우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (13)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

1. 수열 1-1. 수열의 정의  어떤 규칙에 따라 수를 배열해 놓은 것을 수열이라 함. 1-2. 수열의 극한  수렴(convergence)  수열 𝑎_𝑛 의 𝑛 이 증가함에 따라 일정한 값 𝛼 에 한없이 가까워지면, 수열 𝑎_𝑛 은 𝛼 에수렴.  이때, 𝛼 를 수열 𝑎_𝑛 의 극한 (limit) 이라 하고, 다음과 같이 표시한다. lim 𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝛼  발산(divergence)  수렴하지 않는 수열은 발산 한다고 함. 1-3. 수열의 단조증가와 단조감소  단조증가 ( 𝑎_𝑛 ≤ 𝑎_𝑛+1 을 만족할 때)  수열이 뒤로 갈수록 그 값이 계속 커지면서 어떤 값 𝛼 에 수렴 할 때 단조증가.

<중간시험 Review)

2. 무한급수 2-1. 무한급수의 정의  수열 𝑎_𝑛 이 주어졌을 때, 각 항을 아래와 같이 +로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 라함. 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = ∞𝑘=1𝑎𝑘 ※ 이때, 𝑎_𝑛을 이 무한급수의 제 𝑛항 또는 일반항이라 함  부분합 (partial sum): 무한급수에서 첫째 항 부터 제 𝑛 항까지의 합. 𝑠_𝑛 = 𝑎₁ + 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛 = 𝑛_𝑘=1𝑎_𝑘 2-2. 무한급수의 수렴 및 발산  부분합의 수열 (𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃, … , 𝑠_𝑛) 이 극한값 𝑠로 수렴할 때, 즉 lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑠 일 때 무한급수 ∞𝑘=1𝑎𝑘 는 𝑠로 수렴한다고 하며, 이때, 𝑠를 무한급수의 합이라 한다. 𝑎₁ + 𝑎2+ 𝑎3+ ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = 𝑠 or ∞𝑘=1𝑎𝑘 = 𝑠  부분합의 수열 {𝑠_𝑛}이 발산할 때, 이 무한급수는 발산한다고 함.

3. 함수의 극한과 연속 3-1. 함수의 극한  함수의 좌∙우 극한값이 존재하며, 그 값이 같으면 극한값이 존재함. lim 𝑥→1−0𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+0𝑓(𝑥) = 2 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 =𝑥 2_{− 1} 𝑥 − 1  극한값이 존재하지 않는 경우  좌∙우 극한값이 존재하나 서로 같지 않으면, 극한값이 존재하지 않음. lim

𝑥→2−0𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→2+0𝑓(𝑥) lim𝑥→−0𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→+0𝑓(𝑥)

𝑓 𝑥 =1 𝑥 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 2 𝑥 𝑦

 극한값의 기본성질 (1) lim 𝑥→𝑎𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) (2) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) (3) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) (4)

lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

=

lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥)  극한값의 계산  확정형  불능형  부정형

 확정형  𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 가 다항함수이고 분수식의 분모 𝑔(𝑥) ≠ 0 일 때, 𝑥 의 정해진 값을 대입. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 , lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑎 , lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑎 (단, 𝑔(𝑎) ≠ 0) 예제) lim 𝑥→1 𝑥2−3 𝑥+1 = −1  불능형  함수에 𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶₀ 형 (𝐶는 상수)의 불능이 되는 경우로써 극한값은 다음과 같음 예제) lim 𝑥→2+0 −1 (𝑥−2) = −∞ , lim𝑥→1−0 −1 (𝑥−1) = ∞

 부정형 (1) 0 0 형 : 예제) lim 𝑥→0 𝑥 𝑥+1−1 = 0 0 (2) ∞ ∞ 형 : 예제 1) lim 𝑥→∞ 6𝑥2−5𝑥 3𝑥−1 = ∞ ∞ 예제 2) _lim 𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2₋₂= ∞ ∞ (3)

