공업수학 II
강의 (12)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
Ch. 1. 미분방정식
1-1. 미분방정식의 정의
미분방정식은 𝑦′, 𝑦“ 등의 도함수를 포함하는 방정식
미분방정식의 구분
(1) 상미분방정식(ordinary differential equation) (2) 편미분방정식(partial differential equation) (3) 완전미분방정식 (exact differential equation) 미분방정식의 계수 및 차수 계수: 미분방정식 중 최고계 도함수로 계수가 정해짐 차수: 최고계 도함수의 차수로 정해짐 선형미분방정식 함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′, 𝑦′′… 등이 1차인 미분방정식 모든 차수가 1차인 미분방정식 <중간시험 총정리> 중간시험 총정리
예시1) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑥 2𝑦 + 3𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ∶ 종속변수 𝑦 에 대한 최대 미분의 수는 2 예시2) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 3 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 + 4𝑦 = 0 예시3) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑦 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 2 = 0 예제) 다음 미분방정식의 선형 및 비선형을 구분하고, 각각의 계수와 차수를 말하라. (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 + 𝑦 = 𝑥 + 2 (2) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝑦2 (3) 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑦 = 0 (4) 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 − 𝑦 2 = 3 (5) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑦 = 𝑥2 𝑦 1계 2차 비선형 미분방정식 2계 1차 비선형 미분방정식 3계 선형미분방정식 3계 1차 비선형미분방정식 2계 1차 비선형미분방정식 중간시험 총정리 2 계 미분방정식 2 번 미분 1 번 미분 최고계 도함수 2계: 차수 = 3 차 미분방정식 3차 2계 선형미분방정식, 𝑦 에 대해 2차: 비선형
2. 1계 미분방정식 1계 미분방정식의 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑓 𝑥 1계 미분방정식의 형태에 따라 다음의 형태로 분리 (1) 변수분리형 미분방정식 (2) 동차형 미분방정식 (3) 완전 미분방정식 2-1. 변수 분리형 함수 𝑓(𝑥) 와 𝑔(𝑦) 가 각각 좌우로 분리 가능한 형태 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 1 − 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 + 1 = 0 1 − 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 위의 미분방정식의 형태: 1계 1차 비선형 미분방정식 변수분리형 미분방정식의 해법 (1) 𝑓(𝑥) 와 𝑔(𝑦) 를 변수 분리한다 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (2) 양변을 적분한다 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 (3) 미분방정식의 일반 해를 구한다. 중간시험 총정리
예제) 다음 미분방정식의 해를 구하라 (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 3𝑥2 2𝑦 변수분리: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 3𝑥2 2𝑦 2𝑦𝑑𝑦 = −3𝑥 2𝑑𝑥 양변을 적분: 2𝑦 𝑑𝑦 = − 3𝑥2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦2 = −𝑥3 + 𝐶 미분방정식의 일반 해: 𝑥3 + 𝑦2 = 𝐶 (2) 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥(𝑥 2 + 5)3 변수분리: 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥(𝑥 2 + 5)3 𝑦𝑑𝑦 = 2𝑥(𝑥2 + 5)3 𝑑𝑥 양변을 적분: 𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥(𝑥2 + 5)3 𝑑𝑥 + 𝐶 2𝑥(𝑥2 + 5)3 𝑑𝑥 의 적분 ?? ∴ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 + 5 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 2𝑥(𝑥2 + 5)3 𝑑𝑥 = 𝑡3 𝑑𝑡 = 𝑡4 4 2𝑥(𝑥 2 + 5)3 𝑑𝑥 = 𝑥2+5 4 4 미분방정식의 일반 해: 𝑦2 2 = 𝑥2+5 4 4 + 𝐶 2𝑦 2 = 𝑥2 + 5 4 + 𝐶 𝑥2 + 5 = 𝑡 로 치환하고 양변을 𝑥 에 대해 각각 미분 중간시험 총정리
부정적분의 계산 (review) (1) 치환 적분법 case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 형 case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 (2) 부분 적분법 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 (3) 부분분수 분해법 유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식 부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 중간시험 총정리
치환적분 정리 (1) 치환할 함수를 결정하여 𝑡 로 치환 case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 치환: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 형 치환: 𝑔(𝑥) = 𝑡 case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 치환: 𝑓(𝑥) = 𝑡 (2) 치환한 함수의 양변을 𝑥 에 대해 미분하여, 𝑑𝑥 와 𝑑𝑡 의 관계식을 구함 (3) 피적분 함수를 𝑡 로 교체하고, 𝑑𝑥 대신 𝑑𝑡 를 대입하여 𝑡 에 대해 적분 (4) 적분 후 𝑡 를 다시 𝑥의 함수로 환원 예시1) 2 (2𝑥+1)2𝑑𝑥 를 구하라. (1) 2𝑥 + 1 = 𝑡 로 치환하고, 양변을 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (2) 𝑑𝑥 & 𝑑𝑡 의 관계식: 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 (3) 𝑡 에 대해 적분: 2𝑑𝑥 (2𝑥+1)2 = 1 𝑡2 𝑑𝑡 + 𝐶 = − 1 𝑡 + 𝐶 (4) 𝑡 = 2𝑥 + 1 로 환원: 2 (2𝑥+1)2𝑑𝑥 = − 1 𝑡 + 𝐶 =− − 1 2𝑥+1+ 𝐶 지난 시간 강의 복습 𝑡 𝑑𝑡 치환적분 case 1: 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형
