2020 날선유형 수학하 답지 정답

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(1)

1

집합의 뜻과 표현

정답 및 풀이

확인!

001

답 \ ‘작은’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.

002

답 d 10보다 작은 자연수는 명확하게 구분할 수 있으므로 집합이다.

003

\ ‘귀여운’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.

004

답 d 국경일은 명확하게 구분할 수 있으므로 집합이다.

005

답 {

a는 집합 9a, b, c0의 원소이므로 a{9a, b, c0

006

: 0은 집합 91, 2, 3, 40의 원소가 아니므로 0:91, 2, 3, 40

007

답 예 9x|x는 3의 양의 배수0 3, 6, 9, 12, y는 3의 양의 배수이므로 조건제시법으로 나타내 면 9x|x는 3의 양의 배수0

008

91, 2, 4, 8, 160 16의 양의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이므로 원소나열법으로 나타내면 91, 2, 4, 8, 160

009

답 예 9x|x는 한 자리의 짝수0 2, 4, 6, 8은 한 자리의 짝수이므로 조건제시법으로 나타내면 9x|x는 한 자리의 짝수0 참고 9x|x는 10보다 작은 짝수0, 9x|x는 8 이하의 짝수0 등으로 나 타낼 수도 있다.

010

답 95, 10, 15, y0 5의 양의 배수는 5, 10, 15, y이므로 원소나열법으로 나타내면 95, 10, 15, y0

011

" B F G

I

.

집합과 명제

집합의 뜻과 표현

본책 6쪽~9쪽

012

013

답 유 12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 주어진 집합은 유한집 합이다.

014

015

답 유

016

017

답 무

018

8의 양의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 8의 양의 약수인 홀수는 1이 다. 따라서 주어진 집합은 유한집합이다.

019

답 유 20의 양의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이므로 주어진 집합은 유한 집합이다.

020

0<x<1인 자연수는 존재하지 않는다. 따라서 주어진 집합은 공집합이므로 유한집합이다.

021

ㄷ, ㅁ ㄱ. 900은 0을 원소로 가지므로 공집합이 아니다. ㄴ. 9Z0는 Z를 원소로 가지므로 공집합이 아니다. ㅁ. 2보다 작은 소수는 존재하지 않으므로 주어진 집합은 공집합 이다. 따라서 공집합인 것은 ㄷ, ㅁ이다.

022

50 원소의 개수가 50이므로 n{A}=50

023

답 0 실수 x에 대하여 x@>0이므로 x@+2=0을 만족시키는 실수 x는 존재하지 않는다. 따라서 주어진 집합은 공집합이므로 n{A}=0 #    

(2)

024

8 24의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24로 8개이므로 n{A}=8

025

답 7 7로 나누어떨어지는 50 이하의 자연수는 7의 양의 배수 중 50보 다 작은 수이므로 7, 14, 21, y, 49로 7개이다. / n{A}=7

026

5 -2<x<3인 정수는 -1, 0, 1, 2, 3으로 5개이므로 n{A}=5

027

[

9a0의 원소 a가 집합 9a, b, c, d0에 속하므로

9a0는 9a, b, c, d0의 부분집합이고 9a0[9a, b, c, d0

028

;

9b, c, e0의 원소 e가 집합 9a, b, c, d0의 원소가 아니므로 9b, c, e0;9a, b, c, d0

029

[ 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 9e, f , g 0[9e, f , g 0

030

[ 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Z[9e, f , g 0

031

답 A[B 집합 B=92, 3, 5, 70에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속 하므로 A[B

032

A[B 모든 정사각형은 마름모이므로 A[B

033

B[A 집합 A=9-3, 30에서 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 속하므 로 B[A

034

답 Z, 910, 920, 91, 20

035

Z, 910, 930, 950, 91, 30, 91, 50, 93, 50, 91, 3, 50 9x|x는 5 이하의 홀수0=91, 3, 50이므로 Z, 910, 930, 950, 91, 30, 91, 50, 93, 50, 91, 3, 50

036

답 A=B A=9-2, 20, B=9-2, 20로 원소가 같으므로 A=B

037

A=B

집합 A=93, 5, 7, 9, y0, B=92, 3, 5, 7, y0이므로 집합 A 와 집합 B의 원소가 같지 않다. / A=B

038

a=5, b=1 A=B이려면 모든 원소가 같아야 하므로 a=5, b=1

039

답 a=1, b=2 A=B이려면 모든 원소가 같아야 하므로 a+3=4, -b=-2에서 a=1, b=2

040

Z, 9a0, 9b0 진부분집합은 부분집합에서 자기 자신을 제외한 부분집합이므로 Z, 9a0, 9b0

041

답 Z, 900, 910, 990, 100, 90, 10, 90, 90, 100, 91, 90, 100

042

31 2%-1=31

043

7 2#-1=7

044

63 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면 91, 2, 3, 4, 6, 120이 므로 구하는 진부분집합의 개수는 2^-1=63

045

127 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면 9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30이므로 구하는 진부분집합의 개수는 2&-1=127

046

1024 2!)=1024

047

1023 2!)-1=1023

048

512 2!)_!=512

049

128 2!)_#=2&=128

(3)

1

집합의 뜻과 표현

050

128 3, 6, 9를 원소로 갖지 않으므로 2!)_#=2&=128

051

64 2, 3, 5, 7을 반드시 원소로 가지므로 2!)_$=2^=64

집합 A=9a1, a2, a3, y, an0에 대하여 ⑴ 집합 A의 부분집합의 개수 2N ⑵ 집합 A의 진부분집합의 개수 2N-1 ⑶ 집합 A의 부분집합 중에서 특정한 원소 k`{k<n}개를 반드 시 원소로 갖는 (또는 원소로 갖지 않는) 부분집합의 개수 2N_K ⑷ 집합 A의 부분집합 중에서 특정한 원소 k`{k<n}개는 반드 시 원소로 갖고, 특정한 원소 l{l<n}개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 2N_K_L (단, k+l<n ) 부분집합의 개수 날선 특강

055

ㄱ, ㄷ, ㄹ 집합 A는 15의 양의 약수의 집합이므로 A=91, 3, 5, 150 x#+3x@+2x=0에서 x{x+1}{x+2}=0 / x=0 또는 x=-1 또는 x=-2 / B=9-2, -1, 00 따라서 1{A, 3{A, -2{B, 15:B이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

056

C=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80 x{A, y{B에 대하여 x+y의 값을 구하기

x{A, y{B에 대하여 x+y의 값을 구하면 다음 표와 같다.

y x 0 1 1 1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 집합 C를 원소나열법으로 나타내기 C=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80

057

8 a{A, b{B에 대하여 ab의 값을 구하면 다음 표와 같다. b a 2 2@ 2# 2$ 2% 2 2@ 2# 2$ 2% 2^ 2@ 2# 2$ 2% 2^ 2& 2# 2$ 2% 2^ 2& 2* 2$ 2% 2^ 2& 2* 2( 따라서 집합 C=92@, 2#, 2$, y, 2(0이므로 원소는 8개이다.

058

답 ③ ②, ④, ⑤ 91, 3, 5, 7, 90 ③ 92, 3, 5, 70 따라서 원소가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.

059

주어진 집합을 원소나열법으로 나타내기 ① 91, 3, 5, y0 ② 99, 11, 13, y0 ③ 96, 9, 12, y0 ④ 9-1, 0, 10 ⑤ 93, 5, 7, y0 유한집합과 무한집합으로 분류하기 ①, ②, ③, ⑤ 무한집합 ④ 유한집합 따라서 유한집합인 것은 ④이다.

060

3 3의 양의 배수는 3, 6, 9, y이므로 k의 값이 될 수 있는 자연수 는 1, 2, 3이다. 따라서 구하는 자연수 k의 최댓값은 3이다. 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2

052

답 ② 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명하게 정할 수 있는지 확인하기 ① 91, 3, 5, 7, 9, 110 ③ 91, 2, 5, 100 ④ 93, 6, 9, y, 270 ⑤ 9수성, 금성, y, 해왕성0 집합이 아닌 것 찾기 ② ‘공부를 잘하는’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.

053

답 ㄴ, ㄷ, ㄹ ㄱ. ‘목소리가 큰’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다. 따라서 집합인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

054

집합 A를 원소나열법으로 나타내기 9보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로 A=92, 3, 5, 70 집합 A와 각 원소 사이의 관계가 맞는지 확인하기 1:A, 2{A, 4:A, 5{A, 6:A

따라서 옳은 것은 ⑤이다. 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2

유형

연습하기

도전! 본책 10쪽~15쪽

(4)

061

집합 A와 집합 B를 원소나열법으로 나타내기 집합 A와 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 A=93, 5, 70, B=92, 3, 5, 70 n{B}-n{A}의 값 구하기 n{A}=3, n{B}=4이므로 n{B}-n{A}=1

062

② B=900이므로 n{B}=1

063

집합 A와 원소 사이의 관계 나타내기 집합 A의 원소는 Z, 1, 900이므로 Z{A, 1{A, 900{A

주어진 집합과 집합 A 사이의 관계 나타내기 9Z0[A, 9Z, 10[A 이때 1은 집합 A의 원소이므로 910[A 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

064

답 ③ ㄱ. b는 집합 A의 원소이므로 b{A (참) ㄴ. a{A, b{A이므로 9a, b0[A (거짓)

ㄷ. 9c, d0는 집합 A의 원소이므로 9c, d0{A (거짓) ㄹ. A[9a, b, 9c, d00 (참)

ㅁ. Z는 집합 A의 원소가 아니므로 Z:A (참) ㅂ. a{A, 9c, d0{A이므로 9a, 9c, d00[A (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 참고 ㄹ. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 A[9a, b, 9c, d00 ㅁ. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Z[A