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

형: 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산. 예제 1) lim 𝑥→1 4 𝑥−1− 2 𝑥2₋₁ = ∞ − ∞ 예제 2) lim 𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2 × 1 (𝑥2₋₁₎ = 0 × ∞  분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분  무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다.  분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다.  무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. lim 𝑥→0 𝑥 𝑥+1−1= lim𝑥→0 𝑥 ( 𝑥+1+1) ( 𝑥+1−1)( 𝑥+1+1)= lim𝑥→0 𝑥( 𝑥+1+1) 𝑥 = 2 lim 𝑥→∞ 6𝑥2_{− 5𝑥} 3𝑥 − 1 = lim𝑥→2 6𝑥 − 5 3 −1_𝑥 = ∞ lim 𝑥→∞ 6𝑥 3 + 𝑥2_{− 2} = lim𝑥→∞ 6 3 𝑥2+ 1 −2_𝑥 = 6 lim 𝑥→1 4(𝑥 + 1) − 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= lim𝑥→1 4𝑥 + 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= ∞ lim 𝑥→1 (𝑥 − 1) 𝑥2 × 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = lim𝑥→1 1 𝑥2_{(𝑥 + 1)} = 1 2

3-2. 함수의 연속  함수

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1 는 𝑥 → 1 일 때, 극한은 존재하지만, 𝑥 = 1 에서 𝑓(1) 은 정의되지 않음. ∴ 𝑓 𝑥 = 𝑥_𝑥−12−1: lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2, 𝑓(1) ≠ 2 𝑥 = 1 에서 불연속 (discontinuous)  함수

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

은 𝑥 → 1 일 때, 극한이 존재하면서, 𝑥 = 1 을 포함한 모든 점에서 정의됨. ∴ 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1: lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2, 𝑓 1 = 2 𝑥 = 1 에서 연속 (continuous)  연속함수 (continuous function)  함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 가 연속함수의 조건을 만족하면, 𝑥 = 𝑎 에서 연속이라 하고,  모든 점 𝑥 에서 연속이면, 이 함수는 연속함수 라고 한다.  연속함수의 조건  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되어야 함.  𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)가 존재하여야 함.  𝑥 = 𝑎 에서의 극한값과 𝑓(𝑎) 가 같아야 함. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

예제) 다음 함수의 주어진 값에서 연속성을 확인하라. 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 _{+ 1, (𝑥 = 1)} 연속함수의 조건  𝑥 = 1 에서 함수의 값 𝑓 1 이 정의 되어야 함: 𝑓 1 = (1)2_{+1 = 2}  𝑥 = 1 에서 극한값 lim 𝑥→1𝑓(𝑥)가 존재하여야 함: lim𝑥→1𝑓(𝑥) = lim𝑥→1(𝑥 2_{+ 1) = 2}  𝑥 = 1 에서 극한값과 𝑓(1) 이 같아야 함: lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 𝑓 1 = 2 ※ 연속함수의 조건을 모두 만족하므로 𝑓 𝑥 는 𝑥 = 2 에서 연속. 2)

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1

, (𝑥 = 1)

 𝑥 = 1 에서 극한값 lim 𝑥→1𝑓(𝑥) 는 존재함: lim𝑥→1𝑓(𝑥) = lim𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 = lim𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥−1 = 2  𝑥 = 1 에서 함수의 값 𝑓 1 이 정의 되지 않음: 𝑓 1 =0 0 ∴ 𝑓 𝑥 는 𝑥 = 1 에서 불연속.