예시2) 2𝑥(3𝑥2 + 5)6 𝑑𝑥 를 계산하라. (1) 3𝑥2 + 5 = 𝑡 로 치환하고, 양변을 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 2 + 5 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 6𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (2) 𝑑𝑥 & 𝑑𝑡 의 관계식: 6𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 3 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 (3) 𝑡 에 대해 적분: (3𝑥2 + 5)6 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑡 6 𝑑𝑡 = 1 3∙ 𝑡7 7 + 𝐶 = 𝑡7 21+ 𝐶 (4) 𝑡 = 3𝑥2 + 5 로 환원: 2𝑥(3𝑥2 + 5)6 𝑑𝑥 = 𝑡7 21 + 𝐶 2𝑥(3𝑥 2 + 5)6 𝑑𝑥 = (3𝑥2+5)7 21 + 𝐶 예시3) 𝑥 𝑥2+1 𝑑𝑥 를 구하라. (1) 𝑥2 + 1 = 𝑡로 치환하고, 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (2) 𝑑𝑥 & 𝑑𝑡 의 관계식: 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 (3) 𝑡 에 대해 적분: 𝑥 𝑥2+1𝑑𝑥 = 1 𝑡 1 2 𝑑𝑡 = 1 2𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 = 1 2𝑙𝑛 𝑥 2 + 1 + 𝐶 (4) 𝑡 = 𝑥2 + 1 로 환원: 𝑥 𝑥2+1𝑑𝑥 = 1 2𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 = 1 2𝑙𝑛 𝑥 2 + 1 + 𝐶 𝑡 𝑑𝑡 3 치환적분 case 2: 𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 형 𝑡 𝑑𝑡2 치환적분 case 3: 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 지난 시간 강의 복습
부분적분법: 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 부분적분법 (integration by part) 을 적용할 수 있는 유형 정리 1) case 1: 대수함수와 지수함수의 곱 setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 2) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 3) case 3: 대수함수와 로그함수의 곱 setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔 𝑥 4) case 4: 지수함수와 삼각함수간의 곱
1st setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 지수함수 = 𝑔(𝑥) 2nd setting: 동일하게
𝑜𝑟
1st setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 삼각함수 = 𝑔(𝑥) 2nd setting: 동일하게
※ 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑡‼
부분 적분법 (integration by part) 의 적용 예시 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 (1) case 1: 대수함수와 지수함수의 곱 setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) 예시) 𝑥2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 1st setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔(𝑥) = 𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 ∴ 𝑥2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 2nd setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔 𝑥 = 2𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 2 ∴ 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝐶 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑥2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝐶 = 𝑒𝑥 𝑥2 − 2𝑥 + 2 + 𝐶 2. 1계 미분방정식 부분적분법 다시 적용
(2) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) (예시) 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 1st setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 + 1 ∴ 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2𝑥 + 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2nd setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 2 ∴ 2𝑥 + 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 2𝑥 + 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = − 2𝑥 + 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑥 + 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 + 𝑥 − 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑥 + 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 2. 1계 미분방정식 부분적분법 다시 적용
