2020 수학의힘 알파 중2-2 답지 정답

수학의 힘 알파 중2-2

정답과 해설

I.

삼각형의 성질

2

II.

사각형의 성질

13

III.

도형의 닮음과 피타고라스 정리

24

IV.

확률

48

2

⑴ ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=;2!;_(180ù-70ù)=55ù ⑵ ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=40ù ∴ ∠x=180ù-(40ù+40ù)=100ù ⑶ ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=180ù-110ù=70ù ∴ ∠x=180ù-(70ù+70ù)=40ù ⑷ ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=;2!;_(180ù-30ù)=75ù ∴ ∠x=180ù-75ù=105ù

3

⑴ CDÓ=BDÓ이므로 BCÓ=2_5=10`(cm) ∴ x=10 ⑵ ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADC=90ù ∴ x=90

4

⑴ ∠A=∠C이므로 BAÓ=BCÓ=8`cm ∴ x=8 ⑵ ∠B=180ù-(50ù+65ù)=65ù ∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ=10`cm ∴ x=10 ⑶ ∠ABC=180ù-120ù=60ù ∠ABC=∠A이므로 BCÓ=ACÓ=7`cm ∴ x=7 ⑷ ∠A=∠ACD-∠B=56ù-28ù=28ù ∠A=∠B이므로 ACÓ=BCÓ=5`cm ∴ x=5

5

㉡ ∠A=180ù-(45ù+65ù)=70ù이므로

△

ABC는 이등변삼 각형이 아니다. ㉣ ∠A=180ù-(45ù+90ù)=45ù 즉

_△

ABC는 ∠A=∠B=45ù이므로 이등변삼각형이다. ㉤ ∠C=180ù-(50ù+70ù)=60ù이므로

△

ABC는 이등변삼각 형이 아니다. ㉥ ∠ACB=180ù-112ù=68ù이므로 ∠B=180ù-(44ù+68ù)=68ù 즉

△

ABC는 ∠B=∠ACB=68ù이므로 이등변삼각형이다. 따라서 이등변삼각형이 아닌 것은 ㉡, ㉤이다. 1 ⑴ ∠B, ∠C ⑵ ∠A ⑶ BCÓ 2 ⑴ 55ù ⑵ 100ù ⑶ 40ù ⑷ 105ù 3 ⑴ 10 ⑵ 90 4 ⑴ 8 ⑵ 10 ⑶ 7 ⑷ 5 5 ㉡, ㉤

기초

의

10쪽

이등변삼각형의 성질

01

0

2

① ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=68ù②, ④, ⑤ ADÓ는 BCÓ를 수직이등분하므로 ∠ADC=90ù, BDÓ=CDÓ=7`cm BCÓ=2CDÓ=2_7=14`(cm) ③

_△

ABD에서 ∠BAD=180ù-(68ù+90ù)=22ù

0

3

⑴

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=70ù 이때 ∠A=180ù-(70ù+70ù)=40ù

△

ABD에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠ABD=∠A=40ù ∴ ∠x=180ù-(40ù+40ù)=100ù ⑵

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-32ù)=74ù ∠ACD=;2!;∠ACB=;2!;_74ù=37ù

△

ADC에서 ∠x=∠A+∠ACD=32ù+37ù=69ù

0

4

∠B=∠x라 하면 A B _{C E} D 105∞ x x 2x2x

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠CAD =∠B+∠ACB =∠x+∠x =2∠x

△

ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x 따라서

_△

DBC에서 ∠DCE=∠B+∠D=∠x+2∠x=3∠x이므로 3∠x=105ù, ∠x=35ù ∴ ∠B=35ù

0

5

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-76ù)=52ù ∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_52ù=26ù ∠ACE=180ù-52ù=128ù이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_128ù=64ù 따라서

_△

DBC에서 ∠x=∠DCE-∠DBC=64ù-26ù=38ù

01 ㈎ ACÓ ㈏ ∠CAD ㈐ ADÓ ㈑ SAS ㈒ ∠C 02 ③

03 ⑴ 100ù ⑵ 69ù 04 35ù 05 38ù 06 14`cm

07 53ù 08 65ù

개념

의

유제

11쪽~14쪽

I .

삼각형의 성질

0

1

∠ACB=180ù-130ù=50ù ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=50ù ∴ ∠x=180ù-(50ù+50ù)=80ù

0

3

①, ② ADÓ는 BCÓ를 수직이등분하므로 ∠ADB=∠ADC=90ù, BDÓ=CDÓ ③, ④

_△

PBD와

△

PCD에서 BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통 따라서

_△

PBDª

_△

PCD ( SAS 합동)이므로 BPÓ=CPÓ, ∠PBD=∠PCD ⑤ ∠ABP=∠PBD인지는 알 수 없다.

01 80ù 02 ㈎ ADÓ ㈏ SAS ㈐ ∠ADC ㈑ 90ù 03 ⑤

04 35ù 05 52ù 06 50ù 07 44ù 08 102ù 09 50ù 10 22ù 11 ㈎ ∠ACB ㈏ ∠ABC ㈐ ∠PCB 12 ⑤ 13 13`cm 14 38ù 15 70ù 16 84ù 17 17ù 18 8`cm

내공

의

15쪽~17쪽

0

6

△

ABC에서 ∠C=180ù-(60ù+90ù)=30ù

△

ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로 ∠ABD=∠A=60ù 따라서 ∠ADB=60ù이므로

△

ABD는 정삼각형이다. ∴ ADÓ=BDÓ=ABÓ=7`cm 한편 ∠DBC=90ù-60ù=30ù이므로 ∠DBC=∠C=30ù 따라서

△

DBC는 DBÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로 DCÓ=DBÓ=7`cm ∴ ACÓ=ADÓ+DCÓ=7+7=14`(cm)

0

7

∠GEF=∠FEC=∠x`(접은 각), ∠GFE=∠FEC=∠x`(엇각)이므로 ∠GEF=∠GFE=∠x 따라서

_△

GEF에서 ∠GEF=;2!;_(180ù-74ù)=53ù ∴ ∠x=53ù

0

8

∠A=∠x라 하면 x A B C D E x+15∞ x 15∞ ∠DBE=∠A=∠x (접은 각)

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C =∠ABC=∠DBE+∠EBC =∠x+15ù 따라서 ∠x+(∠x+15ù)+(∠x+15ù)=180ù이므로 3∠x=150ù, ∠x=50ù ∴ ∠C=∠x+15ù=50ù+15ù=65ù

0

4

ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=55ù

△

ABC는 이등변삼각형이고 점 D는 BCÓ의 중점이므로 ∠ADC=90ù 따라서

△

ADC에서 ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù

0

5

△

BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠C=∠BDC=64ù

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=64ù ∴ ∠A=180ù-(64ù+64ù)=52ù

0

6

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=;2!;_(180ù-80ù)=50ù 이때 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠EAD=∠B=50ù (동위각)

0

7

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-58ù)=61ù

△

DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DCE=;2!;_(180ù-30ù)=75ù ∴ ∠ACD=180ù-(61ù+75ù)=44ù

0

8

△

BAC에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=34ù ∴ ∠CBD=34ù+34ù=68ù

△

BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=68ù 따라서

△

DAC에서 ∠DCE=∠A+∠D=34ù+68ù=102ù

0

9

∠B：∠C=5：4이므로 A B _M C 5x 4x 4x 5x ∠B=5∠x, ∠C=4∠x라 하면

△

ABM에서 AMÓ=BMÓ이므로 ∠BAM=∠B=5∠x

△

AMC에서 AMÓ=CMÓ이므로 ∠MAC=∠C=4∠x 따라서

△

ABC에서 (5∠x+4∠x)+5∠x+4∠x=180ù이므로 18∠x=180ù ∴ ∠x=10ù ∴ ∠BAM=5∠x=5_10=50ù

10

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-44ù)=68ù ∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_68ù=34ù ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-68ù=112ù이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_112ù=56ù 따라서

△

DBC에서 ∠x=∠DCE-∠DBC=56ù-34ù=22ù

12

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=;2!;_(180ù-36ù)=72ù ①, ③ ∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_72ù=36ù이므로 ∠ABD=∠A 즉

_△

ABD는 BDÓ=ADÓ인 이등변삼각형이다. ②

△

ABD에서 ∠BDC=∠A+∠ABD=36ù+36ù=72ù이므로 ∠C=∠BDC ④

_△

BCD는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이므로 BCÓ=BDÓ=ADÓ ⑤ BCÓ=CDÓ인지는 알 수 없다.

13

∠FEG=∠DEG`(접은 각), ∠FGE=∠DEG`(엇각)이므로 ∠FEG=∠FGE 따라서

△

EFG는 FEÓ=FGÓ인 이등변삼각형이므로 EFÓ=FGÓ=13`cm

14

∠A=∠x라 하면 ∠DBE=∠A=∠x (접은 각)

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠ABC=∠x+33ù 따라서

_△

ABC에서 ∠x+(∠x+33ù)+(∠x+33ù)=180ù이므로 3∠x=114ù, ∠x=38ù ∴ ∠A=38ù

15

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

△

BED와

△

CFE에서 BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ

따라서

△

BEDª

△

CFE ( SAS 합동)이므로 ∠BDE=∠CEF ∴ ∠DEF =180ù-(∠BED+∠CEF) =180ù-(∠BED+∠BDE) =∠B=70ù

16

△

ABD와

△

ACE에서 ABÓ=ACÓ, ∠B=∠C, BDÓ=BEÓ-DEÓ=CDÓ-DEÓ=CEÓ 따라서

_△

ABDª

_△

ACE ( SAS 합동)이므로

ADÓ=AEÓ, ∠BAD=∠CAE 즉

_△

ADE에서 ADÓ=AEÓ이므로 ∠ADE=∠AED=;2!;_(180ù-48ù)=66ù 이때

_△

ABE에서 BAÓ=BEÓ이므로 ∠BAE=∠BEA=66ù 따라서 ∠BAD=66ù-48ù=18ù이므로 ∠CAE=∠BAD=18ù ∴ ∠BAC=18ù+48ù+18ù=84ù

1

⑴

△

ABC와

△

DFE에서 ∠C=∠E=90ù, ABÓ=DFÓ=10`cm, ∠B=∠F=30ù ∴

△

ABCª

△

DFE`(RHA 합동) ⑵ DEÓ=ACÓ=5`cm

1 ⑴

△

ABCª

△

DFE (RHA 합동) ⑵ 5`cm 2 ⑴

_△

ABCª

_△

FDE (RHS 합동) ⑵ 12`cm 3 ㉡, ㉣

4

△

DEFª

△

MNO (RHA 합동),

△

JKLª

△

RPQ (RHS 합동) 5 ⑴ 4 ⑵ 9 6 ⑴ 60ù ⑵ 35ù

기초

의

20쪽

직각삼각형의 합동 조건

02

17

∠B=∠x라 하면 C D E G F B A 2x 2x3x 3x 4x x x 85∞ 4x

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠CAD =∠B+∠ACB=∠x+∠x=2∠x

△

ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x

△

BCD에서 ∠DCE=∠B+∠CDB=∠x+2∠x=3∠x

△

DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x

△

BED에서 ∠EDF=∠B+∠DEB=∠x+3∠x=4∠x

△

DEF에서 EDÓ=EFÓ이므로 ∠EFD=∠EDF=4∠x 따라서

△

BEF에서 ∠FEG=∠B+∠BFE이므로 85ù=∠x+4∠x, 5∠x=85ù ∴ ∠x=17ù ∴ ∠B=17ù

18

△

ABC에서 ∠B=∠C이므로

_△

ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변 삼각형이다.