3-3. 삼각함수의 극한  함수 𝑓 𝑥 = sin 𝑥_𝑥 에서, 𝑥 → 0 일 때 sin 𝑥_𝑥 의 극한값은? (단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1 (단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) 예제) lim 𝑥→0 𝑥 tan 𝑥 = 0 0 3-4. 지수함수의 극한  𝑎 > 1 인 경우: lim 𝑥→∞𝑎 𝑥 _{= ∞, lim} 𝑥→−∞𝑎 𝑥 _{= 0}  0 < 𝑎 < 1 인 경우: lim 𝑥→∞𝑎 𝑥 _{= 0, lim} 𝑥→−∞𝑎 𝑥 _{= ∞} 예제)

lim

𝑥→∞ 2𝑥 3𝑥

=

∞ ∞

3-5. 로그함수의 극한  𝑎 > 1 인 경우: lim

𝑥→∞log𝑎𝑥 = ∞, lim𝑥→+0log𝑎𝑥 = −∞  0 < 𝑎 < 1 인 경우: lim log 𝑥 = −∞, lim log 𝑥 = ∞

lim 𝑥→0 𝑥 tan 𝑥= lim𝑥→0 𝑥·cos 𝑥 sin 𝑥 = lim𝑥→0 1 sin 𝑥 𝑥 ·lim 𝑥→0cos 𝑥 = 1 lim 𝑥→∞ 2𝑥 3𝑥 = lim_𝑥→∞ 2 3 𝑥 = 0 1 𝑎 1 𝑦 𝑥 0 1 1 𝑎 𝑦 𝑥 1 𝑦 𝑦

4. 변화율과 도함수  평균변화율  두변화량(∆𝑥, ∆𝑦)의 비: ∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) 𝑎+∆𝑥 −𝑎

=

𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  평균변화율은 점 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁)과 점 Q(𝑥₂, 𝑦₂)를 지나는 직선의 기울기  순간변화율 (미분계수)  만약, 𝑎 + ∆𝑥 가 𝑎 에 한없이 가까이 갈 때 (즉, ∆𝑥 → 0 일 때), 평균변화율의 극한값 lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 이 존재하면,  그 극한값을 𝑥 = 𝑎 에서 함수 𝑓 의 미분계수 또는 순간변화율 이라 하고, 다음과 같이 표시 𝑓′ _{𝑎 = lim} ∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = lim𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  순간변화율 𝑓′(𝑎) 의 기하학적 의미  𝑎 + ∆𝑥 가 𝑎 에 가까이 갈 때, 점 𝑄 가 점 𝑃 에 점근하므로,  𝑓′ _{𝑎 는 𝑃(𝑥 = 𝑎) 에서의 접선의 기울기를 나타냄.}  그러므로, 이 접선은 기울기가 𝑓′ 𝑎 이고, 점 𝑃 를 통과함. 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 접선 𝑎𝑡 𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎)

예제 4-1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 _{에 대해 다음을 구하라.} 1) 구간 [1, 3] 에서 𝑓 𝑥 의 평균변화율 _{∆𝑥 = 3 − 1 = 2 ,} ∆𝑦 =𝑓 1 + ∆𝑥 − 𝑓 1 = 16 ∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥

=

𝑓 3 −𝑓(1) 3−1

=

2·32 −{2·12} 2

= 9 − 1 = 8

2) 𝑥 = 1 에서 𝑓 𝑥 의 미분계수 𝑓′ _{𝑥 =} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥(2𝑥2) = 4𝑥 𝑓′ 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥|𝑥=1 = 4 3) 𝑥 = 1 에서 접선의 방정식 𝑓′ _{1 = 4, 𝑓 1 = 2 이므로, 접선의 방정식은:} 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑦 − 𝑓 1 = 𝑓′(1)(𝑥 − 1) 𝑦 − 2 = 4(𝑥 − 1) 𝑦 = 4𝑥 − 2

예제 4-2) 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{− 4 의 도함수를 미분의 정의를 이용하여 구하라.} 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 𝑥+∆𝑥 2−4 −{𝑥−4} ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (𝑥2+2𝑥∆𝑥+∆𝑥2)−4 −(𝑥2−4) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (2𝑥∆𝑥+∆𝑥2) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 ∆𝑥 + 2𝑎 = 2𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥(𝑥 2_{− 4) = 2𝑥}