(3) case 3: 대수함수와 로그함수의 곱 setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔(𝑥) (예시) (3𝑥2 + 1) ∙ 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 setting: 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 1 & 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 1 𝑥 ∴ 3𝑥2 + 1 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥3 + 𝑥 ∙ 1 𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 3𝑥2 + 1 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥3 3 − 𝑥 + 𝐶 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 𝑥 + 𝐶 2. 1계 미분방정식
(4) case 4: 지수함수와 삼각함수간의 곱 setting: 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑡‼ (예시 1) 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 setting: 지수함수= 𝑓′ 𝑥 & 삼각함수= 𝑔 𝑥 1st setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∴ 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 2nd setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∴ 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ∴ 2 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑒 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 = 𝑒𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 2. 1계 미분방정식 부분적분법 다시 적용
(예시2) 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 setting: 삼각함수= 𝑓′ 𝑥 & 지수함수= 𝑔 𝑥 1st setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑥 ∴ 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − −𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 2nd setting: 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 & 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ∴ 𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ∴ 2 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 −𝑒 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 = 𝑒𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 ※ 𝑁𝑜𝑡𝑒 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑜𝑟 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑓′(𝑥) 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑓′(𝑥) 2. 1계 미분방정식 (예시1) 의 처음 결과와 동일
부분분수(partial fraction) 분해 유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식 부분분수 분해: 유리함수를 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예시1) 2 𝑥2−1𝑑𝑥 를 구하라 피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2−1 = 2 (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+1) = 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1) 항등식의 미정계수 법에 의해 𝐴와 𝐵를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 − 𝐵 = 2 𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒
,
2 𝑥2−1 = 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+1) = 1 (𝑥−1) − 1 (𝑥+1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑥22−1𝑑𝑥 = 𝑥−11 − 1 𝑥+1 𝑑𝑥 = 1 𝑥−1 𝑑𝑥 − 1 𝑥+1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑥−1 𝑥+1 + 𝐶 𝐴 = 1 & 𝐵 = −1 2. 1계 미분방정식 변수분리형 미분방정식의 해법 (1) 주어진 미분방정식이 𝑥 와 𝑦 가 각각 좌우로 분리 가능한지 check 후, 변수분리 예시: 1 − 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 + 1 = 0 1 − 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 (2) 양변을 적분 1 − 𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 𝐶 치환 적분법
• (case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형, (case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 형, (case 3) 함수 𝑓′ 𝑥
𝑓(𝑥) 형
부분 적분법: 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥
• (case 1) 대수함수와 지수함수의 곱: setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) • (case 2) 대수함수와 삼각함수의 곱: setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥)
