3학년익힘(비상교육)7단원-1

(1)

삼각비

1. 삼각비

2. 삼각비의 활용

VII

(2)

예로부터 삼각비는 산의 높이, 강의 폭, 삼각형 모양의 땅의 넓이를 구할 때 유용 하게 사용되어 온 수학적 개념으로 측량, 천문, 항해, 건축 등의 다양한 분야에서 폭 넓게 활용되고 있다. 고대 그리스의 천문학자 아리스타르코스(Aristarchos ; ? B. C. 217~? B. C. 145)는 그의 저서“태양과 달의 크기와 거리에 관하여”에서 삼각법을 이용하여 지 구와 달, 지구와 태양의 거리의 비를 계산하였고, 히파르코스(Hipparchos ; ?~ ? B. C. 125)는 천체의 운동을 체계적으로 계산하기 위해서 삼각비의 표를 만들었 다고 한다. 이 단원에서는 삼각비의 뜻을 이해하고, 그 활용에 대하여 공부한다.

‘삼각비’

는 어떤 단원인가?

What is

……

?

배운 내용 이 단원에서는 …… - 다각형의 각의 크기 (중1) - 근삿값, 닮은 도형, 삼각형의 닮음조건 (중2) - 삼각함수, 삼각함수 의 그래프, 사인법칙, 코사인법칙 (고1) VII-1. 삼각비의 뜻 삼각비의 값 VII-2. 삼각비의 활용 배울 내용

(3)

피타고라스의 정리 (중3) •△ABC에서 ∠C=90。이면 a¤ +b¤ =c¤이다. B C A b a c 이 단원을 공부하기 전에 …… 다음 그림의 직각삼각형ABC에서x의 값을 구하여라. ⑴ ⑵ B C 9 x A 3'5 B ₁₂ C 5 x A

3

다음 중에서 서로 닮은 삼각형끼리 짝 지어라. ㄹ. 3 5 4 10 8 6 ㄴ. 70˘ 30˘ ㄷ. 70˘ 30˘ ㄱ.

1

삼각형의 닮음조건 (중2) •SSS닮음 •SAS닮음 •AA닮음 다음 그림의 직각삼각형에서AB” : BC” : CA”를 구하여라. ⑴ ⑵ B C 60˘ 30˘ A B C 45˘ A

4

특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비 (중3) • 2a a 60˘ 30˘ a 3 ' a a 45˘ a 2 ' 오른쪽 그림의 삼각형에 대하여 다음 물음에 답하여라. ⑴△ABC와△ADE의 닮음비를 구하여라. ⑵x, y의 값을 각각 구하여라.

2

평면도형에서 닮음의 성질 (중2) •서로 닮은 두 평면도형 에서 대응변의 길이의 비는 일정하다. 9 E A B D C 5 y x 4 3

1 삼각비

삼각비의 뜻 삼각비의 값

(4)

활동 목표: 삼각비의 뜻을 알고, 삼각비를 구할 수 있다. 교과서190쪽 개념 활동

₁

>>

_교과서

_{에서배웠어요!}

사인, 코사인, 탄젠트 삼각비 ☞ 교과서 190쪽 오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에 대하여 다음을 구하여라. ⑴sin C ⑵cos C ⑶tan C

익

익힘

힘

문

문제

제 >>>>

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에 대하여 다음 빈칸을 알맞게 채워라. ⑴sin A= = ⑵cos A= = ⑶tan A= BC” = 3 A’B” 5 AB” CA” 3 CB” A’C”

삼각비의 뜻

•삼각비 ∠B=90。 ABC

sin A=;bA; cos A=;bC; tan A=;cA;

기초 개념 익히기

A

STEP

A

A B C b c a 5 3 4 C B A 24 25 A C B 7

(5)

삼각비 구하기 >> 교과서191쪽 문제 풀이 연습

₁

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서∠A의 삼각비를 구하여라.