5. 미분법

5-1. 미분법  미분의 정의를 이용하여 도함수를 구하는 것은 매우 복잡함.  미분법 정리  𝑓 𝑥 = 𝑐 이면, 𝑓′ _{𝑥 = 0, (단, 𝑐 = 상수)}  𝑐𝑓 𝑥 ′ = 𝑐𝑓′ _{𝑥 , (단, 𝑐 = 상수)}  𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) ′ _{= 𝑓}′ _{𝑥 ± 𝑔′(𝑥)}  𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ _{= 𝑓}′ _{𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)}  (𝑓(𝑥)_𝑔(𝑥))′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔_𝑔2(𝑥) ′(𝑥) , (단, 𝑔 ≠ 0)  𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 _{이면, 𝑓}′ _{𝑥 = 𝑛𝑥}𝑛−1_{, (단, 𝑛 = 정수)}  𝐹 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) 이면, 𝐹′ _{𝑥 = 𝑔}′ _{𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)} 즉, 𝑦 = 𝑔 𝑢 , 𝑢 𝑥 = 𝑓 𝑥 이면, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 (chain rule)

5-2. 합성함수의 미분  𝑦 = 𝑓(𝑥) 가 복잡한 형태, (즉 𝑦 = (2𝑥 + 1)10_{, 𝑦 = 𝑥}2_{+ 2, 등…), 로 표시 될 때, 체인룰을} 이용하여 도함수를 구함.  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥  예제) 다음함수의 도함수를 구하라 1) 𝑦 = 𝑥2_{+ 2 = (𝑥}2_{+ 2)}1₂ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 2_{+ 2)}1_{2 =} 𝑑 𝑑𝑢 (𝑢) 1 2 ·𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 2𝑢 (1₂−1)_·𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2_{+ 2 =} 1 2(𝑥 2 _{+ 2)}−1_2· 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2_{+ 2} =1₂ 𝑥2_{+ 2} −1_{2·2𝑥 =} 𝑥 𝑥2₊₂ 2) 𝑦 =_𝑡2𝑡₊₁ 의 미분 𝑦 = _𝑡2𝑡₊₁ = 𝑡 · (𝑡2 _{+ 1)}−1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 · (𝑡 2_{+ 1)}−1 ₌ 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 ·(𝑡 2_{+ 1)}−1 _{+ 𝑡 ·} 𝑑 𝑑𝑡 (𝑡 2 _{+ 1)}−1 = (𝑡2_{+ 1)}−1 _{+ t·}𝑑 𝑑𝑡 𝑢−1 = (𝑡2+ 1)−1 + t· 𝑑 𝑑𝑢 𝑢−1 · 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = (𝑡2_{+ 1)}−1 _{+ t −𝑢}−2 𝑑 𝑑𝑡 𝑡2+ 1 = (𝑡2+ 1)−1 −2𝑡2 𝑡2 + 1 −2 = 1−𝑡2 𝑡2₊₁ 2

5-3. 음함수의 미분  음함수  독립변수 𝑥 와 종속변수 𝑦 의 관계가 한 변에 표시된 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 의 형태로 주어졌을 때, 𝑦 를 𝑥의 음함수 라함.  음함수의 미분은 양함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 형태로 변환하지 않고 합성함수의 미분으로 직접구함.  예제) 다음 함수의 도함수를 구하라 1) 𝑥2_{+ 1 = 𝑦}2_{+ 𝑦}3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2+ 1 = 𝑑 𝑑𝑥(𝑦2+ 𝑦3) 2𝑥 = 𝑑 𝑑𝑦 𝑦2+ 3𝑦2 · 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 = 2𝑦 + 3𝑦2 _·𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 (2𝑦+3𝑦2₎ 2) 𝑥 = _2𝑦+1−1 𝑥 = −(2𝑦 + 1)−1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = − 𝑑 𝑑𝑥 (2𝑦 + 1)−1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = − 𝑑 𝑑𝑦 (2𝑦 + 1)−1 · 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 = −_𝑑𝑢𝑑 𝑢−1 _·𝑑𝑢 𝑑𝑦· 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 = − −𝑢−2 · 𝑑(2𝑦+1) 𝑑𝑦 · 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 = −2 −𝑢−2 · 𝑑𝑦 𝑑𝑥