• (case 3) 대수함수와 로그함수의 곱: setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔 𝑥 • (case 4) 지수함수와 삼각함수간의 곱 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 지수함수 = 𝑔(𝑥) 𝑜𝑟 setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 삼각함수 = 𝑔(𝑥) 부분분수 분해법: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 만든 후 적분 (3) 미분방정식의 일반 해를 구한다. 중간시험 총정리
예시) 미분방정식 𝑑𝑦 𝑦𝑑𝑥 = 3 𝑥2+𝑥−2 의 해를 변수분리형으로 구하라 변수분리: 𝑑𝑦 𝑦 = 3 𝑥2+𝑥−2 𝑑𝑥 양변을 적분: 1 𝑦 𝑑𝑦 = 3 𝑥2+𝑥−2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥2+𝑥−23 𝑑𝑥 의 적분 (1) 피적분 함수를 부분분수로 분해 3 𝑥2+𝑥−2 = 3 (𝑥−1)(𝑥+2) = 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+2) = 𝐴 𝑥+2 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+2) = 𝐴+𝐵 𝑥+(2𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+2) (2) 항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 2𝐴 − 𝐵 = 3 ∴ 𝑥2+𝑥−23 𝑑𝑥 = 𝑥−11 𝑑𝑥 − 𝑥+21 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 2 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑥−1 𝑥+2 + 𝐶 미분방정식의 일반해 𝑦1 𝑑𝑦 = 𝑥2+𝑥−23 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥−1 𝑥+2 + 𝐶 𝑦 = 𝐶 𝑥−1 𝑥+2 부분분수분해 𝐴 = 1 & 𝐵 = −1 3 𝑥2+𝑥−2 = 𝐴 (𝑥−1) + 𝐵 (𝑥+2) = 1 (𝑥−1)− 1 (𝑥+2) 중간시험 총정리
2. 1계 미분방정식 (계속) 미분방정식의 형태에 따라 다음으로 분리 (1) 변수분리형 미분방정식 (2) 동차형 미분방정식 (3) 완전 미분방정식 2-2. 동차형 미분방정식 1계 미분방정식의 형식이 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 이고, 𝑀, 𝑁 이 𝑥, 𝑦 에 관하여 같은 차수일 때 이를 동차형 미분방정식이라 함. 동차형 미분방정식 예시) 𝑥3 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑦3𝑑𝑦 = 0 𝑥3 + 𝑥𝑦2 & 2𝑦3 이 𝑥, 𝑦 에 관하여 3차 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑦2 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑥2 + 𝑦2 & 2𝑦2 + 𝑥𝑦 이 𝑥, 𝑦 에 관하여 2차 중간시험 총정리
동차함수의 적분법 정리 (1) 각 항이 동차형인지 확인 (2) 각항의 차수가 같으므로 각 항을 𝑦 𝑥 형으로 변환 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑦 𝑥 위의 식을 𝑦 𝑥 = 𝑣 치환: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑣 𝑦 𝑥 = 𝑣 를 𝑦 = 𝑣𝑥 로 놓고, 𝑥 에 관해 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 ∴ 𝑣 + 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑣 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑣 − 𝑣 (3) 위의 식을 𝑣 와 𝑥 의 변수분리형으로 적분 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑣 − 𝑣 𝑑𝑥 𝑥 = 1 𝑓 𝑣 −𝑣 𝑑𝑣 + 𝐶 𝑙𝑛𝑥 = 1 𝑓 𝑣 −𝑣 𝑑𝑣 + 𝐶 (4) 𝑙𝑛𝑥 = 1 𝑓 𝑣 −𝑣 𝑑𝑣 + 𝐶 에서 𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣 𝑑𝑣 를 적분하여 미분방정식의 해를 구함. (5) 𝑣 = 𝑦 𝑥 로 환원 중간시험 총정리
20 예시) 동차형 미분방정식 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 의 해를 구하라. ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 위 식이 변수분리가 가능한가?? 1) 각 항이 동차형 인지 확인: 각항이 𝑥 와 𝑦 에 대해 2차 2) 2차 이므로 양변을 𝑥2 으로 나누어 𝑦 𝑥 형으로 변환 위의 식에서 𝑦 𝑥 = 𝑣 치환: 1 + 𝑣 2 𝑑𝑥 = 2𝑣𝑑𝑦 𝑦 𝑥 = 𝑣 를 𝑦 = 𝑣𝑥 로 놓고, 𝑥 에 관해 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 ∴ (1+𝑣2) 2𝑣 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1+𝑣2) 2𝑣 − 𝑣 = 1+𝑣2 −2𝑣2 2𝑣 = 1−𝑣2 2𝑣 3) 위의 식을 𝑣 와 𝑥 의 변수분리형으로 적분 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1−𝑣2 2𝑣 𝑑𝑥 𝑥 = 2𝑣 (1−𝑣2)𝑑𝑣 + 𝐶 𝑙𝑛(𝑥) = 2𝑣 (1−𝑣2)𝑑𝑣 + 𝐶 1 + 𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 동차형 (1+𝑣2) 2𝑣 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 적분 ? ? 중간시험 총정리
4) 𝑙𝑛(𝑥) = 2𝑣 (1−𝑣2)𝑑𝑣 + 𝐶 에서 2𝑣 (1−𝑣2)𝑑𝑣 의 적분 1 − 𝑣2 = 𝑡 로 치환하고, 𝑣 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑣 1 − 𝑣 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 − 2𝑣 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑣 & 𝑑𝑡 의 관계식: −2𝑣𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 2𝑣 (1−𝑣2)𝑑𝑣 = − 1 𝑡𝑑𝑡 = −𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 𝑡 = 1 − 𝑣2 로 환원: 2𝑣 (1−𝑣2)𝑑𝑣 = −𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶= − 𝑙𝑛 1 − 𝑣 2 + 𝐶 ∴ 𝑙𝑛(𝑥) = (1−𝑣2𝑣2)𝑑𝑣 + 𝐶 𝑙𝑛(𝑥) = −𝑙𝑛 1 − 𝑣2 + 𝐶 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑙𝑛 1 − 𝑣2 = 𝐶 5) 𝑣 = 𝑦 𝑥 로 환원 로그법칙: 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑙𝑛 1 − 𝑣2 = 𝐶 𝑙𝑛 𝑥 1 − 𝑣2 = 𝐶 𝑙𝑛 𝑥 1 − 𝑦 𝑥 2 = 𝐶 𝑙𝑛 (𝑥 −𝑦2 𝑥 ) = 𝐶 𝑥 2−𝑦2 = 𝐶𝑥 치환적분 case 3: 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) −𝑑𝑡 중간시험 총정리
