생각열기
무엇이 집합인가
“
?”
집합의 정의는 공리적 정의를 하지 않고 중, ∙고등학교 때 배운 집합의 개념을 받아들여서 내용을 진행하려 합니다 즉 다음 칸토어의 직관적 정의를 가지고 내용 전개를 하였습니다. , . 우리의 직관 또는 사고의 대상으로서 서로 뚜렷이 구분되는 원소의 모임을 집합이라 한다 “ .”제 장 집합
1
1 - 1
집합과 부분집합(Set and Subset)
칸토어의 직관적 정의를 가지고 집합의 생각하면 다음과 같은 경우를 모두 집합이라 생각할 수 있습니다.
예
시
1
다음과 같은 경우 집합이다. 대기업 의 자동차의 모임 (1) ○○ 대학교의 학생의 모임 (2) S집합의 포함과 확장 공리
0
1
두 집합 에 대하여 다음과 같이 정의한다. 다음과 같은 경우 집합 (1) 가 집합 에 포함(inclusion)된다고 한다. ∀ ∈, ∈ ⇔ ⊆ 다음과 같은 경우 집합 (2) 가 같다고 한다. 확장공리( ) ∀ ∈, ∈ ∧ ∀ ∈, ∈ ⇔ 앞과 같이 정의하는 것이 합당한지 여러분과 같이 생각해보겠습니다. 집합 가 집합 에 포함된다는 것은 집합 의 모든 원소가 모두 집합 의 원소라는 뜻이기 때문에 ∀ ∈, ∈ ⇔ ⊆ 로 정의를 내리는 것이 가장 합당하다 생각할수 있습니다. ⊆, ⊆를 동시에 성립하면 라는 사실을 직관적으로 알 수 있고 포함이라는 정의를 활용하면 다음과 같이 정의하는 것이 합당하다 생각할 수 있습니다. ∀ ∈, ∈ ∧ ∀ ∈, ∈ ⇔ 이 때, ⊆인 경우, ‘ 집합 를 집합 의 부분집합이다라 합니다. 특히, ⊆∧인 경우 ‘집합 를 집합 의 진부분집합이다라 하고 ⊂로 표기합니다.
정리 1.1.1
(
포함관계
)
임의의 집합 에 대하여 다음이 성립한다. ⊆⊆ ⇒ ⊆ 가정에 의하여 ∀ ∈ ⇒ ∈, ∀ ∈ ⇒ ∈ 이므로 다음이 성립한다. ∀ ∈ ⇒ ∈ 그러므로 ⊆이다.분류공리
0
2
주어진 집합 , 의 원소 에 대한 명제 에 대하여 의 원소로서 가 참인 것으로만 이루어진 집합 ∈ 이 존재하는 것으로 인정한다. 위와 같이 ∈ 표시방법을 중∙고등학교때 배운 ‘조건제시법’이라 합니다. 조건제시법을 통해서 수의 집합를 다음과 같이 일반적으로 표기합니다.정의 1.1.2
수(Numbers)의 집합(set) 수의 집합을 다음과 같이 표기한다. ℝ 는 실수 ℚ 는 유리수 ℤ 는 정수 ℕ 는 자연수 ℝ 1 다음 집합의 실수 ℝ에 대해 다음이 사실이다. (1) ∈ ℝ ∅ (2)
∈ ℝ
(3)
∈ ℝ
∅ (4)
∈ ℚ
∅ (5)
∈ ℂ
정의 1.1.3
공집합 ∅ 어떠한 원소도 포함하지 않는 집합을 공집합이라 하고 ∅로 표기한다. 그러면 중학교때 공집합은 모든 집합의 부분집합이라는 것을 배운 적이 있을 겁니다. 다음 정리를 통해서 증명해 보겠습니다.정리 1.1.4
(
공집합의 성질
)