5-4. 매개변수함수의 미분  매개변수 함수 미분  함수 𝑥, 𝑦 매개변수 𝑡 의 함수, 즉 𝑥 = 𝑓(𝑡) , 𝑦 = 𝑔(𝑡) 일 때, 다음과 같이 매개변수로 표현된 함수의 미분법을 이용함. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 · 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦/𝑑𝑡 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 𝑔′(𝑡) 𝑓′(𝑡) (단, 𝑓 ′ _{𝑡 ≠ 0}

)

예제) 다음 주어진 함수의 𝑑𝑦 𝑑𝑥 를 구하라. 𝑥 = 2𝑡 − 2 , 𝑦 = 𝑡3 _{+ 2} 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 2, 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑡3+ 2 = 3𝑡2

∴

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 · 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦/𝑑𝑡 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 3𝑡2 2 = 3 2 𝑥+2 2 2

5-5. 삼각함수의 미분  삼각함수의 도함수  𝑦 = sin 𝑥 𝑦′ = cos 𝑥  𝑦 = cos 𝑥 𝑦′ _{= − sin 𝑥}  𝑦 = tan 𝑥 𝑦′ = sec2_𝑥  𝑦 = cot 𝑥 𝑦′ _{= − csc}2_𝑥  𝑦 = sec 𝑥 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥  𝑦 = csc 𝑥 𝑦′ _{= − csc 𝑥 cot 𝑥} 예제) 다음 함수를 미분하라 1) 𝑦 = tan 3𝑥·sin 𝑥 𝑦′ ₌ 𝑑 𝑑𝑥 tan 3𝑥 · sin 𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 tan 3𝑥 · sin 𝑥 + tan 3𝑥 · 𝑑

𝑑𝑥 sin 𝑥 = _𝑑𝑢𝑑 tan 𝑢 ·𝑑𝑢_𝑑𝑥 · sin 𝑥 + tan 3𝑥 · cos 𝑥 = sec2_{𝑢 ·}𝑑(3𝑥)

𝑑𝑥 · sin 𝑥 + tan 3𝑥 · cos 𝑥 = 3 sec2_{3𝑥 · sin 𝑥 + tan 3𝑥 · cos 𝑥}

5-6. 지수함수와 로그함수의 미분  지수함수의 도함수  𝑦 = 𝑒𝑥 _{𝑦′ = 𝑒}𝑥  𝑦 = 𝑎𝑥 𝑦′ = 𝑎𝑥ln𝑎  로그함수의 도함수  𝑦 = ln𝑥 𝑦′ = 1_𝑥  𝑦 = log_𝑎𝑥 𝑦′ ₌ 1 𝑥·ln𝑎 예제) 다음 각 함수를 미분하라 1) 𝑦 = 𝑒𝑥sin 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥sin 2𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑒𝑥 · sin 2𝑥 + 𝑒𝑥 𝑑𝑑𝑥 sin 2𝑥 = 𝑒𝑥sin 2𝑥 + 𝑒𝑥 𝑑𝑑𝑢 sin 𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥_{sin 2𝑥 + 2𝑒}𝑥_{cos 2𝑥 = 𝑒}𝑥_{(sin 2𝑥 + 2 cos 2𝑥)}

2) 𝑦 = 𝑒𝑥 · ln(2𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 _{· ln2𝑥 =} 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 _{· ln2𝑥 + 𝑒}𝑥_· 𝑑 𝑑𝑥 ln2𝑥 = 𝑒 𝑥 _{· ln2𝑥 + 𝑒}𝑥_· 𝑑 𝑑𝑢 ln𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 _{· ln2𝑥 + 𝑒}𝑥 _·1 𝑢· 𝑑(2𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 · ln2𝑥 + 𝑒𝑥· 2 𝑥 = 𝑒𝑥 ln2𝑥 + 2 𝑥