065

집합 B와 집합 C 구하기

x{A, y{A에 대하여 x+y의 값을 구하면 다음 표와 같으므로

+ -1 0 1 -1 -2 -1 0 0 -1 0 1 1 0 1 2 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 B=9-2, -1, 0, 1, 20

x{A, y{A에 대하여 xy의 값을 구하면 다음 표와 같으므로

\ -1 0 1 -1 1 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 1 집합 C를 원소나열법으로 나타내면 C=9-1, 0, 10 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 단계 1 세 집합 A, B, C의 원소를 비교하여 포함 관계 나타내기 A=C이고, A[B, C[B이므로 A[C[B

066

집합 A를 원소나열법으로 나타내면 A=9-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 50 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 B=9-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 50 x@-5x=0에서 x{x-5}=0 / x=0 또는 x=5 따라서 집합 C를 원소나열법으로 나타내면 C=90, 50 / C[B[A

067

답 ㄱ, ㄴ, ㄹ 세 집합 A, B, C를 원소나열법으로 나타내면 A=9y, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, y0 B=9y, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, y0 C=9y, -8, -2, 4, 10, 16, y0

따라서 A=B, 즉 A[B이고 B[A

한편, 집합 C의 모든 원소가 집합 A와 집합 B 에 각각 속하므로 C[A, C[B 따라서 바르게 나타낸 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

068

집합 A, B를 수직선에 나타내기 A[B가 성립하도록 두 집 합 A, B를 수직선에 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 a<0, 2a+8>3이어야 한다. 정수 a의 개수 구하기

2a+8>3에서 2a>-5 / a>-5 2 따라서 -52<a<0이므로 정수 a는 -2, -1, 0의 3개이다.

069

6 A[B[C가 성립하도록 세 집합 A, B, C를 수직선에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. / -2<a<4 따라서 정수 a는 -1, 0, 1, 2, 3, 4의 6개이다.

070

8 {x@-4}{2x-a}=0에서 {x+2}{x-2}{2x-a}=0 / x=-2 또는 x=2 또는 x= a 2 단계 2 단계 1 # " Y B  B   단계 2 $ Y B   # "

(5)

1

집합의 뜻과 표현 / A=--2, 2, a2 = {x@+3}{x-2}{x-4}=0에서 x=2 또는 x=4 ( ? x는 실수) / B=92, 40 B[A가 성립하려면 4{A이어야 하므로 a 2=4 / a=8

071

1 X[Y가 성립하려면 2{Y이어야 한다. ! a-2=2, 즉 a=4일 때 X=9-4, 20, Y=90, 2, 170 / X;Y @ a@+1=2, 즉 a=-1일 때 a=1이면 X=9-1, 20, Y=9-1, 0, 20이므로 X[Y a=-1이면 X=91, 20, Y=9-3, 0, 20이므로 X;Y !, @에서 a=1

072

Z, 930, 950, 970, 93, 50, 93, 70, 95, 70, 93, 5, 70 집합 A를 원소나열법으로 나타내기 집합 A=93, 5, 70 집합 A의 부분집합 구하기 집합 A=93, 5, 70의 부분집합은 Z, 930, 950, 970, 93, 50, 93, 70, 95, 70, 93, 5, 70

073

집합 A=95, 10, 15, 200이므로 ① n{A}=4 ② 원소가 2개인 집합 A의 부분집합은 95, 100, 95, 150, 95, 200, 910, 150, 910, 200, 915, 200의 6개 ④ 5를 원소로 갖는 집합 A의 부분집합은 950, 95, 100, 95, 150, 95, 200, 95, 10, 150, 95, 10, 200, 95, 15, 200, 95, 10, 15, 200의 8개 ⑤ 10을 원소로 갖는 진부분집합은 9100, 95, 100, 910, 150, 910, 200, 95, 10, 150, 95, 10, 200, 910, 15, 200의 7개 따라서 옳은 것은 ③이다.

074

집합 A=91, 3, 5, 7, 90에 대하여 집합 B는 집합 A의 부분집 합 중에서 원소가 4개인 집합이다. 따라서 집합 B는 91, 3, 5, 70, 91, 3, 5, 90, 91, 3, 7, 90, 91, 5, 7, 90, 93, 5, 7, 90의 5개이다. 단계 1 단계 2

075

-1 A=B가 되도록 하는 조건 찾기 A=B이므로 a@-2a=3 a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0 / a=-1 또는 a=3 a의 값에 따른 두 집합 A, B 구하기 ! a=-1일 때 A=9-3, 3, 60, B=9-3, 3, 60이므로 A=B @ a=3일 때 A=93, 9, 100, B=9-3, 3, 60이므로 A=B A=B를 만족시키는 상수 a의 값 구하기 !, @에서 a=-1

076

답 3

A[B이고 B[A이므로 A=B이고, -4{B이므로 -4{A 이어야 한다. 즉, x@+ax-4=0의 한 근이 -4가 되어야 하므로 {-4}@-4a-4=0, 12-4a=0 / a=3 x@+3x-4=0에서 {x+4}{x-1}=0 / x=-4 또는 x=1 따라서 A=9-4, 10이므로 b=1 / ab=3

077

x#-7x@+7x+15=0의 해 구하기 x#-7x@+7x+15=0에서 {x+1}{x@-8x+15}=0, {x+1}{x-3}{x-5}=0 / x=-1 또는 x=3 또는 x=5 집합 A 구하기 x는 자연수이므로 집합 A=93, 50 집합 A의 부분집합의 개수 구하기 n{A}=2이므로 집합 A의 부분집합의 개수는 2@=4

078

답 13 집합 A의 부분집합의 개수가 256=2*이므로 n{A}=8 집합 B의 진부분집합의 개수가 31=2%-1이므로 n{B}=5 / n{A}+n{B}=8+5=13

079

7 집합 A의 원소 중에서 15의 양의 약수는 1, 3, 5 따라서 구하는 부분집합은 91, 3, 50의 부분집합 중에서 공집합 을 제외한 것이므로 2#-1=7 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 단계 3

(6)

080

31

X[A이고 X=A의 조건 알기

X[A이고 X=A이므로 X는 A의 진부분집합이다. 특정한 원소를 갖는 부분집합의 개수 구하기 1, 2를 반드시 원소로 갖는 집합 X의 개수는 2&_@-1=31

081

16 집합 X는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90의 부분집합 중에서 2, 3, 4를 반드시 원소로 갖고 1, 5는 원소로 갖지 않는 집합이다. 따라서 집합 X의 개수는 2(_#_@=2$=16

082

답 ④ ! ai=2%1인 집합 Ai의 개수는 1 2%을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같으므로 2%_!=16 @ ai=2$1인 집합 Ai의 개수는 2%1은 원소로 갖지 않고, 2$1을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같으므로 2%_!_!=8 # ai=2#1인 집합 Ai의 개수는 1 2%, 1 2$은 원소로 갖지 않고, 1 2#을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같 으므로 2%_@_!=4 $ ai=2@1인 집합 Ai의 개수는 1 2%, 1 2$, 1 2#은 원소로 갖지 않 고, 1 2@을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같으므로 2%_#_!=2 % ai=12 인 집합 Ai는 집합 -12 =뿐이다. 따라서 !~%에서 a1+a2+a3+y+a31 =1 2%\16+ 1 2$\8+ 1 2#\4+ 1 2@\2+ 1 2\1= 5 2

083

답 ③ A[X[B를 만족시키는 집합 X 알기 집합 X는 a1, a2를 반드시 원소로 갖는 집합 B의 부분집합이다. 집합 X의 개수 구하기 집합 X의 개수는 2%_@=2#=8

084

32 x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3 / A=92, 30 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 |x|<4에서 -4<x<4이므로 B=9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30 A[X[B를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중에서 2, 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 2&_@=2%=32

085

답 10 92, 30[X[A를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 에서 2, 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 집합 X의 개 수는 2N_@ 집합 X의 개수가 256이므로 2N_@=256=2* n-2=8 / n=10

086

30 집합 A=91, 2, 3, y, 90, 집합 B=92, 3, 5, 70이고 B[X[A를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중에서 2, 3, 5, 7을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 그 개수는 2(_$=2%=32 이때 X=A, X=B이므로 구하는 집합 X의 개수는 32-2=30

087

집합 A의 부분집합의 개수 구하기 집합 A=93, 6, 9, 12, 150의 부분집합의 개수는 2%=32 6과 9를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 구하기 6과 9를 모두 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 2%_@=2#=8 6 또는 9를 원소로 갖는 부분집합의 개수 구하기 구하는 부분집합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 6과 9를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. / 2%-2#=32-8=24

088

240 집합 A=93, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 240이므로 구하는 부분집 합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 홀수 3, 9, 15, 21을 원 소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. / 2*-2*_$=256-16=240

089

55 집합 A=94, 7, 10, 13, 16, 190이므로 구하는 부분집합의 개 수는 집합 A의 진부분집합의 개수에서 짝수 4, 10, 16을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. / {2^-1}-2#=63-8=55 단계 1 단계 2 단계 3

(7)

1

집합의 뜻과 표현

090

답 ③ ㄴ, ㄷ. ‘키가 작은’, ‘큰 수’ 등은 기준이 명확하지 않으므로 집합 이 아니다. 따라서 집합인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ의 3개이다.

091

10 집합 X의 원소는 {1, 1}, {1, 2}, {2, 2}, {1, 3}, {3, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {4, 4}, {1, 5}, {5, 5}이므로 집합 X의 원소 는 10개이다.

092

집합 A=92, 3, 4, y, 490, 집합 B=91, 2, 3, y, 180에서 ① 0:B ② 19:B ③ n{B}=18 ④ n{A}=48, n{B}=18이므로 n{A}=n{B}

⑤ a=3이면 3-20=-17이므로 a{A이지만 {a-20}:B 따라서 옳은 것은 ③이다.