공집합 ∅는 임의의 집합의 부분집합이다. 가정의 모순은 항상 참인 명제이고 공집합의 원소는 존재하지 않으므로, ∀ ∈ ∅는 거짓이다 그러므로. ∈는 참이다.정의 1.1.5
멱집합 (Power Set ) 주어진 집합에 대하여 다음과 같이 정의한다. 의 모든 부분집합을 집합을 원소로 갖는 집합 을 집합의 멱집합이라고 한다. 다음 예제를 통해서 멱집합에 대해서 생각해 보자.예
시
2
다음과 같이 성립한다 (1) ∅ (2) ∅ 1 집합 라 할 때 다음 명제에 대하여 참 거짓을 판별하시오, , . (1) ∈ (3)∈ (5)∅ ⊆ (7)∅∈ (2)⊆ (4) ⊆ (6)∅⊆ 집합 이므로 멱집합 ∅이다. 거짓 (1) 거짓 (2) 참 (3) 참 (4) 참 (5) 참 (6) 참 (7)정리 1.1.6
(
멱집합의 원소의 개수
)
집합 가 개의 원소를 갖고 있으면 는 정확히 개의 원소를 갖는다. 집합 가 개의 원소를 갖고 있다 가정하자. 원소가 개인 부분집합의 개수는 개의 원소중 개를 선택하는
의 개수와 같다. 그러므로 모든 부분집합의 개수는 다음과 같다.
⋯
2 집합 가 10개의 원소를 갖는다 가정할 때 다음을 구하시오, . (1) 의 원소의 개수 원소의 개수가 개인 부분집합의 개수 (2) 3 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수 (3) 정리 에 의하여 (1) 8 의 원소의 개수는 이다. 원소의 개수가 개인 부분집합의 개수는 개의 원소 중 개의 원소를 선택하는 (2) 3 10 3 경우의 수와 같기 때문에
이다. (3)
의 사실을 이용하면 ×
임을 만족하므로 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수는 이다.1 - 2
집합의 연산(Operation of Sets)
두 숫자의 연산에 사칙연산이 있는 것처럼 집합 상에서도 연산이 존재합니다. 대표적인 연산으로 합집합 교집합 차집합을 들 수 있습니다, , .정의 1.2.1
합집합(Union), 교집합(Intersection) 두 집합 에 대하여 다음과 같이 정의한다. 합집합 (1) ∪ ∀ ∈∪ ⇔ ∈∨ ∈ 교집합 (2) ∩ ∀ ∈∩ ⇔ ∈∧ ∈ 특히, ∩ ∅인 경우 는 서로소(disjoint)라 한다.예
시
1
집합 , 에 대하여 다음이 성립한다. (1)∪ (2)∩ 1 다음 집합을 구하시오 단.( , ∈ ℝ ≤ ≤ ) (1)∩ℤ (2)∩ℕ (3)ℤ∪ℚ (4)ℤ∩ℚ 임의의 집합 (5) 에 대하여 ∩, ∪ (1) ∩ℤ (2) ∩ℕ (3) ℤ∪ℚ ℚ (4) ℤ∩ℚ ℤ (5) ∩, ∪집합위에서의 연산들 또한 대수적 구조를 이룰 수 있습니다 집합이 무슨 대수적 구조인가 싶을 것입니다 다음과 같은. 법칙들이 성립함을 보면서 이해하시면 좋을 것 같습니다.
