전기회로 9장 자료

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(1)RLC 회로의 완전응답 䌡䌬䋸䋸 .

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(3) 학습목표. RLC 회로의 표준형과 완전응답계산 방법의 이해 표준형이 아닌 회로에서 상태변수에 의한 회로표현 및 완전응답계산 방법 이해 RLC 회로로 구한 2차 미분방정식의 풀이법 이해. 䌊䌊.

(4) 목차. 9.1 표준 RLC 회로의 완전응답 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법. 䌊.

(5) Section 9.1 표준 RLC 회로의 완전응답 • 표준 RLC 회로는 병렬 RLC 회로와 직렬 RLC 회로를 말한다.. 䌊.

(6) Section 9.1 표준 RLC 회로의 완전응답 직렬 무전원응답 RLC 회로. • 메시 전류 i 를 구하려고 KVL을 적용하면 다음과 같은 식이 나온다.. • 그리고 이 식의 양변을 미분하면. 䌊.

(7) Section 9.1 표준 RLC 회로의 완전응답. • 위 식을 정리하면 다음과 같은 2차 미분방정식이 된다.. 䌊.

(8) Section 9.1 표준 RLC 회로의 완전응답 표준 병렬 RLC 회로. • 전압 v (t )에 관한 수식을 유도하려고 KCL을 적용하면 다음 식이 된다.. • 식의 양변을 미분하여 정리하면 다음 2차 미분방정식을 얻을 수 있다.. 䌊.

(9) Section 9.1 표준 RLC 회로의 완전응답 표준 2차 미분방정식 • 식 (9.1)과 식 (9.2)을 통합하여 하나의 표준 2차 미분방정식을 만들면. • 단, τ는 직렬 RLC 회로의 경우, L/R. 병렬 RLC 회로의 경우, RC 다.. • 결국 인덕터 전류 iL(t )와 커패시터 전압 vc(t )의 완전응답은. 표준회로 식 (9.3)의 2차 미분방정식의 해를 구하는 문제로 귀결된다.. 䌊.

(10) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 2차 미분방정식의 표준형. • 위 식과 같은 수식이 주어졌을 때 2차 미분방정식의 일반해는 의 등차방정식으로 얻을 수 있는 등차해와 f (t ) 함수 모양에 따라 얻는 특수해의 합으로 이루어진다.. 䌊.

(11) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답. 9.2.1 2차 미분방정식의 등차해 2차 미분방정식의 등차해와 특성방정식. • 2차 미분방정식의 등차해는 등차방정식의 해를 구하여 얻을 수 있다.. • 등차해를 구하려면 가상해[식 (9.6)]를 식 (9.5)에 대입하여 s 값을 계산한다.. • 그러므로 Aest 의 값이 0이 아니면 s2 + a1s + a0 = 0 이 된다.. • 이것은 실제로 시스템 고유 특성을 나타내는 방정식이기도 해서 특성방정식이라고 부른다.. 䌊.

(12) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 • 2차 미분방정식의 해는 방정식이 2차 식이므로 해 역시 두 개다.. • 두 해를 각각 s1, s2라고 가정하면 등차해는 아래 두 가지 모두 가능하다.. • 따라서 최종 등차해는 이 두 가지 해를 결합하여 얻을 수 있다.. • A1과 A2의 값은 초기값 x(t0)와 dx(t0)/dt 의 값을 대입하여 구한다.. 䌊.

(13) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 [유의점] RLC 회로의 초기값. • RLC 회로해석에서 잘못된 연산을 피하려면 인덕터의 초기전류 iL(t0+)와 커패시터의 초기전압 vc(t0+)을 초기값으로 사용해야만 한다. • 또한 초기값 x(t0)와 dx(t0)/dt 를 얻기 위해 다음 두 관계식을 적절히 이용한다.. • [그림 9-1]병렬 RLC 회로의 경우, iL (t0+), vc (t0+)이 초기값으로 주어졌을 때 초기값 v(t0+)는 주어진 vc (t0+)로 가늠하고 초기값 dv(t0)/dt 는 다음과 같은 식으로 구할 수 있다. (v (t ) = v (t ) = v (t ) & i + i + i = 0 ) C. L. R. R. C. L. 䌊䌊.