∴ ACÓ=ABÓ=10`cm

오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면

△

ABC=

_△

ABP+

_△

ACP이므로 40=_{;2!;_10_PDÓ+;2!;_10_PEÓ} 40=5(PDÓ+PEÓ) ∴ PDÓ+PEÓ=8`(cm) A P B C D E 10 cm

0

2

㉠과 ㉣：RHA 합동 ㉢과 ㉤：RHS 합동

0

3

㉡

_△

ABC와

△

DEF에서

∠A=90ù-∠B=90ù-∠E=∠D, ACÓ=DFÓ, ∠C=∠F

∴

△

ABCª

△

DEF (ASA 합동) ㉢

_△

ABC와

△

DEF에서

∠C=∠F=90ù, ABÓ=DEÓ, ACÓ=DFÓ ∴

_△

ABCª

_△

DEF (RHS 합동) ㉣

△

ABC와

△

DEF에서

ACÓ=DFÓ, ∠C=∠F, BCÓ=EFÓ ∴

△

ABCª

△

DEF ( SAS 합동)

0

4

⑴

△

ADB와

△

CEA에서

∠D=∠E=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC

01 ㈎ ∠E ㈏ DEÓ ㈐ ∠E ㈑ SAS 02 ㉠과 ㉣, ㉢과 ㉤

03 ㉡, ㉢, ㉣ 04 ⑴ 4`cm ⑵ 50`cmÛ` 05 56ù 06 ④ 07 15`cmÛ`

개념

의

유제

21쪽~24쪽 따라서

△

ADB≡

△

CEA`(RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=6`cm ∴ CEÓ=ADÓ=DEÓ-AEÓ=10-6=4`(cm) ⑵ (사각형 DBCE의 넓이)=;2!;_(6+4)_10 =50`(cmÛ`)

0

5

△

ABD와

△

AED에서

∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ABÓ=AEÓ 따라서

_△

ABDª

_△

AED (RHS 합동)이므로 ∠DAE=∠DAB=28ù ∠ADB=∠ADE=90ù-28ù=62ù ∴ ∠x =180ù-(∠ADB+∠ADE) =180ù-(62ù+62ù)=56ù

0

6

△

AOP와

△

BOP에서

∠PAO=∠PBO=90ù, OPÓ는 공통, PAÓ=PBÓ 따라서

△

AOPª

△

BOP (RHS 합동)이므로 (⑤) OAÓ=OBÓ (①), ∠AOP=∠BOP (②), ∠APO=∠BPO (③)

0

7

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내 A B _{D 3 cm} C 10 cm E 린 수선의 발을 E라 하면

△

AED와

△

ACD에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD 따라서

_△

AEDª

_△

ACD`(RHA 합동)이므로 EDÓ=CDÓ=3`cm ∴

△

ABD=;2!;_ABÓ_DEÓ =;2!;_10_3=15`(cmÛ`)

0

1

㉡과 ㉤：RHA 합동 ㉢과 ㉣：RHS 합동

0

2

① ASA 합동 ② SAS 합동 ④ RHS 합동 ⑤ RHA 합동

0

3

△

ADB와

△

CEA에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC

따라서

△

ADBª

△

CEA (RHA 합동)이므로 DAÓ=ECÓ=5`cm, AEÓ=BDÓ=7`cm 01 ㉡과 ㉤, ㉢과 ㉣ 02 ③ 03 37`cmÛ` 04 37 05 22.5ù 06 52ù 07 12`cm 08 18`cmÛ` 09 ④ 10 4`cm 11 5`cmÛ` 12 85ù

내공

의

25쪽~26쪽

2

⑴

_△

ABC와

△

FDE에서

∠C=∠E=90ù, ABÓ=FDÓ=13`cm, BCÓ=DEÓ=5`cm ∴

_△

ABCª

_△

FDE`(RHS 합동) ⑵ ACÓ=FEÓ=12`cm

3

주어진 삼각형과 합동인 것은 ㉡ RHA 합동, ㉣ RHS 합동이다.

4

△

DEF와

△

MNO에서 ∠D=∠M=90ù, EFÓ=NOÓ=7`cm, ∠N=180ù-(90ù+35ù)=55ù이므로 ∠E=∠N=55ù ∴

△

DEFª

△

MNO (RHA 합동)

△

JKL과

△

RPQ에서 ∠L=∠Q=90ù, JKÓ=RPÓ=7`cm, JLÓ=RQÓ=4`cm ∴

_△

JKLª

_△

RPQ (RHS 합동)

5

⑴

_△

AOPª

_△

BOP`(RHA 합동)이므로 PAÓ=PBÓ=4`cm ∴ x=4 ⑵

_△

AOPª

_△

BOP`(RHA 합동)이므로 OBÓ=OAÓ=9`cm ∴ x=9

6

⑴

_△

AOPª

_△

BOP`(RHS 합동)이므로 ∠AOP=∠BOP=30ù ∴ ∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù ⑵

△

AOPª

△

BOP`(RHS 합동)이므로 ∠AOP=∠BOP ∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_70ù=35ù

∴

_△

ABC=(사다리꼴 DBCE의 넓이)-2

△

ADB =;2!;_(7+5)_(5+7)-2_{;2!;_5_7}

=72-35=37`(cmÛ`)

0

4

△

ADE와

_△

ACE에서

∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 따라서

_△

ADEª

_△

ACE ( RHS 합동)이므로 DEÓ=CEÓ=7 ∴ x=7 ∠CAE=∠DAE=30ù이므로

△

ABC에서 ∠B=180ù-(90ù+30ù+30ù)=30ù ∴ y=30 ∴ x+y=7+30=37

0

5

직각삼각형 ADE에서 DAÓ=DEÓ이므로 ∠DAE=;2!;_(180ù-90ù)=45ù

△

ABC에서 ∠ABC=180ù-(90ù+45ù)=45ù

△

BED와

△

BEC에서

∠BDE=∠BCE=90ù, BEÓ는 공통, DEÓ=CEÓ 따라서

△

BEDª

△

BEC (RHS 합동)이므로 ∠ABE=;2!;∠ABC=;2!;_45ù=22.5ù

0

6

△

BMD와

_△

CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ, DMÓÓ=EMÓ 따라서

_△

BMDª

_△

CME (RHS 합동)이므로 ∠B=∠C

△

ABC에서 ∠B=;2!;_(180ù-76ù)=52ù

0

7

△

ADE와

△

ACE에서

∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 따라서

_△

ADEª

_△

ACE (RHS 합동)이므로 DEÓ=CEÓ BDÓ =ABÓ-ADÓ=ABÓ-ACÓ =10-6=4`(cm) ∴ (

_△

BED의 둘레의 길이) =BEÓ+EDÓ+DBÓ =BEÓ+ECÓ+DBÓ =BCÓ+DBÓ =8+4=12`(cm)

0

8

△

QOP와

△

ROP에서

∠PQO=∠PRO=90ù, OPÓ는 공통, ∠POQ=∠POR 따라서

△

QOPª

△

ROP (RHA 합동)이므로 PRÓ=PQÓ=3`cm

∴ (사각형 QORP의 넓이)=2

△

POR =2_{;2!;_6_3}

=18`(cmÛ`)

0

9

△

ABD와

△

AED에서

∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠EAD 따라서

_△

ABDª

_△

AED (RHA 합동)이므로 (⑤) ABÓ=AEÓ (①) ∠ADB=∠ADE이므로 ∠BAD+∠ADE=∠BAD+∠ADB=90ù (②) ∠BAC=90ù-∠ACB=∠EDC (③)

10

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린 A B _D C 14 cm E 수선의 발을 E라 하면

△

AED와

_△

ACD에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD

따라서

△

AEDª

△

ACD (RHA 합동)이므로 EDÓ=CDÓ 이때

△

ABD=_{;2!;_14_DEÓ=28이므로} DEÓ=4`(cm) ∴ CDÓ=DEÓ=4`cm

11

△

ABD와

_△

CAE에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠BAD=90ù-∠CAE=∠ACE

따라서

△

ABDª

△

CAE ( RHA 합동)이므로 ADÓ=CEÓ=12`cm, BDÓ=AEÓ=5`cm 이때 DFÓ=12-5-5=2`(cm)이므로

△

BDF=;2!;_5_2=5`(cmÛ`)

12

△

ABE와

△

ADF에서

∠ABE=∠ADF=90ù, AEÓ=AFÓ, ABÓ=ADÓ 따라서

△

ABEª

△

ADF (RHS 합동)이므로 ∠BAE=∠DAF 이때 ∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=90ù 즉

_△

AEF는 AEÓ=AFÓ인 직각이등변삼각형이므로 ∠AEF=45ù ∴ ∠FEC=180ù-50ù-45ù=85ù 1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯ ⑸ ◯ ⑹ _ 2 ㉠ 3 ⑴ x=7, y=25 ⑵ x=124, y=6 4 ⑴ 6 ⑵ 52 5 ⑴ 40ù ⑵ 30ù ⑶ 20ù ⑷ 31ù 6 ⑴ 124ù ⑵ 70ù

기초

의

29쪽

삼각형의 외심

03

2

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 점 O가 삼각 형의 외심인 것은 ㉠이다.

3

⑴ ADÓ=CDÓ=7`cm이므로 x=7

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-130ù)=25ù ∴ y=25 ⑵

_△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=28ù ∴ ∠AOB=180ù-(28ù+28ù)=124ù ∴ x=124 CDÓ=BDÓ=6`cm이므로 y=6

4

⑴ OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 OBÓ=;2!; ACÓ=;2!;_12=6`(cm) ∴ x=6 ⑵

_△

OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=26ù ∠AOB=∠OAC+∠OCA=26ù+26ù=52ù ∴ x=52

5

⑴ ∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로 30ù+20ù+∠x=90ù ∴ ∠x=40ù ⑵ ∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로 ∠x+20ù+40ù=90ù ∴ ∠x=30ù ⑶ ∠OBA=∠OAB=45ù ∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로 45ù+∠x+25ù=90ù ∴ ∠x=20ù ⑷ ∠OAB=∠OBA=34ù ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로 34ù+∠x+25ù=90ù ∴ ∠x=31ù

6

⑴ ∠x=2∠A=2_62ù=124ù ⑵ ∠x=;2!;∠BOC=;2!;_140ù=70ù

0

1

㉢ ODÓ=OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.

