 16 1+cos 4x sin 4x 4x lim x⁄ 0 1 1+cos 4x sin¤ 4x x¤ lim x⁄ 0 1-cos¤ 4x x¤ (1+cos 4x) lim x⁄ 0 (1-cos 4x)(1+cos 4x) x¤ (1+cos 4x) lim x⁄ 0 1-cos 4x x¤ lim x⁄ 0 1 2 1 2 1 1 1 2 sin x 1251_x e2x -1 12251_2x lim x⁄ 0 sin x e2x -1 lim x⁄ 0 3 2 1 1 3 2 ln(1+3x) 111251_3x tan 2x 12251_2x lim x⁄ 0 3 2 ln(1+3x) 111251_3x_3x tan 2x 12251_2x_2x lim x⁄ 0 ln(1+3x) tan 2x lim x⁄ 0 sin x x 1 sin x lim x⁄ 0 1 x lim x⁄ 0 1 sin x lim x⁄ 0 lim x⁄ 0 1 3 1 3 1 x¤ +x+1 sin(x-1) x-1 lim x⁄ 1 sin(x-1) (x-1)(x¤ +x+1) lim x⁄ 1 sin(x-1) x‹ -1 lim x⁄ 1 1 2 1 1+1_1 tan x 1251_x sin x 1+1251_cos x x lim x⁄ 0 tan x x+sin x cos x lim x⁄ 0

유형`07. 여러 가지 함수의 미분

15

08

f '(x)=e≈ (2x+1)+e≈ _2=e≈ (2x+3)

이므로

f '(1)=e_5=5e

09

f(x)=(x¤ +1)e≈에서

f '(x)=2xe≈ +(x¤ +1)e≈ =x¤ e≈ +2xe≈ +e≈

∴ f'(0)=e‚ =1

10

f(x)=x ln x+13x에서 f '(x)=ln x+x_ +13=ln x+14 ∴ f'(1)=0+14=14

11

f(x)=x‹ ln x이므로 f '(x)=3x¤ ln x+x‹ _ =3x¤ ln x+x¤ 따라서

`f'(e)=3e¤ ln e+e¤ =4e¤ 이므로 =4

12

= + =f '(3)+f '(3)=2f '(3) 이고, f(x)=log£ x에서 f'(x)= 이므로 2f '(3)=2_ =

13

f(x)=sin x-4x에서 f '(x)=cos x-4 ∴ f'(0)=1-4=-3

14

f(x)=x‹ +10 ln x에서 f '(x)=3x¤ +10_ =3x¤ + ∴ f'(10)=300+1=301

15

f(x)=(x¤ +2x)e≈에서

f '(x)=(2x+2)e≈ +(x¤ +2x)e≈ =(x¤ +4x+2)e≈

∴ f'(0)=2_1=2 10 x 1 x 2 3 ln 3 1 3 ln 3 1 x ln 3 f(3-h)- f(3) -h lim h⁄ 0 f(3+h)- f(3) h lim h⁄ 0 f(3+h)- f(3-h) h lim h⁄ 0 f '(e) e¤ 1 x 1 x

01

f(x)=e≈ +x¤ -3x에서 f '(x)=e≈ +2x-3 ∴ f'(0)=1+0-3=-2

02

f(x)=ln x-x에서 f '(x)= -1 ∴ f'{ }=10-1=9

03

f(x)=x ln x에서 f '(x)=ln x+x_ =ln x+1 ∴ f'(e)=ln e+1=2

04

f(x)=e≈ ln x에서 f '(x)=e≈ ln x+e≈ _ =e≈ {ln x+ } ∴ g(x)=xf'(x)=e≈ (x ln x+1) ∴ g(e)=ee_{(e ln e+1)=e}e+1_+ee

