우석대학교 에너지전기공학과

일반수학 (9 & 10)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

4. 지수함수 Vs. 로그함수 4-1. 지수함수의 그래프  𝑦 = 𝑎𝑥, (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 로 표시되며, 𝑦 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 𝑥 의 지수함수라 함.  지수함수에서 𝑎 > 1 인 경우와 0 < 𝑎 < 1 인 경우 예제) 오른쪽 그림은 𝑦 = 2𝑥 _{의 지수함수를} 그래프로 그린 것이다. 1) 주어진 그래프에서 A와 B를 각각 구하라. 𝑥 = 1 𝐴 =? 𝑥 = 0 𝐵 =? 2) 8 = 2𝑥 _{를 만족하는 𝑥 를 구하라.} 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 8 =? 4. 지수함수 Vs. 로그함수 1 1 𝑎 1 1 𝑎 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 0 0 1 𝐵 𝐴 𝑦 𝑥 0 8 𝐶

4-2. 지수함수 그래프의 평행이동  함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 의 평행이동



𝑦

축으로 𝑛 만큼 평행이동

:

𝑦

대신

𝑦 − 𝑛

대입 𝑦 − 𝑛 = 𝑓(𝑥) 예제) 아래 𝑦 = 2𝑥 _{의 지수함수를 𝑦 축으로 -2 만큼 평행이동} 시켰을 때, 얻어지는 곡선의 방정식을 구하고, 그래프로 그려라. 𝑦 − (−2) = 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 _{− 2} 1 1 2 𝑦 𝑥 0 2 -1 -2 𝑦 = 2𝑥 _{− 2} 𝑦 = 2𝑥

4-3. 지수방정식  𝑎𝑥 _{(𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 로 표시되는 방정식을 지수방정식이라 함.} 32𝑥 · 9𝑥+1 = 1  지수 방정식 풀이 방법 1) 각항에서 지수의 밑을 동일하게 만듦. 2) 각각의 지수를 지수법칙을 활용하여 정리. 3) 좌우 등식을 통해 _{𝑥 에 대한 값을 구한다.} 예제) 지수법칙을 활용하여 다음의 지수 방정식을 풀어라. 1) 32𝑥−1 _{= 27 3}2𝑥−1 _{= 3}3 _{2𝑥 − 1 = 3} ∴ 𝑥 = 3+1₂ = 2 2)

𝑒

−𝑥2

= (𝑒

𝑥

)

1

·

1 𝑒2 𝑒−𝑥 2 = 𝑒𝑥 _{· 𝑒}−2 _{= 𝑒}(𝑥−2) _−𝑥2 _{= 𝑥 − 2} ∴ 𝑥2_{+ 𝑥 − 2 = 0 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = −2 𝑜𝑟 1} 3) 32𝑥_{· 9}𝑥+1 _{= 1 3}2𝑥 _{· 3}2(𝑥+1) _{= 3}0 _{2𝑥 + 2𝑥 + 2 = 0} ∴ 4𝑥 = −2 𝑥 = −1₂ 4. 지수함수 Vs. 로그함수

4-4. 로그함수의 그래프  𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 , (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 로 표시되며, 𝑦 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 𝑥 의 로그함수 라고 함.  로그함수 (𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥) 에서 𝑎 > 1 인 경우와 0 < 𝑎 < 1 인 경우 예제) 오른쪽 그림은 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₅𝑥 의 로그함수를 나타내고 있다. 1) 주어진 그래프에서 A, B, C 를 각각 구하라. 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 𝐴 𝑦 = 1 𝑥 = 5 = 𝐵 𝑥 =1 5 𝑦 = −1 2) 2 = 𝑙𝑜𝑔₅𝑥 를 만족하는 𝑥 를 구하라. 𝑥 = 52 _{= 25} 1 1

𝑎

1 1

𝑎

𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

4-5. 로그방정식  log_𝑎𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 항을 포함하는 방정식을 로그방정식이라 함. 𝑙𝑜𝑔(2𝑥 − 4) = 1  로그방정식 풀이방법 1) 각항에서 로그의 밑을 같게 만듦 2) 각각의 로그를 로그의 성질을 이용하여 간단하게 정리 3) 로그의 정의에 의해 로그를 지수형태로 변환 4) 좌우 등식을 활용하여 𝑥 에 대한 값을 구한다 5) 원래의 로그함수로 부터 로그의 진수가 양이라는 조건을 활용하여 𝑥 의 범위를 체크함. 4. 지수함수 Vs. 로그함수