㉤

_△

OBDª

_△

OAD,

△

OBEª

△

OCE이지만

△

OBDª

△

OBE인지는 알 수 없다.

0

2

⑴ 점 O는

△

ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ∴ OCÓ=;2!; ABÓ=;2!;_14=7`(cm) ⑵

_△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=35ù ∴ ∠AOC =∠OBC+∠OCB =35ù+35ù=70ù 01 ㉠, ㉡, ㉣ 02 ⑴ 7`cm ⑵ 70ù 03 15ù 04 64ù

개념

의

유제

30쪽~31쪽

0

3

∠OBA+∠OCB+∠OAC=90ù이므로 ∠x+2∠x+3∠x=90ù, 6∠x=90ù ∴ ∠x=15ù

0

4

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠BOC=180ù-2_26ù=128ù ∴ ∠A=;2!;∠BOC=;2!;_128ù=64ù 01 42`cm 02 4`cm 03 ② 04 12`cmÛ` 05 54ù 06 56ù 07 35ù 08 65ù 09 210ù 10 90ù 11 20ù 12 96ù

내공

의

32쪽~33쪽

0

1

점 O는

_△

ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 BDÓ=ADÓ=7`cm, CEÓ=BEÓ=8`cm, CFÓ=AFÓ=6`cm ∴ (

_△

ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ

=2(ADÓ+BEÓ+AFÓ) =2_(7+8+6) =42`(cm)

0

2

점 O가

△

ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ

△

AOC의 둘레의 길이가 14`cm이므로

OAÓ+OCÓ+6=14, 2 OAÓ=8 ∴ OAÓ=4`(cm) 따라서

△

ABC의 외접원의 반지름의 길이는 4`cm이다.

0

3

① ADÓ=BDÓ, AFÓ=CFÓ이지만 ADÓ=AFÓ인지는 알 수 없다. ③

_△

OCEª

_△

OBE,

△

OCFª

△

OAF이지만

△

OCEª

△

OCF인지는 알 수 없다. ④ ∠OBD=∠OAD, ∠OBE=∠OCE이지만

∠OBD=∠OBE인지는 알 수 없다. ⑤ OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.

0

4

점 O가

△

ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ ∴

△

OBC=_;2!;△ABC =;2!;_{;2!;_8_6} =12`(cmÛ`)

0

5

∠AMC：∠BMC=3：2이므로 ∠BMC=180ù_;5@;=72ù 점 M이

△

ABC의 외심이므로 MBÓ=MCÓ ∴ ∠B=;2!;_(180ù-72ù)=54ù

0

6

△

AMH에서 ∠AMH=180ù-(90ù+22ù)=68ù 점 M이

△

ABC의 외심이므로 MAÓ=MCÓ

따라서

△

AMC에서 ∠C=;2!;_(180ù-68ù)=56ù

0

7

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=;2!;_(180ù-110ù)=35ù ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로 35ù+∠x+20ù=90ù ∴ ∠x=35ù

0

8

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=25ù ∠BOC=180ù-(25ù+25ù)=130ù ∴ ∠A=;2!;∠BOC=;2!;_130ù=65ù

0

9

오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 25∞ 25∞ 45∞ 45∞ A B C O x y

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=25ù

△

OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로 ∠OCA=∠OAC=45ù ∴ ∠x=45ù+25ù=70ù ∠AOB=2∠ACB이므로 ∠y=2_70ù=140ù ∴ ∠x+∠y=70ù+140ù=210ù

10

∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5이므로 ∠A=180ù__{3+4+5 =45ù}3 ∴ ∠BOC=2∠A=2_45ù=90ù

11

△

OCB에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB=15ù

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=15ù+55ù=70ù ∠ACB=∠x라 하면

△

OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=∠x+15ù 따라서

_△

ABC에서 (70ù+∠x+15ù)+55ù+∠x=180ù이므로 2∠x=40ù ∴ ∠x=20ù

12

△

ABC의 외심 O가 BCÓ 위에 있으므로 ∠BAC=90ù

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=42ù ∴ ∠OAC =∠BAC-∠OAB =90ù-42ù=48ù 이때 점 O'이

△

AOC의 외심이므로 ∠OO'C=2∠OAC=2_48ù=96ù 1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ ◯ ⑷ _ ⑸ ◯ 2 ㉡, ㉢ 3 ⑴ 30ù ⑵ 126ù 4 ⑴ 32ù ⑵ 125ù ⑶ 80ù ⑷ 118ù 5 ⑴ 5 ⑵ 5 ⑶ 10 ⑷ 6

기초

의

37쪽

삼각형의 내심

04

0

1

②, ③ 삼각형의 외심 ⑤ 직각삼각형의 내심은 삼각형의 내부에 있다. 01 ①, ④ 02 48ù 03 30ù 04 9`cm 05 4p`cmÛ` 06 9`cm 07 15ù 08 92ù

개념

의

유제

38쪽~41쪽

2

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고 삼각형의 내심에 서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 점 I가 삼각형의 내심인 것은 ㉡, ㉢이다.

3

⑴ ∠x=∠IBC=30ù ⑵ ∠IBC=∠IBA=28ù, ∠ICB=∠ICA=26ù이므로

△

IBC에서 ∠x=180ù-(28ù+26ù)=126ù

4

⑴ ∠IAB=∠IAC=33ù ∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로 33ù+25ù+∠x=90ù ∴ ∠x=32ù ⑵ ∠x=90ù+;2!;∠A =90ù+_{;2!;_70ù=125ù} ⑶ ∠BIC=90ù+;2!;∠A이므로 130ù=90ù+;2!;∠x ;2!;∠x=40ù ∴ ∠x=80ù ⑷ ∠IAC=∠IAB=28ù이므로 ∠BAC=2_28ù=56ù ∴ ∠x=90ù+;2!;∠BAC =90ù+_{;2!;_56ù=118ù}

5

⑴ BEÓ=BDÓ=5 ∴ x=5 ⑵ CFÓ=CEÓ=4이므로 AFÓ=ACÓ-CFÓ=9-4=5 ∴ x=5 ⑶ AFÓ=ADÓ=3, CFÓ=CEÓ=7이므로 ACÓ=AFÓ+CFÓ=3+7=10 ∴ x=10 ⑷ BEÓ=BDÓ=4이므로 CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=10-4=6 ∴ x=6

0

1

② ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ이지만 ADÓ=BDÓ인지는 알 수 없다. ③ IBÓ=ICÕ인지는 알 수 없다.

④ ∠BIE=∠BID, ∠CIE=∠CIF이지만 ∠BIE=∠CIE인 지는 알 수 없다. ⑤

_△

IABª

_△

IAC인지는 알 수 없다.

0

2

∠AIB=90ù+;2!;∠C =90ù+;2!;_76ù=128ù

△

IAB에서 ∠x=180ù-(24ù+128ù)=28ù

0

3

∠ICB=∠ICA=30ù이므로

△

IBC에서 ∠IBC=180ù-(122ù+30ù)=28ù ∴ ∠x=∠IBC=28ù ∠ABC=2∠x=2_28ù=56ù이므로 ∠y=90ù+;2!;∠ABC =90ù+_{;2!;_56ù=118ù} ∴ ∠x+∠y=28ù+118ù=146ù

0

4

오른쪽 그림과 같이 IFÓ를 그으면 A B _C D E F I 3 cm 8 cm 15 cm 사각형 IECF는 정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=IEÓ=3`cm ADÓ=AFÓ=8-3=5`(cm), BDÓ=BEÓ=15-3=12`(cm) 이므로 ABÓ=ADÓ+BDÓ=5+12=17`(cm) ∴ (

_△

ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =17+15+8=40`(cm)

0

5

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_8_6=;2!;_r_(6+8+10) 24=12r ∴ r=2` 따라서 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다. 01 ① 02 28ù 03 146ù 04 40`cm 05 2`cm 06 ⑤ 07 ⑤ 08 115ù 09 210ù 10 39 11 70ù 12 ⑴ 10`cm ⑵ 4`cm ⑶ 84p`cmÛ`

내공

의

42쪽~43쪽

0

2

점 I가

_△

ABC의 내심이므로 ∠ICA=∠ICB=36ù 오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면 x 36∞ 30∞ A B C I ∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로 ∠IAB+30ù+36ù=90ù ∴ ∠IAB=24ù ∴ ∠x=2∠IAB=2_24ù=48ù

0

3

∠AIB=360ù__{7+8+9 =105ù}7 이때 ∠AIB=90ù+;2!;∠ACB이므로 105ù=90ù+;2!;∠ACB ;2!;∠ACB=15ù ∴ ∠ACB=30ù

0

4

CEÓ=CFÓ=10-4=6`(cm) ADÓ=AFÓ=4`cm이므로 BEÓ=BDÓ=7-4=3`(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=3+6=9`(cm)

0

5

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_12_5=;2!;_r_(13+12+5) 30=15r ∴ r=2 따라서

_△

ABC의 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p`(cmÛ`)

0

6

점 I가

_△

ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB DEÓ∥BCÓ이므로 ∠IBC=∠DIB (엇각), ∠ICB=∠EIC (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ=5`cm, EIò=ECÓ=4`cm ∴ DEÓ=DIò+EIò=5+4=9`(cm)

0

7

점 O가

_△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_40ù=80ù

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-80ù)=50ù

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=;2!;_(180ù-40ù)=70ù 이때 점 I가

△

ABC의 내심이므로 ∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù ∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC =50ù-35ù=15ù

0

8

점 I가

△

ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+;2!;∠A에서

113ù=90ù+_{;2!;∠A, ;2!;∠A=23ù ∴ ∠A=46ù}

점 O가

_△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_46ù=92ù

0

6

⑤ DBÓ=DIÕ, ECÓ=EIÕ이므로 ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+(DIÕ+EIÕ)+AEÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ) =ABÓ+ACÓ =12+8=20`(cm)

0

7

⑤ 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심이므로 외접원의 중심이다.