정리 1.2.2
(
집합의 연산의 성질
)
집합 , 집합의 부분집합 에 대하여 다음이 성립한다. 단위원 (1) (Unities) ∪∅ , ∩ 멱등법칙 (2) (Idempotency laws) ∪, ∩ 교환법칙 (3) (Commutative laws) ∪∪, ∩∩ 결합법칙 (4) (Associative laws) ∪∪ ∪∪, ∩∩ ∩∩ 분배법칙 (5) (Distirbutive laws) ∪∩ ∪∩∪, ∩∪ ∩∪∩ 첨가법칙 (6) (Adjunctive laws) ∪∩, ∩∪ 생략 (1) (2) ∈∪ ⇔ ∈∨ ∈ ⇔ ∈ ∴∪ ∈∩ ⇔ ∈∧ ∈ ⇔ ∈ ∴∩ (3) ∈∪ ⇔ ∈∨ ∈ ⇔ ∈∨ ∈ ∴∪∪ ∈∩⇔ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈ ∴∩∩ (4) ∈∪∪ ⇔ ∈∨ ∈∪ ⇔ ∈∨ ∈∨ ∈ ⇔ ∈∪∨ ∈ ⇔ ∈ ∪∪ ∴∪∪ ∪∪ ∈∩∩ ⇔ ∈∧ ∈∩ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∩∧ ∈ ⇔ ∈ ∩∩ ∴∩∩ ∩∩ 연습문제 (5) 연습문제 (6)정의 1.2.3
차집합(Difference Set) 두 집합 에 대하여 다음과 같이 차집합을 정의한다. ∈ ∉ 2 집합 , 에 대하여 다음을 구하시오. (1) (2) ∩ (1) (2)∩ 이므로 ∩ 정의 1.2.4
여집합(Complements set) 집합 , 집합의 부분집합에 대하여 다음과 같이 여집합 을 정의한다. 3 집합 , 집합의 부분집합,에 대하여 다음이 성립함을 보이시오. ∩ ∈∩⇔ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∉ ⇔ ∈∩∧ ∉ ⇔ ∈ 그러므로 ∩이다.정리 1.2.5
(
여집합의 성질
)
전체집합 와 그 부분집합 ,에 대하여 다음이 성립한다. (1)
(2)∅, ∅ (3)∩ ∅, ∪ (4)⊆ ⇔⊆ (1)
∵ ∈ ⇔ ∈∧ ∉⇔ ∈ (2)∅ ∅ , ∅ (3)∩∩ ∅, ∪∪ (4)⊆ ⇔ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ∉⇒ ∉ ∵대우 ⇔ ∈ ⇒ ∈ ⇔
∈⇒ ∈
⇔⊆4
전체집합 와 그 부분집합,에 대하여 다음이 성립함을 보이시오. ∈⇔ ∈∧ ∉ ⇔ ∈ ∧ ∉ ⇔ ∈ ∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∉ ⇔ ∈∧ ∉ 그러므로 이다.정리 1.2.6
(
드모르간의 법칙
)
집합 ,에 대하여 다음이 성립한다. (1)∪∩ (2)∩∪ (1) ∈ ∪ ⇔ ∉∪ ⇔ ∉∧ ∉ ⇔ ∈∧ ∈ 그러므로 ∪∩이다. (2) ∈ ∩ ⇔ ∉ ∩ ⇔ ∉∨ ∉ ⇔ ∈∨ ∈ 그러므로 ∩∪이다. 5 전체집합 와 그 부분집합,에 대하여 다음이 성립함을 보이시오. ∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩∩∩ ∩∩
∪
(∵)드모르간의 법칙
∩∩
∪
∩∩
∅∪
∩∩
∩∩ ∩
∩
∩1 - 3
벤 다이어그램(Venn Diagrams)
벤 다이어그램(Venn Diagrams)는 집합들의 관계를 이해하기에 용이하게 하기 위해 고안된 그림 표기방법입니다 벤 다이어그램을 통해서 도움을 받을 수는 있지만 증명이 되는 것은. 아니니 유념하셔야 합니다. 집합이 개일 때 벤 다이어그램은 다음과 같이, 개의 영역으로 나누어진다. 영역 집합 집합 영역의 집합 표현 1 × × ∩ 2 ○ × ∩ 3 × ○ ∩ 4 ○ ○ ∩ 집합이 개일 때 벤 다이어그램은 모두, 개의 영역으로 나누어진다. 영역 집합 집합 집합 영역의 집합 표현 × × × × ○ × × × ○ ○ × × × ○ ○ ○ ○ × ○ × ○ ○ ○ ○ 이러한 개념을 일반화하여 생각하시면 됩니다.1 - 4
첨수된 집합의 족(Indexed Families of Sets)
정의 1.4.1
집합의 족(Families of Sets)집합을 원소로 갖는 모임을
(1) 족(Family or Class)이라 한다.