2-3. 완전 미분방정식 함수 𝑢 𝑥, 𝑦 의 완전미분: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 0 위 식에서 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 & 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 라 하면 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 위와 같이 좌변이 임의의 함수 𝑢 𝑥, 𝑦 의 완전미분이 되는 방정식을 완전미분방정식이라 함. 위의 완전미분방정식을 적분하면: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 0 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝐶 1계 편도함수 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 & 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 으로 부터 2계 편도함수를 구하면, 즉, 𝑀 𝑥, 𝑦 를 𝑦 에 대해 미분하고, 𝑁 𝑥, 𝑦 를 𝑥 에 대해 미분하면, 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁 𝜕𝑥 이면 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 은 완전미분방정식이 아님. 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 완전미분방정식이 되기 위한 필요충분 조건 중간시험 총정리
완전미분방정식 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 의 일반 해 완전미분방정식의 필요충분조건 check: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 완전미분방정식 해법 (1): 완전미분방정식 일반 해 공식 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 − 𝜕𝑦𝜕 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝐶 완전미분방정식 해법 (2) (1) 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 의 양변을 각각 적분 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 (2) 위 식으로부터 일반해는 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 와 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 의 값에서 동일한 값을 갖는 공통항의 한 값과 다른 값을 갖는 항과의 덧셈으로 표시 됨. 완전 미분방정식의 일반 해 = 공통항 + 다른 항의 합 중간시험 총정리
예시1) 𝑦 + 4 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 의 해를 구하라. check 동차형 좌변: (𝑦에 대해1차 + 0차) & 우변: (𝑥에 대해 1차) 동차형이 아님. check 완전미분방정식: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑦 + 4 = 1 & 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 = 1 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 1) 완전미분방정식 해법 (1): 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 − 𝜕 𝜕𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦 + 4 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 + 4𝑥 𝑥 −𝜕𝑦𝜕 𝑦 + 4 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 −𝜕𝑦𝜕 𝑥𝑦 + 4𝑥 𝑑𝑦 = (𝑥 − 𝑥)𝑑𝑦 = 𝐶1 ∴ 𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝐶1 = 𝐶 𝑥𝑦 + 4𝑥 = 𝐶 2) 완전미분방정식 해법 (2) 미분방정식의 양변을 각각 적분: 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 • 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 + 4 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝐶1 • 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝐶2 ∴ 완전 미분방정식의 일반 해 = 공통항 + 다른항의 합: 𝑥𝑦 + 4𝑥 = 𝐶 공통항: 𝑥𝑦 & 다른 항의 합: 4𝑥 + 𝐶 중간시험 총정리
예시2) 𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0 의 해를 구하라> 완전미분 방정식 check: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑦 2 − 𝑥𝑦 & 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑥 2 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 2𝑦 − 𝑥 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 2 = 2𝑥 ※ 완전 미분방정식의 필요충분조건: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 주어진 식은 완전미분방정식이 아님!!! 동차형 인지 확인 첫 번째 항: 𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑥 와 𝑦 에 대해 2차 두 번째 항: 𝑥2 𝑥 와 𝑦 에 대해 2차 ∴ 주어진 미분방정식은 동차형으로 풀어야 함. 완전미분방정식 𝑜𝑟 동차형 ? 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁 𝜕𝑥 동차형: 2차 중간시험 총정리