05

f(x)=x¤ cos x에서

f '(x)=2x cos x-x¤ sin x

∴ f'(p)=2p`cos`p-p¤ `sin`p=-2p

06

f(x)=x sin x에서

f '(x)=1_sin x+x_cos x=sin x+x cos x

∴ f'{ }=sin + cos =1+0=1

07

f(x)=7+3 ln x에서 f '(x)=;[#; ∴ f'(3)=1 p 2 p 2 p 2 p 2 1 x 1 x 1 x 1 10 1 x

01

④

02

9

03

①

04

⑤

05

①

06

②

0

7

본문043쪽

여러 가지 함수의 미분

14

301

15

①

16

④

17

⑤

18

①

19

8 본문045쪽

07

①

08

④

09

①

10

14

11

4

12

②

13

③ 본문044쪽

01

f(x)=e≈ +(2x+5)‹에서 f '(x)=e≈ +3(2x+5)¤ _(2x+5)' =e≈ +3(2x+5)¤ _2 =e≈ +6(2x+5)¤ ∴ f'(0)=1+6_25=151

02

f(x)=e‹ ≈에서 f '(x)=e‹ ≈ _(3x)'=3e‹ ≈ ∴ f'(1)=3e‹

03

f(x)=ex¤ -3x 에서 f '(x)=ex¤ -3x_{_(x¤ -3x)'} =(2x-3)ex¤ -3x ∴ =f '(3) =3e‚ =3

04

f(x)=(2x+7)e2x 에서 f '(x)=2e2x +(2x+7)_2e2x =(4x+16)e2x ∴ f'(0)=16_1=16

05

f(x)=ln(x¤ +2)에서 f '(x)= (x¤ +2)'= ∴ f'(1)= =

06

f(x)=sin 2x에서 f '(x)=cos 2x_(2x)'=2 cos 2x ∴ f'(p)=2 cos 2p=2

07

f(x)=sin‹ x에서

f '(x)=3 sin¤ x_(sin x)'=3 sin¤ x cos x

∴ f'{ }=3_{ }2 _ =

08

f(x)= 이므로 f '(x)=-∴ f'(1)=- =-2

09

f '(x)= = ∴ f'(1)= =;2!;

10

f(x)=e3x-2 에서 f '(x)=e3x-2_{_(3x-2)'=3e}3x-2 이므로 f '(1)=3e3-2_=3e 2-0 4 2-2 ln x 4x¤ ;[!;_2x-2 ln x 4x¤ 2 (2-3)¤ 2 (2x-3)¤ 1 2x-3 3'3 8 '3 2 1 2 p 6 2 3 2 1+2 2x x¤ +2 1 x¤ +2 f(3+h)-f(3) h lim h⁄ 0

16

f(x)=x¤ +x ln x에서 f '(x)=2x+ln x+x_ =2x+ln x+1 ∴ = = _2+ =3 f '(1) =3(2+0+1) =9

17

f '(x)=sin x+(x+p)cos x이므로 f '(0)=sin 0+(0+p)cos 0=p

18

f(x)=(e≈ -3x)cos x에서

f '(x)=(e≈ -3)cos x-(e≈ -3x)sin x

∴ f'(0)=(1-3)_1-(1-0)_0=-2

19

f(x)=2≈에서 f'(x)=2≈ ln 2 g(x)=log™ x에서 g'(x)= ∴ f'(4)g'(2)=2› ln 2_ 1 =8 2 ln 2 1 x ln 2 f(1-h)-f(1) -h lim h⁄ 0 f(1+2h)-f(1) 2h lim h⁄ 0 f(1+2h)-f(1)+f(1)-f(1-h) h lim h⁄ 0 f(1+2h)-f(1-h) h lim h⁄ 0 1 x