(14) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 표준 RLC 회로에서 2차 미분방정식. • 이때 이 2차 미분방정식의 특성방정식은 식 (9.8)이 된다.. • 그러므로 2차 방정식 근의 공식으로 근 s1, s2를 구하면 다음과 같다.. 䌊.

(15) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 • 이때 제동상수 σ와 공명주파수 ω0를 각각 σ = 1/2τ , ω02 = 1/LC 로 정의 하여 치환하면 다음과 같다.. • 따라서 식 (9.3)은 근 s1, s2의 값에 따라 다음 네 가지 경우 중 하나의 형태로 등차해를 갖고, 이것은 곧 표준 RLC 회로의 과도응답과 같다.. 䌊.

(16) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 경우 1: 제동된 경우(σ2 < ω02) •. σ=. 1 2τ. ϖ0 =. 1 LC. 으로 정의하면 복소수 근이 된다.. • 따라서 등차해는 다음과 같다.. 䌊.

(17) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답. • 마지막 항은 정현파를 뜻하므로 과도응답이 된다.. 䌊.

(18) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 경우 2: 과제동된 경우 (σ2 > ω02). σ=. 1 2τ. ϖ0 =. 1 LC. • 위의 근이 모두 실수인 경우로 과도응답은 다음과 같은 실수 지수함수가 된다.. 䌊.

(19) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 경우 3: 임계제동된 경우 (σ2 = ω02). σ=. 1 2τ. ϖ0 =. • s1 = s2의 중근을 가지고 제동되는 경우와 과제동되는 경우의 임계값을 가지게 되어, 이에 해당하는 과도응답은 다음과 같다.. 1 LC. 䌊.

(20) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 경우 4: 비제동된 경우(σ = 0). σ=. 1 2τ. ϖ0 =. 1 LC. • 이때는 s1 = +jωd, s2 = -jωd 의 경우이므로 이에 해당하는 과도응답은 다음과 같다.. • 이 함수는 순수 정현파로 변환될 수 있다.. 䌊.

(21) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-1 직렬 RLC 회로의 과도응답. [그림 9-9] 직렬 RLC 회로의 소자가 다음과 같은 값을 가진다. t > 0 일 때 전류 i (t )의 값을 구하라.. 䌊䌊.

(22) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-1 제동(σ2 < ω02). 1 R = = 250 2τ 2 L 1 ω0 = = 10,000 LC. σ=. 䌊䌊.

(23) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답. 䌊䌊䌊.

(24) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-1 과제동 (σ2 > ω02). 1 R = = 100,000 2τ 2 L 1 ω0 = = 10,000 LC. σ=. 䌊䌊.

(25) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-1 임계제동 (σ2 = ω02) 1 R = = 100,000 2τ 2 L 1 ω0 = = 100,000 LC. σ=. 䌊䌊.

(26) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-1 비제동(σ =0). 1 R = = 0.5 2τ 2 L 1 ω0 = = 10,000 LC. σ=. 䌊䌊.

(27) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답. 9.2.2 RLC 회로의 정상상태응답 표준 RLC 회로의 정상상태응답. • 주어진 입력전원의 형태에 따라 함수형태가 다르다.. • DC 값의 입력과 정현파 입력(AC)에 대해서 각각 다른 정상상태응답을 가진다.. 䌊䌊.

(28) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 DC 입력에 대한 정상상태응답. • 인덕터는 단락시키고 커패시터는 개방시켜서 얻을 수 있다.. • [그림 9-9] 회로의 정상상태응답은 다음과 같이 커패시터를 개방시키고 인덕터를 단락시켜 만든 회로로 구한다.. • 즉, DC 입력전압 v0 = 1[V]에 의한 전류 i (t )의 정상상태응답은 다음과 같다.. 䌊䌊.

(29) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-2 지수함수 입력회로의 완전응답. 다음과 같은 소자 값을 가지는 [그림 9-12] 회로에서 t > 0일 때 인덕터 전류 i (t )를 구하라.. iL (0),. diL (0) 의 값이 필요 dt. 예제 9-3 입력지수함수의 지수 값이 과도응답의 지수 값과 같은 중근을 가질 때 [예제 9-2]에서 is(t ) = 3e-6t일 때 i (t )의 완전응답을 구하라.. 䌊䌊.

