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1. 질량 중심

2. 질량중심점의 운동

3. 선운동량

4. 선운동량의 보존

5. 운동량과 충격량

6. 충돌

7. 2차원과 3차원 충돌

제6장. 운동량과 충돌

목차

개념흐름도

고전역학 한 입자의 운동 직선운동 여러 입자의운동 평면운동 뉴턴의 운동법칙 에너지 보존 질량 중심의 운동 (선)운동량 보존 등속 원운동 구심 가속도 돌림힘 회전 관성 연속적인 물체의 운동 강체의 운동 구르는 운동 고체의 탄성 유체의 압력과 밀도 회전운동 각운동량 보존

세부개념흐름도-6장

고전역학

한 입자

여러 입자

질량중심

직선운동

충돌

회전운동

선운동량

충격량

역학적에너지

직선운동

회전운동

들어서며

물체 → 여러 입자의 모임

부피, 모양을 가짐

물체의 운동 = 질량 중심의 운동

충돌 → 물체 (입자) 간의 상호 작용

충돌 후는 충돌 전과 비교해 역학적 에

너지가 보존 될 것인가?

뉴턴의 운동법칙이 그대로 적용될 것

인가?

물체 → 질점계, 질점의 집합

물체를 질점으로 간주할 경우 질점의 운동이 물체의 운동을 대표한다. 물체가 회전운동이나 진동을 할 경우 물체에 질량중심이라는 점이 있어 똑 같은 외력을 받는 한 개의 질점이 움직이는 것과 똑 같은 운동을 한다. 질량중심의 정의 2 1 2 2 1 1 m m x m x m x_cm + + = 질점이 직선상에 n개 있을 경우 n n n cm m m m x m x m x m x   + + + + = 2 1 2 2 1 1 M x m m x m _{i i} i i i







₌ =

1. 질량 중심

O x y m_i (x_i, y_i, z_i) r_i







= = = i i cm i i cm i i cm z m M z y m M y x m M x 1 1 1

k

j

i

r

_i

=

x

_i

+

y

_i

+

z

_i

k

j

i

r

_cm

=

x

_cm

+

y

_cm

+

z

_cm

=



i i

m

M

r

1







 =  =  = i i cm i i cm i i cm z m M z y m M y x m M x 1 1 1

1. 질량 중심

질점계의 질량중심

(

)

(

3.0 5.0

)

kg 10 m m kg 16 0 . 5 0 0 . 3 2 1 2 2 1 1 = +   +  = + + = m m x m x m x_cm

예제 6.1 두 물체의 질량 중심점

질량이 3 kg 인 물체로 부터 10 m 떨어진 점 x₁=0, x₂=16 질량이 각각 3.0 kg과 5.0 kg인 두 물체가 16 m 떨어져 있다. 이 두 물체의 질량중심 은 어디에 있는가? 풀이] 두 물체의 x좌표 16 m 3.0 kg 5.0 kg

































=

=





=

=

=





=

=

=





=

→  →  → 

m

z

M

m

m

z

m

z

m

z

m

y

M

m

m

y

m

y

m

y

m

x

M

m

m

x

m

x

m

x

i i i m cm i i i m cm i i i m cm i i i

d

1

d

d

lim

d

1

d

d

lim

d

1

d

d

lim

0 0 0



= m M cm d 1 r r

1. 질량 중심

연속적인 질량 분포 의 질량중심

2 2 2 d d d 0 2 0 0 L M L L x x x x x m x Mx L x x L L cm  =  =       = =  = = = =







    2 L x_CM = 

(

M L

)

L M   =  =

예제 6.2 균일한 질량 분포를 가진 막대

(막대의 중심점) L 균일한 질량 분포를 가진 길이가 L인 막대의 질량중심은 어느 곳에 있는가? 풀이] 단위 길이당 막대의 질량 :  막대의 총 질량 : M

(

)

(

)

(

)

