1
집합의 뜻과 표현
정답 및 풀이
확인!
001
답 \ ‘작은’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.002
답 d 10보다 작은 자연수는 명확하게 구분할 수 있으므로 집합이다.003
답 \ ‘귀여운’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.004
답 d 국경일은 명확하게 구분할 수 있으므로 집합이다.005
답 {a는 집합 9a, b, c0의 원소이므로 a{9a, b, c0
006
답 : 0은 집합 91, 2, 3, 40의 원소가 아니므로 0:91, 2, 3, 40007
답 예 9x|x는 3의 양의 배수0 3, 6, 9, 12, y는 3의 양의 배수이므로 조건제시법으로 나타내 면 9x|x는 3의 양의 배수0008
답 91, 2, 4, 8, 160 16의 양의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이므로 원소나열법으로 나타내면 91, 2, 4, 8, 160009
답 예 9x|x는 한 자리의 짝수0 2, 4, 6, 8은 한 자리의 짝수이므로 조건제시법으로 나타내면 9x|x는 한 자리의 짝수0 참고 9x|x는 10보다 작은 짝수0, 9x|x는 8 이하의 짝수0 등으로 나 타낼 수도 있다.010
답 95, 10, 15, y0 5의 양의 배수는 5, 10, 15, y이므로 원소나열법으로 나타내면 95, 10, 15, y0011
답 " B F GI
.
집합과 명제
집합의 뜻과 표현
본책 6쪽~9쪽012
답013
답 유 12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 주어진 집합은 유한집 합이다.014
답 무015
답 유016
답 무017
답 무018
답 유 8의 양의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 8의 양의 약수인 홀수는 1이 다. 따라서 주어진 집합은 유한집합이다.019
답 유 20의 양의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이므로 주어진 집합은 유한 집합이다.020
답 유 0<x<1인 자연수는 존재하지 않는다. 따라서 주어진 집합은 공집합이므로 유한집합이다.021
답 ㄷ, ㅁ ㄱ. 900은 0을 원소로 가지므로 공집합이 아니다. ㄴ. 9Z0는 Z를 원소로 가지므로 공집합이 아니다. ㅁ. 2보다 작은 소수는 존재하지 않으므로 주어진 집합은 공집합 이다. 따라서 공집합인 것은 ㄷ, ㅁ이다.022
답 50 원소의 개수가 50이므로 n{A}=50023
답 0 실수 x에 대하여 x@>0이므로 x@+2=0을 만족시키는 실수 x는 존재하지 않는다. 따라서 주어진 집합은 공집합이므로 n{A}=0 #024
답 8 24의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24로 8개이므로 n{A}=8025
답 7 7로 나누어떨어지는 50 이하의 자연수는 7의 양의 배수 중 50보 다 작은 수이므로 7, 14, 21, y, 49로 7개이다. / n{A}=7026
답 5 -2<x<3인 정수는 -1, 0, 1, 2, 3으로 5개이므로 n{A}=5027
답 [9a0의 원소 a가 집합 9a, b, c, d0에 속하므로
9a0는 9a, b, c, d0의 부분집합이고 9a0[9a, b, c, d0
028
답 ;9b, c, e0의 원소 e가 집합 9a, b, c, d0의 원소가 아니므로 9b, c, e0;9a, b, c, d0
029
답 [ 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 9e, f , g 0[9e, f , g 0030
답 [ 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Z[9e, f , g 0031
답 A[B 집합 B=92, 3, 5, 70에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속 하므로 A[B032
답 A[B 모든 정사각형은 마름모이므로 A[B033
답 B[A 집합 A=9-3, 30에서 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 속하므 로 B[A034
답 Z, 910, 920, 91, 20035
답 Z, 910, 930, 950, 91, 30, 91, 50, 93, 50, 91, 3, 50 9x|x는 5 이하의 홀수0=91, 3, 50이므로 Z, 910, 930, 950, 91, 30, 91, 50, 93, 50, 91, 3, 50036
답 A=B A=9-2, 20, B=9-2, 20로 원소가 같으므로 A=B037
답 A=B집합 A=93, 5, 7, 9, y0, B=92, 3, 5, 7, y0이므로 집합 A 와 집합 B의 원소가 같지 않다. / A=B
038
답 a=5, b=1 A=B이려면 모든 원소가 같아야 하므로 a=5, b=1039
답 a=1, b=2 A=B이려면 모든 원소가 같아야 하므로 a+3=4, -b=-2에서 a=1, b=2040
답 Z, 9a0, 9b0 진부분집합은 부분집합에서 자기 자신을 제외한 부분집합이므로 Z, 9a0, 9b0041
답 Z, 900, 910, 990, 100, 90, 10, 90, 90, 100, 91, 90, 100042
답 31 2%-1=31043
답 7 2#-1=7044
답 63 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면 91, 2, 3, 4, 6, 120이 므로 구하는 진부분집합의 개수는 2^-1=63045
답 127 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면 9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30이므로 구하는 진부분집합의 개수는 2&-1=127046
답 1024 2!)=1024047
답 1023 2!)-1=1023048
답 512 2!)_!=512049
답 128 2!)_#=2&=1281
집합의 뜻과 표현
050
답 128 3, 6, 9를 원소로 갖지 않으므로 2!)_#=2&=128051
답 64 2, 3, 5, 7을 반드시 원소로 가지므로 2!)_$=2^=64집합 A=9a1, a2, a3, y, an0에 대하여 ⑴ 집합 A의 부분집합의 개수 2N ⑵ 집합 A의 진부분집합의 개수 2N-1 ⑶ 집합 A의 부분집합 중에서 특정한 원소 k`{k<n}개를 반드 시 원소로 갖는 (또는 원소로 갖지 않는) 부분집합의 개수 2N_K ⑷ 집합 A의 부분집합 중에서 특정한 원소 k`{k<n}개는 반드 시 원소로 갖고, 특정한 원소 l{l<n}개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 2N_K_L (단, k+l<n ) 부분집합의 개수 날선 특강
055
답 ㄱ, ㄷ, ㄹ 집합 A는 15의 양의 약수의 집합이므로 A=91, 3, 5, 150 x#+3x@+2x=0에서 x{x+1}{x+2}=0 / x=0 또는 x=-1 또는 x=-2 / B=9-2, -1, 00 따라서 1{A, 3{A, -2{B, 15:B이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.056
답 C=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80 x{A, y{B에 대하여 x+y의 값을 구하기x{A, y{B에 대하여 x+y의 값을 구하면 다음 표와 같다.
y x 0 1 1 1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 집합 C를 원소나열법으로 나타내기 C=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80
057
답 8 a{A, b{B에 대하여 ab의 값을 구하면 다음 표와 같다. b a 2 2@ 2# 2$ 2% 2 2@ 2# 2$ 2% 2^ 2@ 2# 2$ 2% 2^ 2& 2# 2$ 2% 2^ 2& 2* 2$ 2% 2^ 2& 2* 2( 따라서 집합 C=92@, 2#, 2$, y, 2(0이므로 원소는 8개이다.058
답 ③ ②, ④, ⑤ 91, 3, 5, 7, 90 ③ 92, 3, 5, 70 따라서 원소가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.059
답 ④ 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내기 ① 91, 3, 5, y0 ② 99, 11, 13, y0 ③ 96, 9, 12, y0 ④ 9-1, 0, 10 ⑤ 93, 5, 7, y0 유한집합과 무한집합으로 분류하기 ①, ②, ③, ⑤ 무한집합 ④ 유한집합 따라서 유한집합인 것은 ④이다.060
답 3 3의 양의 배수는 3, 6, 9, y이므로 k의 값이 될 수 있는 자연수 는 1, 2, 3이다. 따라서 구하는 자연수 k의 최댓값은 3이다. 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2052
답 ② 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명하게 정할 수 있는지 확인하기 ① 91, 3, 5, 7, 9, 110 ③ 91, 2, 5, 100 ④ 93, 6, 9, y, 270 ⑤ 9수성, 금성, y, 해왕성0 집합이 아닌 것 찾기 ② ‘공부를 잘하는’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.053
답 ㄴ, ㄷ, ㄹ ㄱ. ‘목소리가 큰’의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다. 따라서 집합인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.054
답 ⑤ 집합 A를 원소나열법으로 나타내기 9보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로 A=92, 3, 5, 70 집합 A와 각 원소 사이의 관계가 맞는지 확인하기 1:A, 2{A, 4:A, 5{A, 6:A따라서 옳은 것은 ⑤이다. 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2
유형
연습하기
도전! 본책 10쪽~15쪽061
답 ① 집합 A와 집합 B를 원소나열법으로 나타내기 집합 A와 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 A=93, 5, 70, B=92, 3, 5, 70 n{B}-n{A}의 값 구하기 n{A}=3, n{B}=4이므로 n{B}-n{A}=1062
답 ② ② B=900이므로 n{B}=1063
답 ② 집합 A와 원소 사이의 관계 나타내기 집합 A의 원소는 Z, 1, 900이므로 Z{A, 1{A, 900{A주어진 집합과 집합 A 사이의 관계 나타내기 9Z0[A, 9Z, 10[A 이때 1은 집합 A의 원소이므로 910[A 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
064
답 ③ ㄱ. b는 집합 A의 원소이므로 b{A (참) ㄴ. a{A, b{A이므로 9a, b0[A (거짓)ㄷ. 9c, d0는 집합 A의 원소이므로 9c, d0{A (거짓) ㄹ. A[9a, b, 9c, d00 (참)
ㅁ. Z는 집합 A의 원소가 아니므로 Z:A (참) ㅂ. a{A, 9c, d0{A이므로 9a, 9c, d00[A (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 참고 ㄹ. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 A[9a, b, 9c, d00 ㅁ. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Z[A
065
답 ② 집합 B와 집합 C 구하기x{A, y{A에 대하여 x+y의 값을 구하면 다음 표와 같으므로
+ -1 0 1 -1 -2 -1 0 0 -1 0 1 1 0 1 2 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 B=9-2, -1, 0, 1, 20
x{A, y{A에 대하여 xy의 값을 구하면 다음 표와 같으므로
\ -1 0 1 -1 1 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 1 집합 C를 원소나열법으로 나타내면 C=9-1, 0, 10 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 단계 1 세 집합 A, B, C의 원소를 비교하여 포함 관계 나타내기 A=C이고, A[B, C[B이므로 A[C[B
066
답 ⑤ 집합 A를 원소나열법으로 나타내면 A=9-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 50 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 B=9-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 50 x@-5x=0에서 x{x-5}=0 / x=0 또는 x=5 따라서 집합 C를 원소나열법으로 나타내면 C=90, 50 / C[B[A067
답 ㄱ, ㄴ, ㄹ 세 집합 A, B, C를 원소나열법으로 나타내면 A=9y, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, y0 B=9y, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, y0 C=9y, -8, -2, 4, 10, 16, y0따라서 A=B, 즉 A[B이고 B[A
한편, 집합 C의 모든 원소가 집합 A와 집합 B 에 각각 속하므로 C[A, C[B 따라서 바르게 나타낸 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
068
답 ③ 집합 A, B를 수직선에 나타내기 A[B가 성립하도록 두 집 합 A, B를 수직선에 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 a<0, 2a+8>3이어야 한다. 정수 a의 개수 구하기2a+8>3에서 2a>-5 / a>-5 2 따라서 -52<a<0이므로 정수 a는 -2, -1, 0의 3개이다.