0

8

점 O가

△

ABC의 외심이므로 ∠A=;2!;∠BOC=;2!;_100ù=50ù 점 I가

_△

ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+;2!;∠A =90ù+;2!;_50ù=115ù

0

9

∠IAB=∠a, ∠ICB=∠b라 하면 점 I A B _D C E _I 80∞ x y a a b b 는

△

ABC의 내심이므로 ∠IAC=∠IAB=∠a, ∠ICA=∠ICB=∠b 이때

_△

ABC에서 2∠a+80ù+2∠b=180ù이므로 2(∠a+∠b)=100ù ∴ ∠a+∠b=50ù 한편

△

ABD에서 ∠x=80ù+∠a yy ㉠

△

EBC에서 ∠y=80ù+∠b yy ㉡ ㉠+㉡ 을 하면 ∠x+∠y =(80ù+∠a)+(80ù+∠b) =160ù+(∠a+∠b) =160ù+50ù=210ù

10

오른쪽 그림과 같이 IDÓ를 그으면 사각 A B C I D E F 10 3 b 3 3 a a b 형 DBEI는 정사각형이므로 BEÓ=BDÓ=IEÓ=3 ADÓ=a, CEÓ=b라 하면 AFÓ=ADÓ=a, CFÓ=CEÓ=b이므로 a+b=10 ∴

△

ABC=;2!;_3_{(a+3)+(b+3)+10} =_{;2!;_3_{(a+b)+16}} =;2!;_3_26=39

11

점 I가

△

ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC=40ù ∴ ∠OAI =∠IAB-∠OAB =40ù-30ù=10ù 오른쪽 그림과 같이 OBÓ, OCÓ를 그으 x D E 40∞ O A B C I 30∞ 면 점 O가

△

ABC의 외심이므로 ∠OBA=∠OAB=30ù ∠OCA =∠OAC =10ù+40ù=50ù 한편 ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로 30ù+∠OBC+50ù=90ù ∴ ∠OBC=10ù 즉 ∠ABC=30ù+10ù=40ù이므로

△

ABD에서 ∠x=∠ABD+∠BAD=40ù+30ù=70ù

12

⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 OAÓ=<sub>;2!; ABÓ=;2!;_20=10`(cm)</sub> 따라서 원 O의 반지름의 길이는 10`cm이다. ⑵ 원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_16_12=;2!;_r_(20+16+12) 96=24r　　∴ r=4 따라서 원 I의 반지름의 길이는 4`cm이다. ⑶ (색칠한 부분의 넓이) =(원 O의 넓이)-(원 I의 넓이) =p_10Û`-p_4Û` =100p-16p=84p`(cmÛ`)

0

2

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=68Ùù ∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_68ù=34ù 따라서

△

BCD에서 ∠ADB=∠DBC+∠C=34ù+68ù=102ù

0

3

∠A=∠x라 하면

△

ADC에서 ADÓ=CDÓ이므로 ∠DCA=∠A=∠x ∴ ∠BDC=∠A+∠DCA=∠x+∠x=2∠x

△

BCD에서 BCÓ=CDÓ이므로 ∠B=∠CDB=2∠x

01 ㈎ ∠CAD ㈏ ADÓ ㈐ ∠ADC ㈑ ASA 02 102ù

03 72ù 04 30ù 05 27ù 06 80ùÙ 07 17`cmÛ` 08 40ù 09 24`cmÛ` 10 ③ 11 5`cm 12 60ù 13 80ù 14 60ù 15 9 16 36`cm 17 9p`cmÛ` 18 7 19 18ù 20 11`cm 21 76ù 22 84ùÙ 23 10ù 24 ;2&;`cm

실전

의

44쪽~47쪽

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=2∠x 이때 ∠x+2∠x+2∠x=180ù이므로 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù ∴ ∠B=2∠x=2_36ù=72ù

0

4

△

BAC에서 ABÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=25ù ∴ ∠CBD=∠A+∠BCA=25ù+25ù=50ù

△

BCD에서 BCÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=50ù

△

DAC에서 ∠DCE=∠A+∠CDA=25ù+50ù=75ù

△

DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=75ù ∴ ∠CDE=180ù-(75ù+75ù)=30ù

0

5

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-36ù)=72ù ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-72ù=108ù이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_108ù=54ù 따라서

△

CDB에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠DBC=∠BDC=∠x ∠DCE=∠BDC+∠DBC=∠x+∠x=2∠x이므로 54ù=2∠x ∴ ∠x=27ù

0

6

∠CAB=∠DAB=50ù (접은 각), ∠ABC=∠DAB=50ù (엇각)이므로

△

ACB에서 ∠ACB=180Ùù-(50ù+50ù)=80ù

0

7

△

ADB와

△

CEA에서 ∠D=∠E=90Ùù, ABÓ=CAÓ, ∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC

따라서

△

ADB ª

△

CEA (RHA 합동)이므로 DAÓ=ECÓ=3`cm, AEÓ=BDÓ=5`cm ∴ DEÓ=DAÓ+AEÓ=3+5=8`(cm)

∴

_△

ABC=(사각형 DBCE의 넓이)-2

△

ADB =;2!;_(5+3)_8-2_{;2!;_3_5}

=17`(cmÛ`)

0

8

△

ADE와

△

ACE에서

∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 따라서

_△

ADE ª

△

ACE ( RHS 합동)이므로 ∠AEC=∠AED=65ù ∴ ∠DEB=180ù-(65ù+65ù)=50ù 따라서

_△

DBE에서 ∠B=180ù-(90ù+50ù)=40ù

0

9

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내 A B _C E 12 cm D 4 cm 4 cm 린 수선의 발을 E라 하면

△

ADE와

_△

ADC에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD

따라서

△

ADE ª

△

ADC ( RHA 합동)이므로 DEÓ=DCÓ=4`cm ∴

△

ABD=_{;2!;_12_4=24`(cmÛ`)}

10

③ ODÓ=OEÓ=OFÓ인지는 알 수 없다.

11

;2!;_8_6=;2!;_ABÓ_:ª5¢:에서 24=:Á5ª: ABÓ ∴ ABÓ=10`(cm) 이때 점 M이

_△

ABC의 외심이므로 MCÓ=;2!; ABÓ=;2!;_10=5`(cm)

12

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=45ù ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로 45ù+∠OBC+20ù=90ù ∴ ∠OBC=25ù ∴ ∠y=45ù+25ù=70ù

△

OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=20ù 따라서 ∠BAC=45ù+20ù=65ù이므로 ∠x=2∠BAC=2_65ù=130ù ∴ ∠x-∠y=130ù-70ù=60ù

13

∠AOB：∠BOC：∠COA=2：3：4이므로 ∠COA=360ù__{2+3+4 =160ù}4 이때 점 O는

△

ABC의 외심이므로 ∠ABC=;2!;∠COA=;2!;_160ù=80ù

14

점 I가

△

ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC=40ù 오른쪽 그림과 같이 ICÓ를 그으면 A B C I 20∞ 40∞ ∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù 이므로 40ù+20ù+∠ICA=90ù ∴ ∠ICA=30Ùù ∴ ∠C=2∠ICA=2_30ù=60ù

15

BEÓ=BDÓ=4 AFÓ=ADÓ=9-4=5이므로 CEÓ=CFÓ=10-5=5 ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+5=9

16

△

ABC의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 54=_{;2!;_3_x, 54=;2#;x} ∴ x=36 따라서

_△

ABC의 둘레의 길이는 36`cm이다.

17

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_15_8=;2!;_r_(17+15+8) 60=20r ∴ r=3 따라서

_△

ABC의 내접원의 넓이는 p_3Û`=9p`(cmÛ`)

18

DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ이므로 (

△

ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ) =ABÓ+ACÓ 즉 ABÓ+ACÓ=13 따라서 (

_△

ABC의 둘레의 길이)=ABÓ+BCÓ+ACÓ이므로 ABÓ+BCÓ+ACÓ=20, 13+BCÓ=20 ∴ BCÓ=20-13=7

19

점 O가

_△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_36ù=72ù

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-72ù)=54ù

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=;2!;_(180ù-36ù)=72ù 이때 점 I가

△

ABC의 내심이므로 ∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_72ù=36ù ∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC =54ù-36ù=18ù

20

△

ABD와

△

CAE에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE

따라서

△

ABD ª

△

CAE ( RHA 합동)이므로 ADÓ=CEÓ=18`cm, AEÓ=BDÓ=7`cm ∴ EDÓ =ADÓ-AEÓ =18-7=11`(cm)

21

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 A B C 46∞ 30∞ O

△

OCB에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB=30ù ∴ ∠OBA=30ù+46ù=76ù

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=76ù

22

∠IAB=∠a, ∠ICB=∠b라 하면 A B C E D I 111∞ 105∞ bb a a 점 I는

△

ABC의 내심이므로 ∠IAC=∠IAB=∠a, ∠ICA=∠ICB=∠b

△

AEC에서 2∠a+105ù+∠b=180ù 2∠a+∠b=75ù yy ㉠

△

ADC에서 ∠a+111ù+2∠b=180ù ∠a+2∠b=69ù yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 3∠a+3∠b=144ù ∴ ∠a+∠b=48ù

이때

_△

ABC에서 2∠a+∠B+2∠b=180ù이므로 ∠B+2(∠a+∠b)=180ù ∠B+2_48ù=180ù ∴ ∠B=84ù

23

△

ABC에서 ∠ABC=180ùÙ-(42ùÙ+62ùÙ)=76ùÙ 점 I는

△

ABC의 내심이므로 ∠IBC=;2~!;∠ABC=;2!;_76ù=38ùÙ 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 점 O는 A B C O I 62∞ 42∞

△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_42ù=84ù

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180Ùù-84ùÙ)=48ùÙ ∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC =48ù-38ù=10ù

24

점 O는

△

ABC의 외심이므로 외접원 O의 반지름의 길이는

;2!; ABÓ=;2!;_5=;2%;`(cm) 내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_3_4=;2!;_r_(5+3+4) 6=6r ∴ r=1 따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 1`cm이므로 외접원 O와 내접원 I의 반지름의 길이의 합은 ;2%;+1=;2&;`(cm)

1

⑴ BCÓ=ADÓ=7`cm이므로 x=7 ∠C=∠A=110ù이므로 y=110 ⑵ DCÓ=ABÓ=4`cm이므로 x=4 ABÓ∥DCÓ이므로 ∠B+∠C=180ù 50ù+∠C=180ù, ∠C=130ù ∴ y=130 ⑶ ADÓ=BCÓ=6`cm이므로 x=6 ∠D=∠B=60ù이므로 y=60 ⑷ ABÓ=DCÓ=8`cm이므로 x=8 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠A+∠B=180ù ∠A+135ù=180ù, ∠A=45ù ∴ y=45

2

⑴ OAÓ=OCÓ=7이므로 x=7 OBÓ=ODÓ=8이므로 y=8 ⑵ OAÓ=OCÓ=3이므로 x=3 OBÓ=ODÓ이므로 OBÓ=;2!; BDÓ=;2!;_8=4 ∴ y=4 ⑶ OCÓ=OAÓ=4이므로 x=4

OBÓ=ODÓ이므로 y+1=5 ∴ y=4 ⑷ OBÓ=ODÕÓ이므로

OBÓ=_{;2!; BDÓ=;2!;_18=9} ∴ x=9

OCÓ=OAÓ이므로

ACÓ=2 OAÓ=2_6=12 ∴ y=12

3

⑺

△

OAB와

△

OCD에서

ABÓ=CDÓ, ∠OAB=∠OCD (엇각), ∠OBA=∠ODC (엇각)

∴

△

OABª

△

OCD ( ASA 합동)

4

㉠ AOÓ=;2!; ACÓ=;2!;_8=4`(cm) ㉡ BDÓ의 길이는 알 수 없다. ㉢ CDÓ=ABÓ=6`cm

0

1

⑴ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DAC=∠ACB=40ù (엇각)