01

151

02

⑤

03

③

04

16

05

②

06

⑤

07

③

08

①

09

②

0

8

본문047`~`048쪽

몫의 미분법과 합성함수의 미분법

10

③

11

⑤

12

15

13

③

14

21

15

1

16

2

17

28

18

①

19

8

20

1

21

⑤

22

② 본문048`~`050쪽

유형`08. 몫의 미분법과 합성함수의 미분법

17

11

f(x)=e3x_+10x 에서 f '(x)=e3x_{_3+10=3e}3x₊₁₀ ∴ f'(0)=3e‚ +10=13

12

f(x)=5e3x-3 에서 f '(x)=5e3x-3_{_3=15e}3x-3 ∴ f'(1)=15e‚ =15

13

f(x)=(2e≈ +1)‹에서

f '(x)=3(2e≈ +1)¤ _2e≈ =6e≈ (2e≈ +1)¤

∴ f'(0)=6e‚ (2e‚ +1)¤ =6_3¤ =54

14

f(x)=ln(2x-1)에서 f '(x)= _(2x-1)'= ∴ f'(10)= 따라서 p=19, q=2이므로 p+q=21

15

f(x)=ln(x¤ +1)에서 f '(x)= = ∴ f'(1)= =1

16

f(x)="√x‹ +1에서 f '(x)=;2!;(x‹ +1)-;2!;_{_3x¤} 이므로 f '(2)=;2!;_(3¤ )-;2!;_{_3_2¤ =2}

17

f(x)=4 sin 7x에서 f '(x)=28 cos 7x ∴ f'(2p)=28 cos(14p)=28

18

= = [ + ] =f '(p)+f '(p) =2 f '(p) f(x)=tan 2x+3 sin x에서 f '(x)=2 sec¤ 2x+3 cos x이므로 2 f '(p)=2(2 sec¤ 2p+3 cos p) =2{2_1¤ +3_(-1)} =-2

19

f(x)=cos x+4e¤ ≈에서

f '(x)=-sin x+4e¤ ≈ _2=-sin x+8e¤ ≈

∴ f'(0)=0+8=8 f(p-h)- f(p) -h f(p+h)- f(p) h lim h⁄0 { f(p+h)- f(p)}-{ f(p-h)- f(p)} h lim h⁄0 f(p+h)- f(p-h) h lim h⁄0 2 1+1 2x x¤ +1 (x¤ +1)' x¤ +1 2 19 2 2x-1 1 2x-1

20

f '(x)=-2 cos x_(cos x)' =2 cos x sin x 이므로 f '{ }=2 cos sin f '{ }=2_ _ f '{ }=1

21

f '(x)= f '(x)= 이므로 f '(e)= =-∴ = = + _2 = f '(e)+2 f '(e) =3 f '(e) =3_{- }

=-22

=5에서 x⁄2일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, { f(x)-3}=0 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 실수 전체의 집합에서 연속이다. 따라서 { f(x)-3}=f(2)-3=0에서 f(2)=3 =5이므로 f '(2)=5 g(x)= 에서 g'(x)= g'(x)= g'(x)= ∴ g'(2)= ∴ g'(2)=5-3=2 1 f '(2)-f(2) e‚ f '(x)-f(x) ex-2 { f '(x)-f(x)}_ex-2 (ex-2_)¤ f '(x)_ex-2 -f (x)_(ex-2 )' (ex-2 )¤ f(x) ex-2 f(x)- f(2) x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 f(x)-3 x-2 lim x⁄2 3 e‹ 1 e‹ f(e-2h)-f(e) -2h lim h⁄0 f(e+h)-f(e) h lim h⁄0 { f(e+h)-f(e)}-{ f(e-2h)-f(e)} h lim h⁄0 f(e+h)-f(e-2h) h lim h⁄0 1 e‹ 1-2 ln e e‹ 1-2 ln x x‹ ;[!;_x¤ -ln x_2x x› '2 2 '2 2 p 4 p 4 p 4

01

x‹ -2x+y¤ =5의 양변을 x에 대하여 미분하면 3x¤ -2+2y =0 ∴ = 따라서 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는 =-5

02

e≈ -e¥ =x¤ -1의 양변을 x에 대하여 미분하면 e≈ -e¥ =2x e¥ =e≈ -2x ∴ = ` 따라서 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는

03

sin x+xy=2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 cos x+y+x =2 x =-cos x-y+2 ∴ = ``(단, x+0) 따라서 점 (p, 2)에서의 접선의 기울기는 =