(

6.0 10.0

)

kg 1.1m m kg 0 0 . 10 0 . 3 0 . 6 1 m 1 . 3 kg 0 . 10 0 . 6 m kg 0 . 5 0 . 10 0 0 . 6 1 = +   +  = = = +   +  = =





i i cm i i cm y m M y x m M x

예제 6.3 L자 모양 물체의 질량 중심점

3.0 m 10.0 kg 6.0 kg x y 그림 6.2와 같이 L자 모양을 한 물체가 있다. 물체의 질량 분포는 균일하며, y축 방 향의 막대 길이는 6.0 m, x축 방향의 막대 길이는 10 m이다. 이 물체의 질량중심은 어느 곳에 있는가? 풀이] 각각의 막대의 중심에 질량이 집중되어 있으므로

(1) , 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 m m y m y m y m m x m x m x_{cm cm} + + = + + = 0 , 0 = = _cm cm y x 3 0 0, 1 2 2 2 2 1 m m y x m R m = = = + −

예제 6.4 일부가 제거된 원판의 질량중심점

(원판의 밀도 : 일정) 3 2 R x =        =  , 0 3 R cm r 아래 그림과 같이, 반지름이 2R인 금속 원판에서 반지름이 R인 금속 원판을 제거 하였다. 이 물체의 질량중심에서 반지름 2R인 원판의 중심까지 거리를 구하여라. 단, 원판의 밀도는 일정하다. 풀이] 제거된 원판 :질량 m₁, 제거된 원판의 질량중심( x₁, y₁ ) 남은 부분의 질량: m₂, 남은 질량 중심 : ( x₂, y₂ ) 원판을 제거하기 전의 처음 질량 중심의 좌표 제거된 금속 원판의 질량중심좌표 : x₁ = -R, y₁ =0 ) , (x₁ y_{1 (x2 ,y2)} x y

1. 질량 중심

(1) 식을 시간에 대하여 미분하면 n n cm m m m M v = ₁v₁ + ₂v₂ ++ v (2) n n cm m m m M r = ₁r₁ + ₂r₂ ++ r (1) (2)식을 시간에 대하여 미분하면 n n cm m m m M a = ₁a₁ + ₂a₂ ++ a (3) 합력

F

F

F

F

=

+

+

+

=

_{1 2}



_n 질점계의 총질량과 질량중심의 가속도와의 곱은 질점계에 작용하는 모든 힘의 벡터합과 같다.

2. 질량중심점의 운동

질량중심의 운동

질점계

외력

F

F

F

F

a

_cm

=

+

+

+

_n

=

M

_{1 2}



1n 13 12 1e 1

F

F

F

F

F

=

+

+

+



+

2n 23 21 2e 2

F

F

F

F

F

=

+

+

+



+

. . . 1 n n n2 n1 ne n = F +F +F + + F − F  ji ij

F

F

=

−

2. 질량중심점의 운동

질점계의 총질량과 질량중심의 가속도와의 곱은 질점계에 작용하는 알짜 외력과 같다.

질량중심과 입자들에 작용하는 힘

태양 지구 달

s 2 ) m/s 10 ( 2 1 m 20 = 2 2  = = t t H m 20 ) s 2 )( m/s 10 ( = = D kg 1 ) kg 8 . 0 ( ) m 10 )( kg 2 . 0 ( m 20 = + x

예제 6.5 두 개로 갈라진 물체 조각의 위치

m 5 . 22 =x 10 m/s 10 m H=20 m x 질량중심의 운동 D = 20 m 1 kg의 물체를 수직 절벽 위에서 수평 방향으로 10 m/s의 속력으로 던졌더니, 떨어 지는 중간에 물체가 두 개로 갈라진 뒤 0.2 kg의 질량을 가진 조각이 20 m 아래의 바닥에 절벽으로부터 10 m 떨어진 곳에서 찾을 수 있었다. 다른 조각은 어디에 있 는가? 중력가속도는 g = 10 m/s2이라고 하자. 풀이] 물체가 갈라지지 않는다면 - 수직방향 (등가속도 운동) 수평 방향( 등속운동) 질량중심의 위치 (다른 조각의 위치)

m v

p = mv

_{: 질점의 선운동량} F a v v p = = = = m t m t m t d d d ) ( d d d t d dp F = n 2 1

p

p

p

p

=

+

+



+

n n m m m v + v + + v = _{1 1 2 2} 

=

M

v

_cm

=

p

cm n n n M m m m t a a a F F F a p = + + + = + + + = _{1 1 2 2}  _{1 2}  d d F a p = = M d