069
답 6 A[B[C가 성립하도록 세 집합 A, B, C를 수직선에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. / -2<a<4 따라서 정수 a는 -1, 0, 1, 2, 3, 4의 6개이다.070
답 8 {x@-4}{2x-a}=0에서 {x+2}{x-2}{2x-a}=0 / x=-2 또는 x=2 또는 x= a 2 단계 2 단계 1 # " Y B B 단계 2 $ Y B # "1
집합의 뜻과 표현 / A=--2, 2, a2 = {x@+3}{x-2}{x-4}=0에서 x=2 또는 x=4 ( ? x는 실수) / B=92, 40 B[A가 성립하려면 4{A이어야 하므로 a 2=4 / a=8
071
답 1 X[Y가 성립하려면 2{Y이어야 한다. ! a-2=2, 즉 a=4일 때 X=9-4, 20, Y=90, 2, 170 / X;Y @ a@+1=2, 즉 a=-1일 때 a=1이면 X=9-1, 20, Y=9-1, 0, 20이므로 X[Y a=-1이면 X=91, 20, Y=9-3, 0, 20이므로 X;Y !, @에서 a=1072
답 Z, 930, 950, 970, 93, 50, 93, 70, 95, 70, 93, 5, 70 집합 A를 원소나열법으로 나타내기 집합 A=93, 5, 70 집합 A의 부분집합 구하기 집합 A=93, 5, 70의 부분집합은 Z, 930, 950, 970, 93, 50, 93, 70, 95, 70, 93, 5, 70073
답 ③ 집합 A=95, 10, 15, 200이므로 ① n{A}=4 ② 원소가 2개인 집합 A의 부분집합은 95, 100, 95, 150, 95, 200, 910, 150, 910, 200, 915, 200의 6개 ④ 5를 원소로 갖는 집합 A의 부분집합은 950, 95, 100, 95, 150, 95, 200, 95, 10, 150, 95, 10, 200, 95, 15, 200, 95, 10, 15, 200의 8개 ⑤ 10을 원소로 갖는 진부분집합은 9100, 95, 100, 910, 150, 910, 200, 95, 10, 150, 95, 10, 200, 910, 15, 200의 7개 따라서 옳은 것은 ③이다.074
답 ⑤ 집합 A=91, 3, 5, 7, 90에 대하여 집합 B는 집합 A의 부분집 합 중에서 원소가 4개인 집합이다. 따라서 집합 B는 91, 3, 5, 70, 91, 3, 5, 90, 91, 3, 7, 90, 91, 5, 7, 90, 93, 5, 7, 90의 5개이다. 단계 1 단계 2075
답 -1 A=B가 되도록 하는 조건 찾기 A=B이므로 a@-2a=3 a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0 / a=-1 또는 a=3 a의 값에 따른 두 집합 A, B 구하기 ! a=-1일 때 A=9-3, 3, 60, B=9-3, 3, 60이므로 A=B @ a=3일 때 A=93, 9, 100, B=9-3, 3, 60이므로 A=B A=B를 만족시키는 상수 a의 값 구하기 !, @에서 a=-1076
답 3A[B이고 B[A이므로 A=B이고, -4{B이므로 -4{A 이어야 한다. 즉, x@+ax-4=0의 한 근이 -4가 되어야 하므로 {-4}@-4a-4=0, 12-4a=0 / a=3 x@+3x-4=0에서 {x+4}{x-1}=0 / x=-4 또는 x=1 따라서 A=9-4, 10이므로 b=1 / ab=3
077
답 ④ x#-7x@+7x+15=0의 해 구하기 x#-7x@+7x+15=0에서 {x+1}{x@-8x+15}=0, {x+1}{x-3}{x-5}=0 / x=-1 또는 x=3 또는 x=5 집합 A 구하기 x는 자연수이므로 집합 A=93, 50 집합 A의 부분집합의 개수 구하기 n{A}=2이므로 집합 A의 부분집합의 개수는 2@=4078
답 13 집합 A의 부분집합의 개수가 256=2*이므로 n{A}=8 집합 B의 진부분집합의 개수가 31=2%-1이므로 n{B}=5 / n{A}+n{B}=8+5=13079
답 7 집합 A의 원소 중에서 15의 양의 약수는 1, 3, 5 따라서 구하는 부분집합은 91, 3, 50의 부분집합 중에서 공집합 을 제외한 것이므로 2#-1=7 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 단계 3080
답 31X[A이고 X=A의 조건 알기
X[A이고 X=A이므로 X는 A의 진부분집합이다. 특정한 원소를 갖는 부분집합의 개수 구하기 1, 2를 반드시 원소로 갖는 집합 X의 개수는 2&_@-1=31
081
답 16 집합 X는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90의 부분집합 중에서 2, 3, 4를 반드시 원소로 갖고 1, 5는 원소로 갖지 않는 집합이다. 따라서 집합 X의 개수는 2(_#_@=2$=16082
답 ④ ! ai=2%1인 집합 Ai의 개수는 1 2%을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같으므로 2%_!=16 @ ai=2$1인 집합 Ai의 개수는 2%1은 원소로 갖지 않고, 2$1을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같으므로 2%_!_!=8 # ai=2#1인 집합 Ai의 개수는 1 2%, 1 2$은 원소로 갖지 않고, 1 2#을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같 으므로 2%_@_!=4 $ ai=2@1인 집합 Ai의 개수는 1 2%, 1 2$, 1 2#은 원소로 갖지 않 고, 1 2@을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수와 같으므로 2%_#_!=2 % ai=12 인 집합 Ai는 집합 -12 =뿐이다. 따라서 !~%에서 a1+a2+a3+y+a31 =1 2%\16+ 1 2$\8+ 1 2#\4+ 1 2@\2+ 1 2\1= 5 2083
답 ③ A[X[B를 만족시키는 집합 X 알기 집합 X는 a1, a2를 반드시 원소로 갖는 집합 B의 부분집합이다. 집합 X의 개수 구하기 집합 X의 개수는 2%_@=2#=8084
답 32 x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3 / A=92, 30 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 |x|<4에서 -4<x<4이므로 B=9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30 A[X[B를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중에서 2, 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 2&_@=2%=32085
답 10 92, 30[X[A를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 에서 2, 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 집합 X의 개 수는 2N_@ 집합 X의 개수가 256이므로 2N_@=256=2* n-2=8 / n=10086
답 30 집합 A=91, 2, 3, y, 90, 집합 B=92, 3, 5, 70이고 B[X[A를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중에서 2, 3, 5, 7을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 그 개수는 2(_$=2%=32 이때 X=A, X=B이므로 구하는 집합 X의 개수는 32-2=30087
답 ③ 집합 A의 부분집합의 개수 구하기 집합 A=93, 6, 9, 12, 150의 부분집합의 개수는 2%=32 6과 9를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 구하기 6과 9를 모두 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 2%_@=2#=8 6 또는 9를 원소로 갖는 부분집합의 개수 구하기 구하는 부분집합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 6과 9를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. / 2%-2#=32-8=24088
답 240 집합 A=93, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 240이므로 구하는 부분집 합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 홀수 3, 9, 15, 21을 원 소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. / 2*-2*_$=256-16=240089
답 55 집합 A=94, 7, 10, 13, 16, 190이므로 구하는 부분집합의 개 수는 집합 A의 진부분집합의 개수에서 짝수 4, 10, 16을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. / {2^-1}-2#=63-8=55 단계 1 단계 2 단계 31
집합의 뜻과 표현
090
답 ③ ㄴ, ㄷ. ‘키가 작은’, ‘큰 수’ 등은 기준이 명확하지 않으므로 집합 이 아니다. 따라서 집합인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ의 3개이다.091
답 10 집합 X의 원소는 {1, 1}, {1, 2}, {2, 2}, {1, 3}, {3, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {4, 4}, {1, 5}, {5, 5}이므로 집합 X의 원소 는 10개이다.092
답 ③ 집합 A=92, 3, 4, y, 490, 집합 B=91, 2, 3, y, 180에서 ① 0:B ② 19:B ③ n{B}=18 ④ n{A}=48, n{B}=18이므로 n{A}=n{B}⑤ a=3이면 3-20=-17이므로 a{A이지만 {a-20}:B 따라서 옳은 것은 ③이다.