족의 각 원소에 인덱스를 매긴 족을
(2) 첨수된 족(Indexed family of set)이라 한다.
예
시
1
각 자연수 에 대하여 집합 라 하면 는 첨수된 족이다.
∈ ℕ
1 집합 ∅ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ의 첨수된 족 을 구하시오. ∅ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ라 하면
≤ ≤ ∈ ℕ
는 첨수된 족이다.정의 1.4.2
집합족 의 합집합(The union of the sets )전체집합 에 대하여 다음과 같이 표기한다. (1) 집합족 의 합집합
∈
∈ 적당한∈ 에 대하여 ∈ (2) 인덱스의 집합 에 대한 합집합 인덱스의 집합 에 대하여
∈
∈ 적당한 ∈ 에 대하여 ∈
(3) 유한개의 인덱스의 집합 에 대한 합집합 유한개의 인덱스의 집합 ⋯ 에 대하여
∈ 적당한 ∈ 에 대하여 ∈
2 다음 합집합을 구하시오.
⋯
⋯ ∪ ∪ ∪ ⋯ ∪ ⋯ ⋯ 정의 1.4.3
집합족 의 교집합(The intersection of the sets ) 전체집합 에 대하여 다음과 같이 표기한다. (1) 집합족 의 교집합
∈
∈ 모든∈ 에 대하여 ∈ (2) 인덱스의 집합 에 대한 교집합 인덱스의 집합 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
∈
∈ 모든 ∈ 에 대하여 ∈
(3) 유한개의 인덱스의 집합 에 대한 교집합 유한개의 인덱스의 집합 ⋯ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
∈ 모든 ∈ 에 대하여 ∈
3 다음 교집합을 구하시오.
∞
∈
∞
라 가정하여 모순됨을 보이자. 인 고정점 이지만 아르키메데스의 원리에 의하여 충분히 큰 이 존재하여서 을 만족시킨다. 이는 모든 자연수 에 대하여 라는 사실에 모순이다. 그러므로
∞
∅이다. 특수한 경우의 무한 교집합과 무한 합집합은 상식적인 결과가 나오지 않음을 알 수 있습니다. 다음 정리를 살펴보도록 하겠습니다.정리 1.4.4
집합족
∈
에 대하여 ∅라 하면 다음이 성립한다 단. ( , 는 전체집합)
∈ ∅,
∈ (1)∀ ∈ , ∉
∈ ⇔ ∼
∈
∈
(∵표기) ⇔ ∼
적당한 ∈ ∅가 존재해서 ∈
(∵정의) ⇔ ∀ ∈ ∅ ∉ 그러므로
∈ ∅이다. (2)∀ ∈ , ∈
∈ ⇔ ∀ ∈ ∅ ∈ 그러므로
∈ 이다.1 - 5
데카르트 곱 (Cartesian Product)
이제 서로 다른 집합들을 가지고 확장시키는 작업을 하려고 합니다 그래서 다음과 같이 집합들의 곱을. 정의합니다.정의 1.5.1
데카르트 곱(Cartesian product) 공집합이 아닌 임의의 두 집합 에 대하여 ∈, ∈의 순서쌍 의 집합을 와 의 데카르트 곱이라 하고 이것을 ×로 표기한다. × ∈∧ ∈ 그림11
집합 에 대하여 데카르트 곱 ×, ×을 구하시오. × × 이 때, ×≠×이므로 순서는 항상 중요합니다.정리 1.5.2
임의의 집합에 대하여 다음이 성립한다. (1) × ∩ ×∩× (2) × ∪ ×∪× (1) ∈× ∩ ⇔ ∈∧ ∈∩ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈∧ ∈ ⇔ ∈ ×∧ ∈ × ⇔ ∈ ×∧ ∈ × 그러므로 × ∩ ×∩×이다. 같은 방법으로 증명 (2) .정리 1.5.3