04

x=2t+3에서 =2, y=3t¤ +2t에서 =6t+2이므로 = = =3t+1 따라서 t=1일 때, 의 값은 3+1=4

05

= _2 =2 f '(2) x=2t-1에서 dx_dt=2, y=t¤ +1에서dy_dt=2t이므로 f(2+2h)-f(2) 2h lim h⁄0 f(2+2h)-f(2) h lim h⁄0 dy dx 6t+2 2 dy 124_dt dx 124_dt dy dx dy dt dx dt 1 p -cos p-2+2 p -cos x-y+2 x dy dx dy dx dy dx e-2 e e≈ -2x e¥ dy dx dy dx dy dx -3_4+2 2_1 -3x¤ +2 2y dy dx dy dx

23

f(x)=e¤ ≈에서 f '(x)=e¤ ≈ _2=2e¤ ≈ ∴ f'(ln 2)=2e2 ln 2_=2eln 4_{=2_4}ln e_{=2_4=8}

24

f(x)='ƒln x=(ln x);2!;_이므로 f '(x)=;2!;(ln x)-;2!;_{_(ln x)'= _} ∴ f'(e)= _ =

25

f(x)=12 ln(2x-1)에서 f '(x)=12_ _2= ∴ f'(1)=24

26

f(x)=20 ln(x¤ +6x+3)에서 f '(x)=20_ _(2x+6)= ∴ f'(1)= =16

27

f(x)=log£(x¤ -1)에서 f '(x)= _(x¤ -1)' = ∴ f'(3)= =

28

f(x)=sin 2x+cos 3x에서 f '(x)=cos 2x_(2x)'-sin 3x_(3x)' =2 cos 2x-3 sin 3x ∴ f'{ }=2 cos p-3 sin p =2_(-1)-3_(-1)=1

29

f(x)= 에서 f '(x)= ∴ f'(1)=14-10=1 4 (4x+3)(x¤ +1)-(2x¤ +3x)(2x) (x¤ +1)¤ 2x¤ +3x x¤ +1 3 2 p 2 3 4 ln 3 6 8 ln 3 2x (x¤ -1) ln 3 1 (x¤ -1) ln 3 160 10 20(2x+6) x¤ +6x+3 1 x¤ +6x+3 24 2x-1 1 2x-1 1 2e 1 e 1 2'ƒln e 1 x 1 2'ƒln x

23

⑤

24

①

25

24

26

16

27

①

28

1

29

④ 본문050`~`051쪽

01

-5

02

⑤

03

①

04

④

05

3

06

12

0

9

본문`053쪽

매개변수로 나타낸 함수, 음함수의 미분법

유형`09. 매개변수로 나타낸 함수, 음함수의 미분법

19

= = =t

한편, x=2이면 t=;2#;이므로 `f'(2)=;2#;

∴ =2 f '(2)=2_;2#;=3

06

x=cos h에서 =-sin h, y=sin 2h에서 =2 cos 2h

이므로 = =- `(단, sin h+0) h_{=;3“;일 때, 접선의 기울기는} m=- = ∴ 9m¤ =9_{ }2 =12

07

x¤ +xy+y‹ =7의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+y+x +3y¤ =0 (x+3y¤ ) =-(2x+y) ∴ =- (단, x+3y¤ +0) 따라서 곡선 x¤ +xy+y‹ =7 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 기울 기는 - =-1

08

2x+x¤ y-y‹ =2의 양변을 x에 대하여 미분하면 2+2xy+x¤ -3y¤ =0 ∴ = (단, x¤ -3y¤ +0) 따라서 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 =2 -2(1_1+1) 1-3 -2(xy+1) x¤ -3y¤ dy dx dy dx dy dx 2_2+1 2+3_1¤ 2x+y x+3y¤ dy dx dy dx dy dx dy dx 2 '3 2 '3 2_{-;2!;} '3 12₂ 2 cos 2h sin h dy 124_dh dx 124_dh dy dx dy dh dx dh f(2+2h)-f(2) h lim h⁄0 2t 2 dy 124_dt dx 124_dt dy dx