093
답 5x@+x-20=0에서 {x+5}{x-4}=0 / x=-5 또는 x=4
따라서 집합 A=9-5, 40이므로 A[B가 성립하려면 a>4 즉, 가장 작은 정수 a의 값은 5이다.
094
답 ② 집합 B의 부분집합 중에서 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2#_!=2@=4 마찬가지로 7 또는 11을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수도 각각 4이다. 따라서 B1, B2, B3, y, B8의 모든 원소의 총합은 a1+a2+y+a8={3+7+11}\4=84095
답 ② 집합 U=91, 2, 3, y, 100에서 임의의 두 원소를 곱해서 제곱 수가 되는 두 수를 나열해 보면 1\4=4, 1\9=9, 2\8=16, 4\9=36이므로 집합 A는 91, 40, 91, 90, 92, 80, 94, 90의 4개이다.096
답 -2A[B, B[A이므로 A=B
기출
문제 정복하기
실전! 본책 16쪽~17쪽 따라서 0{B이므로 a@-4=0 / a=2 또는 a=-2 ! a=2일 때, A=90, 3, 60, B=90, 2, 30이므로 A=B @ a=-2일 때, A=90, 2, 30, B=90, 2, 30이므로 A=B !, @에서 a=-2097
답 9 집합 Ak의 원소 중에서 홀수는 1, 3, 5, y, 2k+1의 {k+1}개 이고 짝수는 k개이다. 집합 Ak의 부분집합 중에서 짝수를 원소로 갖지 않는 부분집합 의 개수가 32이므로 2K"!=32=2%, k+1=5 / k=4 따라서 A4=91, 2, 3, y, 90이므로 n{A4}=9098
답 31 두 조건을 모두 만족시키는 집합 B는 집합 94, 5, 6, 7, 80의 부 분집합 중에서 공집합을 제외한 것이다. 따라서 집합 B의 개수는 2%-1=31099
답 ⑤ ㄱ. S=92, 3, 40의 원소 중에서 소수는 2, 3이므로 N{S}=2 이다. (참) ㄴ. 집합 U에서 소수는 2, 3, 5, 7이므로 92, 3, 5, 70[S[U이면 N{S}는 최댓값 4를 가진다. (참) ㄷ. N{S}=1인 집합 S는 집합 91, 4, 6, 8, 9, 100의 부분집 합에 소수 2, 3, 5, 7 중에서 하나만을 포함시킨 집합이므로 2^\4=2* (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.100
답 4 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내기 집합 A=91, 2, 3, 60, 집합 B=91, 2, 3, 6, 9, 180 …… 30 % 집합 X와 같은 부분집합의 조건 알기 집합 X는 91, 2, 3, 6, 9, 180의 부분집합 중에서 1, 2, 3, 6을 반드시 원소로 갖는 부분집합과 같다. …… 40 % 집합 X의 개수 구하기 구하는 집합 X의 개수는 2^_$=2@=4 …… 30 % 단계 1 단계 2 단계 3101
답 A6B=9a, b, c, d, e, f0, A5B=9b, c, d0102
답 A6B=95, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 200, A5B=95, 100103
답 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 80, A5B=92, 40 집합 B=91, 2, 4, 80이므로 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 80, A5B=92, 40104
답 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 120, A5B=91, 30 두 집합 A=91, 3, 5, 7, 90, B=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로 A6B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 120, A5B=91, 30105
답 91, 2, 4, 5, 6, 8, 100 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 A6B이므로 A6B=91, 2, 4, 5, 6, 8, 100106
답 92, 100 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 A5B이므로 A5B=92, 100107
답 서로소이다. A5B=Z이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.108
답 서로소가 아니다. 집합 B=91, 50이므로 A5B=910 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다.109
답 서로소이다. B=Z에서 A5B=Z이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.110
답 91, 2, 3, 4, 50 {A6B}6C =A6{B6C} =91, 2, 3, 4, 50111
답 9a, b, c, e0 A5{B6C} ={A5B}6{A5C} =9a, b, c, e0112
답 91, 2, 3, 4, 5, 6, 70 {A6C}5{B6C} ={A5B}6C =91, 2, 3, 4, 5, 6, 70113
답 A집합의 연산
본책 18쪽~22쪽114
답 A115
답 A {A6A}6Z=A6Z=A116
답 Z {A5Z}5A=Z5A=Z117
답 B B[A이므로 A5B=B118
답 A B[A이므로 A6B=A119
답 92, 3, 4, 5, 70집합 A의 여집합은 전체집합 U의 원소이면서 집합 A에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합이므로 AC=92, 3, 4, 5, 70
120
답 92, 4, 60 집합 B=91, 3, 5, 70이므로 BC=92, 4, 60121
답 Z 집합 C=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70이므로 CC=Z122
답 93, 4, 6, 7, 8, 90 전체집합 U=91, 2, 3, y, 90에 대하여 두 집합 A=91, 2, 50, B=92, 3, 5, 70 이므로 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. / AC=93, 4, 6, 7, 8, 90123
답 91, 4, 6, 8, 90124
답 910125
답 93, 70126
답 910 집합 A=91, 2, 50, BC=91, 4, 6, 8, 90이므로 A5BC=910127
답 9i, o, u0 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합은 B-A이 므로 B-A=9i, o, u0 6 " #2
집합의 연산
128
답129
답130
답131
답132
답 A {A5A}6Z=A6Z=A133
답 A {A6Z}5U=A5U=A134
답 U135
답 U136
답 Z137
답 A138
답 U139
답 Z140
답 BC141
답 BC142
답 BC, B143
답 AC, AC, B144
답 ㄹ, ㄷA5{A5B}C =A5{AC6BC} yㄹ. 드모르간의 법칙 ={A5AC}6{A5BC} yㄷ. 분배법칙 =Z6{A5BC}=A5BC=A-B " # " # " # " #
145
답 AC, AC, U, UA6{A5B}C =A6{ AC 6BC}={A6 AC }6BC = U 6BC= U
146
답 BC, B, B, B, B, B, B{A-B}C5B ={A5 BC }C5B={AC6 B }5B
={AC5 B }6{B5 B }={ B -A}6 B = B
147
답 34 n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}=17+22-5=34148
답 33 n{AC}=n{U}-n{A}=50-17=33149
답 28 n{BC}=n{U}-n{B}=50-22=28150
답 12 n{A-B}=n{A}-n{A5B}=17-5=12151
답 12 n{A5BC} =n{A-B}=n{A}-n{A5B}=17-5=12152
답 17 n{AC5B} =n{B-A}=n{B}-n{A5B}=22-5=17153
답 12 n{BC-AC} =n{BC5A}=n{A-B}=n{A}-n{A5B} =17-5=12154
답 30 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C}-n{A5B} -n{B5C}-n{C5A}+n{A5B5C} =16+14+11-4-5-5+3=30 참고 n{A6B6C}를 구할 때, n{A}+n{B}+n{C}에는 교집합 A5B, B5C, C5A의 원소의 개수가 두 번 더해지므로 각각의 교 집합의 원소의 개수를 한 번은 빼야 한다. 이때 교집합 A5B5C의 원소의 개수는 세 번이 더해졌다가 다시 세 번이 빼지므로 한 번을 다 시 더해야 한다.155
답 1 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C}-n{A5B} -n{B5C}-n{C5A}+n{A5B5C} 이므로 30=20+12+7-3-5-2+n{A5B5C} / n{A5B5C}=1156
답 19 집합 B를 원소나열법으로 나타내기 집합 B=91, 2, 3, 4, 6, 120이다. 주어진 조건을 이용하여 벤다이어그램으로 나타내기 A5B=91, 3, 60, A6B=91, 2, 3, 4, 6, 9, 120를 벤다 이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 집합 A의 모든 원소의 합 구하기 집합 A=91, 3, 6, 90이므로 집합 A의 모든 원소의 합은 1+3+6+9=19157
답 ④ 집합 A=91, 2, 5, 70, B=92, 3, 4, 50, C=91, 2, 3, 60 ③ A5B=92, 50이므로 {A5B}5C=920 ④ A6B=91, 2, 3, 4, 5, 70이므로 {A6B}5C=91, 2, 30 ⑤ B5C=92, 30이므로 A6{B5C}=91, 2, 3, 5, 70 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.158
답 ③ 집합 A를 벤다이어그램으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같으므로 집합 B는 2, 4, 6 을 반드시 원소로 갖고, 3, 5는 원소로 갖 지 않아야 한다. 따라서 집합 B가 될 수 없는 것은 ③이다.159
답 ㄴ, ㄹ, ㅁ 각 집합을 원소나열법으로 나타내기 ㄱ. 92, 4, 6, y0 ㄴ. 91, 3, 5, y0 ㄷ. x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3 / 92, 30 ㄹ. 91, 3, 9, 270 ㅁ. Z 집합 92, 4, 6, 80과 서로소인 집합 찾기 집합 92, 4, 6, 80과 서로소인 집합은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.160
답 ③, ⑤ ① A5B=970이므로 서로소가 아니다.② A=91, 3, 5, 7, y0, B=92, 3, 5, 7, y0에서 A5B=93, 5, 7, y0이므로 서로소가 아니다. 단계 1 단계 2 # " 단계 3 # " 단계 1 단계 2
유형
연습하기
도전! 본책 23쪽~31쪽③ A=9-2, -1, 0, 1, 20, B=9y, -4, -3, 3, 4, y0이 므로 A5B=Z, 즉 서로소이다. ④ A=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, B=99, 81, 729, y0에서 A5B=990이므로 서로소가 아니다. ⑤ 공집합은 모든 집합과 공통인 원소가 없으므로 서로소이다.