임의의 집합에 대하여 다음이 성립한다. × × × ∈× ⇔ ∈∧ ∈ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∉ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈∧ ∉ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈∧ ∉ ⇔ ∈∧ ∈∧ ∈∧ ∉ ⇔ ∈ ×∧ ∉ × ⇔ ∈ × × 그러므로 × × ×이다.1 - 6
관계 (Relations)
정의 1.6.1
관계(Relations) 집합 에서 집합 로의 관계 은 데카르트 곱 ×의 한 부분집합을 뜻한다. 특히, ∈를 로 표기하고, “는 에 따라 와 관계된다.”라고 한다.예
시
집합 에 대하여 라 하자. 그러면 는 에서 로의 관계이다.정의 1.6.2
역관계(Inverse Relations) 집합 에서 집합 로의 관계 의 역관계 는 에서 로의 관계로서 ⇔ 이다 기호로는 다음과 같다. . ∈1
집합 에 대하여 라 할 때 역관계, 를 구하시오. 역관계 는 다음과 같다. ⊂ ×정의 1.6.3
정의역 상, (Domain, Image) 정의역 (1) (Domain) ∈ 적당한 ∈에 대하여 ∈ 상 (2) (Image) ∈ 적당한 ∈에 대하여 ∈정의 1.6.4
반사적 대칭적 추이적, , (reflexive, symmetric, transitive)반사적 (1) (Reflexive) ∀ ∈ ⇔de f 는 반사적이다. 대칭적 (2) (Symmetric) ⇒ ⇔de f 는 대칭적이다. 추이적 (3) (Symmetric) ∧ ⇒ ⇔de f 는 추이적이다. 특히, 이 반사적 대칭적 추이적인 경우, , 은 동치관계라고 한다.
2
집합 에 대하여 ×위에서 관계 라 하고, ×위에서 관계 라 하자. 의 합성을 ∘라 정의할 때, ∘를 구하시오. ∘ ∈ ∈ ∃ ∈ ∈∧∈ 이므로 조건에 맞는 원소를 찾아보자. ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∘ 그러므로 ∘ 이다.3
자연수의 집합 ℕ에 대하여 ℕ × ℕ위에서의 관계 을 다음과 같이 정의하자. ⇔de f 관계 가 동치관계임을 보이시오. 반사적 (1) 이므로 이다. 대칭적 (2) ⇔ 이므로 이다. 추이적 (3) 라 가정하자. ⇒ ⇒ 그러므로 이다. 을 모두 만족하므로 (1), (2), (3) 는 동치관계이다.1 - 7
분할과 동치관계 (Partitions and Equivalence Relations)
정의 1.7.1
분할 (Partitions) 집합 ≠ ∅의 임의의 부분집합 에 대하여 다음이 성립한다고 하자. 이 때 를 , ℘ 의 분할이라고 한다. (1)∈℘이고, ≠이면 ∩ ∅ (2)
∈ 예
시
이 양의 정수일 때 각 정수 ≤ 에 대하여 ℤ를 다음과 같이 정의하자. ℤ ∈ ℤ 적당한 ∈ ℤ에 대하여 집합
ℤ ℤ ℤ ⋯ ℤ
은 집합 ℤ의 하나의 분할이다.정의 1.7.2
동치류 (Equivalence Class) 집합 ≠ ∅위의 하나의 동치관계를 ℰ라고 할 때 각 ∈에 대하여 ℰ ∈ ℰ 로 정의된 집합을 에 따른 동치류라고 한다. 이 같은 에서의 동치류의 집합 ℰ를 다음과 같이 정의한다. ℰ ℰ ∈정리 1.7.3