피타고라스의 정리에 의하여

CB”="√6¤ -3¤ ='∂27 =3'3

따라서 sin A= 3'3₆ = '3₂ , cos A=;6#;=;2!;, tan A=3'3₃ ='3

다음 그림의 직각삼각형ABC에서∠A의 삼각비를 구하여라. 1. 2. 3. 4. 6 B ₅ C A A C 1 3 B A B C 6 9 3 C B A ₄

기본 문제 풀기

B

STEP

B

B 3 6 A C

(6)

●●◦ ●●◦ 삼각비 구하기 >> 문제 해결 안내

₀

₁

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서AC”=9, BC”=15이다. 변AB 위 의 한 점D에서 변BC에 내린 수선의 발을E라 하고, ∠BDE=x。라고 할 때, sin x。-cos x。의 값을 구하여라. 01 -1 오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서 변AB 위의 한 점D 에서 변BC에 내린 수선의 발을E라고 하자. BD”=5, DE”=3, ∠ACB=x。라고 할 때, sin x。의 값을 구하여라. 같은 꼴문제

01 -2 오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서 AB”=3, AC”=4이 다. 꼭짓점A에서 변BC에 내린 수선의 발을D라 하고,

∠BAD=x。, ∠DAC=y。라고 할 때, sin x。+cos y。의 값을 구 하여라. 닮은 꼴문제 >> _{sin x。}_,_{cos x。}_{를 각각 구하여 주어진 식의 값을 계산한다.} >> x。를 한 내각으로 하는 직각삼각형을 찾아 세 변의 길이를 구한 후 삼각비의 값을 구한다. >> △DBEª△CBA(AA닮음)이므로 ∠BCA=x。 직각삼각형 ABC에서 피타고라스의 정리에 의하여 AB”="√15¤ -9¤ =12이므로△ABC에서 sin x。= _=;1!5@;=;5$; cos x。= _=;1ª5;=;5#; 따라서 sin x。-cos x。=;5$;-;5#;=;5!; CA” BC” B’A” CB” B x˘ A C 15 9 E D x˘ A D B E C 3 5 x˘ y˘ A B 3 C 4 D x˘ x˘ A B C 15 9 E D 12

(7)

●●◦

삼각비 구하기 >>

문제 해결 안내

₀

₂

∠B=90。인 직각삼각형ABC에서sin A=;3!;일 때, cos A의 값을 구하여라.

02 -1 ∠B=90。인 직각삼각형ABC에서tan A=3일 때, sin A의 값을 구하여라.

같은 꼴문제

●●◦ 02 -3 ∠B=90。인 직각삼각형ABC에서sin A=;4#;일 때, cos A-tan A의 값을 구하여라.

02 -2 ∠B=90。인 직각삼각형ABC에서cos A=;5@;일 때, sin A+tan A의 값을 구하여라.

닮은 꼴문제

>> sin A의 값이 주어졌을 때, cos A의 값을 구한다.

>> _{sin A=;3!;}이 되도록 직각삼각형ABC의 변의 길이를 정하고cos A의 값을 구한다.

>> sin A=;3!;= 가 되는 직각삼각형ABC를 그리면

오른쪽 그림과 같이AC”=3k, CB”=k이다. (단, k>0) 피타고라스의 정리에 의하여 AB”="√(3k)¤ -k¤ =2'2 k 따라서 cos A= =2'2 3 2'2 k 3k CB” AC” 3k k A C B

(8)

활동 목표: 30。, 45。, 60。의 삼각비의 값을 구할 수 있다. 교과서192쪽 개념 활동

₁

>>

_교과서

_{에서배웠어요!}

30。, 45。, 60。의 삼각비의 값 ☞ 교과서 193쪽

삼각비의 값

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에 대하여 다음 빈칸을 알맞게 채워라.