09

5x+xy+y¤ =5의 양변을 x에 대하여 미분하면 5+y+x +2y =0 (x+2y) =-(5+y) =- (단, x+2y+0)㉠㉠yy㉠ 따라서 구하는 접선의 기울기는 ㉠에 x=1, y=-1을 대입한 값 과 같으므로 - =4

10

x¤ -3xy+y¤ =x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-3y-3x +2y =1 (3x-2y) =2x-3y-1 = `(단, 3x-2y+0) 따라서 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기는 =;3!;

11

점 (a, b)가 곡선 e≈ -e¥ =y 위의 점이므로

eå -e∫ =b yy㉠ e≈ -e¥ =y의 양변을 x에 대하여 미분하면 e≈ -e¥ = = 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 1이므로 =1 eå =e∫ +1 eå -e∫ =1 yy㉡ ㉠, ㉡에서 b=1이고

eå =e+1에서 a=ln (e+1) ∴ a+b=1+ln (e+1)

12

e≈ -xe¥ =y의 양변을 x에 대하여 미분하면

e≈ -e¥ -xe¥ =

이므로 = 따라서 곡선 위의 점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는 =1-e

13

e≈ ln y=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 e≈ ln y+ =0 ∴ =-y ln y 따라서 점 (0, e)에서의 접선의 기울기는 -e ln e=-e dy dx dy dx e≈ y e‚ -e⁄ 0_e⁄ +1 e≈ -e¥ xe¥ +1 dy dx dy dx dy dx eå e∫ +1 e≈ e¥ +1 dy dx dy dx dy dx 2-1 3 2x-3y-1 3x-2y dy dx dy dx dy dx dy dx 5+(-1) 1+2_(-1) 5+y x+2y dy dx dy dx dy dx dy dx

07

⑤

08

2

09

4

10

④

11

①

12

③

13

①

14

⑤

15

④

16

④

17

6

18

① 본문``054`~`055쪽

19

x‹ +y‹ +3xy+27=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 3x¤ +3y¤ +3y+3x =0 (y¤ +x) =-(x¤ +y) ∴ =- `(단, y¤ +x+0) 따라서 점 (0, -3)에서의 접선의 기울기는 - =;3!;

20

x¤ +y¤ +axy+b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+2y +ay+ax =0 ∴ =- `(단, ax+2y+0) 이때, 점 (2, 3)에서의 의 값이 1이므로 - =1, 4+3a=-2a-6 5a=-10 ∴ a=-2 또 주어진 곡선이 점 (2, 3)을 지나므로 4+9+(-2)_6+b=0 ∴ b=-1 즉, 곡선 x¤ +y¤ -2xy-1=0이 두 점 (3, m), (3, n)을 지나 므로

9+y¤ -6y-1=0, y¤ -6y+8=0

(y-2)(y-4)=0 ∴ y=2 또는 y=4 ∴ m+n=2+4=6

21

점 (a, b)는 곡선 x¤ -xy+y¤ =3 위의 점이므로 a¤ -ab+b¤ =3 yy㉠ x¤ -xy+y¤ =3의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-y-x +2y =0 (-x+2y) =y-2x ∴ = `(단, 2y-x+0) 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 1이므로 =1 b-2a=2b-a ∴ b=-a yy㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 b-2a 2b-a y-2x 2y-x dy dx dy dx dy dx dy dx 4+3a 2a+6 dy dx 2x+ay ax+2y dy dx dy dx dy dx -3 9 x¤ +y y¤ +x dy dx dy dx dy dx dy dx

14

y‹ =ln (5-x¤ )+xy+4의 양변을 x에 대하여 미분하면 3y¤ = +y+x (3y¤ -x) = +y ∴ = `(단, 3y¤ -x+0) 따라서 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기는 =-;5!;