093

5

x@+x-20=0에서 {x+5}{x-4}=0 / x=-5 또는 x=4

따라서 집합 A=9-5, 40이므로 A[B가 성립하려면 a>4 즉, 가장 작은 정수 a의 값은 5이다.

094

집합 B의 부분집합 중에서 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2#_!=2@=4 마찬가지로 7 또는 11을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수도 각각 4이다. 따라서 B1, B2, B3, y, B8의 모든 원소의 총합은 a1+a2+y+a8={3+7+11}\4=84

095

집합 U=91, 2, 3, y, 100에서 임의의 두 원소를 곱해서 제곱 수가 되는 두 수를 나열해 보면 1\4=4, 1\9=9, 2\8=16, 4\9=36이므로 집합 A는 91, 40, 91, 90, 92, 80, 94, 90의 4개이다.

096

-2

A[B, B[A이므로 A=B

기출

문제 정복하기

실전! 본책 16쪽~17쪽 따라서 0{B이므로 a@-4=0 / a=2 또는 a=-2 ! a=2일 때, A=90, 3, 60, B=90, 2, 30이므로 A=B @ a=-2일 때, A=90, 2, 30, B=90, 2, 30이므로 A=B !, @에서 a=-2

097

9 집합 Ak의 원소 중에서 홀수는 1, 3, 5, y, 2k+1의 {k+1}개 이고 짝수는 k개이다. 집합 Ak의 부분집합 중에서 짝수를 원소로 갖지 않는 부분집합 의 개수가 32이므로 2K"!=32=2%, k+1=5 / k=4 따라서 A4=91, 2, 3, y, 90이므로 n{A4}=9

098

31 두 조건을 모두 만족시키는 집합 B는 집합 94, 5, 6, 7, 80의 부 분집합 중에서 공집합을 제외한 것이다. 따라서 집합 B의 개수는 2%-1=31

099

ㄱ. S=92, 3, 40의 원소 중에서 소수는 2, 3이므로 N{S}=2 이다. (참) ㄴ. 집합 U에서 소수는 2, 3, 5, 7이므로 92, 3, 5, 70[S[U이면 N{S}는 최댓값 4를 가진다. (참) ㄷ. N{S}=1인 집합 S는 집합 91, 4, 6, 8, 9, 100의 부분집 합에 소수 2, 3, 5, 7 중에서 하나만을 포함시킨 집합이므로 2^\4=2* (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

100

답 4 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내기 집합 A=91, 2, 3, 60, 집합 B=91, 2, 3, 6, 9, 180 …… 30 % 집합 X와 같은 부분집합의 조건 알기 집합 X는 91, 2, 3, 6, 9, 180의 부분집합 중에서 1, 2, 3, 6을 반드시 원소로 갖는 부분집합과 같다. …… 40 % 집합 X의 개수 구하기 구하는 집합 X의 개수는 2^_$=2@=4 …… 30 % 단계 1 단계 2 단계 3

(8)

101

답 A6B=9a, b, c, d, e, f0, A5B=9b, c, d0

102

A6B=95, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 200, A5B=95, 100

103

답 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 80, A5B=92, 40 집합 B=91, 2, 4, 80이므로 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 80, A5B=92, 40

104

A6B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 120, A5B=91, 30 두 집합 A=91, 3, 5, 7, 90, B=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 120, A5B=91, 30

105

91, 2, 4, 5, 6, 8, 100 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 A6B이므로 A6B=91, 2, 4, 5, 6, 8, 100

106

92, 100 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 A5B이므로 A5B=92, 100

107

답 서로소이다. A5B=Z이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.

108

서로소가 아니다. 집합 B=91, 50이므로 A5B=910 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다.

109

답 서로소이다. B=Z에서 A5B=Z이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.

110

91, 2, 3, 4, 50 {A6B}6C =A6{B6C} =91, 2, 3, 4, 50

111

답 9a, b, c, e0 A5{B6C} ={A5B}6{A5C} =9a, b, c, e0

112

91, 2, 3, 4, 5, 6, 70 {A6C}5{B6C} ={A5B}6C =91, 2, 3, 4, 5, 6, 70

113

A

집합의 연산

본책 18쪽~22쪽

114

A

115

A {A6A}6Z=A6Z=A

116

Z {A5Z}5A=Z5A=Z

117

답 B B[A이므로 A5B=B

118

A B[A이므로 A6B=A

119

92, 3, 4, 5, 70

집합 A의 여집합은 전체집합 U의 원소이면서 집합 A에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합이므로 AC=92, 3, 4, 5, 70

120

답 92, 4, 60 집합 B=91, 3, 5, 70이므로 BC=92, 4, 60

121

Z 집합 C=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70이므로 CC=Z

122

93, 4, 6, 7, 8, 90 전체집합 U=91, 2, 3, y, 90에 대하여 두 집합 A=91, 2, 50, B=92, 3, 5, 70 이므로 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. / AC=93, 4, 6, 7, 8, 90

123

답 91, 4, 6, 8, 90

124

답 910

125

93, 70

126

910 집합 A=91, 2, 50, BC=91, 4, 6, 8, 90이므로 A5BC=910

127

9i, o, u0 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합은 B-A이 므로 B-A=9i, o, u0 6 "          #

(9)

2

집합의 연산

128

129

130

131

132

A {A5A}6Z=A6Z=A

133

답 A {A6Z}5U=A5U=A

134

답 U

135

U

136

Z

137

답 A

138

U

139

Z

140

답 BC

141

BC

142

BC, B

143

답 AC, AC, B

144

답 ㄹ, ㄷ

A5{A5B}C =A5{AC6BC} yㄹ. 드모르간의 법칙 ={A5AC}6{A5BC} yㄷ. 분배법칙 =Z6{A5BC}=A5BC=A-B " # " # " # " #

145

AC, AC, U, U

A6{A5B}C =A6{ AC 6BC}={A6 AC }6BC = U 6BC= U

146

답 BC, B, B, B, B, B, B

{A-B}C5B ={A5 BC }C5B={AC6 B }5B

={AC5 B }6{B5 B }={ B -A}6 B = B

147

34 n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}=17+22-5=34

148

33 n{AC}=n{U}-n{A}=50-17=33

149

답 28 n{BC}=n{U}-n{B}=50-22=28

150

답 12 n{A-B}=n{A}-n{A5B}=17-5=12

151

12 n{A5BC} =n{A-B}=n{A}-n{A5B}=17-5=12

152

답 17 n{AC5B} =n{B-A}=n{B}-n{A5B}=22-5=17

153

답 12 n{BC-AC} =n{BC5A}=n{A-B}=n{A}-n{A5B} =17-5=12

154

30 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C}-n{A5B} -n{B5C}-n{C5A}+n{A5B5C} =16+14+11-4-5-5+3=30 참고 n{A6B6C}를 구할 때, n{A}+n{B}+n{C}에는 교집합 A5B, B5C, C5A의 원소의 개수가 두 번 더해지므로 각각의 교 집합의 원소의 개수를 한 번은 빼야 한다. 이때 교집합 A5B5C의 원소의 개수는 세 번이 더해졌다가 다시 세 번이 빼지므로 한 번을 다 시 더해야 한다.

155

1 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C}-n{A5B} -n{B5C}-n{C5A}+n{A5B5C} 이므로 30=20+12+7-3-5-2+n{A5B5C} / n{A5B5C}=1

(10)

156

19 집합 B를 원소나열법으로 나타내기 집합 B=91, 2, 3, 4, 6, 120이다. 주어진 조건을 이용하여 벤다이어그램으로 나타내기 A5B=91, 3, 60, A6B=91, 2, 3, 4, 6, 9, 120를 벤다 이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 집합 A의 모든 원소의 합 구하기 집합 A=91, 3, 6, 90이므로 집합 A의 모든 원소의 합은 1+3+6+9=19

157

집합 A=91, 2, 5, 70, B=92, 3, 4, 50, C=91, 2, 3, 60 ③ A5B=92, 50이므로 {A5B}5C=920 ④ A6B=91, 2, 3, 4, 5, 70이므로 {A6B}5C=91, 2, 30 ⑤ B5C=92, 30이므로 A6{B5C}=91, 2, 3, 5, 70 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

158

집합 A를 벤다이어그램으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같으므로 집합 B는 2, 4, 6 을 반드시 원소로 갖고, 3, 5는 원소로 갖 지 않아야 한다. 따라서 집합 B가 될 수 없는 것은 ③이다.

159

답 ㄴ, ㄹ, ㅁ 각 집합을 원소나열법으로 나타내기 ㄱ. 92, 4, 6, y0 ㄴ. 91, 3, 5, y0 ㄷ. x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3 / 92, 30 ㄹ. 91, 3, 9, 270 ㅁ. Z 집합 92, 4, 6, 80과 서로소인 집합 찾기 집합 92, 4, 6, 80과 서로소인 집합은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.

160

답 ③, ⑤ ① A5B=970이므로 서로소가 아니다.

② A=91, 3, 5, 7, y0, B=92, 3, 5, 7, y0에서 A5B=93, 5, 7, y0이므로 서로소가 아니다. 단계 1 단계 2        # " 단계 3      # " 단계 1 단계 2

유형

연습하기

도전! 본책 23쪽~31쪽

③ A=9-2, -1, 0, 1, 20, B=9y, -4, -3, 3, 4, y0이 므로 A5B=Z, 즉 서로소이다. ④ A=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, B=99, 81, 729, y0에서 A5B=990이므로 서로소가 아니다. ⑤ 공집합은 모든 집합과 공통인 원소가 없으므로 서로소이다.

161

-1 k-3<k이므로 A5B=Z 가 되게 두 집합 A, B를 수 직선에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 2k+1<k에서 k<-1이므로 정수 k의 최댓값은 -1이다.