△

ACD에서 40ù+∠x+80ù=180ù ∴ ∠x=60ù ⑵ ∠C+∠D=180ù이므로 100ù+∠D=180ù ∴ ∠D=80ù

△

AED에서 35ù+∠x+80ù=180ù ∴ ∠x=65ù

0

2

⑴ ADÓ=BCÓ이므로 10=3x+1 ∴ x=3

ABÓ=DCÓ이므로 8=y-1 ∴ y=9 ⑵ ∠BAD=∠C=110ù이므로 ∠BAE=110ù-26ù=84ù 이때 ABÓ∥DCÓ이므로 ∠AED=∠BAE=84ù ∴ x=84 ∠B+∠C=180ù이므로 ∠B+110ù=180ù, ∠B=70ù ∴ y=70

0

3

⑴ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DEC=∠ADE (엇각) ∠EDC=∠ADE이므로 ∠DEC=∠EDC 따라서

△

CDE는 이등변삼각형이므로 CEÓ=CDÓ 이때 DCÓ=ABÓ=5`cm이므로 CEÓ=CDÓ=5`cm ∴ x=5 ⑵ ABÓ∥FCÓ이므로 ∠BFC=∠ABE (엇각) ∠FBC=∠ABE이므로 ∠BFC=∠FBC 따라서

△

CFB는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CBÓ=10`cm 이때 CDÓ=ABÓ=7`cm이므로 DFÓ=CFÓ-CDÓ=10-7=3`(cm) ∴ x=3

0

4

∠DAB=∠C=100ù이므로 ∠DAH=∠BAE=;2!;∠DAB =;2!;_100ù=50ù 이때

△

AHD에서 50ù+90ù+∠x=180ù, 140ù+∠x=180ù ∴ ∠x=40ù ㉣ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠BCD+∠ADC=180ù ∠BCD+70ù=180ù ∴ ∠BCD=110ù ㉤ ∠ABC=∠ADC=70ù 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉤이다.

1 ⑴ x=7, y=110 ⑵ x=4, y=130 ⑶ x=6, y=60 ⑷ x=8, y=45 2 ⑴ x=7, y=8 ⑵ x=3, y=4 ⑶ x=4, y=4 ⑷ x=9, y=12 3 ⑴  ⑵ _ ⑶  ⑷ _ ⑸  ⑹ _ ⑺  4 ㉠, ㉢, ㉤

기초

의

52쪽

평행사변형의 성질

01

II.

사각형의 성질

개념

의

유제

53쪽~55쪽 01 ⑴ 60ù ⑵ 65ù 02 ⑴ x=3, y=9 ⑵ x=84, y=70 03 ⑴ 5 ⑵ 304 40ù 05 ∠C=100ù, ∠D=80ù 06 19`cm

0

5

∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=5`:`4이므로 ∠A=180ù__{5+4 =100ù}5 ∠B=180ù-100ù=80ù ∴ ∠C=∠A=100ù, ∠D=∠B=80ù

0

6

두 대각선의 길이의 합이 24`cm이므로 ACÓ+BDÓ=24`cm 이때 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 AOÓ+BOÓ=;2!;(ACÓ+BDÓ)=;2!;_24=12`(cm) ∴ (

△

ABO의 둘레의 길이) =ABÓ+BOÓ+AOÓ =7+12=19`(cm) 또 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DFC=∠ADF (엇각) ∠CDF=∠ADF이므로 ∠DFC=∠CDF 따라서

△

CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=5`cm 이때 BCÓ=ADÓ=7`cm이므로 BCÓ=BEÓ+CFÓ-FEÓ에서 7=5+5-FEÓ ∴ FEÓ=3`(cm)

0

5

△

AED와

△

FEC에서 ADÓ∥BFÓ이므로 ∠ADE=∠FCE (엇각), ∠AED=∠FEC (맞꼭지각), DEÓ=CEÓ 따라서

△

AEDª

△

FEC ( ASA 합동)이므로 CFÓ=DAÓ=6 이때 BCÓ=ADÓ=6이므로 BFÓ=BCÓ+CFÓ=6+6=12

0

6

∠BAD+∠ADC=180ù이므로 2∠DAP+2∠ADP=180ù, 2(∠DAP+∠ADP)=180ù ∴ ∠DAP+∠ADP=90ù 따라서

△

APD에서 ∠APD =180ù-(∠DAP+∠ADP) =180ù-90ù=90ù

0

7

① ∠ADC=∠B=60ù이므로 ∠ADE=∠CDE=;2!;_60ù=30ù ∴ ∠DEC=∠ADE=30ù (엇각) ②

△

AFD에서 ∠DAF=180ù-(90ù+30ù)=60ù ③ ∠C=180ù-∠B=180ù-60ù=120ù ④ ∠BAD=∠C=120ù이므로 ∠BAF=∠BAD-∠DAF=120ù-60ù=60ù ⑤ ∠BEF=180ù-∠DEC=180ù-30ù=150ù

0

8

∠ADC=∠B=60ù이고 ∠ADE：∠EDC=3：1이므로 ∠ADE=60ù_;4#;=45ù 즉 ∠DEC=∠ADE=45ù (엇각) ∴ ∠x =180ù-(∠AED+∠DEC) =180ù-(70ù+45ù)=65ù

0

9

△

OPA와

△

OQC에서 ∠AOP=∠COQ`(맞꼭지각) ( ① ) OAÓ=OCÓ ( ④ ) ADÓ∥BCÓ이므로 ∠PAO=∠QCO`(엇각) ( ③ ) 따라서

△

OPAª

△

OQC`( ASA 합동)이므로 OPÓ=OQÓ ( ② ) ⑤ ∠POD=∠COD인지는 알 수 없다.

0

1

① CDÓ=BAÓ=10 ② ODÓ=;2!; BDÓ=;2!;_18=9 ③ ∠ADB의 크기는 알 수 없다. ④ ∠ADC+∠BDC=180ù이므로 ∠ADC=180ù-120ù=60ù ⑤ ∠BAD=∠BCD=120ù

0

3

AFÓ∥BCÓ이므로 ∠AFB=∠FBC (엇각) ∠ABF=∠FBC이므로 ∠AFB=∠ABF 따라서

△

ABF는 ABÓ=AFÓ인 이등변삼각형이므로 AFÓ=ABÓ=8 ∴ x=8 ABÓ∥DCÓ이므로 ∠CEB=∠ABE (엇각) ∠CBE=∠ABE이므로 ∠CEB=∠CBE 따라서

△

CEB는 CEÓ=CBÓ인 이등변삼각형이므로 CEÓ=CBÓ=5 이때 DCÓ=ABÓ=8이므로 DEÓ=DCÓ-ECÓ=8-5=3 ∴ y=3 ∴ x+y=8+3=11

0

4

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE (엇각) ∠BAE=∠DAE이므로 ∠AEB=∠BAE 따라서

△

BEA는 BEÓ=BAÓ인 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=CDÓ=5`cm 01 ③, ④

02 ㈎ ∠OCD ㈏ ∠ODC ㈐ CDÓ ㈑

△

OCD ㈒ OBÓ=ODÓ

03 11 04 3`cm 05 12 06 90ù 07 ④

08 65ù 09 ⑤ 10 10`cm 11 55ù 12 14

10

AEÓ∥BCÓ이므로 ∠DEB=∠EBC (엇각) ∠DBE=∠EBC이므로 ∠DEB=∠DBE 즉

△

DBE는 DEÓ=DBÓ인 이등변삼각형이므로 DEÓ =DBÓ=2BOÓ=2_5=10`(cm)

11

∠BAE=∠a, ∠ABE=∠b라 하면

△

ABE에서 ∠a+∠b=90ù이고 ∠BFC=∠ABE=∠b (엇각) 이때 ∠C=∠BAD=∠a+∠x이므로

△

BCF에서 35ù+(∠a+∠x)+∠b=180ù ∴ ∠x =180ù-35ù-(∠a+∠b) =180ù-35ù-90ù=55ù

12

OCDE는 평행사변형이므로 EDÓ=OCÓ=OAÓ, OCÓ∥EDÓ

△

AOF와

△

DEF에서 OAÓ=EDÓ, ∠AOF=∠DEF (엇각), ∠FAO=∠FDE (엇각)

따라서

△

AOFª

△

DEF ( ASA 합동)이므로 AFÓ=DFÓ=;2!; ADÓ=;2!; BCÓ=;2!;_16=8

OFÓ=EFÓ=_{;2!; OEÓ=;2!; CDÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6} ∴ AFÓ+OFÓ=8+6=14

0

1

ABCD가 평행사변형이려면 ADÓ=BCÓ이어야 하므로 2x-3=x+5 ∴ x=8 ABÓ=DCÓ이어야 하므로

x+2=y+1, 10=y+1 ∴ y=9

0

2

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② ∠A+∠C, ∠B+∠D, 즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같지 않 으므로 평행사변형이 아니다. ③ ∠BAC=∠DCA이므로 ABÓ∥DCÓ, 즉 한 쌍의 대변이 평행 하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ⑤ ∠BAC=∠DCA이므로 ABÓ∥DCÓ ∠ADB=∠DBC이므로 ADÓ∥BCÓ 즉 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

0

5

∠BPQ=∠DQP=90ù, 즉 엇각의 크기가 같으므로 BPÓ∥DQÓ yy ㉠

△

ABP와

△

CDQ에서 ∠BPA=∠DQC=90ù, ∠PAB=∠QCD (엇각), ABÓ=CDÓ 따라서

△

ABPª

△

CDQ (RHA 합동)이므로 BPÓ=DQÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 PBQD는 평행사변형이다. 따라서 PDÓ∥BQÓ이므로 ∠BQP=∠DPQ=50ù (엇각)

△

BQP에서 ∠x=180ù-(90ù+50ù)=40ù

0

6

AECF에서

AOÓ=COÓ, EOÓ=;2!; BOÓ=;2!; DOÓ=FOÓ

즉 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 AECF는 평행사 변형이다. 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣, ㉤이다.

0

7

△

BCD=

△

ABC=15`cmÛ` 이때 BFED는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행 사변형이다. ∴ BFED=4

△

BCD=4_15=60`(cmÛ`)

0

8

△

PAB+

△

PCD=

△

PDA+

△

PBC이므로 12+16=

△

PDA+15 ∴

△

PDA=13`(cmÛ`)

4

⑴

△

AOD=_{;4!; ABCD=;4!;_24=6`(cmÛ`)}

⑵

△

ABO=

△

CDO=;4!; ABCD

=;4!;_36=9`(cmÛ`) ∴

△

ABO+

△

CDO=9+9=18`(cmÛ`)

5

△

APD+

△

BCP=;2!; ABCD =;2!;_40=20`(cmÛ`) 이때

△

APD의 넓이가 8`cmÛ`이므로 8+

△

BCP=20 ∴

△

BCP=12`(cmÛ`) 1 ⑴ DCÓ, BCÓ ⑵ DCÓ, BCÓ ⑶ ∠DCB, ∠CDA ⑷ OCÓ, ODÓ ⑸ DCÓ, DCÓ 2 ⑴ ㉠ 6 ㉡ 5 ⑵ ㉠ 70 ㉡ 110 ⑶ ㉠ 9 ⑷ ㉠ 4 ㉡ 3 3 ⑴ _ ⑵  ⑶ _ ⑷ _ ⑸  4 ⑴ 6`cmÛ` ⑵ 18`cmÛ` 5 12`cmÛ`

기초

의

61쪽

평행사변형이 되는 조건

02

개념

의

유제

62쪽~65쪽 01 x=8, y=9 02 ② 03 ㈎ NCÓ ㈏ NCÓ 04 ㈎ FCÓ ㈏ NCÓ ㈐ GCÓ ㈑ MCÓ 05 40ù 06 ㉡, ㉣, ㉤ 07 60`cmÛ` 08 13`cmÛ`

0

3

ABCD가 평행사변형이 되려면 ADÓ∥BCÓ이어야 한다. 즉 엇각의 크기가 같아야 하므로 ∠DAE=∠AEB=50ù AEÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ∠BAD=2∠DAE=2_50ù=100ù 또 ABÓ∥DCÓ, 즉 ∠BAD+∠D=180ù이어야 하므로 100ù+∠D=180ù ∴ ∠D=80ù 다른 풀이 ∠BAE=∠DAE=50ù이므로

△

ABE에서 ∠B=180ù-2_50ù=80ù ABCD가 평행사변형이 되려면 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같 아야 하므로 ∠D=∠B=80ù

0

4

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② ∠BAC=∠DCA (엇각)이므로 ABÓ∥DCÓ이고 ABÓ=DCÓ=5 즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이 다. ③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ④ ∠B+∠C=180ù이므로 ABÓ∥DCÓ이다. 즉 한 쌍의 대변만 평행하므로 평행사변형이라고 할 수 없다. ⑤ ∠BAC=∠DCA (엇각)이므로 ABÓ∥DCÓ ∠ADB=∠CBD (엇각)이므로 ADÓ∥BCÓ 즉 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

0

5

② ABCD에서 ∠D=360ù-(100ù+80ù+100ù)=80ù 즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사 변형이다. ④ ∠DAC=∠ACB (엇각)이므로 ADÓ∥BCÓ 즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행사변형이다.

0

6

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CFD=∠ADF (엇각)=∠CDF 즉

△

CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=12`cm ∴ BFÓ =BCÓ-CFÓ=20-12=8`(cm) 이때 EBFD는 평행사변형이므로 DEÓ=BFÓ=8`cm

0

7

△

ABE와

△

CDF에서

∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ, ∠ABE=∠CDF (엇각) 따라서

△

ABEª

△

CDF ( RHA 합동) ( ㉠ )이므로 AEÓ=CFÓ ( ㉢ ) 또 ∠AEF=∠CFE=90ù (엇각)이므로 AEÓ∥CFÓ 즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 AECF는 평행 사변형이다. ( ㉥ ) ㉤ ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥이다.

0

8

오른쪽 그림과 같이 MNÓ을 그으면 _A B C D N M P _Q AMÓ=DMÓ=BNÓ=CNÓ이고 ADÓ∥BCÓ이므로 ABNM과 MNCD는 모두 평행사변형이다.

△

PNM=;4!;ABNM =;4!;_;2!;ABCD=;8!;ABCD

△

QMN=_;4!;MNCD =_{;4!;_;2!;ABCD=;8!;ABCD} ∴ MPNQ=

△

PNM+

△

QMN =_{;8!;ABCD+;8!;ABCD} =_;4!;ABCD =;4!;_60=15`(cmÛ`)

0

9

ABCD=7_4=28`(cmÛ`)이므로

△

PDA+

△

PBC=_{;2!;ABCD=;2!;_28=14`(cmÛ`)} 즉

△

PDA+6=14 ∴

△

PDA=8`(cmÛ`)

10

ABCD, OCDE는 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ=10`cm, EOÓ=DCÓ=ABÓ=6`cm AODE에서 EDÓ∥AOÓ, EDÓ=OCÓ=AOÓ

즉 AODE는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행 사변형이다. EFÓ=OFÓ=;2!; EOÓ=;2!;_6=3`(cm) FDÓ=AFÓ=;2!; ADÓ=;2!;_10=5`(cm) ∴ EFÓ+FDÓ=3+5=8`(cm)

11

△

ABP+

△

CDP=_;2!;ABCD =;2!;_90=45`(cmÛ`) 이때

△

ABP：

△

CDP=3：2이므로

△

ABP=45_ 3_{3+2 =27`(cmÛ`)}

12

오른쪽 그림과 같이 세 점 M, R, N을 지 A B C D M N Q P S R O 나면서 ABÓ와 평행한 직선을 각각 그으면 ABRS에서

△

OMR=;8!;ABRS이고

01 ㈎ ABÓ ㈏ ∠DCA ㈐ SAS ㈑ ∠CAD ㈒ ADÓ

02 ㉠, ㉢, ㉣ 03 80ù 04 ④ 05 ②, ④

06 8`cm 07 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥ 08 15`cmÛ` 09 8`cmÛ` 10 8`cm 11 27`cmÛ` 12 10 cmÛ`

0

1

∠AOD=∠BOC=120ù (맞꼭지각) 이때 OAÓ=ODÓ이므로

△

AOD는 이등변삼각형이다. ∴ ∠x=;2!;_(180ù-120ù)=30ù 또 ∠OAD=30ù이고 ∠BAD=90ù이므로 ∠y=90ù-30ù=60ù

0

2

△

ABM과

△

DCM에서 AMÓ=DMÓ, MBÓ=MCÓ, ABÓ=DCÓ 따라서

△

ABMª

△

DCM`( SSS 합동)이므로 ∠A=∠D 이때 ∠A+∠D=180ù이므로 ∠A=∠D=90ù 따라서 평행사변형 ABCD에서 한 내각의 크기가 90ù이므로 ABCD는 직사각형이다.

0

3

ACÓ⊥BDÓ이고 OCÓ=OAÓ=3`cm이므로 ABCD=2

△

ABD =2__{{;2!;_10_3}=30`(cmÛ`)}

0

4

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADO=∠CBO=30ù (엇각)

△

AOD에서 ∠AOD=180ù-(60ù+30ù)=90ù 즉 평행사변형 ABCD에서 두 대각선이 서로 수직으로 만나므로 ABCD는 마름모이다. 따라서

△

CDB에서 BCÓ=CDÓ이므로 ∠x=∠CBO=30ù

0

5

ACÓ=BDÓ=2 OBÓ=2_4=8`(cm)이므로 x=8 ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOB=90ù이고 AOÓ=BOÓ이므로 ∠OAB=;2!;_(180ù-90ù)=45ù ∴ y=45 ∴ x+y=8+45=53

0

6

㉢ ABCD가 마름모이므로 ∠BAD+∠ABC=180ù이고 ∠BAD=∠ABC이면 ∠BAD=∠ABC=90ù이므로 한 내 각의 크기가 90ù이다.

㉤ ABCD가 마름모이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ

이때 OAÓ=OBÓ이면 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ이므로 두 대각선 의 길이가 같다. 따라서 정사각형이 되는 조건은 ㉢, ㉤이다.

0

7

△

ABP에서 ∠BPC=∠PAB+∠ABP이고 ∠PAB=45ù이므로 70ù=45ù+∠ABP ∴ ∠ABP=25ù SRCD에서

△

ORN=;8!;SRCD이므로

△

MRN=

△

OMR+

△

ORN =;8!;ABRS+;8!;SRCD =;8!;ABCD =_{;8!;_80=10`(cmÛ`)}

1

⑴ ACÓ=BDÓ=10이므로 OCÓ=;2!;`ACÓ=;2!;_10=5 ∴ x=5 ADÓ=BCÓ=8이므로 y=8 ⑵ ∠D=90ù이므로 x=90

△

ABC에서 ∠B=90ù이므로 ∠BAC=180ù-(90ù+30ù)=60ù ∴ y=60

3

⑴ BOÓ=DOÓ=6이므로 x=6 COÓ=AOÓ=4이므로 y=4 ⑵ ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOB=90ù ∴ x=90

△

AOD에서 ∠AOD=90ù이므로 ∠OAD=180ù-(90ù+35ù)=55ù ∴ y=55

5

⑴ ABÓ=ADÓ=4이므로 x=4

ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠COD=90ù ∴ y=90 ⑵ BDÓ=ACÓ=12이므로 BOÓ=;2!; BDÓ=;2!;_12=6 ∴ x=6 ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOD=90ù이고 AOÓ=DOÓ이므로 ∠ODA=;2!;_(180ù-90ù)=45ù ∴ y=45

6

⑴ ∠C=∠B=70ù이므로 y=70 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠C+∠D=180ù에서 70ù+∠D=180ù ∴ ∠D=110ù ∴ x=110 ⑵ DCÓ=ABÓ=5이므로 x=5 BDÓ=ACÓ=8이므로 y=8 1 ⑴ x=5, y=8 ⑵ x=90, y=60 2 ㈎ DBÓ ㈏ BCÓ ㈐ ∠CDA ㈑ ∠CDA ㈒ 직사각형 3 ⑴ x=6, y=4 ⑵ x=90, y=55

4 ㈎ ODÓ ㈏ ∠AOD ㈐ SAS ㈑ ADÓ ㈒ 마름모 5 ⑴ x=4, y=90 ⑵ x=6, y=45 6 ⑴ x=110, y=70 ⑵ x=5, y=8

기초

의

70쪽

여러 가지 사각형

03

개념

의

유제

71쪽~75쪽 01 ∠x=30ù, ∠y=60ù 02 직사각형 03 30`cmÛ` 04 30ù 05 53 06 ㉢, ㉤ 07 25ù 08 73ù 09 ∠x=25ù, ∠y=115ù 10 ;2%;`cm

이때

△

ABP와

△

ADP에서

ABÓ=ADÓ, ∠PAB=∠PAD=45ù, APÓ는 공통 따라서

△

ABPª

△

ADP ( SAS 합동)이므로 ∠x=∠ABP=25ù

0

8

△

ABE에서 ABÓ=ADÓ=AEÓ이므로

△

ABE는 이등변삼각형 이다. ∠AEB=∠ABE=28ù이므로 ∠BAE=180ù-(28ù+28ù)=124ù 이때 ∠DAB=90ù이므로 ∠DAE=124ù-90ù=34ù 또

△

ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ADE=;2!;_(180ù-34ù)=73ù

0

9

△

ABC에서 ∠ACB=180ù-(75ù+65ù)=40ù ∠DCB=∠B=65ù이므로 ∠x+40ù=65ù ∴ ∠x=25ù ∠D+∠DCB=180ù이므로 ∠y+65ù=180ù ∴ ∠y=115ù

10

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ B _{F E} C 12 cm 7 cm A D 에 내린 수선의 발을 F라 하면 AFED는 직사각형이므로 FEÓ=ADÓ=7`cm 한편

△

ABF와

△

DCE에서

ABÓ=DCÓ, ∠ABF=∠DCE, ∠AFB=∠DEC=90ù 따라서

△

ABFª

△

DCE (RHA 합동)이므로 BFÓ=CEÓ ∴ ECÓ=;2!;(BCÓ-FEÓ) =_{;2!;_(12-7)=;2%;`(cm)}

0

3

∠D'AF=∠C=90ù이므로 ∠EAF=90ù-28ù=62ù ∠AFB=∠EAF=62ù (엇각)이고 ∠AFE=∠EFC (접은 각)이므로 ∠AFE=;2!;_(180ù-62ù)=59ù

0

4

②, ④ 마름모가 되는 조건이다. ⑤ 평행사변형의 성질이다.