동차형 미분방정식의 해 1) 𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0 은 𝑥 와 𝑦 에 대해 2차 양변을 𝑥2 으로 나누어 𝑦 𝑥 형으로 변환 2) 위의 식에서 𝑦 𝑥 = 𝑣 치환: − 𝑣 2 − 𝑣 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑦 𝑥 = 𝑣 를 𝑦 = 𝑣𝑥 로 놓고, 𝑥 에 관해 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 ∴ −𝑣2 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −𝑣 2 3) 위의 식을 𝑣 와 𝑥 의 변수분리형으로 적분 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −𝑣 2 𝑑𝑥 𝑥 = − 𝑑𝑣 𝑣2 + 𝐶 𝑙𝑛𝑥 = − 𝑣 −2+1 −2+1 + 𝐶 𝑙𝑛𝑥 = 1 𝑣 + 𝐶 4) 𝑣 = 𝑦 𝑥 로 환원: 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑦 + 𝐶 𝑦 𝑥 2 −𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 −𝑣2 + 𝑣 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 중간시험 총정리
예시3) (𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 3𝑥)𝑑𝑦 = 0 의 해를 구하라. 완전미분 방정식 check: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑥 − 3𝑦 & 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑦 − 3𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥 − 3𝑦 = −3 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑦 − 3𝑥 = −3 ※ 완전 미분방정식의 필요충분조건: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 주어진 식은 완전미분방정식 동차형 인지 확인 첫 번째 항: 𝑥 − 3𝑦 𝑥 와 𝑦 에 대해 1차 두 번째 항: 𝑦 − 3𝑥 𝑥 와 𝑦 에 대해 1차 ∴ 주어진 미분방정식은 완전 미분방정식 또는 동차형으로 풀이가 가능함. 완전미분방정식 𝑜𝑟 동차형 ? 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 동차형: 1차 중간시험 총정리
1) (𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 3𝑥)𝑑𝑦 = 0 의 완전 미분방정식 해법 (2) 완전미분방정식의 일반형: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3𝑦 & 𝑁 = (𝑦 − 3𝑥) 𝑀 을 𝑥 에 관해, 𝑁 을 𝑦 에 관해 각각 적분 𝑀 𝑑𝑥 = (𝑥 − 3𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑥22 − 3𝑥𝑦 + 𝐶1 𝑁 𝑑𝑦 = (𝑦 − 3𝑥) 𝑑𝑦 = 𝑦2 2 − 3𝑥𝑦 + 𝐶2 공통항: −3𝑥𝑦 & 다른항의 합: 𝑥2 2 + 𝑦2 2 + 𝐶 일반 해 = 공통항 + 다른항의 합 𝑥2 2 + 𝑦2 2 − 3𝑥𝑦 = 𝐶 𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝐶 중간시험 총정리
2) 𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 𝑑𝑦 = 0 의 동차형 해법 𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 𝑑𝑦 = 0 은 𝑥 와 𝑦 에 대해 1차 각 변을 𝑥 로 나누어 𝑦 𝑥 형으로 변환: 1 − 3 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥 − 3 𝑑𝑦 = 0 위의 식에서 𝑦 𝑥 = 𝑣 치환: 1 − 3𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 − 3 𝑑𝑦 = 0 3𝑣−1 (𝑣−3) = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑣 를 𝑦 = 𝑣𝑥 로 놓고, 이를 𝑥 에 관해 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 ∴ 3𝑣−1 (𝑣−3) = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 3𝑣−1 𝑣−3 − 𝑣2−3𝑣 𝑣−3 = − 𝑣2−6𝑣+1 𝑣−3 위의 식을 𝑣 와 𝑥 의 변수분리형으로 적분 변수분리: 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 = − 𝑣2−6𝑣+1 𝑣−3 𝑑𝑥 𝑥 = − 𝑣−3 𝑣2−6𝑣+1 𝑑𝑣 위 식의 양변을 적분: 𝑑𝑥 𝑥 = − 𝑣−3 𝑣2−6𝑣+1 𝑑𝑣 + 𝐶 중간시험 총정리
𝑣2−6𝑣+1𝑣−3 𝑑𝑣 의 적분 (1) 치환 (2) 양변을 𝑣 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑣 𝑣 2 − 6𝑣 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 2(𝑣 − 3) = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑣 − 3 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 2 ∴ 𝑣2−6𝑣+1𝑣−3 𝑑𝑣 = 12 1𝑡 𝑑𝑡 = 1 2𝑙𝑛(𝑡) (3) 𝑡 = 𝑣2 − 6𝑣 + 1 로 환원: 𝑣−3 𝑣2−6𝑣+1 𝑑𝑦 = 1 2𝑙𝑛(𝑡) = 1 2𝑙𝑛 𝑣 2 − 6𝑣 + 1 미분방정식의 일반 해: 𝑑𝑥𝑥 = − 𝑣2−6𝑣+1𝑣−3 𝑑𝑣 + 𝐶 𝑑𝑥𝑥 = −1 2𝑙𝑛 𝑣 2 − 6𝑣 + 1 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑥 = −1 2𝑙𝑛 𝑣 2 − 6𝑣 + 1 + 𝐶 ∴ 2𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝐶 𝑙𝑛 𝑥2 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝐶 𝑣 = 𝑦 𝑥 로 환원: 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝐶 𝑙𝑛 𝑥2 𝑦 𝑥 2 − 6 𝑦 𝑥 + 1 = 𝐶 ∴ 𝑙𝑛 𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 𝑥2 = 𝐶 완전 미분방정식의 해: 𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝐶 ? ? ? 치환적분 case 3: 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝑡 중간시험 총정리