162

92, 60 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내기 U=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70, A5B=970, BC5A=94, 50, {A6B}C=91, 30을 벤다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 두 집합 B, AC 구하기 B=92, 6, 70, AC=91, 2, 3, 60 B5AC 구하기 B5AC=92, 60

163

답 94, 6, 80 U=90, 1, 2, y, 90, A=92, 3, 5, 70, B=91, 3, 90, C=90, 20에서 A6B=91, 2, 3, 5, 7, 90, A6C=90, 2, 3, 5, 70이므로 {A6B}C=90, 4, 6, 80, {A6C}C=91, 4, 6, 8, 90 / {A6B}C5{A6C}C=94, 6, 80

164

9b, h0 벤다이어그램을 이용하여 집합 A, B5C를 원소나열법으로 나타 내기 A=9a, d, g , k0, B5C=9b, g , h0 {B5C}-A를 원소나열법으로 나타내기 {B5C}-A=9b, h0

165

A=91, 3, 5, 7, 90, B=91, 4, 7, 100에서 A6B=91, 3, 4, 5, 7, 9, 100, A5B=91, 70 / {A6B}-{A5B}=93, 4, 5, 9, 100

166

답 -1

x{{A5B}이면 x{A이고 x{B임을 이용하여 a의 값 구하기 A5B=9-1, 30에서 3{A이므로 a@+a-3=3

# Y L L  " L L  단계 1 6        " # 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 단계 1

(11)

2

집합의 연산 a@+a-6=0, {a+3}{a-2}=0 / a=-3 또는 a=2 구한 a의 값이 주어진 조건을 만족시키는지 확인하기 ! a=-3일 때 A=9-1, 0, 30, B=93, -1, 90이므로 A5B=9-1, 30 @ a=2일 때 A=9-1, 0, 30, B=93, 4, -10이므로 A5B=9-1, 30 !, @에서 a=-3 또는 a=2 모든 상수 a의 값의 합 구하기 모든 상수 a의 값의 합은 -3+2=-1

167

A-B=940에서 5{B이므로 a-2b=5 y㉠ 또, 3a-b:A-B이므로 3a-b{B / 3a-b=10 y㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1 / a+b=2

168

1{B, 1:{A-B}6{B-A}이므로 1{A5B / 1{A ! -a+1=1, 즉 a=0일 때 A=92, 1, -30, B=91, 2, -20이므로 {A-B}6{B-A}=9-3, -20 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다. @ a@-3=1, 즉 a=-2 또는 a=2일 때

a=-2이면 A=92, 3, 10, B=91, 2, -40이므로 {A-B}6{B-A}=9-4, 30 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다. a=2이면 A=92, -1, 10, B=91, 2, 00이므로 {A-B}6{B-A}=9-1, 00 따라서 주어진 조건을 만족시킨다. !, @에서 a=2이므로 A=92, -1, 10 따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 2+{-1}+1=2 참고 {A-B}6{B-A}를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

169

답 ④ 집합의 연산의 성질을 이용하여 간단히 나타내기 ① {AC}C=A, U-A=AC ② A6Z=A ③ A6AC=U 단계 2 단계 3 " # 단계 1 ④ U5B=B이므로 A6{U5B}=A6B ⑤ AC5B=B-A 따라서 항상 옳은 것은 ④이다.

170

① A-BC=A5{BC}C=A5B ②A5{U-BC} =A59U5{BC}C0 =A5{U5B} =A5B ③ B-AC=B5{AC}C=B5A=A5B ④ {A5B}6{A5AC} ={A5B}6Z=A5B ⑤ A5{B6BC}=A5U=A 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다.

171

{A-BC}5BC =A5{BC}C5BC =A5{B5BC} =A5Z=Z

172

답 ④ U=91, 2, 3, y, 150, A=91, 3, 5, 150, B=91, 5, 7, 11, 130이므로 ① BC=92, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 150 ② A-B=93, 150 ③ B5AC=B-A=97, 11, 130 ④ A6B=91, 3, 5, 7, 11, 13, 150이므로 {A6B}C=92, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 140 ⑤ {A6B}-A=B-{A5B}=97, 11, 130 따라서 옳은 것은 ④이다.

173

답 ④ 두 집합 A, B의 포함 관계 나타내기 A6B=A이면 B[A이다. 주어진 집합의 포함 관계 및 연산이 옳은지 판별하기 A=B이므로 A-B=Z 참고 B[A와 같은 표현

A6B=A, A5B=B, B-A=Z, B5AC=Z, AC[BC, AC-BC=Z

174

답 ③ AC[BC이면 B[A이므로 ① A6B=A ② A5{A6B}=A5A=A ③ A5B=B ④ A6{B-A}=A6Z=A ⑤ {A6B}6{A5B}=A6B=A 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다. 단계 1 단계 2

(12)

175

A5B=A이면 A[B이므로 ㄱ. A5BC=A-B=Z (참) ㄴ. B-A=AC (거짓) ㄷ. A6B=B이므로 AC6B =AC6{A6B}={AC6A}6B =U6B=U (참) ㄹ. A6BC=U (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

176

A-B=Z이면 A[B 즉, 두 집합 A, B에 대하여 A[B가 성립하기 위해서는 안 에 16의 약수인 1, 2, 4, 8, 16이 들어가야 한다. 따라서 안에 들어갈 수 없는 것은 ③이다.

177

답 ③ 집합 X의 포함 관계 구하기 {A5B}6X=X이므로 {A5B}[X {A6B}5X=X이므로 X[{A6B} / {A5B}[X[{A6B} 즉, 92, 5, 70[X[91, 2, 3, 4, 5, 7, 90 집합 X의 개수 구하기 따라서 집합 X는 91, 2, 3, 4, 5, 7, 90의 부분집합 중에서 2, 5, 7을 반드시 원소로 갖는 집합이므로 집합 X의 개수는 2&_#=2$=16

178

답 32 X-{X5Y}=X에서 X5Y=Z 따라서 집합 Y는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90의 부분집합 중에서 1, 3, 7, 9를 원소로 갖지 않는 집합이므로 집합 Y의 개수는 2(_$=2%=32

179

20 집합 X는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80의 부분집합 중에서 1, 3을 반드시 원소로 갖고, 5, 7을 원소로 갖지 않는 집합이므로 집합 X의 개수는 2*_@_@=2$=16 집합 Y는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80의 부분집합 중에서 3, 4, 7, 8을 반드시 원소로 갖고, 1, 5를 원소로 갖지 않는 집합이므로 집 합 Y의 개수는 2*_$_@=2@=4 따라서 a=16, b=4이므로 a+b=20

180

답 64 전체집합 U의 부분집합 C가 두 집합 A=95, 100, 단계 1 단계 2 B=92, 4, 6, 8, 100의 공통인 원소 10을 제외한 나머지 원소 2, 4, 5, 6, 8을 반드시 원소로 가져야 한다. 따라서 구하는 집합 C의 개수는 2!!_%=2^=64

181

답 92, 3, 4, 6, 70 드모르간의 법칙을 이용하여 주어진 조건을 간단히 하기 드모르간의 법칙에 의하여 AC5BC={A6B}C=95, 100 주어진 조건들을 벤다이어그램으로 나타내기 A-B=91, 8, 90, A5B=92, 3, 40, {A6B}C=95, 100을 벤다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 벤다이어그램을 이용하여 집합 B 구하기 B=92, 3, 4, 6, 70

182

답 6 {A6B}6{AC6BC}C ={A6B}69{A5B}C0C ={A6B}6{A5B} =A6B =91, 2, 4, 5, 6, 80 따라서 구하는 원소의 개수는 6이다.

183

답 ③ {B-A}6{B-C} ={B5AC}6{B5CC} =B5{AC6CC} =B5{A5C}C =B-{A5C} 이므로 B-{A5C}=94, 50 이때 B=91, 3, 4, 5, 7, 90이므로

1{{A5C}, 3{{A5C}, 7{{A5C}, 9{{A5C} 따라서 반드시 A5C의 원소인 것은 ③이다.

184

답 ② 집합의 연산 법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 간단히 하기 {A-B}-C ={A5BC}5CC =A5{BC5CC} =A5{B6C}C =A-{B6C}

185

답 ② 9{A5B}6{A5BC}05{AC6A} =9A5{B6BC}05U ={A5U}5U =A5U=A 단계 1 단계 2 6           " # 단계 3 단계 1 드모르간의 법칙을 이용한다.

(13)

2

집합의 연산

186

9{A5B}C5{B-A}C05A =9{A5B}C5{B5AC}C05A =9{A5B}6{B5AC}0C5A =9B5{A6AC}0C5A ={B5U}C5A =BC5A=A-B=Z

187

답 ④ 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내기 ①, ③ ② ④ ⑤ 주어진 벤다이어그램과 비교하기 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분과 같은 것은 ④이다.

188

답 ③ 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다. ① ② ③ ④ ⑤

189

답 ④ {A-B}6{A-C} ={A5BC}6{A5CC} =A5{BC6CC}=A5{B5C}C =A-{B5C}=Z 따라서 A[{B5C}이므로 세 집합의 관계를 바르게 나타낸 것 은 ④이다. 다른 풀이 {A-B}6{A-C}=Z에서 합집합이 공집합이면 둘 다 공집합이므로 A-B=Z, A-C=Z / A[B, A[C

190

16 Am5An=Ak에서 k는 m, n의 최소공배수임을 이용하여 식을 간 단히 하기 A35{A26A4} ={A35A2}6{A35A4}=A66A12=A6 단계 1 6 " # 6 " # 6 " # 6 " # 단계 2 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 단계 1 집합의 원소의 개수 구하기 전체집합 U의 원소 중에서 6의 배수는 16개이므로 구하는 원소 의 개수는 16이다.