∠A=60。일 때 CA” : AB” : BC”=2 : 1 : 이므로

sin 60。= , cos 60。= , tan 60。= =

sin 30。= ₂ , cos 30。= ₂ , tan 30。= 1 = ₃ 1

2 2

•30。, 45。, 60。의 삼각비의 값

sin 30。=;2!; sin 45。= sin 60。= cos 30。= cos 45。= cos 60。=;2!; tan 30。='3 tan 45。=1 tan 60。=_'3

3 '2 2 '3 2 '3 2 '2 2 오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에 대하여 다음 빈칸을 알맞게 채워라.

∠A=45。일 때 CA” : AB” : BC”= : 1 : 1이므로

sin 45。= = , cos 45。= = tan 45。= 1 = 2 1 2 1

익

익힘

힘

문

문제

제 >>>>

기초 개념 익히기

A

STEP

A

C A ₁ B 2 60˘ 30˘ C A B 45˘ 1 1

(9)

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원에 대하여 다음 빈칸 을 알맞게 채워라. 직각삼각형OAB에서 sin 52。= = = cos 52。= = = 직각삼각형OCD에서 tan 52。= CD”” = ₁ = OC” 1 OA” BO” 1 BA” OB”

익

익힘

힘

문

문제

제 >>>>

활동 목표: 예각에 대한 삼각비의 값을 구할 수 있다. 교과서194쪽 개념 활동

₂

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원에 대하여 다음 빈칸을 알맞게 채워라.

직각삼각형OAB에서∠BOA=40。이고OB”= 이므로

sin 40。= = = cos 40。= OA” = ₁ = BO” 1 BA” OB” 40˘ O 1 A B 0.64 0.77 1 x y 52˘ O A B D 0.79 1.28 0.62 C 1 1 x y >>

_교과서

_{에서배웠어요!}

예각에 대한 삼각비의 값 ☞ 교과서 194쪽 0。, 90。의 삼각비의 값 ☞ 교과서 196쪽 •예각에 대한 삼각비의 값 ∠BOA=x。 sin x。=AB” cos x。=OA” tan x。=CD” •0。, 90。의 삼각비의 값 sin 0。=0 sin 90。=1 cos 0。=1 cos 90。=0 tan 0。=0 tan 90。 x˘ B D A C cos x˘ sin x˘ tan x˘ O 1 1 x y

(10)

특수각의 삼각비의 값 계산하기 >> 교과서193, 196쪽 문제 풀이 연습

₁

다음을 계산하여라.

⑴sin 30。+cos 45。 ⑵cos 60。÷sin 45。

=;2!;+ = =;2!;÷ =;2!;_ 2 = '₂2 '2 '2 2 1+'2 2 '2 2 다음을 계산하여라.

1. cos 30。-tan 60。 2. '2 sin 60。-'3 cos 45。

3. cos 45。÷(sin 90。+sin 30。) 4. tan 30。+tan 45。_sin 90。

5. sin 60。_sin 0。+cos 90。_tan 45。 6. (cos 30。-sin 90。)(sin 60。+cos 0。)

기본 문제 풀기

B

STEP

B

개념

콕콕

!! Q&A ' '

(11)

예각에 대한 삼각비의 값 구하기 >> 문제 해결 안내

₀

₁

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원에서OA”+CD”의 값을 삼각 비의 표를 이용하여 구하여라. >> _{반지름의 길이가}1인 사분원과 삼각비의 표를 이용하여 예각에 대한 삼각비의 값을 구한다. >> _∠BOA의 크기를 구한 다음OA”와CD”의 길이를 각각 구한다. >> ∠BOA=90。-47。=43。이고, 직각삼각형OAB에서 OA”=cos 43。=0.7314 한편 직각삼각형OCD에서 CD”=tan 43。=0.9325 따라서 OA”+CD”=0.7314+0.9325=1.6639 ●●◦ 01 -2 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원에서AC”의 길이를 삼각비의 표를 이용하여 구하여라. 닮은 꼴문제 1 B 47˘ O 1 D A C x y ●◦◦ 01 -1 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원에서 CD”-AB”의 값을 삼각비의 표를 이용하여 구하여라. 같은 꼴문제 64˘ D C A B O 1 1 x y B 0.7265 D C A O 1 1 x y