예제) 로그의 여러 가지 성질을 활용하여 다음의 로그방정식을 풀어라. 1) 𝑙𝑜𝑔(2𝑥 − 4) = 1 𝑙𝑜𝑔(2𝑥 − 4) = 𝑙𝑜𝑔 10 2𝑥 − 4 = 10 ∴ _{𝑥 =} 14 2 = 7 𝐶ℎ𝑒𝑐𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛! 2𝑥 − 4 > 0 𝑥 > 2 2) 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₃(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔₃2 𝑙𝑜𝑔₃𝑥(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔₃2 𝑥2_{− 𝑥 − 2 = 0} ∴ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 𝑥 = 2 𝑜𝑟 𝑥 = −1 𝐶ℎ𝑒𝑐𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛! 2𝑥 − 1 > 0 𝑥 > 1₂ Finally, 𝑥 = 2, 𝑥 ≠ −1 3) 𝑙𝑜𝑔1 2(3𝑥 + 1) 3 _{= −3 (3𝑥 + 1)}3 ₌ 1 2 −3 = 8 3𝑥 + 1 = 2 ∴ 𝑥 = 1 3 𝐶ℎ𝑒𝑐𝑘 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛! 3𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1₃

5. 삼각함수(Trigonometrical function) 5-1. 60분법과 호도법(복습)  60분법  직각을 90등분한 1등분을 1도 (1°), 1도의 1/60을 1분, 1분의 1/60을 1초라 함.  호도법  반지름 r인 원(그림 5-1.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계  원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°_{: 1(𝑟𝑎𝑑)}  360°_{× 𝑟 = 2π𝑟 𝑟𝑎𝑑 360}° _{= 2π(𝑟𝑎𝑑)} O B A

𝑟

𝑟

5. 삼각함수 60분법 0° ₃₀° ₄₅° ₆₀° ₉₀° ₁₂₀° ₁₈₀° ₂₇₀° ₃₆₀° 호도법 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π₃ π 3π₂ 2π (그림 5-1.1)

5-2. 부채꼴의 호의 길이와 면적  그림 5-2.1 에서 호의 길이 (ℓ) 는?  호의 길이가 r 일 때, ∠AOB = 1 [rad] ∴ 𝑟: 1 𝑟𝑎𝑑 = 𝑙: 𝜃 𝑟𝑎𝑑 𝑙 = 𝑟𝜃  부채꼴 AOB 면적 (S) 는?  원의 중심각: 360° _{= 2π(𝑟𝑎𝑑)}  원의 면적: π 𝑟2  중심각이 2π 𝑟𝑎𝑑 일 때, 원의 면적은 π 𝑟2 _{이므로, 중심각이 𝜃 인 부채꼴의 면적 𝑆 는,} 2π ∶ π 𝑟2 _{= 𝜃: S π 𝑟}2_{× 𝜃 = 2π × S} ∴ S = 1₂𝑟2_{𝜃 =} 1 2 𝑙 · 𝑟 예제) 반지름 5cm, 중심각 π 5 인 부채꼴의 호의 길이(ℓ)와 면적(s)을 구하라.  호의길이: 𝑙 = 𝑟𝜃 = 5𝑐𝑚 ×𝜋₅ = 𝜋 𝑐𝑚  면적: S = 1₂𝑟2_{𝜃 =} 1 2(5𝑐𝑚)2× 𝜋 5 = 5𝜋 2 𝑐𝑚2 O A B

𝑟

ℓ

θ (그림 5-2.1)

5-3. 삼각함수의 정의

 그림 5-3.1 과 같이 길이가 r 인 OP가 𝑥 축 양의 방향과 이루는 각을 θ 라 하고, 점 P의 좌표를

P(𝑥, 𝑦)라 할 때, θ 에 대응하는 값을 삼각비로 구하면: 사인함수(sine function): sin θ = 𝑦_𝑟

코사인함수(cosine function): cos θ = 𝑥_𝑟 탄젠트함수(tangent function): tan θ = 𝑦_𝑥

 역수관계

코시컨트함수(cosecant function): csc θ = _{sin θ}1 = _𝑦𝑟 시컨트함수(secant function): sec θ =_{cos θ}1 =_𝑥𝑟