191

{A36A6}5{A46A12}=A35A4=A12

192

답 35 A45A10은 4와 10의 공배수의 집합이므로 A45A10=A20 따라서 Ap[A20을 만족시키는 p는 20의 배수이므로 자연수 p의 최솟값은 20이다. 또, B155B30은 15와 30의 공약수의 집합이므로 B155B30=B15 따라서 Bq[B15를 만족시키는 q는 15의 약수이므로 자연수 q의 최댓값은 15이다. 따라서 구하는 값은 20+15=35 ⑴ 자연수 k의 양의 배수의 집합을 Ak라 할 때, 자연수 m이 자 연수 n의 배수이면 Am[An / Am5An=Am, Am6An=An ⑵ 자연수 k의 양의 약수의 집합을 Bk라 할 때, 자연수 m이 자 연수 n의 약수이면 Bm[Bn / Bm5Bn=Bm, Bm6Bn=Bn 배수와 약수의 집합의 연산 날선 특강

193

답 9 부등식을 풀어 원소의 범위 구하기 x@-3x-4<0에서 {x+1}{x-4}<0 / -1<x<4 / A=9x|-1<x<40 수직선을 이용하여 해 구하기 A5B=9x|3<x<40이고 A6B=9x|-1<x<60이므 로 오른쪽 그림에서 B =9x|3<x<60 =9x|{x-3}{x-6}<00 =9x|x@-9x+18<00 따라서 p=-9, q=18이므로 p+q=9

194

3 x@-10x+21<0에서 {x-3}{x-7}<0 / 3<x<7 / B=9x|3<x<70 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. / A5BC =A-B=9x|0<x<30 따라서 정수인 원소의 합은 0+1+2=3 단계 2 단계 1 단계 2 Y     "# "# " # Y     "

(14)

195

{x-3}{x-18}>0에서 x<3 또는 x>18 / A=9x|x<3 또는 x>180 {x-a}{x-ja k}<0이고 ja k<a이므로 ja k<x<a / B=9x|ja k<x<a0 A5B=Z가 되려면 오른쪽 그림 과 같아야 하므로 ja k>3, a<18 ja k>3에서 a>9이므로 9<a<18 따라서 자연수 a는 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17의 8개이다.

196

AJ B를 간단히 하기 AJ B ={A6B}5{A5B}C ={A6B}-{A5B} 연산 J 의 정의에 따라 간단히 하기 ① Z J A ={Z6A}-{Z5A} =A-Z=A ② Z J U ={Z6U}-{Z5U} =U-Z=U ③ A J U ={A6U}-{A5U} =U-A=AC ④ B J B ={B6B}-{B5B} =B-B=Z ⑤ B J BC ={B6BC}-{B5BC} =U-Z=U 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

197

답 ③ ① U◇A ={U-A}6{A-U} =AC6Z=AC ② Z◇A ={Z-A}6{A-Z} =Z6A=A ③ A◇A={A-A}6{A-A}=Z ④ U◇Z ={U-Z}6{Z-U} =U6Z=U ⑤ A◇B ={A-B}6{B-A} ={B-A}6{A-B} =B◇A 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

198

A A▷B ={A6B}5{AC6B} ={A5AC}6B =Z6B=B " # " Y B ÃB  단계 1 단계 2 이므로 {A▷B}▷A=B▷A=A

199

n{A6B}의 값 구하기 n{AC5BC} =n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B}이므로 n{U}-n{A6B}=4, 40-n{A6B}=4 / n{A6B}=36 n{A5B}의 값 구하기 n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B} =35+15-36=14

200

27 n{A5B} =n{A}-n{A-B} =20-12=8 / n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =20+15-8=27 다른 풀이 n{A6B} =n{A-B}+n{B} =12+15=27

201

15 U=A6B6C에서 집합 C에만 속하는 원소의 집합은 U-{A6B}이므로 n{U-{A6B}} =n{U}-n{A6B} =45-{10+25-5}=15

202

답 ④ n{A-B}=n{A}-n{A5B}이므로 8=15-n{A5B} / n{A5B}=7 / n{B-A} =n{B}-n{A5B} =10-7=3 {B-A}[X[B를 만족시키는 집합 X는 B-A의 원소 3개 를 반드시 원소로 갖는 집합 B의 부분집합이므로 집합 X의 개 수는 2!)_#=2&=128

203

두 집합 A, C가 서로소이므로 A5C=Z, A5B5C=Z / n{A5C}=0, n{A5B5C}=0 n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B} =8+5-10=3, n{B5C} =n{B}+n{C}-n{B6C} =5+7-11=1 이므로 단계 1 단계 2

(15)

2

집합의 연산 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C} -n{A5B}-n{B5C}-n{C5A} +n{A5B5C} =8+5+7-3-1-0+0 =16

204

4 n{X5Y}의 최댓값 M 구하기 Y[X일 때 n{X5Y}가 최대이므로 M=n{Y}=10 n{X5Y}의 최솟값 m 구하기 X6Y=U일 때 n{X5Y}가 최소이므로 n{X5Y}=n{X}+n{Y}-n{X6Y}에서 m=16+10-20=6 M-m의 값 구하기 M-m=10-6=4

205

{A5B}[A, {A5B}[B이므로 n{A5B}<n{A}, n{A5B}<n{B} / 3<n{A5B}<7 n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}이므로 ! n{A5B}=3일 때 n{A6B}=7+11-3=15 @ n{A5B}=7일 때 n{A6B}=7+11-7=11 !, @에서 11<n{A6B}<15 따라서 a=11, b=15이므로 a+b=26

206

답 14 n{B-A}=n{A6B}-n{A}이므로 n{A6B}가 최대일 때 n{B-A}가 최대이다.

따라서 A6B=U일 때 n{A6B}가 최대이므로 n{B-A}의 최댓값은 40-26=14

207

주어진 조건을 집합으로 나타내기 학생 전체의 집합을 U, 수학, 과학 과목을 인터넷 강의로 공부하 는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면

n{U}=50, n{A}=37, n{B}=26, n{A5B}=20 n{A6B}의 값 구하기 n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =37+26-20=43 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 구하려는 학생 수를 집합의 원소의 개수로 나타내기 두 과목 모두 인터넷 강의로 공부하지 않는 학생 수는 n{AC5BC} =n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B} =50-43=7

208

학생 전체의 집합을 U, 야구와 축구를 좋아하는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면

n{U}=50, n{A}=30, n{B}=27, n{AC5BC}=6 n{A6B} =n{U}-n{{A6B}C} =n{U}-n{AC5BC} =50-6=44 / n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B} =30+27-44=13 따라서 축구만 좋아하는 학생 수는 n{B-A} =n{B}-n{A5B} =27-13=14 다른 풀이 n{A6B}=44이므로 n{B-A} =n{A6B}-n{A} =44-30=14

209

1 학생 전체의 집합을 U, F를 사용하는 학생의 집합을 A, I를 사 용하는 학생의 집합을 B라 하면

n{U}=40, n{A}=35, n{B}=20, n{AC5BC}=4 n{A6B} =n{U}-n{AC5BC} =40-4=36 I만 사용하는 학생 수는 n{B-A}이므로 n{B-A} =n{A6B}-n{A} =36-35=1

210

답 12 학생 전체의 집합을 U, 세 문제 A, B, C를 맞힌 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하면 n{U}=n{A6B6C}=30, n{A}=12, n{B}=18, n{C}=20, n{A5B5C}=4 세 문제 중 두 문제만 맞힌 학생 수는 n{A5B}+n{B5C}+n{C5A}-3\n{A5B5C}이고 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C}-n{A5B} -n{B5C}-n{C5A}+n{A5B5C} 에서 30=12+18+20-9n{A5B}+n{B5C}+n{C5A}0+4 / n{A5B}+n{B5C}+n{C5A}=24 따라서 구하는 학생 수는 24-3\4=12 단계 3

(16)

! a=-1일 때 A=9-3, 3, 50, B=92, 30 집합 A가 자연수의 집합의 부분집합이 아니다. @ a=3일 때 A=91, 3, 50, B=92, 30 {A5BC}6{B5AC} ={A-B}6{B-A} =91, 506920 =91, 2, 50 !, @에서 구하는 원소의 최댓값은 5이다.

216

A-{A-BC}C =A-{A5B}C=A5{A5B} =A5B 에서 A5B=A이므로 A[B

217

답 128 A6X=X에서 A[X / 1{X, 2{X {B-A}5X=95, 70에서 93, 5, 705X=95, 70 / 5{X, 7{X, 3:X 따라서 집합 X는 전체집합 U의 부분집합 중에서 1, 2, 5, 7을 반 드시 원소로 갖고, 3은 원소로 갖지 않는 집합이므로 집합 X의 개수는 2!@_$_!=2&=128

218

답 ① 집합 A=91, 2, 3, 4, 6, 8, 9, y0, B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90 이므로 집합 X=91, 2, 3, 4, 6, 8, 90이고 집합 X의 원소 중 에서 3의 배수는 3, 6, 9의 3개이다. 2, 4, 8을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수는 2&_#=2$=16 2, 4, 8을 반드시 원소로 갖고, 3의 배수는 1개도 원소로 갖지 않 는 집합 X의 부분집합의 개수는 2&_#_#=2 따라서 집합 X의 부분집합 중에서 2, 4, 8을 모두 원소로 갖고, 3의 배수를 적어도 1개 원소로 갖는 집합의 개수는 16-2=14

219

답 29 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 B=93, 4, 5, 7, 100이므로 모든 원소의 합은 3+4+5+7+10=29

220

AC5XC={A6X}C=9 f 0에서 A6X=9a, b, c, d, e0 A-X=9a, b0이므로 X=9c, d, e0 6           " #

211

답 ⑤ A5{B6C} ={A5B}6{A5C} =92, 3, 6, 7, 90 이므로 모든 원소의 합은 2+3+6+7+9=27

212

답 ④ A5B=Z이므로 집합 B는 집합 U의 부분집합 중 원소 2, 3, 5, 6을 모두 포함하지 않는 집합이다. 집합 B의 개수는 집합 91, 4, 7, 8, 9, 100의 부분집합의 개수 와 같다. 따라서 부분집합 B의 개수는 2^=64