161
답 -1 k-3<k이므로 A5B=Z 가 되게 두 집합 A, B를 수 직선에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 2k+1<k에서 k<-1이므로 정수 k의 최댓값은 -1이다.162
답 92, 60 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내기 U=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70, A5B=970, BC5A=94, 50, {A6B}C=91, 30을 벤다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 두 집합 B, AC 구하기 B=92, 6, 70, AC=91, 2, 3, 60 B5AC 구하기 B5AC=92, 60163
답 94, 6, 80 U=90, 1, 2, y, 90, A=92, 3, 5, 70, B=91, 3, 90, C=90, 20에서 A6B=91, 2, 3, 5, 7, 90, A6C=90, 2, 3, 5, 70이므로 {A6B}C=90, 4, 6, 80, {A6C}C=91, 4, 6, 8, 90 / {A6B}C5{A6C}C=94, 6, 80164
답 9b, h0 벤다이어그램을 이용하여 집합 A, B5C를 원소나열법으로 나타 내기 A=9a, d, g , k0, B5C=9b, g , h0 {B5C}-A를 원소나열법으로 나타내기 {B5C}-A=9b, h0165
답 ④ A=91, 3, 5, 7, 90, B=91, 4, 7, 100에서 A6B=91, 3, 4, 5, 7, 9, 100, A5B=91, 70 / {A6B}-{A5B}=93, 4, 5, 9, 100166
답 -1x{{A5B}이면 x{A이고 x{B임을 이용하여 a의 값 구하기 A5B=9-1, 30에서 3{A이므로 a@+a-3=3
# Y L L " L L 단계 1 6 " # 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 단계 1
2
집합의 연산 a@+a-6=0, {a+3}{a-2}=0 / a=-3 또는 a=2 구한 a의 값이 주어진 조건을 만족시키는지 확인하기 ! a=-3일 때 A=9-1, 0, 30, B=93, -1, 90이므로 A5B=9-1, 30 @ a=2일 때 A=9-1, 0, 30, B=93, 4, -10이므로 A5B=9-1, 30 !, @에서 a=-3 또는 a=2 모든 상수 a의 값의 합 구하기 모든 상수 a의 값의 합은 -3+2=-1
167
답 ② A-B=940에서 5{B이므로 a-2b=5 y㉠ 또, 3a-b:A-B이므로 3a-b{B / 3a-b=10 y㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1 / a+b=2168
답 ① 1{B, 1:{A-B}6{B-A}이므로 1{A5B / 1{A ! -a+1=1, 즉 a=0일 때 A=92, 1, -30, B=91, 2, -20이므로 {A-B}6{B-A}=9-3, -20 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다. @ a@-3=1, 즉 a=-2 또는 a=2일 때a=-2이면 A=92, 3, 10, B=91, 2, -40이므로 {A-B}6{B-A}=9-4, 30 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다. a=2이면 A=92, -1, 10, B=91, 2, 00이므로 {A-B}6{B-A}=9-1, 00 따라서 주어진 조건을 만족시킨다. !, @에서 a=2이므로 A=92, -1, 10 따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 2+{-1}+1=2 참고 {A-B}6{B-A}를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
169
답 ④ 집합의 연산의 성질을 이용하여 간단히 나타내기 ① {AC}C=A, U-A=AC ② A6Z=A ③ A6AC=U 단계 2 단계 3 " # 단계 1 ④ U5B=B이므로 A6{U5B}=A6B ⑤ AC5B=B-A 따라서 항상 옳은 것은 ④이다.170
답 ⑤ ① A-BC=A5{BC}C=A5B ②A5{U-BC} =A59U5{BC}C0 =A5{U5B} =A5B ③ B-AC=B5{AC}C=B5A=A5B ④ {A5B}6{A5AC} ={A5B}6Z=A5B ⑤ A5{B6BC}=A5U=A 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다.171
답 ④ {A-BC}5BC =A5{BC}C5BC =A5{B5BC} =A5Z=Z172
답 ④ U=91, 2, 3, y, 150, A=91, 3, 5, 150, B=91, 5, 7, 11, 130이므로 ① BC=92, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 150 ② A-B=93, 150 ③ B5AC=B-A=97, 11, 130 ④ A6B=91, 3, 5, 7, 11, 13, 150이므로 {A6B}C=92, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 140 ⑤ {A6B}-A=B-{A5B}=97, 11, 130 따라서 옳은 것은 ④이다.173
답 ④ 두 집합 A, B의 포함 관계 나타내기 A6B=A이면 B[A이다. 주어진 집합의 포함 관계 및 연산이 옳은지 판별하기 A=B이므로 A-B=Z 참고 B[A와 같은 표현A6B=A, A5B=B, B-A=Z, B5AC=Z, AC[BC, AC-BC=Z
174
답 ③ AC[BC이면 B[A이므로 ① A6B=A ② A5{A6B}=A5A=A ③ A5B=B ④ A6{B-A}=A6Z=A ⑤ {A6B}6{A5B}=A6B=A 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다. 단계 1 단계 2175
답 ② A5B=A이면 A[B이므로 ㄱ. A5BC=A-B=Z (참) ㄴ. B-A=AC (거짓) ㄷ. A6B=B이므로 AC6B =AC6{A6B}={AC6A}6B =U6B=U (참) ㄹ. A6BC=U (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.176
답 ③ A-B=Z이면 A[B 즉, 두 집합 A, B에 대하여 A[B가 성립하기 위해서는 안 에 16의 약수인 1, 2, 4, 8, 16이 들어가야 한다. 따라서 안에 들어갈 수 없는 것은 ③이다.177
답 ③ 집합 X의 포함 관계 구하기 {A5B}6X=X이므로 {A5B}[X {A6B}5X=X이므로 X[{A6B} / {A5B}[X[{A6B} 즉, 92, 5, 70[X[91, 2, 3, 4, 5, 7, 90 집합 X의 개수 구하기 따라서 집합 X는 91, 2, 3, 4, 5, 7, 90의 부분집합 중에서 2, 5, 7을 반드시 원소로 갖는 집합이므로 집합 X의 개수는 2&_#=2$=16178
답 32 X-{X5Y}=X에서 X5Y=Z 따라서 집합 Y는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90의 부분집합 중에서 1, 3, 7, 9를 원소로 갖지 않는 집합이므로 집합 Y의 개수는 2(_$=2%=32179
답 20 집합 X는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80의 부분집합 중에서 1, 3을 반드시 원소로 갖고, 5, 7을 원소로 갖지 않는 집합이므로 집합 X의 개수는 2*_@_@=2$=16 집합 Y는 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80의 부분집합 중에서 3, 4, 7, 8을 반드시 원소로 갖고, 1, 5를 원소로 갖지 않는 집합이므로 집 합 Y의 개수는 2*_$_@=2@=4 따라서 a=16, b=4이므로 a+b=20180
답 64 전체집합 U의 부분집합 C가 두 집합 A=95, 100, 단계 1 단계 2 B=92, 4, 6, 8, 100의 공통인 원소 10을 제외한 나머지 원소 2, 4, 5, 6, 8을 반드시 원소로 가져야 한다. 따라서 구하는 집합 C의 개수는 2!!_%=2^=64181
답 92, 3, 4, 6, 70 드모르간의 법칙을 이용하여 주어진 조건을 간단히 하기 드모르간의 법칙에 의하여 AC5BC={A6B}C=95, 100 주어진 조건들을 벤다이어그램으로 나타내기 A-B=91, 8, 90, A5B=92, 3, 40, {A6B}C=95, 100을 벤다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 벤다이어그램을 이용하여 집합 B 구하기 B=92, 3, 4, 6, 70182
답 6 {A6B}6{AC6BC}C ={A6B}69{A5B}C0C ={A6B}6{A5B} =A6B =91, 2, 4, 5, 6, 80 따라서 구하는 원소의 개수는 6이다.183
답 ③ {B-A}6{B-C} ={B5AC}6{B5CC} =B5{AC6CC} =B5{A5C}C =B-{A5C} 이므로 B-{A5C}=94, 50 이때 B=91, 3, 4, 5, 7, 90이므로1{{A5C}, 3{{A5C}, 7{{A5C}, 9{{A5C} 따라서 반드시 A5C의 원소인 것은 ③이다.