0

5

ABÓ=ADÓ이므로 5x-4=2x+5 3x=9 ∴ x=3 ∴ CDÓ=ABÓ=5x-4=5_3-4=11

0

6

㉠

△

ABC와

△

ADC에서 ABÓ=ADÓ, ACÓ는 공통, BCÓ=DCÓ 따라서

△

ABCª

△

ADC ( SSS 합동)이므로 ∠BAC=∠DAC, ∠BCA=∠DCA 따라서 ACÓ는 ∠BAD, ∠BCD의 이등분선이다. ㉡ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ ㉢ 마름모는 평행사변형이므로 ∠BAD=∠BCD 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다.

0

7

△

BCD에서 BCÓ=CDÓ이므로 ∠BDC=;2!;_(180ù-116ù)=32ù

△

FED에서 ∠DFE=180ù-(90ù+32ù)=58ù ∴ ∠AFB=∠DFE=58ù (맞꼭지각)

0

8

△

ABE와

△

ADF에서 ∠AEB=∠AFD=90ù, ABÓ=ADÓ, ∠B=∠D

따라서

△

ABEª

△

ADF`( RHA 합동)이므로 AEÓ=AFÓ 즉

△

AEF는 이등변삼각형이므로 ∠AEF=;2!;_(180ù-52ù)=64ù ∴ ∠CEF =∠AEC-∠AEF =90ù-64ù=26ù

0

9

정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분 하므로 DOÓ=AOÓ=_{;2!;ACÓ=;2!;_8=4`(cm)} ∴

△

AOD=;2!;_4_4=8`(cmÛ`)

10

△

EBC가 정삼각형이므로 ∠ECB=60ù ∴ ∠x=90ù-60ù=30ù 마찬가지 방법으로

∠ABE=30ù이고

△

ABE에서 BEÓ=BAÓ이므로 ∠y=;2!;_(180ù-30ù)=75ù ∴ ∠x+∠y=30ù+75ù=105ù

0

1

④ 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하 므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ

0

2

② OCÓ=OAÓ=5`cm ③ ∠OCB=∠OAD=30ù (엇각)이고 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB=30ù

④ ∠OAB=90ù-30ù=60ù이고 OAÓ=OBÓ이므로

△

OAB는 한 변의 길이가 5`cm인 정삼각형이다. ∴ ABÓ=5`cm ⑤

△

ABC에서 ACÓ=10`cm이므로 BCÓ<10`cm 01 ④ 02 ⑤ 03 59ù 04 ①, ③ 05 11 06 ㉠, ㉡, ㉢ 07 58ù 08 26ù 09 8`cmÛ` 10 105ù 11 35ù 12 63`cmÛ` 13 5`cm 14 55ù 15 110ù 16 4`cmÛ` 17 34ù 18 63ù

내공

의

76쪽~78쪽

11

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=∠x ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=∠x 이때 ∠ABC=∠C=70ù이므로 2∠x=70ù ∴ ∠x=35ù

12

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에 A D E F B C 7 cm 5 cm 4 cm 내린 수선의 발을 F라 하면 EFÓ=ADÓ=5`cm

△

ABEª

△

DCF (RHA 합동)이므로 CFÓ=BEÓ=4`cm 즉 BCÓ=BEÓ+EFÓ+CFÓ=4+5+4=13`(cm)이므로 ABCD=;2!;_(5+13)_7 =63`(cmÛ`)

13

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 ABÓ A B C D 9 cm 4 cm 60∞ 60∞ 60∞ E 와 평행한 직선을 그어 BCÓ와 만나는 점을 E라 하면 ABED는 평행사변형이므로 DEÓ=ABÓ=4`cm ABCD는 등변사다리꼴이므로 ∠C=∠B=60ù이고 ∠DEC=∠B=60ù`(동위각)이므로

△

DEC는 정삼각형이다. 즉 ECÓ=DCÓ=ABÓ=4`cm이므로 BEÓ=BCÓ-ECÓ=9-4=5`(cm) ∴ ADÓ=BEÓ=5`cm

14

△

ABG와

△

DFG에서

ABÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG (엇각), ∠BAG=∠FDG (엇각) 따라서

△

ABGª

△

DFG (ASA 합동)이므로

AGÓ=DGÓ

이때 ADÓ=2ABÓ이므로 AGÓ=GDÓ=ABÓ 마찬가지 방법으로

△

ABHª

△

ECH (ASA 합동)이므로 BHÓ=HCÓÓ=ABÓ 따라서 ABHG는 AGÓ∥BHÓ이고 AGÓ=BHÓ이므로 평행사변형 이고 ABÓ=AGÓ이므로 마름모이다. ∴ ∠FPE=90ù 이때 ∠DFG=∠ABG=35ù (엇각)이므로

△

FPE에서 ∠E=180ù-(90ù+35ù)=55ù

15

△

AEB에서 AEÓ=ABÓ이므로 ∠AEB=∠ABE=65ù ∠EAB=180ù-2_65ù=50ù

△

AED에서 ∠EAD=50ù+90ù=140ù이고 AEÓ=ABÓ=ADÓ이므로

△

AED는 이등변삼각형이다. ∴ ∠ADE=;2!;_(180ù-140ù)=20ù 따라서

△

AFD에서 ∠DFB =∠DAF+∠ADF=90ù+20ù=110ù

16

△

OEC와

△

OFD에서 ∠COE=90ù-∠FOC=∠DOF, OCÓ=ODÓ, ∠OCE=∠ODF=45ù

따라서

△

OECª

△

OFD (ASA 합동)이므로

△

OEC=

△

OFD

∴ OECF =

△

OEC+

△

OCF =

△

OFD+

△

OCF =

△

OCD=;4!;ABCD =_{;4!;_(4_4)=4`(cmÛ`)}

17

△

GEC에서 ∠DGC=∠GEC+∠GCE=28ù+45ù=73ù

△

CBG와

△

CDG에서 BCÓ=DCÓ, ∠BCG=∠DCG=45ù, CGÓ는 공통 따라서

△

CBGª

△

CDG (SAS 합동)이므로 ∠BGC=∠DGC=73ù ∠FGB+∠BGC+∠DGC=180ù에서 ∠FGB=180ù-(73ù+73ù)=34ù

18

오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선 위에 45∞ 72∞ Q P A B C D R BPÓ=DRÓ인 점 R를 잡으면

△

ABPª

△

ADR ( SAS 합동)이므로 APÓ=ARÓ, ∠BAP=∠DAR 또

△

APQ와

△

ARQ에서 APÓ=ARÓ, AQÓ는 공통, ∠PAQ =45ù =∠BAP+∠QAD =∠DAR+∠QAD =∠RAQ

따라서

△

APQª

△

ARQ (SAS 합동)이므로 ∠AQD =∠AQP =180ù-(45ù+72ù)=63ù 1 ⑴ , , ,  ⑵ _, _, ,  ⑶ _, , _,  ⑷ _, , _,  ⑸ _, _, ,  2 ⑴ 마름모 ⑵ 직사각형 ⑶ 마름모 ⑷ 직사각형 ⑸ 마름모 ⑹ 정사각형 ⑺ 정사각형 3 12`cmÛ` 4 ⑴ 3：4 ⑵ 16`cmÛ` ⑶ 28`cmÛ` 5 ⑴ 16`cmÛ` ⑵ 36`cmÛ`

기초

의

81쪽

여러 가지 사각형 사이의 관계

04

01 6`cm 02 ㉠, ㉢, ㉣, ㉤ 03 마름모, 24`cm 04 ③ 05 ①, ③ 06 정사각형 07 9 08 44`cm 09 ② 10 18`cmÛ` 11 9`cmÛ` 12 10`cmÛ` 13 15`cmÛ` 14 25`cmÛ` 15 15`cmÛ` 16 15`cmÛ` 17 ⑴ 9`cmÛ` ⑵ 9`cmÛ` 18 4`cmÛ`

내공

의

87쪽~89쪽

2

⑸ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠CBD (엇각) 즉 ∠ADB=∠ABD이므로 ABÓ=ADÓ 따라서 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.

3

△

A'BC=

△

ABC=;2!;_6_4=12`(cmÛ`)

4

⑴

△

ABP：

△

APC=BPÓ：CPÓ=3`:`4 ⑵

△

ABP：

△

APC=3`:`4에서 12：

△

APC=3`:`4 ∴

△

APC=16`(cmÛ`) ⑶

△

ABC =

△

ABP+

△

APC

=12+16=28`(cmÛ`)

5

⑴ ACÓ∥DEÓ이므로

△

ACD=

△

ACE=16`cmÛ` ⑵

△

ABE =

△

ABC+

△

ACE

=

△

ABC+

△

ACD =ABCD=36`cmÛ`

0

1

△

ABP와

△

ADQ에서 APÓ=AQÓ, ∠BPA=∠DQA=90ù, ∠B=∠D이므로 ∠BAP=∠DAQ 따라서

△

ABPª

△

ADQ`(ASA 합동)이므로 ABÓ=ADÓ 따라서 ABCD는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형이 므로 마름모이다.

0

2

△

AEH와

△

BFE에서 _H B C A D E F G ∠A=∠B=90ù, AHÓ=BEÓ, AEÓ=ABÓ-BEÓ=BCÓ-CFÓ=BFÓ 따라서

△

AEHª

△

BFE ( SAS 합동) 이므로 HEÓ=EFÓ

마찬가지 방법으로

△

AEHª

△

BFEª

△

CGFª

△

DHG ( SAS 합동)이므로 HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ yy ㉠

△

AEH에서 ·+×=90ù이므로 EFGH에서 ∠E=180ù-(·+×)=180ù-90ù=90ù 마찬가지 방법으로 ∠E=∠F=∠G=∠H=90ù yy ㉡ ㉠, ㉡에서 EFGH는 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기 가 모두 같으므로 정사각형이다.

0

3

② ∠A=90ù 또는 ACÓ=BDÓ ③ ABÓ=BCÓ 또는 ACÓ⊥BDÓ ④ ABÓ=BCÓ 또는 ACÓ⊥BDÓ

0

4

① 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 평행사변형은 마름모이다. ③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이다. ④ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다. ⑤ 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형은 직사각형이다.