15

px=cos y+x sin y의 양변을 x에 대하여 미분하면 p=-sin y +sin y+x cos y

= (단, sin y-x cos y+0) 따라서 점 {0, ;2“;}에서의 접선의 기울기는 =1-p

16

=2t, =3t¤ +1이므로 = = 따라서 t=1일 때 의 값은 =2

17

x=t¤ +1에서 =2t_{, y=;3@;t‹ +10t-1에서} =2t¤ +10 이므로 = = = 따라서 t=1일 때, 의 값은 =6

18

x=t- 에서 =1+ y=t¤ + 에서 =2t+ =2t-이므로 t=1일 때 = =2-4₁₊₂=-;3@;` dy 124_dt dx 124_dt dy dx 4 t‹ -2_2t t› dy dt 2 t¤ 2 t¤ dx dt 2 t 1+5 1 dy dx t¤ +5 t 2t¤ +10 2t dy 124_dt dx 124_dt dy dx dy dt dx dt 3_1¤ +1 2_1 dy dx 3t¤ +1 2t dy 2223_dt dx 333333_dt dy dx dy dt dx dt sin ;2“;-p sin ;2“;-0_cos ;2“; sin y-p sin y-x cos y

dy dx dy dx dy dx -4+2 12-2 -2x 111+y_5-x¤ 3y¤ -x dy dx -2x 5-x¤ dy dx dy dx -2x 5-x¤ dy dx

19

④

20

⑤

21

②

22

③

23

①

24

①

25

④

26

②

27

④

28

②

29

②

30

④ 본문`056`~`057쪽

유형`09. 매개변수로 나타낸 함수, 음함수의 미분법

21

a¤ +a¤ +a¤ =3, 3a¤ =3 ∴ a=1 (∵ a>0), b=-1 ∴ a-b=1-(-1)=2

22

ex+y =e¤ x의 양변을 x에 대하여 미분하면 ex+y {1+ }=e¤ , e x+y =e¤ -ex+y ∴ = -1= -1= -1(단, x+0) 따라서 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 ;1!;-1=0

23

y¤ =ln (2-x¤ )+4의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y = ∴ = `(단, y+0) 따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 =-;2!;

24

x+sin x-xy=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 1+cos x-y-x =0 ∴ = `(단, x+0) 따라서 점 (p, 1)에서의 의 값은 =-;ç!;

25

x sin y+cos y=a-x‹의 양변을 x에 대하여 미분하면 sin y+x cos y -sin y =-3x¤

(x cos y-sin y) =-sin y-3x¤

∴ = (단, x cos y-sin y+0)

x=b, y=p를 대입하면

= = =3b=6

∴ b=2

x sin y+cos y=a-x‹에 x=2, y=p를 대입하면

2 sin p+cos p=a-2‹

-1=a-8 ∴ a=7 ∴ a+b=7+2=9

26

x=t‹에서 =3t¤, y=t-t¤ 에서 =1-2t이므로 = = (단, t+0) 따라서 t=1일 때, dy의 값은 dx 1-2t 3t¤ dy 124_dt dx 124_dt dy dx dy dt dx dt -3b¤ -b -sin p-3b¤ b cos p-sin p dy dx -sin y-3x¤ x cos y-sin y dy dx dy dx dy dx dy dx 1+(-1)-1 p dy dx 1+cos x-y x dy dx dy dx -1 (2-1)_2 -x (2-x¤ )y dy dx -2x 2-x¤ dy dx 1 x e¤ e¤ x e¤ ex+y dy dx dy dx dy dx =-;3!;

27

x=2t-1에서 =2, y=t¤ +t-1에서 =2t+1이므로 = = x=2t-1=1, y=t¤ +t-1=1을 만족시키는 t의 값은 t=1이 므로 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 =;2#;

28

x=t¤ -;t@;에서 =2t+ , y=t+;t@;에서 =1- 이므로 = = = t=1일 때, 의 값은 =-;4!;

29

x=tan h에서 =sec¤ h,

y=cos¤ h에서 =-2 cos h sin h이므로

= = `

한편, x=tan h=1에서 h=;4“; {∵ -;2“;<h<;2“;} 따라서 점 {1, ;2!;}에서의 접선의 기울기는

=-;2!;