213

답 ③ ㄱ. U ={A6BC}6{A5B}C =92, 4, 5, 8, 120691, 3, 5, 90 =91, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 120 (참) ㄴ. A5B ={A6BC}-{A5B}C =92, 4, 5, 8, 120-91, 3, 5, 90 =92, 4, 8, 120 (거짓) ㄷ. AC5B ={A6BC}C =U-92, 4, 5, 8, 120 =91, 3, 90 즉, AC5B의 원소의 개수는 3이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

214

답 ⑤ ! 집합 B=Z인 경우 mx+1=x에서 m=1 @ 집합 B=9-10인 경우 -m+1=-1에서 m=2 # 집합 B=920인 경우 2m+1=2에서 m=1 2 !, @, #에서 모든 실수 m의 값의 합은 1+2+12 =72

215

5 A5B=930이므로 a@-2a=3 a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0 / a=-1 또는 a=3

기출

문제 정복하기

실전! 본책 32쪽~35쪽

(17)

2

집합의 연산

221

② {A6C}5{AC6BC} ={A6C}5{A5B}C ={A6C}-{A5B} 따라서 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분과 같다. ① ③ ④ ⑤

222

ㄱ. 3 이하의 소수는 2, 3이므로 A3=92, 30 4의 양의 약수는 1, 2, 4이므로 B4=91, 2, 40 / A35B4=920 (참)

ㄴ. a{An이면 a<n이고 a는 소수이다. a<n<n+1이므로 a{An'1 / An[An'1 (참) ㄷ. m=4, n=8이면 B4=91, 2, 40, B8=91, 2, 4, 80이므로 B4[B8 그런데 4는 8의 배수가 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

223

-1 4<k<6 x@-x-6<0에서 {x-3}{x+2}<0 / -2<x<3 따라서 집합 A=9x|-2<x<30이고 A5B=B에서 B[A 이므로 x@-x-k=0의 두 근이 모두 -2와 3 사이에 존재한다. f{x}=x@-x-k라 하면 ! 이차방정식 f{x}=0의 판별식을 D라 할 때 B=Z이므로 D=1+4k>0 / k>-14 @ f{-2}=4+2-k>0, f{3}=9-3-k>0이므로 k<6 # 이차함수 y=f{x}의 그래프의 축의 방정식이 x=12 이므로 -2<12<3 !, @, #에서 -14<k<6

224

답 ④ A-B=A이므로 A5B=Z n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =15+7-0=22 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 / n{AC5BC} =n{{A6B}C} =n{U}-n{A6B} =35-22=13

225

답 ③ AsB={A-B}6{B-A}={A6B}-{A5B}이므로 n{AsB} =n{A6B}-n{A5B} =24-6=18 AsB=C라 하면 n{C6A}=24, n{C5A}=13-6=7이므로 n{{AsB}sA} =n{CsA}

=n{C6A}-n{C5A} =24-7=17

226

답 15 병원을 찾은 환자 전체의 집합을 U, 고열 증세가 있는 환자의 집합을 A, 기침을 하 는 환자의 집합을 B, 목통증이 있는 환자 의 집합을 C라 하면 일차 분류된 환자는 오른쪽 그림의 색칠한 부분을 나타내는 집 합과 같다. n{U}=n{A6B6C}=90, n{A}=45, n{B}=37, n{C}=29, n{B5C}=6 n{B6C} =n{B}+n{C}-n{B5C} =37+29-6=60 A에만 속하는 원소의 개수는 n{A6B6C}-n{B6C}=90-60=30 따라서 일차 분류된 환자 수는 n{A}-30=45-30=15

227

200명의 학생 전체의 집합을 U, 중국어를 좋아하는 학생의 집합 을 A, 일본어를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면

n{U}=200, n{A-B}=64, n{B-A}=36, n{AC5BC}=n{{A6B}C}=72 / n{A6B} =n{U}-n{{A6B}C} =200-72=128 이때 중국어와 일본어를 모두 좋아하는 학생 수는 n{A5B}이 므로 n{A5B} =n{A6B}-n{A-B}-n{B-A} =128-64-36=28 따라서 중국어를 좋아하는 학생 수는 n{A} =n{A-B}+n{A5B} =64+28=92 " # $

(18)

228

160명의 학생 전체의 집합을 U, 흰 우유를 좋아하는 학생의 집 합을 A, 초코 우유를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면 n{U}=160, n{A}=94, n{B}=116 흰 우유와 초코 우유를 모두 좋아하는 학생 수는 n{A5B}이 므로 n{A5B} >n{A}+n{B}-n{U} =94+116-160=50

또 A[B, 즉 A5B=A이면 n{A5B}가 최댓값 94를 가지 므로 50<n{A5B}<94 따라서 M=94, m=50이므로 M-m=44

229

47 9{A5B}6{A-B}05B를 간단히 하기 9{A5B}6{A-B}05B =9{A5B}6{A5BC}05B =9A5{B6BC}05B ={A5U}5B =A5B …… 40 % 집합 A 구하기 집합 B=91, 3, 5, 7, 9, 100, A5B=93, 5, 9, 100, A6B=U이므로 A=92, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 100 …… 40 % 집합 A의 모든 원소의 합 구하기 집합 A의 모든 원소의 합은 2+3+4+5+6+8+9+10=47 …… 20 %

230

b+c-a B185{B126B9}를 간단히 하기 B185{B126B9} ={B185B12}6{B185B9} =B66B9 …… 50 % n{B185{B126B9}}를 a, b, c로 나타내기 n{B185{B126B9}} =n{B66B9} =n{B6}+n{B9}-n{B65B9} =n{B6}+n{B9}-n{B3} =b+c-a …… 50 % 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2

231

답 \

232

답 d

233

답 d

234

\

235

930

236

92, 3, 40

237

92, 30 x@-5x+6=0, {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3 따라서 구하는 진리집합은 92, 30이다.

238

답 j2는 무리수가 아니다.

239

답 0<x<2

240

답 x는 3의 배수가 아니거나 5의 배수가 아니다.

241

답 부정 : x는 4의 약수가 아니다., 진리집합 : 93, 50

242

답 부정 : x@-8x+15=0, 진리집합 : 92, 40

243

부정 : 2<x<5, 진리집합 : 92, 3, 4, 50

244

가정 : x가 홀수이다., 결론 : x@은 홀수이다.

245

가정 : x<3이다., 결론 : 2x+1>9이다.

246

가정 : x가 2의 배수이다., 결론 : x는 4의 배수이다.

247

248

거짓 [반례] x=-1이면 x@=1이지만 x=1이다.

249

거짓 [반례] x=2이면 x는 소수이지만 홀수가 아니다.

250

답 거짓 [반례] x=1이면 x>1이 아니다.

명제

본책 36쪽~40쪽

(19)

3

명제

251

252

답 어떤 실수 x에 대하여 x@<0이다.

253

답 모든 실수 x에 대하여 x>2이다. 참고

254

역 : p`2!`q 대우 : ~p`2!`~q

255

역 : ~q`2!`p 대우 : q`2!`~p

256

답 역 : x@=y@이면 x=y이다. 대우 : x@=y@이면 x=y이다.

257

역 : x=0이고 y=0이면 xy=0이다. 대우 : x=0 또는 y=0이면 xy=0이다.

258

풀이 참조 역 : x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다. (참) 대우 : x가 6의 약수가 아니면 x는 12의 약수가 아니다. (거짓) [반례] 12는 6의 약수가 아니지만 12의 약수이다.

259

답 풀이 참조 역 : x=1이면 x@=1이다. (참) 대우 : x=1이면 x@=1이다. (거짓) [반례] x=-1이면 x=1이지만 x@=1이다.

260

풀이 참조 역 : x가 홀수이면 x는 소수이다. (거짓) [반례] 9는 홀수이지만 소수가 아니다. 대우 : x가 짝수이면 x는 소수가 아니다. (거짓) [반례] 2는 짝수이지만 소수이다.

261

답 역 : x 또는 y가 짝수이면 xy는 짝수이다. (참) 대우 : x, y가 모두 홀수이면 xy는 홀수이다. (참)

262

충분조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=980, Q=9-8, 80 따라서 P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. p 또는 = > < ~p 그리고 = < > 부정 @11!

263

충분조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=900, Q=90, 10 따라서 P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.

264

필요조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=94, 8, 12, 16, y0, Q=98, 16, 24, 32, y0 따라서 Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.

265

필요조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|x>20, Q=9x|2<x<50 따라서 Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.

266

필요조건 p`2!`q : x+y>2이면 x>1이고 y>1이다. (거짓) [반례] x=-1, y=3이면 x+y>2이지만 x>1이 아니다. q`2!`p : x>1이고 y>1이면 x+y>2이다. (참) 따라서 q`jjk`p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.

267

필요충분조건 2x+1>5에서 x>2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|x>20, Q=9x|x>20 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

268

답 필요충분조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9-4, 40, Q=9-4, 40 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

269

답 필요충분조건 x@-x-6<0에서 {x+2}{x-3}<0 / -2<x<3 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|-2<x<30, Q=9x|-2<x<30 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

270

필요충분조건 |x|<2에서 -2<x<2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|-2<x<20, Q=9x|-2<x<20 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

271

답 필요충분조건

p`2!`q :|x|+|y|=0이면 x=0, y=0이므로 x@+y@=0이다. (참)

(20)

q`2!`p : x@+y@=0이면 x=0, y=0이므로 |x|+|y|=0이다. (참) 따라서 p`hjk`q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

272

답 풀이 참조 주어진 명제의 대우는 ‘ x@+y@=0이면 x=0이고 y=0이다.’이다. 따라서 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

273

유리수, 3, 3, 3, 3 j3이 유리수라 가정하면 j3=m ( n m, n은 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다. 양변을 제곱하여 정리하면 n@= 3 m@ y㉠ 이때 n@이 3 의 배수이므로 n도 3의 배수이다. n=3k ( k는 자연수)라 하고 ㉠에 대입하여 정리하면 m@= 3 k@ 이때 m@이 3 의 배수이므로 m도 3의 배수이다. 즉, m, n이 모두 3의 배수이므로 m, n이 서로소라는 가정에 모 순이다. 따라서 j3 k은 유리수가 아니다.