(30) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-2 가정 : iL (0) = 0, diL (0) v L (0) v C (0) = = =0 dt L L. 䌊䌊.

(31) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답 예제 9-3. [예제 9-2]에서 is(t ) = 3e-6t일 때 i (t )의 완전응답은?. 가정 : iL (0) = 0, diL (0) v C (0) = =0 dt L. 䌊.

(32) Section 9.2 표준 RLC 회로의 과도응답. [유의점] 정상상태응답과 과도응답이 같은 지수를 가질 때 • 지수함수를 입력전원으로 가질 때. 정상상태응답과 과도응답이 서로 같은 지수 값(-at )을 가지면. 중근으로 고려하고, Be-at 대신 Bte-at로 가정하여 계산해야 한다.. 䌊.

(33) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 상태변수 기법. • 주어진 복잡한 RLC 회로가 간단한 RLC 직,병렬회로로 변환이 불가능할 때 상태변수 기법을 이용하여 회로를 분석하면 답을 얻을 수 있다.. • 상태변수기법은 다차 미분방정식을 상태변수의 1차 미분 벡터형태로 표현한 상태변수 방정식으로 변환하여 회로를 해석하는 것이다.. 䌊䌊.

(34) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 예제 9-4 상태변수를 이용한 회로해석. [그림 9-13]의 회로에서 C1 = 4F, C2 =2F , R1 =R2 = 0.25Ω, R3 = 0.5Ω 이 주어졌을 때, t > 0 에서의 v1(t )의 값을 구하라.. va = 10V. vb = 6V. 가정 : v1 (0) = 5V , v2 (0) = 10V 䌊.

(35) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 예제 9-4. v1 (t ) = −2e − t −2e −4t + 9,. t>0. 䌊.

(36) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 [참고 9-1] 회로해석에 의한 DC 입력회로의 정상상태응답 계산. • [그림 9-13] 회로의 정상상태응답은 입력전원이 DC이므로 인덕터는 단락, 커패시터는 개방하여 얻은 회로의 회로해석으로 얻을 수 있다.. • 즉, v1은 전압분배기 원리와 중첩의 원리를 이용하여 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.. 䌊.

(37) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 상태변수 방정식. • 단, x1, x2, …는 상태변수고, u1, u2, …는 입력이다.. 䌊.

(38) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법. 9.3.1 상태변수 기법을 이용한 회로해석 기법 상태변수 기법을 이용한 일반 회로해석 순서. ① 상태변수를 모든 인덕터의 전류 iL(t )와 커패시터의 전압 vc(t )로 잡는다.. ② 초기값 iL(0+), vc(0+)을 구한다.. ③ KCL과 KVL을 이용하여 각 상태변수에 관한 1차 연립 미분방정식을 세운다. ④ 미분연산자 s를 이용하여 s의 연립방정식을 만든다.. ⑤ 크래머법칙 수식의 분모를 0으로 두는 특성방정식을 만든다.. ⑥ 특성방정식의 근으로 과도응답을 구한다.. ⑦ 크래머법칙에 의하여 선택된 변수 xn(t )에 대한 2차 미분방정식을 구한다.. ⑧ 미분방정식에서 적절한 정상상태응답을 구한다.. ⑨ 과도응답과 정상상태응답을 합하여 완전응답을 구한다.. ⑩ ③에서 구한 1차 미분방정식에서 dxn(0+)/dt 의 값을 구한다.. ⑪ 초기값 xn(0+), dxn(0+)/dt에서 과도응답의 상수 값 A1, A2의 값을 구한다. 䌊.

(39) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 예제 9-5 상태변수 기법에 의한 일반 RLC 회로의 체계적 해석법. [그림 9-15]의 회로에서 t > 0일 때 i (t )를 상태변수 기법으로 구하라.. 䌊.

(40) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 예제 9-5. v1 (t ) = 12e − t −14e −2t + 2e −3t , t > 0. 䌊.

(41) Section 9.3 일반 RLC 회로해석을 위한 상태변수 기법 예제 9-6 상태변수 기법에 의한 복잡한 회로 해석. [그림 9-19]의 회로에서 상태변수 방정식을 이용하여 v1(t )에 대한 미분 방정식을 구하라.. 䌊.

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