우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

3-6. 극한값의 계산 (복습) 3-6-1. 확정형  𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 가 다항함수이고 분수식의 분모 𝑔(𝑥) ≠ 0 일 때, 𝑥 의 정해진 값을 대입. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 , lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑎 , lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑎 (단, 𝑔(𝑎) ≠ 0) 예제) lim 𝑥→1 3𝑥2−3 𝑥+1 = 0 3-6-2. 불능형  함수에𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶₀ 형 (𝐶는 상수)의 불능이 되는 경우로써 극한값은 다음과 같음  𝐶 > 0 : 분모 → +0 이면 +∞, 분모 → −0 이면 −∞  𝐶 < 0 : 분모 → +0 이면 −∞, 분모 → −0 이면 +∞ 예제) lim 𝑥→2+0 −1 (𝑥−2)= −∞ lim 𝑥→1−0 −1 (𝑥−1) = ∞

3-6-3. 부정형 (1) 0 0 형 : 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→2 𝑥3₋₈ 𝑥2_−3𝑥+2 = 0 0 2) lim 𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3= 0 0 (2) ∞ ∞형 : 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→∞ 6𝑥2_−5𝑥 3𝑥−1 = ∞ ∞ 2) lim 6𝑥 3+𝑥2₋₂= ∞ ∞  분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분  무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다.  분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다.  무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. lim 𝑥→2 (𝑥 − 2)(𝑥2+ 2𝑥 + 4) (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = lim𝑥→2 (𝑥2+2𝑥 + 4) (𝑥 − 1) = 12 lim 𝑥→0 𝑥 𝑥 + 9 − 3= lim𝑥→0 𝑥 ( 𝑥 + 9 + 3) ( 𝑥 + 9 − 3)( 𝑥 + 9 + 3)= lim𝑥→0 𝑥( 𝑥 + 9 + 3) 𝑥 = 6 lim 𝑥→∞ 6𝑥2− 5𝑥 3𝑥 − 1 = lim𝑥→2 6𝑥 − 5 3 −1_𝑥 = ∞ lim 𝑥→∞ 6𝑥 3 + 𝑥2_{− 2}= lim𝑥→∞ 6 3 = 6

3-6-3. 부정형 (계속) (3)

∞ − ∞

𝑜𝑟 0 × ∞

형  인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산. 예제) 다음의 극한값을 구하라. 1) lim 𝑥→1 4 𝑥−1− 2 𝑥2₋₁ = ∞ − ∞ 2) lim 𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2 × 1 (𝑥2₋₁₎ = 0 × ∞ lim 𝑥→1 4(𝑥 + 1) − 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= lim𝑥→1 4𝑥 + 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= ∞ lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) 𝑥2 × 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = lim𝑥→1 1 𝑥2_{(𝑥 + 1)} = 1 2

3-7. 함수의 연속  함수

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1 는 𝑥 → 1 일 때, 극한은 존재하지만, 𝑥 = 1 에서 𝑓(1) 은 정의되지 않음. ∴ 𝑓 𝑥 =𝑥_𝑥−12−1: lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2, 𝑓(1) ≠ 2 𝑥 = 1 에서 불연속 (discontinuous)  함수

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

은 𝑥 → 1 일 때, 극한이 존재하면서, 𝑥 = 1 을 포함한 모든 점에서 정의됨. ∴ 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1: lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2, 𝑓 1 = 2 𝑥 = 1 에서 연속 (continuous)  연속함수 (continuous function)  함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 가 연속함수의 조건을 만족하면, 𝑥 = 𝑎 에서 연속이라 하고,  모든 점 𝑥 에서 연속이면, 이 함수는 연속함수 라고 한다.  연속함수의 조건  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되어야 함.  𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)가 존재하여야 함.  𝑥 = 𝑎 에서의 극한값과 𝑓(𝑎) 가 같아야 함. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

예제 3-2) 다음 함수의 주어진 값에서 연속성을 확인하라. 1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2, (𝑥 = 2) 연속함수의 조건  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되어야 함: 𝑓 2 = 2(2)2= 8  𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)가 존재하여야 함: lim𝑥→2𝑓(𝑥) = lim𝑥→22𝑥 2_{= 8}  극한값과 𝑓(𝑎) 가 같아야 함: lim 𝑥→2𝑓(𝑥) = 𝑓 2 = 8 ※ 연속함수의 조건을 모두 만족하므로𝑓 𝑥 는 𝑥 = 2 에서 연속. 2)

𝑓 𝑥 =

𝑥2−4 𝑥−2

,

(𝑥 = 2)

 𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) 는 존재함: lim𝑥→2𝑓(𝑥) = lim𝑥→2 𝑥2₋₄ 𝑥−2 = lim𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2 = 4  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되지 않음: 𝑓 2 = 0 0 ∴ 𝑓 𝑥 는 𝑥 = 2 에서 불연속.

 연속함수의 기본성질과 정리 요약 (1) 두 함수 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) 가 𝑥 = 𝑎 에서 연속이면, 다음의 각 함수도 𝑥 = 𝑎 에서 연속이다  𝑘𝑓 𝑥 (단, 𝑘 는 상수)  𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)  𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥)  𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) (단, 𝑔 𝑥 ≠ 0) 2) 최대값·최소값의 정리  함수 𝑓 𝑥 가 폐구간 [𝑎, 𝑏] 에서 연속이면 𝑓 𝑥 는 그 구간에서 반드시 최소값과 최대값을 갖는다. 3) 중간값 정리  함수 𝑓 𝑥 가 폐구간 [𝑎, 𝑏] 에서 연속이고 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓(𝑏) 일 때, 𝑓 𝑎 와 𝑓 𝑏 사이의 임의의 값을 𝑘 라 하면, 𝑓 𝑥 = 𝑘 인 𝑐 가 개구간 𝑎, 𝑏 안에 적어도 하나 존재한다.

3-8. 초월함수의 극한 3-8-1. 삼각함수의 극한  𝑥 → 0 일 때, 함수

𝑓 𝑥 =

sin 𝑥 𝑥 의 극한값을 구하라 (단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) 즉,

lim

𝑥→0 sin 𝑥 𝑥

=?

(단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)  호도법 (Radian)  반지름 r인 원(그림 3-8.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계  원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°:1  360°= 2π [rad] O B A

r

r

60분법 0° ₃₀° ₄₅° ₆₀° ₉₀° ₁₂₀° ₁₈₀° ₂₇₀° ₃₆₀° 호도법 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 π 3π 2 2π (그림 3-8.1)

 부채꼴에서 호의 길이와 면적  호의 길이 (ℓ) 1 [rad] 일 때, 호의길이ℓ= r 이므로, θ:ℓ = 1 : r

𝑙 = 𝑟 · 𝜃

 부채꼴의 면적 (S) 2π ∶ π 𝑟2 _{= θ: 𝑆 이므로,}

S =

1 2

𝑟

2

_{θ =}

1 2

𝑙 · 𝑟

(예제) 반지름 5cm, 중심각π 5 인 부채꼴의 호의 길이(ℓ)와 면적(s)을 구하라. O B A

r

ℓ

θ (그림 8-3.2)