274

답 최솟값 : 2, x=1 x>0, 1 x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+1 x>2qx\ 1x e=2 이때 등호는 x=1 x일 때 성립하므로 x@=1 / x=1`{? x>0} 따라서 x+x 은 1 x=1일 때 최솟값 2를 갖는다.

275

답 최솟값 : 8, x=2 2x>0, x >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여8 2x+8 x>2q2x\ 8x e=2j16k=8 이때 등호는 2x=8 x일 때 성립하므로 2x@=8 / x=2`{? x>0} 따라서 2x+x 은 8 x=2일 때 최솟값 8을 갖는다.

276

답 a-b 2 , a-b 2 , a=b=0 a@-ab+b@=[ a-2B ]@+34b@ 이때 a, b가 실수이므로 [ a-2B ]@>0, 3 4b@>0 따라서 a@-ab+b@>0이므로 a@+b@>ab 이때 등호는 a-b2=0, b=0, 즉 a=b=0 일 때 성립한다.

277

ㄴ, ㄷ 참, 거짓을 판별할 수 있는지 확인하기 ㄱ. x=1이면 참이지만 x=1이면 거짓이다. 즉, x의 값에 따라 참과 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ㄴ. 3<4이므로 거짓인 명제이다. ㄷ. 등식의 성질에 의하여 참인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ㄴ, ㄷ이다.

278

답 ④ ①, ③ x의 값에 따라 참과 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ②, ⑤는 명제가 아니다. ④ 모든 정사각형은 직사각형이므로 참인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ④이다.

279

ㄱ. Z[900은 참이므로 참인 명제이다. ㄴ. 정삼각형은 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다. 즉, 참인 명제이다. ㄷ. 2는 소수이므로 참인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

280

답 x는 홀수이고 y는 무리수 두 조건 p, q의 부정 구하기 두 조건 p와 q의 부정은 ~p : x는 홀수, ~q : y는 무리수 ‘ p 또는 q’의 부정 구하기 ‘ p 또는 q’의 부정은 ‘ ~p 그리고 ~q’이므로 ‘ x는 홀수이고 y는 무리수’이다.

281

조건 ‘ 2<x<3’은 조건 2<x이고 x<3’이므로 이 조건의 부정은 ‘ x<2 또는 x>3’이다.

282

답 ⑤ 각 명제의 부정과 그 참, 거짓은 다음과 같다. ① 1은 합성수이다. (거짓) ② 8<6 (거짓) ③ 3은 15의 약수가 아니다. (거짓) ④ j9 k=3은 유리수가 아니다. (거짓) ⑤ 27은 4의 배수가 아니다. (참) 따라서 명제의 부정이 참인 것은 ⑤이다. 참고 명제가 거짓이면 그 부정은 참이다. 단계 1 조건 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제이다. 단계 1 단계 2

유형

연습하기

도전! 본책 41쪽~51쪽

(21)

3

명제

283

조건 p의 부등식 풀기 |x-3|<4에서 -4<x-3<4, -1<x<7 조건 p의 진리집합 구하기 자연수 전체의 집합에서 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70 따라서 원소의 개수는 7이다.

284

답 ④ x@-10x+16<0에서 {x-2}{x-8}<0 / 2<x<8 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P=93, 4, 5, 6, 70 따라서 조건 ~p의 진리집합은 PC=91, 2, 8, 9, 100 이므로 모든 원소의 합은 1+2+8+9+10=30

285

92, 4, 10, 200 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q는 P=91, 2, 4, 5, 10, 200 Q=92, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 200 따라서 조건 ‘ p이고 q’의 진리집합은 P5Q이므로 P5Q=92, 4, 10, 200

286

답 ④ 조건의 진리집합을 구한 후 포함 관계 파악하기 ㄱ. p : x@=1에서 x=-1 또는 x=1 q : x#=1에서 x=1 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9-1, 10, Q=910 / P;Q (거짓) ㄴ. 마름모는 평행사변형이므로 참이다. ㄷ. p : x=-2 q : x@+2x=0에서 x{x+2}=0 / x=-2 또는 x=0 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9-20, Q=9-2, 00 / P[Q (참) ㄹ. n이 홀수이면 n@은 홀수이므로 참이다. 따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

287

답 ③ ㄱ. 2x+4>2에서 x>-1이므로 x>0이면 x>-1이다. (참) ㄴ. x<1, y<1이면 x+y<2이다. (참) 단계 1 단계 2 단계 1 진리집합을 구하여 포함 관계를 파악한 후 명제의 참, 거짓을 판단한다.

ㄷ. [반례] x=-1, y=0이면 x@+y@=0이지만 y=0이다. 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.

288

답 ⑤

① [반례] x=1, y=-1이면 x@=y@=1이지만 x=y이다. ② [반례] x=-2이면 x@>1이지만 x<1이다.

③ [반례] x=0이면 j3x는 유리수이다.

④ [반례] a=1, b=2이면 ab는 짝수이지만 a는 홀수, b는 짝수 이다. ⑤ p : x는 4의 약수, q : x는 8의 약수 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=91, 2, 40, Q=91, 2, 4, 80 / P[Q (참) 따라서 참인 명제는 ⑤이다.

289

명제 q`2!`~p가 거짓임을 보이는 원소 알기 명제 q`2!`~p가 거짓임을 보이려면 집합 Q의 원소이지만 집합 PC의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다. 반례가 속하는 집합 나타내기 반례가 속하는 집합은 Q-PC=Q5P

290

답 ③ 명제 ~p`2!`q가 거짓임을 보이려면 집합 PC의 원소이지만 집 합 Q의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다. 따라서 반례가 속하는 집합은 PC5QC={P6Q}C이므로 구하 는 원소는 f , g , h의 3개이다.

291

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=92, 3, 5, 70, Q=91, 3, 5, 7, 90 명제 p`2!`q가 거짓임을 보여주는 모든 원소는 P-Q=P5QC 의 원소이므로 2의 1개 / m=1 명제 q`2!`p가 거짓임을 보여주는 모든 원소는 Q-P=Q5PC 의 원소이므로 1, 9의 2개 / n=2 / m+n=3

292

답 ⑤ 진리집합의 포함 관계 파악하기 명제 p`2!`~q가 참이면 P[QC이다. 진리집합의 포함 관계를 이용하여 참, 거짓 판별하기 ㄱ. P5Q=Z (참) ㄴ. P5QC=P (거짓) ㄷ. PC5Q=Q (참) 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 6 1 2

(22)

293

Q5PC=Z이면 Q[P이므로 명제 q`2!`p가 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄴ이다.

294

ㄱ, ㅂ, ㅅ, ㅇ P6Q=Q이면 P[Q Q5R=Z이면 두 집합 Q와 R는 서로소이다. 세 집합 P, Q, R의 포함 관계를 벤다이 어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㅂ, ㅅ, ㅇ이 다. 참고 Q5R=Z이므로 Q[RC 따라서 명제 q`2!`~r가 참이다.

295

답 ⑤ p`jjk`q이면 P[Q임을 이용하기 주어진 명제가 참이 되려면 9x|1<x<30[9x|a-4<x<a+30 이어야 한다. a의 값의 범위 구하기 오른쪽 그림에서 a-4<1, 3<a+3 / 0<a<5 정수 a의 개수 구하기 정수 a는 0, 1, 2, 3, 4의 5개이다.

296

주어진 명제가 참이 되려면 9x|-2<x<60[9x|x<a0 이어야 하므로 오른쪽 그림에서 a>6 따라서 자연수 a의 최솟값은 6이다.

297

|x-a|<2에서 -2<x-a<2 / a-2<x<a+2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|a-2<x<a+20 Q=9x|-1<x<90 명제 p`2!`q가 참이 되려면 P[Q 이어야 하므로 오른쪽 그림에서 a-2>-1, a+2<9 / 1<a<7 따라서 정수 a의 개수는 7이다. 21 6 6 3 2 1 단계 1 단계 2 Y  B B  단계 3 Y   B Y 1 2 B  B   ① ② a<k a<k ③ ④ a<k a<k # Y B L " # Y B L " # Y B L " # Y B L " A[B가 되도록 하는 a의 값의 범위 날선 특강

298

3 전체집합 U를 원소나열법으로 나타내기 U=9-2, -1, 0, 1, 20 각 명제의 참, 거짓 판별하기 ㄱ. [반례] x=0이면 x@=0이다. ㄴ. x=-2이면 x<-2이다. (참) ㄷ. x@-x-6=0, {x-3}{x+2}=0에서 x=-2일 때 성립 한다. (참) ㄹ. x@-4>0에서 {x+2}{x-2}>0 / x<-2 또는 x>2 즉, 전체집합 U의 원소 중에서 x@-4>0을 만족시키는 x가 존재하지 않는다. (거짓) ㅁ. 모든 x에 대하여 -x{U이다. (참) 따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다.

299

ㄱ. P=U이면 ‘모든 x에 대하여 p이다.’는 참이다. (참) ㄴ. P=U이면 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다. (거짓) ㄷ. P=Z이면 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

300

ㄱ. 소수 2는 짝수이다. (참) ㄴ. 모든 실수 x에 대하여 x@>0이다. (참) ㄷ. x@<x에서 x@-x<0, x{x-1}<0 / 0<x<1 즉, x@<x를 만족시키는 자연수 x는 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다. 참고 ‘어떤’이 있는 명제는 진리집합이 공집합이 아니면 참이고, ‘모든’이 있는 명제는 진리집합이 전체집합이어야 참이다.