30

x=t sin t에서 =sin t+t cos t,

y=e† cos t에서 =e† cos t-e† sin t이므로

= = `(단, sin t+t cos t+0) t=;2“;일 때, 접선의 기울기는 m= =-e;2“; ∴ ln (-m)=ln e;2“;_=;2“; e;2“;_(0-1) 1+;2“;_0

e† (cos t-sin t)

sin t+t cos t dy 124_dt dx 124_dt dy dx dy dt dx dt '2 '2 -2_124_124 2 2 ('2)¤ -2 cos h sin h sec¤ h dy 124_dh dx 124_dh dy dx dy dh dx dh 1-2 2_1+2 dy dx t¤ -2 2t‹ +2 2 1-1 t¤ 2 2t+1 t¤ dy 124_dt dx 124_dt dy dx 2 t¤ dy dt 2 t¤ dx dt 2_1+1 2 2t+1 2 dy 124_dt dx 124_dt dy dx dy dt dx dt 1-2_1 3_1¤

06

=3에서 x⁄1일 때, (분모) ⁄0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, { g (x)-2}=0이므로 `g(1)=2 ∴ =g'(1)=3 한편, `g(x)는 f(x)의 역함수이므로 f(2)=1 ∴ `f'(2)= =;3!;

07

함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(3)=a로 놓으면 f(a)=3 이때, f(x)=x‹ +5x+3이므로 a‹ +5a+3=3 a(a¤ +5)=0 ∴ a=0 따라서 f'(x)=3x¤ +5이므로 g'(3)= =;5!;

08

f(0)=1이므로 g(1)=0 또 f'(x)=3x¤ +1이므로 f'(0)=1 ∴ g'(1)= = =1

09

f '(x)= y=g(x)에서 x=f(y)=ln(ey -1) ∴ ey -1=ex g'(x)= = = ∴ + = + =2

10

f '(x)= 에서 f '(-1)= ∴ g'(f(-1))= =

11

f {;8“;}=tan{2_;8“;}=tan ;4“;=1이므로 g'(1)= f '(x)=2 sec¤ 2x이므로 f '{;8“;}=2 sec¤ ;4“;=2_('2 )¤ =4 따라서 g'(1)=;4!;이므로 100_g'(1)=100_;4!;=25 1 f '{;8“;} (1+e)¤ e 1 f '(-1) e (1+e)¤ e-x (1+e-x_)¤ ea₊₁ ea ea_-1 ea 1 g'(a) 1 f '(a) ex ex₊₁ ey_-1 ey 1 f '(y) ex ex_-1 1 f '(0) 1 f '(g(1)) 1 f '(0) 1 g '(1) g(x)-g(1) x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 g(x)-2 x-1 lim x⁄1

01

f —⁄ (x)=g(x)이므로 f(2)=5에서 `f—⁄ (5)=2, 즉 g(5)=2 ∴ `g'(5)= = =3

02

g(4)=a라 하면 f(a)=4

a‹ +3a=4, a‹ +3a-4=0

(a-1)(a¤ +a+4)=0

∴ a=1 (∵ a¤ +a+4>0)

따라서 g(4)=1이고, f'(x)=3x¤ +3이므로 f '(3)=27+3=30, g'(4)= =;6!; ∴ f'(3)g'(4)=30_;6!;=5

03

g(1)=a라 하면 f(a)=1이다. f(a)=ea-2 =1에서 a-2=0 ∴ a=2 따라서 g(1)=2이고, f'(x)=ex-2 이므로 g'(1)= = =1

04

f '(x)=2x- , f"(x)=2+ =0에서 x=-1 f "(x)의 부호는 x<-1일 때 f"(x)>0, -1<x<0일 때 f "(x)<0이므로 변곡점의 좌표는 (-1, `f(-1)), 즉 (-1, 0)이다. ∴ a+b=(-1)+0=-1

05

함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고 f(1)=2, f'(1)=3이므로 g(2)=1 g'(2)= = =;3!; 함수 h(x)=xg(x)에서 h'(x)=g(x)+xg'(x) ∴ h'(2)=g(2)+2g'(2) ∴ h'(2)=1+2_;3!;=;3%; 1 f '(1) 1 f '(g(2)) 2 x‹ 1 x¤ 1 e‚ 1 f '(2) 1 f '(1) 1 f '(2) 1 f '(g(5))