184
답 ② 집합의 연산 법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 간단히 하기 {A-B}-C ={A5BC}5CC =A5{BC5CC} =A5{B6C}C =A-{B6C}185
답 ② 9{A5B}6{A5BC}05{AC6A} =9A5{B6BC}05U ={A5U}5U =A5U=A 단계 1 단계 2 6 " # 단계 3 단계 1 드모르간의 법칙을 이용한다.2
집합의 연산
186
답 ① 9{A5B}C5{B-A}C05A =9{A5B}C5{B5AC}C05A =9{A5B}6{B5AC}0C5A =9B5{A6AC}0C5A ={B5U}C5A =BC5A=A-B=Z187
답 ④ 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내기 ①, ③ ② ④ ⑤ 주어진 벤다이어그램과 비교하기 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분과 같은 것은 ④이다.188
답 ③ 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다. ① ② ③ ④ ⑤189
답 ④ {A-B}6{A-C} ={A5BC}6{A5CC} =A5{BC6CC}=A5{B5C}C =A-{B5C}=Z 따라서 A[{B5C}이므로 세 집합의 관계를 바르게 나타낸 것 은 ④이다. 다른 풀이 {A-B}6{A-C}=Z에서 합집합이 공집합이면 둘 다 공집합이므로 A-B=Z, A-C=Z / A[B, A[C190
답 16 Am5An=Ak에서 k는 m, n의 최소공배수임을 이용하여 식을 간 단히 하기 A35{A26A4} ={A35A2}6{A35A4}=A66A12=A6 단계 1 6 " # 6 " # 6 " # 6 " # 단계 2 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 단계 1 집합의 원소의 개수 구하기 전체집합 U의 원소 중에서 6의 배수는 16개이므로 구하는 원소 의 개수는 16이다.191
답 ⑤ {A36A6}5{A46A12}=A35A4=A12192
답 35 A45A10은 4와 10의 공배수의 집합이므로 A45A10=A20 따라서 Ap[A20을 만족시키는 p는 20의 배수이므로 자연수 p의 최솟값은 20이다. 또, B155B30은 15와 30의 공약수의 집합이므로 B155B30=B15 따라서 Bq[B15를 만족시키는 q는 15의 약수이므로 자연수 q의 최댓값은 15이다. 따라서 구하는 값은 20+15=35 ⑴ 자연수 k의 양의 배수의 집합을 Ak라 할 때, 자연수 m이 자 연수 n의 배수이면 Am[An / Am5An=Am, Am6An=An ⑵ 자연수 k의 양의 약수의 집합을 Bk라 할 때, 자연수 m이 자 연수 n의 약수이면 Bm[Bn / Bm5Bn=Bm, Bm6Bn=Bn 배수와 약수의 집합의 연산 날선 특강193
답 9 부등식을 풀어 원소의 범위 구하기 x@-3x-4<0에서 {x+1}{x-4}<0 / -1<x<4 / A=9x|-1<x<40 수직선을 이용하여 해 구하기 A5B=9x|3<x<40이고 A6B=9x|-1<x<60이므 로 오른쪽 그림에서 B =9x|3<x<60 =9x|{x-3}{x-6}<00 =9x|x@-9x+18<00 따라서 p=-9, q=18이므로 p+q=9194
답 3 x@-10x+21<0에서 {x-3}{x-7}<0 / 3<x<7 / B=9x|3<x<70 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. / A5BC =A-B=9x|0<x<30 따라서 정수인 원소의 합은 0+1+2=3 단계 2 단계 1 단계 2 Y "# "# " # Y "195
답 ① {x-3}{x-18}>0에서 x<3 또는 x>18 / A=9x|x<3 또는 x>180 {x-a}{x-ja k}<0이고 ja k<a이므로 ja k<x<a / B=9x|ja k<x<a0 A5B=Z가 되려면 오른쪽 그림 과 같아야 하므로 ja k>3, a<18 ja k>3에서 a>9이므로 9<a<18 따라서 자연수 a는 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17의 8개이다.196
답 ② AJ B를 간단히 하기 AJ B ={A6B}5{A5B}C ={A6B}-{A5B} 연산 J 의 정의에 따라 간단히 하기 ① Z J A ={Z6A}-{Z5A} =A-Z=A ② Z J U ={Z6U}-{Z5U} =U-Z=U ③ A J U ={A6U}-{A5U} =U-A=AC ④ B J B ={B6B}-{B5B} =B-B=Z ⑤ B J BC ={B6BC}-{B5BC} =U-Z=U 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.197
답 ③ ① U◇A ={U-A}6{A-U} =AC6Z=AC ② Z◇A ={Z-A}6{A-Z} =Z6A=A ③ A◇A={A-A}6{A-A}=Z ④ U◇Z ={U-Z}6{Z-U} =U6Z=U ⑤ A◇B ={A-B}6{B-A} ={B-A}6{A-B} =B◇A 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.198
답 A A▷B ={A6B}5{AC6B} ={A5AC}6B =Z6B=B " # " Y B ÃB 단계 1 단계 2 이므로 {A▷B}▷A=B▷A=A199
답 ⑤ n{A6B}의 값 구하기 n{AC5BC} =n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B}이므로 n{U}-n{A6B}=4, 40-n{A6B}=4 / n{A6B}=36 n{A5B}의 값 구하기 n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B} =35+15-36=14200
답 27 n{A5B} =n{A}-n{A-B} =20-12=8 / n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =20+15-8=27 다른 풀이 n{A6B} =n{A-B}+n{B} =12+15=27201
답 15 U=A6B6C에서 집합 C에만 속하는 원소의 집합은 U-{A6B}이므로 n{U-{A6B}} =n{U}-n{A6B} =45-{10+25-5}=15202
답 ④ n{A-B}=n{A}-n{A5B}이므로 8=15-n{A5B} / n{A5B}=7 / n{B-A} =n{B}-n{A5B} =10-7=3 {B-A}[X[B를 만족시키는 집합 X는 B-A의 원소 3개 를 반드시 원소로 갖는 집합 B의 부분집합이므로 집합 X의 개 수는 2!)_#=2&=128203
답 ⑤ 두 집합 A, C가 서로소이므로 A5C=Z, A5B5C=Z / n{A5C}=0, n{A5B5C}=0 n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B} =8+5-10=3, n{B5C} =n{B}+n{C}-n{B6C} =5+7-11=1 이므로 단계 1 단계 22
집합의 연산 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C} -n{A5B}-n{B5C}-n{C5A} +n{A5B5C} =8+5+7-3-1-0+0 =16
204
답 4 n{X5Y}의 최댓값 M 구하기 Y[X일 때 n{X5Y}가 최대이므로 M=n{Y}=10 n{X5Y}의 최솟값 m 구하기 X6Y=U일 때 n{X5Y}가 최소이므로 n{X5Y}=n{X}+n{Y}-n{X6Y}에서 m=16+10-20=6 M-m의 값 구하기 M-m=10-6=4205
답 ⑤ {A5B}[A, {A5B}[B이므로 n{A5B}<n{A}, n{A5B}<n{B} / 3<n{A5B}<7 n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}이므로 ! n{A5B}=3일 때 n{A6B}=7+11-3=15 @ n{A5B}=7일 때 n{A6B}=7+11-7=11 !, @에서 11<n{A6B}<15 따라서 a=11, b=15이므로 a+b=26206
답 14 n{B-A}=n{A6B}-n{A}이므로 n{A6B}가 최대일 때 n{B-A}가 최대이다.따라서 A6B=U일 때 n{A6B}가 최대이므로 n{B-A}의 최댓값은 40-26=14
207
답 ② 주어진 조건을 집합으로 나타내기 학생 전체의 집합을 U, 수학, 과학 과목을 인터넷 강의로 공부하 는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면n{U}=50, n{A}=37, n{B}=26, n{A5B}=20 n{A6B}의 값 구하기 n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =37+26-20=43 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2 구하려는 학생 수를 집합의 원소의 개수로 나타내기 두 과목 모두 인터넷 강의로 공부하지 않는 학생 수는 n{AC5BC} =n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B} =50-43=7
208
답 ② 학생 전체의 집합을 U, 야구와 축구를 좋아하는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면n{U}=50, n{A}=30, n{B}=27, n{AC5BC}=6 n{A6B} =n{U}-n{{A6B}C} =n{U}-n{AC5BC} =50-6=44 / n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B} =30+27-44=13 따라서 축구만 좋아하는 학생 수는 n{B-A} =n{B}-n{A5B} =27-13=14 다른 풀이 n{A6B}=44이므로 n{B-A} =n{A6B}-n{A} =44-30=14
209
답 1 학생 전체의 집합을 U, F를 사용하는 학생의 집합을 A, I를 사 용하는 학생의 집합을 B라 하면n{U}=40, n{A}=35, n{B}=20, n{AC5BC}=4 n{A6B} =n{U}-n{AC5BC} =40-4=36 I만 사용하는 학생 수는 n{B-A}이므로 n{B-A} =n{A6B}-n{A} =36-35=1
210
답 12 학생 전체의 집합을 U, 세 문제 A, B, C를 맞힌 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하면 n{U}=n{A6B6C}=30, n{A}=12, n{B}=18, n{C}=20, n{A5B5C}=4 세 문제 중 두 문제만 맞힌 학생 수는 n{A5B}+n{B5C}+n{C5A}-3\n{A5B5C}이고 n{A6B6C} =n{A}+n{B}+n{C}-n{A5B} -n{B5C}-n{C5A}+n{A5B5C} 에서 30=12+18+20-9n{A5B}+n{B5C}+n{C5A}0+4 / n{A5B}+n{B5C}+n{C5A}=24 따라서 구하는 학생 수는 24-3\4=12 단계 3! a=-1일 때 A=9-3, 3, 50, B=92, 30 집합 A가 자연수의 집합의 부분집합이 아니다. @ a=3일 때 A=91, 3, 50, B=92, 30 {A5BC}6{B5AC} ={A-B}6{B-A} =91, 506920 =91, 2, 50 !, @에서 구하는 원소의 최댓값은 5이다.