코탄젠트함수(cotangent function): c𝑜𝑡 θ =_{tan θ}1 = 𝑥_𝑦

o

𝑟

θ

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 5-3.1) P (𝑥, 𝑦) 5. 삼각함수

5-4. 삼각함수 값의 부호  그림 5-3.1 에서 r 은 OP의 길이: 그 부호는 항상 양: 𝑟 > 0)  𝑥, 𝑦 는 좌표: P(𝑥, 𝑦 )점의 위치에 따라 𝑥, 𝑦 의 부호가 결정됨.  위치에 따른 삼각함수 값의 부호 o

𝑟

θ

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 5-3.1) P (𝑥, 𝑦) o

𝑥

𝑦

(그림 5-3.2, 양의 삼각함수)

sin

_all

tan

cos

사분면 함수

1

2

3

4

sin θ

+

+

-

-cos θ

₊

_-

_-

₊

+

-

+

-예제1) 점 P(-4, 3)을 동경으로 하는 각을 θ 라 할 때, 다음 삼각함수의 값을 구하라. 1-1) sin θ = 𝑦_𝑟 𝑟 = 1-2) cos θ = 𝑥_𝑟 = −4₅ 1-3) t𝑎𝑛 θ = 𝑦 𝑥 = 3 −4 예제2) 다음의 주어진 삼각함수의 값을 구하라.

2-1) sin 690° _{= sin(360}°_{+ 330}°_{) = sin(720}°_{− 30}°₎

= sin(−30°_{) = −}1 2 2-2) cos(−120°_{) = cos(240}°_{) = −} 3 2 2-3) tan(−120°_{) = tan(240}°_{) =} 1 2 5. 삼각함수 o 𝑟=?

𝑥

𝑦

−𝟒 P (-4, 3) θ

·

o r

𝑥

𝑦

P (𝑥, 𝑦) θ=240°

·

(−4)2₊₃2 _{= 24 = 5} ∴ sin θ =𝑦_𝑟 = 3₅ P (𝑥, 𝑦)

5-5. 삼각함수의 기본공식

 그림 5-5.1 과 같이 반지름이 1인 단위 원과 동경좌표를 P 𝑥, 𝑦 라하면,

cos θ =𝑥_𝑟 = 𝑥, sin θ =𝑦_𝑟 = 𝑦 ∴ tan θ = 𝑦_𝑥 =_{cos θ}sin θ

 그림 5-5.1 과 피타고라스의 정리를 이용하여 cos2_{θ + sin}2_{θ = 1 이 됨을 증명하라.}  『피타고라스의 정리』 𝑥2_{+ 𝑦}2 _{= 𝑟}2 _{= 1} 𝑛𝑜𝑡𝑒: cos2_{θ = 𝑥}2_{, sin}2_{θ = 𝑦}2 ∴ cos2_{θ + sin}2_{θ = 1} o 𝑟=1

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 5-5.1) P (𝑥, 𝑦) θ

※ 피타고라스 정리의 증명

『직각삼각형에서 직각을 사이에 둔 두 변을 각각 제곱하여 합한 것은 나머지 한 변의 제곱과 같다』 4. 삼각함수 1) 사각형 ABCD는 정사각형 2) 정사각형의 각각의 변을 a와 b로 분할한 점을 E, F, G, H 라 하고, 이 4개의 점들을 각각 연결하여 사각형 EFGH를 그리면, 사각형 EFGH는 4변의 길이가 같은 사각형. ※ 왜냐하면, 삼각형 AEF = 삼각형 BEG = 삼각형 CGH = 삼각형 DHE

직각삼각형을 낀 두 변의 길이가 각각 같으면, 두 삼각형은 합동 3) 사각형 EFGH는 정사각형인가? 4) 정사각형 ABCD와 정사각형 EFGH에서, (𝑎 + 𝑏)2_{= 𝑐}2_{+ 4 ×}𝑎·𝑏 2 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= 𝑐}2