우석대학교 에너지전기공학과

공학수학 (6)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

4-4-6. 특수행렬 (계속) (5) 대칭행렬 (symmetric matrix): 주 대각선에 대칭인 행렬 𝐴 = 12 20 −11 1 −1 2 예제) 위의 대칭행렬의 전치행렬 𝐴𝑇 _{를 구하라} 𝐴𝑇 ₌ 1₂ 2_{0 −1}1 1 −1 2 = 𝐴 (6) 삼각행렬 (triangular matrix); 주 대각 원소의 위 또는 아래의 모든 원소가 0인 행렬. 𝐴 = 12 −1 00 0 1 −1 2 , 𝐵 = 1 −1 2 0 −2 4 0 0 1

6. 행렬식 (determinant) 6-1. 행렬식의 정의  행렬식은 반드시 행과 열의 수가 같은 정방행렬에서 만 정의됨.  n×n 인 정방행렬에 대한 행렬식을 n차 행렬식이라 함.  행렬식과 행렬을 구분하기 위하여 원소집합의 양쪽에 두 개의 수직선“ ”의 기호로 표시.  행렬 A의 행렬식은 det(A) 또는 𝑨 로 표시함. ※ 행렬식 det(A)은 행렬 A의 함수. 6-2. 행렬식의 전개  사러스 (Sarrus) 방법: 2, 3차 행렬식

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂ 예) 2차 행렬식 det(A) = 6. 행렬식

6-2-1. 사러스(Sarrus) 방법  시계 방향의 곱에는 (+), 반 시계 방향의 곱에는 (-)를 붙여 계산 함.  사러스 방법에 의한 2차 행렬식 전개  3차 행렬식의 전개

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

= 𝑎

11

𝑎

22

− 𝑎

12

𝑎

21 예) 2차 행렬식 det(A ) = (+) (-)

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

𝑎

₃₂22

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

= 𝑎

11

𝑎

22

𝑎

33

+ 𝑎

12

𝑎

23

𝑎

31

+ 𝑎

13

𝑎

32

𝑎

21

− 𝑎

13

𝑎

22

𝑎

31

−𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₃

− 𝑎

₁₁

𝑎

₃₂

𝑎

₂₃ det(A ) = (+) (+) (-) (-)

예제) 다음 행렬식의 값을 사러스 방법으로 구하라. (1) 𝐴 = 1 3 1 2 = 1 × 2 − 3 × 1 = −1 (2) 𝐴 = −11 −2 1 13 1 2 −1 = (1 × 1 × −1 + −2 × 2 × 1 + 1 × 3 × −1 − 1 × 1 × 1 − −2 × −1 × −1 − 1 × 3 × 2 = −1 − 4 − 3 − 1 + 2 − 6 = −13 6. 행렬식

예제) 행렬 A 와

𝑨

𝑻의 행렬식의 값을 사러스 방법으로 구하라. (1) 𝐴 = ₋₁1 −2₀ 1₂ 1 0 −1 det 𝐴 = −11 −2 1 00 1 2 −1 = 0 − 4 + 0 − 0 − 2 + 0 = −2 (2) 𝐴𝑇 _{= −2}1 −1₀ 1₀ 1 2 −1 det 𝐴𝑇 _{= −2}1 −1 1 02 1 0 −1 = 0 + 0 − 4 − 0 − 2 + 0 = −2

6-2-2. 라플라스 전개법

 소 행렬식 (minor determinant) - 행렬식에서 𝑎_𝑖𝑗 가 속하는 행과 열을 제외한 나머지 원소로 이루어진 행렬식. - 이 행렬식을 𝑀_𝑖𝑗 로 표기함.  여인수 (𝐴_𝑖𝑗 ) - 소 행렬식 (𝑀_𝑖𝑗)에 부호 (−1)𝑖+𝑗 _{를 곱한 것.} - 원소의 행 번호와 열 번호의 합인 (i+j) 가 짝수이면 (+), 홀수이면 (-) 부호를 붙인다.

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

𝑎

22₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃ det(A ) = 예) 소 행렬식 𝑀₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₃

𝑎

₃₁

𝑎

₃₃

𝑀

₁₂

=

𝐴

_𝑖𝑗

=(−1)

𝑖+𝑗

ㆍ

𝑀

_𝑖𝑗 6. 행렬식