216
답 ② A-{A-BC}C =A-{A5B}C=A5{A5B} =A5B 에서 A5B=A이므로 A[B217
답 128 A6X=X에서 A[X / 1{X, 2{X {B-A}5X=95, 70에서 93, 5, 705X=95, 70 / 5{X, 7{X, 3:X 따라서 집합 X는 전체집합 U의 부분집합 중에서 1, 2, 5, 7을 반 드시 원소로 갖고, 3은 원소로 갖지 않는 집합이므로 집합 X의 개수는 2!@_$_!=2&=128218
답 ① 집합 A=91, 2, 3, 4, 6, 8, 9, y0, B=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90 이므로 집합 X=91, 2, 3, 4, 6, 8, 90이고 집합 X의 원소 중 에서 3의 배수는 3, 6, 9의 3개이다. 2, 4, 8을 반드시 원소로 갖는 집합 X의 부분집합의 개수는 2&_#=2$=16 2, 4, 8을 반드시 원소로 갖고, 3의 배수는 1개도 원소로 갖지 않 는 집합 X의 부분집합의 개수는 2&_#_#=2 따라서 집합 X의 부분집합 중에서 2, 4, 8을 모두 원소로 갖고, 3의 배수를 적어도 1개 원소로 갖는 집합의 개수는 16-2=14219
답 29 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 B=93, 4, 5, 7, 100이므로 모든 원소의 합은 3+4+5+7+10=29220
답 ④ AC5XC={A6X}C=9 f 0에서 A6X=9a, b, c, d, e0 A-X=9a, b0이므로 X=9c, d, e0 6 " #211
답 ⑤ A5{B6C} ={A5B}6{A5C} =92, 3, 6, 7, 90 이므로 모든 원소의 합은 2+3+6+7+9=27212
답 ④ A5B=Z이므로 집합 B는 집합 U의 부분집합 중 원소 2, 3, 5, 6을 모두 포함하지 않는 집합이다. 집합 B의 개수는 집합 91, 4, 7, 8, 9, 100의 부분집합의 개수 와 같다. 따라서 부분집합 B의 개수는 2^=64213
답 ③ ㄱ. U ={A6BC}6{A5B}C =92, 4, 5, 8, 120691, 3, 5, 90 =91, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 120 (참) ㄴ. A5B ={A6BC}-{A5B}C =92, 4, 5, 8, 120-91, 3, 5, 90 =92, 4, 8, 120 (거짓) ㄷ. AC5B ={A6BC}C =U-92, 4, 5, 8, 120 =91, 3, 90 즉, AC5B의 원소의 개수는 3이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.214
답 ⑤ ! 집합 B=Z인 경우 mx+1=x에서 m=1 @ 집합 B=9-10인 경우 -m+1=-1에서 m=2 # 집합 B=920인 경우 2m+1=2에서 m=1 2 !, @, #에서 모든 실수 m의 값의 합은 1+2+12 =72215
답 5 A5B=930이므로 a@-2a=3 a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0 / a=-1 또는 a=3기출
문제 정복하기
실전! 본책 32쪽~35쪽2
집합의 연산
221
답 ② ② {A6C}5{AC6BC} ={A6C}5{A5B}C ={A6C}-{A5B} 따라서 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분과 같다. ① ③ ④ ⑤222
답 ② ㄱ. 3 이하의 소수는 2, 3이므로 A3=92, 30 4의 양의 약수는 1, 2, 4이므로 B4=91, 2, 40 / A35B4=920 (참)ㄴ. a{An이면 a<n이고 a는 소수이다. a<n<n+1이므로 a{An'1 / An[An'1 (참) ㄷ. m=4, n=8이면 B4=91, 2, 40, B8=91, 2, 4, 80이므로 B4[B8 그런데 4는 8의 배수가 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
223
답 -1 4<k<6 x@-x-6<0에서 {x-3}{x+2}<0 / -2<x<3 따라서 집합 A=9x|-2<x<30이고 A5B=B에서 B[A 이므로 x@-x-k=0의 두 근이 모두 -2와 3 사이에 존재한다. f{x}=x@-x-k라 하면 ! 이차방정식 f{x}=0의 판별식을 D라 할 때 B=Z이므로 D=1+4k>0 / k>-14 @ f{-2}=4+2-k>0, f{3}=9-3-k>0이므로 k<6 # 이차함수 y=f{x}의 그래프의 축의 방정식이 x=12 이므로 -2<12<3 !, @, #에서 -14<k<6224
답 ④ A-B=A이므로 A5B=Z n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B} =15+7-0=22 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 " # $ 6 / n{AC5BC} =n{{A6B}C} =n{U}-n{A6B} =35-22=13225
답 ③ AsB={A-B}6{B-A}={A6B}-{A5B}이므로 n{AsB} =n{A6B}-n{A5B} =24-6=18 AsB=C라 하면 n{C6A}=24, n{C5A}=13-6=7이므로 n{{AsB}sA} =n{CsA}=n{C6A}-n{C5A} =24-7=17
226
답 15 병원을 찾은 환자 전체의 집합을 U, 고열 증세가 있는 환자의 집합을 A, 기침을 하 는 환자의 집합을 B, 목통증이 있는 환자 의 집합을 C라 하면 일차 분류된 환자는 오른쪽 그림의 색칠한 부분을 나타내는 집 합과 같다. n{U}=n{A6B6C}=90, n{A}=45, n{B}=37, n{C}=29, n{B5C}=6 n{B6C} =n{B}+n{C}-n{B5C} =37+29-6=60 A에만 속하는 원소의 개수는 n{A6B6C}-n{B6C}=90-60=30 따라서 일차 분류된 환자 수는 n{A}-30=45-30=15227
답 ③ 200명의 학생 전체의 집합을 U, 중국어를 좋아하는 학생의 집합 을 A, 일본어를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면n{U}=200, n{A-B}=64, n{B-A}=36, n{AC5BC}=n{{A6B}C}=72 / n{A6B} =n{U}-n{{A6B}C} =200-72=128 이때 중국어와 일본어를 모두 좋아하는 학생 수는 n{A5B}이 므로 n{A5B} =n{A6B}-n{A-B}-n{B-A} =128-64-36=28 따라서 중국어를 좋아하는 학생 수는 n{A} =n{A-B}+n{A5B} =64+28=92 " # $
228
답 ④ 160명의 학생 전체의 집합을 U, 흰 우유를 좋아하는 학생의 집 합을 A, 초코 우유를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면 n{U}=160, n{A}=94, n{B}=116 흰 우유와 초코 우유를 모두 좋아하는 학생 수는 n{A5B}이 므로 n{A5B} >n{A}+n{B}-n{U} =94+116-160=50또 A[B, 즉 A5B=A이면 n{A5B}가 최댓값 94를 가지 므로 50<n{A5B}<94 따라서 M=94, m=50이므로 M-m=44
229
답 47 9{A5B}6{A-B}05B를 간단히 하기 9{A5B}6{A-B}05B =9{A5B}6{A5BC}05B =9A5{B6BC}05B ={A5U}5B =A5B …… 40 % 집합 A 구하기 집합 B=91, 3, 5, 7, 9, 100, A5B=93, 5, 9, 100, A6B=U이므로 A=92, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 100 …… 40 % 집합 A의 모든 원소의 합 구하기 집합 A의 모든 원소의 합은 2+3+4+5+6+8+9+10=47 …… 20 %230
답 b+c-a B185{B126B9}를 간단히 하기 B185{B126B9} ={B185B12}6{B185B9} =B66B9 …… 50 % n{B185{B126B9}}를 a, b, c로 나타내기 n{B185{B126B9}} =n{B66B9} =n{B6}+n{B9}-n{B65B9} =n{B6}+n{B9}-n{B3} =b+c-a …… 50 % 단계 1 단계 2 단계 3 단계 1 단계 2231
답 \232
답 d233
답 d234
답 \235
답 930236
답 92, 3, 40237
답 92, 30 x@-5x+6=0, {x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3 따라서 구하는 진리집합은 92, 30이다.238
답 j2는 무리수가 아니다.239
답 0<x<2240
답 x는 3의 배수가 아니거나 5의 배수가 아니다.241
답 부정 : x는 4의 약수가 아니다., 진리집합 : 93, 50242
답 부정 : x@-8x+15=0, 진리집합 : 92, 40243
답 부정 : 2<x<5, 진리집합 : 92, 3, 4, 50244
답 가정 : x가 홀수이다., 결론 : x@은 홀수이다.245
답 가정 : x<3이다., 결론 : 2x+1>9이다.246
답 가정 : x가 2의 배수이다., 결론 : x는 4의 배수이다.247
답 참248
답 거짓 [반례] x=-1이면 x@=1이지만 x=1이다.249
답 거짓 [반례] x=2이면 x는 소수이지만 홀수가 아니다.250
답 거짓 [반례] x=1이면 x>1이 아니다.명제
본책 36쪽~40쪽3
명제
251
답 참252
답 어떤 실수 x에 대하여 x@<0이다.253
답 모든 실수 x에 대하여 x>2이다. 참고254
답 역 : p`2!`q 대우 : ~p`2!`~q255
답 역 : ~q`2!`p 대우 : q`2!`~p256
답 역 : x@=y@이면 x=y이다. 대우 : x@=y@이면 x=y이다.257
답 역 : x=0이고 y=0이면 xy=0이다. 대우 : x=0 또는 y=0이면 xy=0이다.258
답 풀이 참조 역 : x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다. (참) 대우 : x가 6의 약수가 아니면 x는 12의 약수가 아니다. (거짓) [반례] 12는 6의 약수가 아니지만 12의 약수이다.259
답 풀이 참조 역 : x=1이면 x@=1이다. (참) 대우 : x=1이면 x@=1이다. (거짓) [반례] x=-1이면 x=1이지만 x@=1이다.260
답 풀이 참조 역 : x가 홀수이면 x는 소수이다. (거짓) [반례] 9는 홀수이지만 소수가 아니다. 대우 : x가 짝수이면 x는 소수가 아니다. (거짓) [반례] 2는 짝수이지만 소수이다.261