3. 선운동량

물체계(입자계) ⚫ 총운동량 - 각 질점의 운동량의 벡터합으로 정의

선운동량의 정의

질점

계에 작용하는 외력의 합이 0이면 계의 총운동량은 일정하게 유지된다.

constant

0

d

d

=

=

=

F

p

p

외력

t

운동량 보존법칙(conservation of linear momentum)

0 2 1

p

p

p

p

+

+



+

_n

=

예1) Exploding projectile

4. 선운동량의 보존

after before t F p p p = → = = 0 d d 외력 2 2 1 1

0

=

m

v

+

m

v

1 2 2 1 m m v v − = 2 2 1 1v m v m = − 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 m m m m m m v v m m v m v m K K =       =       = = 운동에너지 비 : 속도 비 :

예제 6.6 두 스케이트 선수의 운동

질량이 각각 m₁과 m₂인 소년과 어른 스케이트 선수가 그림 6.5와 같이 얼음판 위에 있다. 이 두 사람이 어느 순간 서로 밀었다면, 두 사람의 미끄러지는 속력의 비는 얼마인가? 또 두 사람의 운동에너지의 비는 얼마인가? 풀이] 운동량 보존법칙 _m 1 m₂ F -F

외력이 없는 경우(무중력 상태) v p_i = M = p_f = (M − m)(v + v)+ mu

0

=



+





−



−



v

m

v

m

v

m

u

M

(

mv  0

)

t

m

t

M





−

−

=





)

(

u

v

v

t

M

t

M

_rel

d

d

d

d

v

v =

_{: 추진력} v u v' v_rel = = − : 분출속도 t M d d : 분출률

4. 선운동량의 보존 (로케트)

제트 추진과 로켓의 운동

u v’ v' -v u = : 정지계에서 관측한 분출물질의 속도

(1)

)

(

)

(

M

+

m

v

=

M

v

+



v

+

m

u

(2) ' v v u = − ' v M m v =  ' v M m v + M+m M m v’ (정지계에 대한 분사물질의 속도) u (로케트에 대한 분사물질 속도)

예제 6.7 우주선의 최종속력

우주 공간에서 속력 v로 움직이던 소유즈 우주선이 속력을 높이기 위해 질량이 m 인 물체를 움직이는 방향과 반대 방향으로 우주선에 대한 상대속력 v’로 분출하였 다. 초기 우주선의 질량을 M+m이라고 할 때 분출 후 우주선의 최종속력은 얼마인 가? 풀이] 운동량 보존법칙 정지계에 대한 분출된 물체의 속력 u (2)를 (1)에 대입 우주선의 최종속력 :

)

(

)

(

₂₁ 12

t

F

t

F

=

−

5. 운동량과 충격량

충격력 (impulsive force) • 두 물체가 충돌하는 동안에 작용하는 힘

충돌

두 개 이상의 물체가 짧은 시간 동안에 힘을 서로 작용하고 고립된 사건

충돌에 있어서 충돌전의 상태와 충돌후의 상태는 명확히 알 수 있다. 충돌하고 있는 동안 외부의 힘은 충격력에 비하여 상대적으로 매우 작으므로 무시한다. F p = t d d

t

d

d

p =

F





=

f i f i t t

d

t

d

p

F

p p : 충격량(impulse)

J

F

=



f i t t

d

t

J

p

p

_f

−

_i

=

충돌하는 동안 충격력은 알지 못하더라도 충돌 전후의 운동량을 알면 충격량을 알 수 있다.