301

각각의 명제의 역 구하기 ① x@-x=0이면 x=0이다. ② 2x>12-x이면 x>6이다. ③ xy=0이면 x=0 또는 y=0이다. ④ xy=0이면 |x|+|y|=0이다. ⑤ x<0이고 y<0이면 xy<0이다. 단계 1 단계 2 단계 1

(23)

3

명제 역의 참, 거짓 판별하기 ① [반례] x=1이면 x@-x=0이지만 x=0이다. ② [반례] x=5이면 2x>12-x이지만 x<6이다.

④ [반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 |x|+|y|=0이다. ⑤ [반례] x=-1, y=-1이면 xy=1>0이다. 따라서 ①, ②, ④, ⑤의 역은 거짓이고 ③의 역은 참이다.

302

명제 ~p`2!`q의 역은 q`2!`~p 따라서 명제 q`2!`~p가 참이므로 그 대우인 p`2!`~q도 항상 참이다.

303

명제와 대우의 참, 거짓은 일치하므로 명제가 거짓이면 대우도 거 짓이다. ① x=2이면 x@=4이다. (참) ② x가 3의 배수이면 x@은 3의 배수이다. (참)

③ [반례] x=-1, y=-2이면 x>y이지만 x@<y@이다. ④ x>1이면 x@>1이다. (참) ⑤ x, y가 짝수이면 xy는 짝수이다. (참) 따라서 명제의 대우가 거짓인 것은 ③이다.

304

ㄱ. 역 : a=0이고 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참) 대우 : a=0 또는 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참) ㄴ. 대우 : ab=6이면 a=2이고 b=3이다. (거짓)

[반례] a=1, b=6이면 ab=6이지만 a=2이고 b=3이다. ㄷ. 역 : ab가 정수이면 a+b는 정수이다. (거짓)

[반례] a=2, b=12 이면 ab=1로 정수이지만 a+b=5 2 이 므로 정수가 아니다. 따라서 역과 대우가 모두 참인 것은 ㄱ이다.

305

명제의 대우 구하기 명제 ‘ x@-kx+6<0이면 x=4이다.’가 참이므로 그 대우인 ‘ x=4이면 x@-kx+6>0이다.’도 참이다. 대우가 참이 되도록 하는 조건 구하기 x=4를 x@-kx+6>0에 대입하면 16-4k+6>0에서 -4k>-22 / k<112 정수 k의 최댓값 구하기 정수 k의 최댓값은 5이다.

306

답 ③ 두 조건 p : |x-1|>2, q : |x-k|>3에 대하여 명제 q`2!`p가 참이 되려면 그 대우 ~p`2!`~q가 참이 되어야 한다. 단계 2 단계 1 단계 2 단계 3 ~p : |x-1|<2에서 -2<x-1<2이므로 -1<x<3 ~q : |x-k|<3에서 -3<x-k<3이므로 k-3<x<k+3 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 PC=9x|-1<x<30, QC=9x|k-3<x<k+30 명제 ~p`2!`~q가 참이 되 려면 PC[QC이어야 하므로 오른쪽 그림에서 k-3<-1, k+3>3 / 0<k<2 따라서 정수 k는 0, 1, 2의 3개이다.

307

주어진 명제가 참이므로 그 대우 ‘ a>k이고 b>2k+3이면 a+b>15이다.’도 참이다. a>k, b>2k+3에서 a+b>k+{2k+3}이므로 k+{2k+3}>15 / k>4 따라서 k의 최솟값은 4이다.

308

명제가 참이면 대우도 참임을 이용하여 참인 명제 찾기 두 명제 p`2!`~q, r`2!`q가 모두 참이므로 각 명제의 대우인 q`2!`~p와 ~q`2!`~r도 모두 참이다. 삼단논법을 이용하여 참인 명제 찾기 두 명제 p`2!`~q, ~q`2!`~r가 모두 참이므로 삼단논법에 의 하여 p`2!`~r가 참이고, 그 대우인 r`2!`~p도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.

309

두 명제 r`2!`~p, q`2!`r가 모두 참이므로 각 명제의 대우인 p`2!`~r, ~r`2!`~q도 모두 참이다. 또한 삼단논법에 의하여 명제 p`2!`~q도 참이고 그 대우인 q`2!`~p도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ②이다.

310

ㄱ, ㄴ 세 명제 p`2!`~q, q`2!`r, r`2!`s가 모두 참이므로 각 명제의 대우인 q`2!`~p, ~r`2!`~q, ~s`2!`~r도 모두 참이다. 또한 두 명제 q`2!`r, r`2!`s가 모두 참이므로 삼단논법에 의하 여 q`2!`s도 참이고 그 대우인 ~s`2!`~q도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.

311

답 ③ 두 조건 p, q 사이의 관계 구하기 ㄱ. x@+y@=0에서 x=0이고 y=0 xy=0에서 x=0 또는 y=0 / p`jjk`q, q`j/jk`p 즉, p는 q이기 위한 충분조건이다. Y L   L  2a 1a 단계 1 단계 2 단계 1 p`jjk`q이고 q`j/jk`p이면 pq이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

(24)

ㄴ. x@=y@에서 x=y 또는 x=-y / p`jjk`q, q`j/jk`p

즉, p는 q이기 위한 충분조건이다.

ㄷ. xy=|xy|에서 xy>0이므로 ‘ x>0이고 y>0 ’ 또는 ‘ x<0이고 y<0 ’이다. / p`j/jk`q, q`jjk`p 즉, p는 q이기 위한 필요조건이다. 따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ㄷ 이다.

312

필요, 필요, 필요충분 ㈎ 2의 양의 배수는 4의 양의 배수이다. (거짓) [반례] 6은 2의 양의 배수이지만 4의 양의 배수는 아니다. 4의 양의 배수는 2의 양의 배수이다. (참) 따라서 2의 양의 배수는 4의 양의 배수이기 위한 필요 조건 이다. ㈏ xy<0이면 x<0이고 y>0이다. (거짓)

[반례] x=1, y=-1이면 xy<0이지만 x>0이고 y<0이다. x<0이고 y>0이면 xy<0이다. (참) 따라서 xy<0은 x<0이고 y>0이기 위한 필요 조건이다. ㈐ x=1 또는 x=-1이면 x@=1이다. (참) x@=1이면 x=1 또는 x=-1이다. (참) 따라서 x=1 또는 x=-1은 x@=1이기 위한 필요충분 조건 이다.

313

ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ a+bi=0`hjk`a=0이고 b=0 ㄱ. [반례] a=-2, b=j2일 때 a+bj2=0 / a+bi=0`jjk`a+bj2=0 따라서 a+bj2=0은 a+bi=0이기 위한 필요조건이다. ㄴ. a@+b@=0`hjk`a=0이고 b=0 ㄷ. a@-ab+b@=[a-b2 ]@+3 4b@=0`hjk`a=0이고 b=0 ㄹ. |a|>0, |b|>0이므로 |a|+|b|=0`hjk`a=0이고 b=0 ㅁ. ja+jb=0이면 ja=-jb`hjk`a=0이고 b=0 따라서 a+bi=0이기 위한 필요충분조건인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 이다.

314

답 ④ 주어진 조건에서 참인 명제 찾기 p는 q이기 위한 충분조건이고 r는 q이기 위한 필요조건이므로 p`jjk`q, q`jjk`r 삼단논법과 대우를 이용하여 참인 명제 찾기 삼단논법에 의하여 p`jjk`r 그 대우도 참이므로 ~r`jjk`~p 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 단계 1 단계 2

315

명제 ~q`2!`~p가 참이므로 그 대우인 p`2!`q도 참이다. 이때 p`jjk`q, q`jjk`r이므로 p`jjk`r 명제 r`2!`p가 거짓이므로 p는 r이기 위한 충분조건이다. 명제 q`2!`r가 참이므로 그 대우인 ~r`2!`~q도 참이다. 명제 r`2!`q가 거짓이므로 그 대우인 ~q`2!`~r도 거짓이다. 따라서 ~r`jjk`~q이므로 ~q는 ~r이기 위한 필요조건이다.

316

답 ③ 세 조건 p, q, r에 대하여 두 명제 ~q`2!`~p, ~r`2!`~q가 참이므로 각 명제의 대우인 p`2!`q, q`2!`r가 참이고 삼단논법 에 의하여 p`2!`r가 참이다. ㄱ. 명제 p`2!`q가 참이므로 q는 p이기 위한 필요조건이다. (참) ㄴ. 명제 q`2!`r가 참이므로 r는 q이기 위한 필요조건이다. (참) ㄷ. 명제 p`2!`r가 참이지만 명제 r`2!`p는 참인지 거짓인지 알 수 없으므로 필요충분조건인지 알 수 없다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

317

~q는 ~p이기 위한 충분조건이므로 ~q`jjk`~p y㉠ ~q는 r이기 위한 필요조건이므로 r`jjk`~q y㉡ r는 ~s이기 위한 필요조건이므로 ~s`jjk`r y㉢ ㉠, ㉡에서 r`jjk`~p ㉡, ㉢에서 ~s`jjk`~q ㉠, ㉡, ㉢에서 각 명제의 대우도 참이므로 p`jjk`q, q`jjk`~r, ~r`jjk`s / p`jjk`s 따라서 반드시 참이라고 할 수 없는 명제는 ⑤ q`2!`p이다.

318

주어진 진리집합의 포함 관계 파악하기 ~q는 p이기 위한 충분조건이므로 QC[P 벤다이어그램을 이용하여 참인 것 찾기 진리집합의 포함 관계를 벤다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 P6Q=U

319

답 ⑤ p가 q이기 위한 충분조건이므로 P[Q q가 r이기 위한 충분조건이므로 Q[R 따라서 P[Q[R이므로 RC[PC 단계 1 단계 2 2a 1 6

수치

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참조

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