코시의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem) 함수 , 가 ⅰ) 폐구간 에서 연속이고 ⅱ) 개구간 에서 미분 가능하고 ⅲ) 인 에 대하여, ′ ≠ 을 만족하면 ′ ′ 가 되는 가 존재한다.
(증명) 이면 ′ 인 가 존재한다. (롤의 정리) 이것은 조건 ⅲ)에 모순이므로, ≠ 이다. F × 로 놓으면, F는 연속이고, 미분 가능하며 F F 이다. 따라서 평균값 정리에 의하여 F′ 인 ( )가 적어도 하나 존재한다. ∴ F′ ′ × ′ ′ ≠ 이므로 ′ ′
로피탈의 정리(L’Hospital‘s rule) 함수 , 가 를 포함하는 개구간 에서 미분 가능하고 ⅰ) 이고 ⅱ) , ′ ≠ 이고 ⅲ)
lim
→ ′ ′ 의 값이 존재하면lim
→ lim
→ ′ ′ 가 성립한다.(증명) ① 일 때 ′ ≠ 이므로 코시의 평균값 정리에 의해서 ′ ′ 인 이 존재한다. 조건 ⅰ)에 의해서 ′ ′ 이므로 따라서,