답 역 : x 또는 y가 짝수이면 xy는 짝수이다. (참) 대우 : x, y가 모두 홀수이면 xy는 홀수이다. (참)262
답 충분조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=980, Q=9-8, 80 따라서 P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. p 또는 = > < ~p 그리고 = < > 부정 @11!263
답 충분조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=900, Q=90, 10 따라서 P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.264
답 필요조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=94, 8, 12, 16, y0, Q=98, 16, 24, 32, y0 따라서 Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.265
답 필요조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|x>20, Q=9x|2<x<50 따라서 Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.266
답 필요조건 p`2!`q : x+y>2이면 x>1이고 y>1이다. (거짓) [반례] x=-1, y=3이면 x+y>2이지만 x>1이 아니다. q`2!`p : x>1이고 y>1이면 x+y>2이다. (참) 따라서 q`jjk`p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.267
답 필요충분조건 2x+1>5에서 x>2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|x>20, Q=9x|x>20 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.268
답 필요충분조건 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9-4, 40, Q=9-4, 40 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.269
답 필요충분조건 x@-x-6<0에서 {x+2}{x-3}<0 / -2<x<3 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|-2<x<30, Q=9x|-2<x<30 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.270
답 필요충분조건 |x|<2에서 -2<x<2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|-2<x<20, Q=9x|-2<x<20 따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.271
답 필요충분조건p`2!`q :|x|+|y|=0이면 x=0, y=0이므로 x@+y@=0이다. (참)
q`2!`p : x@+y@=0이면 x=0, y=0이므로 |x|+|y|=0이다. (참) 따라서 p`hjk`q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
272
답 풀이 참조 주어진 명제의 대우는 ‘ x@+y@=0이면 x=0이고 y=0이다.’이다. 따라서 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다.273
답 유리수, 3, 3, 3, 3 j3이 유리수라 가정하면 j3=m ( n m, n은 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다. 양변을 제곱하여 정리하면 n@= 3 m@ y㉠ 이때 n@이 3 의 배수이므로 n도 3의 배수이다. n=3k ( k는 자연수)라 하고 ㉠에 대입하여 정리하면 m@= 3 k@ 이때 m@이 3 의 배수이므로 m도 3의 배수이다. 즉, m, n이 모두 3의 배수이므로 m, n이 서로소라는 가정에 모 순이다. 따라서 j3 k은 유리수가 아니다.274
답 최솟값 : 2, x=1 x>0, 1 x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+1 x>2qx\ 1x e=2 이때 등호는 x=1 x일 때 성립하므로 x@=1 / x=1`{? x>0} 따라서 x+x 은 1 x=1일 때 최솟값 2를 갖는다.275
답 최솟값 : 8, x=2 2x>0, x >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여8 2x+8 x>2q2x\ 8x e=2j16k=8 이때 등호는 2x=8 x일 때 성립하므로 2x@=8 / x=2`{? x>0} 따라서 2x+x 은 8 x=2일 때 최솟값 8을 갖는다.276
답 a-b 2 , a-b 2 , a=b=0 a@-ab+b@=[ a-2B ]@+34b@ 이때 a, b가 실수이므로 [ a-2B ]@>0, 3 4b@>0 따라서 a@-ab+b@>0이므로 a@+b@>ab 이때 등호는 a-b2=0, b=0, 즉 a=b=0 일 때 성립한다.277
답 ㄴ, ㄷ 참, 거짓을 판별할 수 있는지 확인하기 ㄱ. x=1이면 참이지만 x=1이면 거짓이다. 즉, x의 값에 따라 참과 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ㄴ. 3<4이므로 거짓인 명제이다. ㄷ. 등식의 성질에 의하여 참인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ㄴ, ㄷ이다.278
답 ④ ①, ③ x의 값에 따라 참과 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ②, ⑤는 명제가 아니다. ④ 모든 정사각형은 직사각형이므로 참인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ④이다.279
답 ⑤ ㄱ. Z[900은 참이므로 참인 명제이다. ㄴ. 정삼각형은 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다. 즉, 참인 명제이다. ㄷ. 2는 소수이므로 참인 명제이다. 따라서 명제인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.280
답 x는 홀수이고 y는 무리수 두 조건 p, q의 부정 구하기 두 조건 p와 q의 부정은 ~p : x는 홀수, ~q : y는 무리수 ‘ p 또는 q’의 부정 구하기 ‘ p 또는 q’의 부정은 ‘ ~p 그리고 ~q’이므로 ‘ x는 홀수이고 y는 무리수’이다.281
답 ⑤ 조건 ‘ 2<x<3’은 조건 2<x이고 x<3’이므로 이 조건의 부정은 ‘ x<2 또는 x>3’이다.282
답 ⑤ 각 명제의 부정과 그 참, 거짓은 다음과 같다. ① 1은 합성수이다. (거짓) ② 8<6 (거짓) ③ 3은 15의 약수가 아니다. (거짓) ④ j9 k=3은 유리수가 아니다. (거짓) ⑤ 27은 4의 배수가 아니다. (참) 따라서 명제의 부정이 참인 것은 ⑤이다. 참고 명제가 거짓이면 그 부정은 참이다. 단계 1 조건 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제이다. 단계 1 단계 2유형
연습하기
도전! 본책 41쪽~51쪽3
명제
283
답 ① 조건 p의 부등식 풀기 |x-3|<4에서 -4<x-3<4, -1<x<7 조건 p의 진리집합 구하기 자연수 전체의 집합에서 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P=91, 2, 3, 4, 5, 6, 70 따라서 원소의 개수는 7이다.284
답 ④ x@-10x+16<0에서 {x-2}{x-8}<0 / 2<x<8 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P=93, 4, 5, 6, 70 따라서 조건 ~p의 진리집합은 PC=91, 2, 8, 9, 100 이므로 모든 원소의 합은 1+2+8+9+10=30285
답 92, 4, 10, 200 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q는 P=91, 2, 4, 5, 10, 200 Q=92, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 200 따라서 조건 ‘ p이고 q’의 진리집합은 P5Q이므로 P5Q=92, 4, 10, 200286
답 ④ 조건의 진리집합을 구한 후 포함 관계 파악하기 ㄱ. p : x@=1에서 x=-1 또는 x=1 q : x#=1에서 x=1 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9-1, 10, Q=910 / P;Q (거짓) ㄴ. 마름모는 평행사변형이므로 참이다. ㄷ. p : x=-2 q : x@+2x=0에서 x{x+2}=0 / x=-2 또는 x=0 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9-20, Q=9-2, 00 / P[Q (참) ㄹ. n이 홀수이면 n@은 홀수이므로 참이다. 따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.287
답 ③ ㄱ. 2x+4>2에서 x>-1이므로 x>0이면 x>-1이다. (참) ㄴ. x<1, y<1이면 x+y<2이다. (참) 단계 1 단계 2 단계 1 진리집합을 구하여 포함 관계를 파악한 후 명제의 참, 거짓을 판단한다.ㄷ. [반례] x=-1, y=0이면 x@+y@=0이지만 y=0이다. 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.
288
답 ⑤① [반례] x=1, y=-1이면 x@=y@=1이지만 x=y이다. ② [반례] x=-2이면 x@>1이지만 x<1이다.
③ [반례] x=0이면 j3x는 유리수이다.
④ [반례] a=1, b=2이면 ab는 짝수이지만 a는 홀수, b는 짝수 이다. ⑤ p : x는 4의 약수, q : x는 8의 약수 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=91, 2, 40, Q=91, 2, 4, 80 / P[Q (참) 따라서 참인 명제는 ⑤이다.