(12)

심화 문제 도전하기

C

STEP

C

1

0。<A<45。일 때, 다음을 간단히 하여라. ⑴øπ(sin A+sin 45。)¤ +øπ(sin 45。-sin A)¤

⑵øπ(cos 45。-cos A)¤ -øπ(cos 45。+cos A)¤

2

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서AB”는 원O의 접선이고, 점M

은μAC의 중점이다. tan A의 값을 구하여라.

Ⅶ-1. 삼각비

3

오른쪽 좌표평면 위의 세 점A(6, 6), B(-2, 2), C(2, -1)에 대하여∠ABC=x。일 때, sin x。+cos x。의 값을 구하여라.

［정복하기］ O A B M C

4

오른쪽 그림과 같이 원O의 지름의 한 끝점A에서 접선AT를 그어 원O와 직선AT 위에AP”=AQ”가 되도록 점P, Q를 각각 잡고, 지름AB와QP”의 연장선과의 교점을R라고 하자.

AQ”=3, AO”=2, ∠APQ=x。일 때, tan x。의 값을 구하여라.

2 3 A T Q P R B O x˘ A 6 -2-1 B C 6 2 2 O x x˘ y

(13)

중단원 정리 문제

교과서188~199쪽 / 익힘책225~233쪽

1

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서

AB”=15, BC”=8, CA”=17일 때,

3 tan A-sin A-cos A의 값을 구하여라.

2

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서 AB”=2'∂10, AC”=4일 때, 다음을 구하여라. ⑴ sin B ⑵ cos B ⑶ tan B 2. ●◦◦ 삼각비의 뜻을 알고, 삼각비 를 구할 수 있는가? 191쪽 226쪽

3

tan A=;3@;일 때, AC”의 길이를 구하여라.

3. ●●◦

삼각비의 뜻을 알고, 그 값 을 구할 수 있는가?

191쪽 226쪽

4

∠ADE=∠ACB일 때, cos B+cos C

의 값을 구하여라. 4. ●●◦ 삼각비의 뜻을 알고, 그 값 을 구할 수 있는가? 191쪽 227쪽 1. ●◦◦ 삼각비의 뜻을 알고, 그 값 을 구할 수 있는가? 190쪽 225쪽 A ₁₅ B 17 8 C B C A 4 2'å 10 A B C 4 A E D 3 6 B C

(14)

5

∠B=90。인 직각삼각형ABC에서cos A=;7%;일 때, tan A-sin A의 값을 구하여라. 5. ●●◦ 삼각비의 뜻을 알고, 그 값 을 구할 수 있는가? 191쪽 228쪽

7

다음을 계산하여라. ⑴ 2 sin 60。+3 tan 30。 ⑵ 4 sin 30。_cos 60。-1 ⑶ (tan 60。-1)(tan 60。+1) ⑷ sin 90。_(2 cos 45。-tan 0。)

7. ●●◦ 특수각의 삼각비의 값을 계 산할 수 있는가? 192쪽 231쪽

8

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원 에서 다음 선분의 길이를27。의 삼각비를 이용 하여 나타내어라. ⑴ BA” ⑵ OA” ⑶ DC” 8. ●◦◦ 예각에 대한 삼각비의 값을 구할 수 있는가? 194쪽 230쪽

6

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 6인 원O에 내접하는 △ABC에서 BC”=8일 때, 다음을 구하 여라. ⑴ sin A ⑵ cos A ⑶ tan A 6. ●●● 삼각비를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가? 191쪽 226쪽 A B O C 6 8 1 1 C B D O A 27˘ x y