01

③

02

5

03

④

04

①

10

본문`059쪽

역함수의 미분법과 이계도함수

05

③

06

③

07

③

08

⑤

09

①

10

⑤

11

25

12

①

13

17

14

④

15

①

16

96

17

⑤

18

④ 본문``059`~`061쪽

유형`10. 역함수의 미분법과 이계도함수

23

12

f(e)=3e이므로` g(3e)=e 함수 f(x)=3xln x에서 f '(x)=3 ln x+3x_;[!; f '(x)=3 ln x+3 이므로 f '(e)=3 ln e+3=6 ∴ `g'(3e)= = =;6!; ∴ ∴= + ∴=`g'(3e)+`g'(3e) ∴=2`g'(3e) ∴=2_;6!;=;3!;

13

곡선` y=g(x)가 점 (3, 0)을 지나므로 `g(3)=0 따라서 f(0)=3이므로 역함수의 미분법에 의해 `g'(3)= = f '(x)=15efi ≈ +1+cos x에서 f '(0)=15+1+1=17 ∴ ∴= 1 ∴=111111115 ∴= ∴=f '(0)=17

14

f(x)=xe≈에서

f'(x)=e≈ +xe≈ =(x+1)e≈ f"(x)=e≈ +(x+1)e≈ =(x+2)e≈ f"(x)=0에서 (x+2)e≈ =0 ∴ x=-2 f"(-2)=0이고 x=-2의 좌우에서 f"(x)의 부호가 변하므 로 곡선 y=f(x)의 변곡점의 좌표는 (-2, f(-2))이다. f(-2)=-2e-2 =- 이므로 a=-2, b=-∴ ab=(-2)_{- }= 4 e¤ 2 e¤ 2 e¤ 2 e¤ 1 g'(3) g(x)-g(3) x-3 lim x⁄3 1 g(x)-g(3) x-3 lim x⁄3 x-3 g(x)-g(3) lim x⁄3 1 f '(0) 1 f '(g(3)) g(3e-h)-g(3e) -h lim h⁄0 g(3e+h)-g(3e) h lim h⁄0 g(3e+h)-g(3e-h) h lim h⁄0 1 f '(e) 1 f '(g(3e))

15

=f "(a)=2㉠㉠yy㉠ 한편, f(x)= 에서 f '(x)=-f "(x)= 이므로 ㉠에서 =2 (a+3)‹ =1, a+3=1 ∴ a=-2

16

점 (2, a)가 곡선` y= (b>0)의 변곡점이므로 =a yy㉠ 또한, y'= y"= y"= y"= 이므로 = =0 즉, b=12이므로 ㉠에 대입하여 정리하면 a=;8!; ∴ ;aB;= =96

17

f (x)={ln }¤ ={-ln ax}¤ =(ln ax)¤ 이라 하면 f '(x)=2 ln ax_ = f "(x)= = f "(x)=0에서 1-ln ax=0 ∴ x= x< 일 때, f"(x)>0이고 x> 일 때, f"(x)<0이다. 따라서 x= 의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 { , 1}이다. 이때, 변곡점이 직선 `y=2x 위에 있으므로 =1 ∴ a=2e 2e a e a e a e a e a e a 2(1-ln ax) x¤ ;[@;_x-2 ln ax x¤ 2 ln ax x a ax 1 ax 12 ;8!; 48-4b (b+4)‹ 12_2¤ -4b (2¤ +b)‹ 12x¤ -4b (x¤ +b)‹ -4(x¤ +b)+16x¤ (x¤ +b)‹ -4(x¤ +b)¤ +4x_2(x¤ +b)_2x (x¤ +b)› -4x (x¤ +b)¤ 2 b+4 2 x¤ +b 2 (a+3)‹ 2 (x+3)‹ 1 (x+3)¤ 1 x+3 f '(a+h)-f '(a) h lim h⁄0