289
답 ① 명제 q`2!`~p가 거짓임을 보이는 원소 알기 명제 q`2!`~p가 거짓임을 보이려면 집합 Q의 원소이지만 집합 PC의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다. 반례가 속하는 집합 나타내기 반례가 속하는 집합은 Q-PC=Q5P290
답 ③ 명제 ~p`2!`q가 거짓임을 보이려면 집합 PC의 원소이지만 집 합 Q의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다. 따라서 반례가 속하는 집합은 PC5QC={P6Q}C이므로 구하 는 원소는 f , g , h의 3개이다.291
답 ① 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=92, 3, 5, 70, Q=91, 3, 5, 7, 90 명제 p`2!`q가 거짓임을 보여주는 모든 원소는 P-Q=P5QC 의 원소이므로 2의 1개 / m=1 명제 q`2!`p가 거짓임을 보여주는 모든 원소는 Q-P=Q5PC 의 원소이므로 1, 9의 2개 / n=2 / m+n=3292
답 ⑤ 진리집합의 포함 관계 파악하기 명제 p`2!`~q가 참이면 P[QC이다. 진리집합의 포함 관계를 이용하여 참, 거짓 판별하기 ㄱ. P5Q=Z (참) ㄴ. P5QC=P (거짓) ㄷ. PC5Q=Q (참) 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 단계 1 단계 2 단계 1 단계 2 6 1 2293
답 ② Q5PC=Z이면 Q[P이므로 명제 q`2!`p가 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄴ이다.294
답 ㄱ, ㅂ, ㅅ, ㅇ P6Q=Q이면 P[Q Q5R=Z이면 두 집합 Q와 R는 서로소이다. 세 집합 P, Q, R의 포함 관계를 벤다이 어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㅂ, ㅅ, ㅇ이 다. 참고 Q5R=Z이므로 Q[RC 따라서 명제 q`2!`~r가 참이다.295
답 ⑤ p`jjk`q이면 P[Q임을 이용하기 주어진 명제가 참이 되려면 9x|1<x<30[9x|a-4<x<a+30 이어야 한다. a의 값의 범위 구하기 오른쪽 그림에서 a-4<1, 3<a+3 / 0<a<5 정수 a의 개수 구하기 정수 a는 0, 1, 2, 3, 4의 5개이다.296
답 ④ 주어진 명제가 참이 되려면 9x|-2<x<60[9x|x<a0 이어야 하므로 오른쪽 그림에서 a>6 따라서 자연수 a의 최솟값은 6이다.297
답 ④ |x-a|<2에서 -2<x-a<2 / a-2<x<a+2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P=9x|a-2<x<a+20 Q=9x|-1<x<90 명제 p`2!`q가 참이 되려면 P[Q 이어야 하므로 오른쪽 그림에서 a-2>-1, a+2<9 / 1<a<7 따라서 정수 a의 개수는 7이다. 21 6 6 3 2 1 단계 1 단계 2 Y B B 단계 3 Y B Y 1 2 B B ① ② a<k a<k ③ ④ a<k a<k # Y B L " # Y B L " # Y B L " # Y B L " A[B가 되도록 하는 a의 값의 범위 날선 특강298
답 3 전체집합 U를 원소나열법으로 나타내기 U=9-2, -1, 0, 1, 20 각 명제의 참, 거짓 판별하기 ㄱ. [반례] x=0이면 x@=0이다. ㄴ. x=-2이면 x<-2이다. (참) ㄷ. x@-x-6=0, {x-3}{x+2}=0에서 x=-2일 때 성립 한다. (참) ㄹ. x@-4>0에서 {x+2}{x-2}>0 / x<-2 또는 x>2 즉, 전체집합 U의 원소 중에서 x@-4>0을 만족시키는 x가 존재하지 않는다. (거짓) ㅁ. 모든 x에 대하여 -x{U이다. (참) 따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다.299
답 ④ ㄱ. P=U이면 ‘모든 x에 대하여 p이다.’는 참이다. (참) ㄴ. P=U이면 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다. (거짓) ㄷ. P=Z이면 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.300
답 ③ ㄱ. 소수 2는 짝수이다. (참) ㄴ. 모든 실수 x에 대하여 x@>0이다. (참) ㄷ. x@<x에서 x@-x<0, x{x-1}<0 / 0<x<1 즉, x@<x를 만족시키는 자연수 x는 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다. 참고 ‘어떤’이 있는 명제는 진리집합이 공집합이 아니면 참이고, ‘모든’이 있는 명제는 진리집합이 전체집합이어야 참이다.301
답 ③ 각각의 명제의 역 구하기 ① x@-x=0이면 x=0이다. ② 2x>12-x이면 x>6이다. ③ xy=0이면 x=0 또는 y=0이다. ④ xy=0이면 |x|+|y|=0이다. ⑤ x<0이고 y<0이면 xy<0이다. 단계 1 단계 2 단계 13
명제 역의 참, 거짓 판별하기 ① [반례] x=1이면 x@-x=0이지만 x=0이다. ② [반례] x=5이면 2x>12-x이지만 x<6이다.
④ [반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 |x|+|y|=0이다. ⑤ [반례] x=-1, y=-1이면 xy=1>0이다. 따라서 ①, ②, ④, ⑤의 역은 거짓이고 ③의 역은 참이다.
302
답 ② 명제 ~p`2!`q의 역은 q`2!`~p 따라서 명제 q`2!`~p가 참이므로 그 대우인 p`2!`~q도 항상 참이다.303
답 ③ 명제와 대우의 참, 거짓은 일치하므로 명제가 거짓이면 대우도 거 짓이다. ① x=2이면 x@=4이다. (참) ② x가 3의 배수이면 x@은 3의 배수이다. (참)③ [반례] x=-1, y=-2이면 x>y이지만 x@<y@이다. ④ x>1이면 x@>1이다. (참) ⑤ x, y가 짝수이면 xy는 짝수이다. (참) 따라서 명제의 대우가 거짓인 것은 ③이다.
304
답 ① ㄱ. 역 : a=0이고 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참) 대우 : a=0 또는 b=0이면 |a|+|b|=0이다. (참) ㄴ. 대우 : ab=6이면 a=2이고 b=3이다. (거짓)[반례] a=1, b=6이면 ab=6이지만 a=2이고 b=3이다. ㄷ. 역 : ab가 정수이면 a+b는 정수이다. (거짓)
[반례] a=2, b=12 이면 ab=1로 정수이지만 a+b=5 2 이 므로 정수가 아니다. 따라서 역과 대우가 모두 참인 것은 ㄱ이다.
305
답 ② 명제의 대우 구하기 명제 ‘ x@-kx+6<0이면 x=4이다.’가 참이므로 그 대우인 ‘ x=4이면 x@-kx+6>0이다.’도 참이다. 대우가 참이 되도록 하는 조건 구하기 x=4를 x@-kx+6>0에 대입하면 16-4k+6>0에서 -4k>-22 / k<112 정수 k의 최댓값 구하기 정수 k의 최댓값은 5이다.306
답 ③ 두 조건 p : |x-1|>2, q : |x-k|>3에 대하여 명제 q`2!`p가 참이 되려면 그 대우 ~p`2!`~q가 참이 되어야 한다. 단계 2 단계 1 단계 2 단계 3 ~p : |x-1|<2에서 -2<x-1<2이므로 -1<x<3 ~q : |x-k|<3에서 -3<x-k<3이므로 k-3<x<k+3 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 PC=9x|-1<x<30, QC=9x|k-3<x<k+30 명제 ~p`2!`~q가 참이 되 려면 PC[QC이어야 하므로 오른쪽 그림에서 k-3<-1, k+3>3 / 0<k<2 따라서 정수 k는 0, 1, 2의 3개이다.307
답 ① 주어진 명제가 참이므로 그 대우 ‘ a>k이고 b>2k+3이면 a+b>15이다.’도 참이다. a>k, b>2k+3에서 a+b>k+{2k+3}이므로 k+{2k+3}>15 / k>4 따라서 k의 최솟값은 4이다.308
답 ⑤ 명제가 참이면 대우도 참임을 이용하여 참인 명제 찾기 두 명제 p`2!`~q, r`2!`q가 모두 참이므로 각 명제의 대우인 q`2!`~p와 ~q`2!`~r도 모두 참이다. 삼단논법을 이용하여 참인 명제 찾기 두 명제 p`2!`~q, ~q`2!`~r가 모두 참이므로 삼단논법에 의 하여 p`2!`~r가 참이고, 그 대우인 r`2!`~p도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.309
답 ② 두 명제 r`2!`~p, q`2!`r가 모두 참이므로 각 명제의 대우인 p`2!`~r, ~r`2!`~q도 모두 참이다. 또한 삼단논법에 의하여 명제 p`2!`~q도 참이고 그 대우인 q`2!`~p도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ②이다.310
답 ㄱ, ㄴ 세 명제 p`2!`~q, q`2!`r, r`2!`s가 모두 참이므로 각 명제의 대우인 q`2!`~p, ~r`2!`~q, ~s`2!`~r도 모두 참이다. 또한 두 명제 q`2!`r, r`2!`s가 모두 참이므로 삼단논법에 의하 여 q`2!`s도 참이고 그 대우인 ~s`2!`~q도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.311
답 ③ 두 조건 p, q 사이의 관계 구하기 ㄱ. x@+y@=0에서 x=0이고 y=0 xy=0에서 x=0 또는 y=0 / p`jjk`q, q`j/jk`p 즉, p는 q이기 위한 충분조건이다. Y L L 2a 1a 단계 1 단계 2 단계 1 p`jjk`q이고 q`j/jk`p이면 p는 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.ㄴ. x@=y@에서 x=y 또는 x=-y / p`jjk`q, q`j/jk`p
즉, p는 q이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. xy=|xy|에서 xy>0이므로 ‘ x>0이고 y>0 ’ 또는 ‘ x<0이고 y<0 ’이다. / p`j/jk`q, q`jjk`p 즉, p는 q이기 위한 필요조건이다. 따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ㄷ 이다.
312
답 필요, 필요, 필요충분 ㈎ 2의 양의 배수는 4의 양의 배수이다. (거짓) [반례] 6은 2의 양의 배수이지만 4의 양의 배수는 아니다. 4의 양의 배수는 2의 양의 배수이다. (참) 따라서 2의 양의 배수는 4의 양의 배수이기 위한 필요 조건 이다. ㈏ xy<0이면 x<0이고 y>0이다. (거짓)[반례] x=1, y=-1이면 xy<0이지만 x>0이고 y<0이다. x<0이고 y>0이면 xy<0이다. (참) 따라서 xy<0은 x<0이고 y>0이기 위한 필요 조건이다. ㈐ x=1 또는 x=-1이면 x@=1이다. (참) x@=1이면 x=1 또는 x=-1이다. (참) 따라서 x=1 또는 x=-1은 x@=1이기 위한 필요충분 조건 이다.