0

6

△

APS와

△

CRQ에서

ASÓ=CQÓ, APÓ=CRÓ, ∠A=∠C

따라서

△

APSª

△

CRQ (SAS 합동)이므로 PSÓ=RQÓ 마찬가지 방법으로

△

BQPª

△

DSR (SAS 합동)이므로 PQÓ=RSÓ 즉 PQRS는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형 이다. 따라서 옳은 것은 ③ ∠SPQ=∠SRQ이다.

0

7

ABÓ∥DEÓ이므로

△

DAE=

△

DBE

∴

△

DBE =

△

DAE

=AECD-

△

DEC =15-7=8`(cmÛ`)

0

8

⑴ BEÓ：ECÓ=3：2이므로

△

DBE：

△

DEC=3：2, 즉

△

DBE：10=3：2 ∴

△

DBE=15`(cmÛ`)

⑵ ADÓ：DBÓ=1：2이므로

△

ADC：

△

DBC=1：2, 즉

△

ADC：(15+10)=1`:`2 ∴

△

ADC=:ª2°:`(cmÛ`)

0

9

△

ABE+

△

DEC=_{;2!; ABCD} =;2!;_120=60`(cmÛ`)

이때

△

ABE와

△

DEC에서 밑변은 각각 BEÓ, CEÓ이고 높이는 같으므로

△

ABE：

△

DEC=BEÓ：CEÓ=1：3 ∴

△

ABE= 1_{1+3 _60=;4!;_60=15`(cmÛ`)}

10

△

OAB：

△

OBC=AOÓ：COÓ=1：3이므로

△

OAB：12=1：3 ∴

△

OAB=4`(cmÛ`) 이때

△

DOC=

△

OAB=4`cmÛ`이므로

△

DBC =

△

DOC+

△

OBC =4+12=16`(cmÛ`)

개념

의

유제

82쪽~86쪽 01 마름모 02 정사각형 03 ①, ⑤ 04 ② 05 ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ 06 ③ 07 8`cmÛ` 08 ⑴ 15`cmÛ` ⑵ :ª2°:`cmÛ` 09 15`cmÛ` 10 16`cmÛ`

0

9

마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각형이므로 EFGH는 직사각형이다.

따라서 직사각형에 대한 설명으로 옳지 않은 것은 ②이다.

10

ACÓ∥DEÓ이므로

△

ACE=

△

ACD

∴

△

ABE =

△

ABC+

△

ACE =

△

ABC+

△

ACD =ABCD =54`cmÛ` 이때

△

ABE에서 BCÓ：CEÓ=2：1이므로

△

ACE= 1₂₊₁

△

ABE =;3!;_54=18`(cmÛ`) ∴

△

ACD=

△

ACE=18 cmÛ`

11

△

ABC에서 BDÓ=CDÓ이므로

△

ADC=;2!;

△

ABC=;2!;_42=21`(cmÛ`)

△

ADC에서 AEÓ：EDÓ=4：3이므로

△

EDC= 3₄₊₃

△

ADC =;7#;_21=9`(cmÛ`)

12

ABÓ∥DCÓ이므로

△

AQD=

△

BQD BDÓ∥PQÓ이므로

△

BQD=

△

BPD ∴

△

AQD=

△

BPD 이때 BPÓ：PCÓ=1：2이므로

△

BPD= 1₁₊₂

△

DBC=_{;3!;_;2!;ABCD} =;6!;ABCD =;6!;_60=10`(cmÛ`) ∴

△

AQD=

△

BPD=10`cmÛ`

13

ADÓ∥BCÓ이므로

△

DBC=

△

ABC=35 cmÛ` ∴

△

DOC =

△

DBC-

△

OBC =35-20=15 (cmÛ`)

14

△

DOC=

△

ABO=6`cmÛ`이므로

ABCD =

△

AOD+

△

ABO+

△

OBC+

△

DOC =4+6+9+6=25`(cmÛ`)

15

오른쪽 그림과 같이 DEÓ를 그으면 A B E D F C BFÓ：FEÓ=3：5이므로

△

DBF：

△

DFE=3：5 즉 9：

△

DFE=3：5 ∴

△

DFE=15`(cmÛ`)

0

1

△

AOE와

△

COF에서

AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF=90ù, ∠EAO=∠FCO (엇각) 따라서

△

AOEª

△

COF ( ASA 합동)이므로

OEÓ=OFÓ 즉 AFCE의 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 AFCE는 마름모이다. ∴`AFÓ =AEÓ=ADÓ-EDÓ =8-2=6`(cm)

0

2

ABCD는 평행사변형이므로 ∠ABC+∠BAD=180ù ∠ABE+∠BAE=;2!;∠ABC+;2!;∠BAD =;2!;(∠ABC+∠BAD) =;2!;_180ù=90ù ∴ ∠AEB =180ù-(∠ABE+∠BAE) =180ù-90ù=90ù ∴ ∠HEF=∠AEB=90ù (맞꼭지각) 마찬가지 방법으로 ∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù 즉 EFGH는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형이다. 따라서 직사각형에 대한 설명으로 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉣, ㉤이다.

0

3

∠AFB=∠FBE (엇각)이므로 ∠ABF=∠AFB 즉

△

ABF는 이등변삼각형이므로 ABÓ=AFÓ 또 ∠BEA=∠FAE (엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA 즉

△

BEA는 이등변삼각형이므로 BAÓ=BEÓ

따라서 AFÓ=BEÓ이고 AFÓ∥BEÓ이므로 ABEF는 평행사변형 이다. 이때 ABÓ=AFÓ이므로 ABEF는 마름모이고 그 둘레의 길이는 6_4=24`(cm)

0

4

③ 한 내각의 크기가 90ù이거나 두 대각선의 길이가 같다.

0

5

① 사다리꼴 중에는 평행사변형이 아닌 경우도 있다. ③ 직사각형 중에는 정사각형이 아닌 경우도 있다.

0

6

㈎, ㈏에서 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분하 므로 ABCD는 정사각형이다.

0

7

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것은 ㉡, ㉢, ㉣, ㉥의 4개 이므로 x=4 두 대각선의 길이가 같은 것은 ㉢, ㉤, ㉥의 3개이므로 y=3 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 것은 ㉣, ㉥의 2개이므로 z=2 ∴ x+y+z=4+3+2=9

0

8

등변사다리꼴의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 마름모이 므로 EFGH는 마름모이다. 따라서 EFGH의 둘레의 길이는 11_4=44`(cm)

DCÓ∥AEÓ이므로

△

ADC=

△

EDC ∴ ADFC =

△

DFC+

△

ADC =

△

DFC+

△

EDC =

△

DFE=15`cmÛ`

16

오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BDÓ, MDÓ를 M N B _C A D 그으면

△

AMN =

△

AMC+

△

ACN-

△

MCN =;2!;

△

ABC+;2!;

△

ACD-;2!;

△

MCD =;2!;_;2!;ABCD+;2!;_;2!;ABCD-;2!;_;2!;

△

BCD =_{;4!;ABCD+;4!;ABCD-;4!;}

△

BCD =_{;2!;ABCD-;4!;_;2!;ABCD} =;2!;ABCD-;8!;ABCD =;8#;ABCD=;8#;_40=15`(cmÛ`)

17

⑴ 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 B F C E A D

△

ABE：

△

AEC =BEÓ：ECÓ =3：4 이므로

△

ABE= 3₃₊₄

△

ABC =_{;7#;_;2!;ABCD}

=;1£4;ABCD=;1£4;_42=9`(cmÛ`)

⑵ ADÓ∥BCÓ이므로

△

DBE=

△

ABE AFÓ∥DCÓ이므로

△

DBF=

△

CBF ∴

△

CEF =

△

CBF-

△

EBF

=

△

DBF-

△

EBF =

△

DBE=

△

ABE=9`cmÛ`

18

△

ABE=

△

ABD=

△

DBC이므로

△

ABF+

△

FBE=

△

DFE+

△

FBE+

△

EBC 즉

△

ABF=

△

DFE+

△

EBC이므로

△

DFE =

△

ABF-

△

EBC=16-12=4`(cmÛ`)

01 ⑤ 02 7`cm 03 125ù 04 75ù 05 54ù 06 10 07 ①, ② 08 ③ 09 4개 10 72`cmÛ` 11 28`cmÛ` 12 54ù 13 72ù 14 41`cm 15 ②, ④ 16 ② 17 ③, ⑤ 18 ⑴ ㉣, ㉤, ㉥ ⑵ ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ ⑶ ㉢, ㉤ 19 ④ 20 46`cmÛ` 21 20`cmÛ` 22 81`cmÛ` 23 45ù 24 30`cmÛ`

실전

의

90쪽~93쪽

0

1

① ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=42ù (엇각) ② ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=30ù (엇각) ③

△

ACD에서 30ù+∠x+(42ù+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=108ù ④

△

AOD에서 ∠DOC=30ù+42ù=72ù

0

2

ABÓ∥CEÓ이므로 ∠CEB=∠ABE (엇각)이고 ∠CBE=∠ABE이므로 ∠CEB=∠CBE 따라서

△

BCE는 BCÓ=CEÓ인 이등변삼각형이므로 CEÓ=BCÓ=7`cm

0

3

ABCD는 평행사변형이므로 ∠ADC=∠B=70ù ∴ ∠ADH=;2!;_70ù=35ù

△

AHD에서 ∠DAH=180ù-(90ù+35ù)=55ù ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAH=55ù (엇각) ∴ ∠x=180ù-55ù=125ù

0

4

∠ADC=∠B=45ù ∠ADE=;3@;∠ADC=;3@;_45ù=30ù

△

AED에서 ∠DAE=180ù-(75ù+30ù)=75ù ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE=75ù (엇각)

0

5

∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=7：3이므로 ∠B=180ù__{7+3 =54ù}3 ∴ ∠D=∠B=54ù

0

6

ADÓ=BCÓ이므로 3x+4=5x ∴ x=2 ∴ AOÓ=4x-3=4_2-3=5 이때 AOÓ=COÓ이므로 ACÓ=2AOÓ=10

0

7

③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ⑤ ∠D=360ù-(50ù+130ù+50ù)=130ù 즉 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.

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① EDÓ∥BFÓ,``EDÓ=BFÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 EBFD는 평행사변형이다. ② EOÓ=FOÓ,``AOÓ=COÓ에서 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분 하므로 AECF는 평행사변형이다. ③ AECF는 평행사변형인지 아닌지 알 수 없다. ④ AEÓ∥CFÓ, AEÓ=CFÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 AECF는 평행사변형이다. ⑤ EHÓ=FGÓ, EFÓ=HGÓ에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므 로 EFGH는 평행사변형이다.

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BFED는 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ에서 두 대각선이 서로 다른 것 을 이등분하므로 평행사변형이다.