집합 위의 동치관계 ℰ대하여 다음이 성립한다. 각 동치류 (1) ℰ는 의 공집합이 아닌 부분집합이다. (2) ℰ ⇔ ℰ∩ℰ ≠ ∅ (3) ℰ ℰ ⇔ ℰ 집합 (4) 위의 동치관계 ℰ에 대하여 ℰ는 의 분할이다. 증명은 간단하므로 생략하도록 하겠습니다. 정리 1.7.3에 의하여 아래의 정의가 타당하다는 생각을 하실 수 있습니다. 구체적인 타당성에 대하여 직접 증명하시기 바랍니다.정의 1.7.4
집합 의 분할 에 대하여 위의 하나의 관계 를 다음과 같이 정의한다. ⇔de f∃ ∈ ∈ 이제 이러한 관계를 이용하여서 함수(function)를 정의해보도록 하겠습니다.정의 1.7.5
함수 (Function) 함수 (1) 를 임의의 집합이라 하자. 다음 조건을 만족하는 를 에서 로 대응되는 함수라고 한다. 는 에서 로 대응되는 관계이고 그 때 다음을 만족한다. ( )ⅰ ( )ⅱ ∈ , ∈ ⇒ (2) 단사 혹은 일대일 함수 (Injective or one to one function)
∀ ∈
⇒ 인 경우 를 단사 함수라 한다. (3) 전사함수 (Surjective)인 경우 를 전사 함수라 한다.
(4) 전단사 혹은 일대일 대응 (Bijective or one to one correspondence) 가 단사함수 이면서 전사함수인 경우 전단사함수라고 한다.
정리
1.7.6 (
함수의 성질
)
→를 함수에 대하여
∈
를 의 부분집합들의 모임,
∈
를 의 부분집합들의 모임이라 할 때 다음이 성립한다. (1) ∅ ∅ (2) ∀ ∈ (3) ⊆⊆ ⇒ ⊆ (4) ⊆⊆ ⇒ ⊆ (5)
∈
∈
(6)
∈
⊆
∈
(등호는 가 단사일 때 성립한다.) (7)
∈
∈
(8)
∈
∈
책의 취지는 위상수학이므로 증명은 생략하도록 하겠습니다. 위상수학에서 함수와 역상들의 관계는 많이 이용되는 내용이므로 집합론이 잘 숙지가 안되신 분들은 꼭 숙지하시기 바랍니다.1
함수 →에 대하여 ⊆ ⊆일 때 다음이 성립함을 증명하여라. (1) ⊆ (2)
⊆ (1) ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ 그러므로 ⊆ 이다. (2) ∈
이므로 적당한 ∈ 가 존재해서 다음이 성립한다. 이 때, ∈ , ∈이기 때문에
⊆임을 만족한다.1
함수 f : X → Y에 대하여 A X, B Y⊆ ⊆ 일 때 다음 명제가 거짓인 보기를 각각 하나씩 들어라. (1) ≠ ∅이면 ≠ ∅ (2) (3)
(4) 반례 (1) ) B={d, e} ⇒f-1({c})=∅ 반례(2) ) A={u}, f-1(f(A))=f-1(f({u}))=f-1({b})={u, y} {u}=A≠
반례
(3) ) B={c, d}, f(f-1(B))=f(f-1({c, d}))=f({w, z})={c} {c, d}=B≠
반례
1 - 8
유한집합과 무한집합 (Finite set and Infinite set)
정의 1.8.1
유한집합과 무한집합 (Finite set and Infinite set)집합 에 대하여 다음과 같이 정의한다. (1) : 무한집합 ⇔de f ∃ ⊊ s.t (∃ → 는 일대일 대응) (2) : 유한집합 ⇔de f 가 무한집합이 아닌 경우