5. 운동량과 충격량

충격량－운동량 정리

(

) (

i

)

i

i

p

p

J

mv

mv

mv

i f

2

=

−

−

+

=

−

−

=

음의 부호는 되튀겨 나가는 방향

예제 6.8 벽체 튕긴 공

v m v 질량이 m인 공을 속도 v로 벽에 던졌더니, 같은 속력으로 되튕겨 나왔다. 벽과 충 돌하는 과정에서 벽이 공에 작용한 충격량은 얼마인가? 풀이] 충격량 = 운동량의 변화량 충돌 시간 동안 공이 벽에 작용한 충격량

mv

2

+

m

v

i jˆ  30

'

v

 30

(

v =

v

'

)

예제 6.9 바닥에 가해진 평균 힘의 크기

(

v

v

)

j

j

p

=

m

−

=

mv

=

mv



'

2

sin

30

mv

t

F

J

=



=

질량이 0.2 kg이고, 속력이 v = 40 m/s인 공이 그림과 같이 바닥과 탄성충돌하여 수 평면에 대해 30o의 각도로 반사될 때, 이 공이 바닥과 충돌한 시간이 0.1초라면 바 닥에 가해진 평균힘의 크기는 얼마인가? 풀이] 운동량의 변화

 

t

mv

F

N

80

N

1

.

0

40

2

.

0

=



=



=



충격량 바닥에 가해진 힘

m₁의 운동량의 변화



= − =  f i t t i f 1 12 dt 1 1 p p F p m₂의 운동량의 변화



= − =  f i t t i f 2 21dt 2 2 p p F p 2 1

p

p

=

−





0

2 1

+



=



=



p

p

p

21 12

F

F

=

−

충돌전후의 총운동량은 변하지 않는다.

6. 충돌

F₂₁ F₁₂ m₁ m₂

충돌에서 운동량 보존법칙

6. 충돌

충돌의 종류

탄성충돌(elastic collision) • 충돌전후에 운동에너지가 보존되는 경우 비탄성충돌(inelastic collision) • 충돌전후에 운동에너지가 보존되지 않는 경우 완전비탄성충돌 • 충돌 후에 두 물체가 하나로 달라붙는 경우 • 에너지의 변환 2 ' 2 2 2 ' 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v m v m v m v m + = +

' 2 2 ' 1 1 2 2 1 1v m v m v m v m + = + 2 ' 2 2 2 ' 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v m v m v m v m + = +

6. 충돌

1차원 탄성충돌(정면충돌) (

동영상

)

운동량 보존 운동에너지의 보존 ) ( ) ( _{1 1}' _{2 2}' ₂ 1 v v m v v m − = − ) ( ) ( ₁2 ₁'2 _{2 2}' 2 ₂2 1 v v m v v m − = − 2 ' 2 ' 1 1

v

v

v

v

+

=

+

정리

충돌전의 속도 v₁, v₂를 안다면

v

₂'

=

v

₁

+

v

₁'

−

v

₂ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ' 1 2 v m m m v m m m m v _      + +       + − = 2 2 1 1 2 1 2 1 1 ' 2 2 v m m m m v m m m v _      + − +       + = (i) m₁ = m₂

v

₁'

=

v

₂

v

₂'

=

v

₁ m₁ >> m₂ 1 ' 2 1 ' 1

v

v

2v

v





(ii) v₂ = 0 1 2 1 1 ' 2 1 2 1 2 1 ' 1 2 v m m m v v m m m m v _      + =       + − = m₁ << m₂ ' ₀ 2 1 ' 1 = −v v = v

6. 충돌

24 1 96 4 ₂ 1 v v v = = 2 1 2 1 2 2 1 1 0 v m m v v m v m + =  = −

24

1

24

1

24

2 2 2 2 2 1 1 2 1



=













=

=

v

m

v

m

KE

KE

예제 6.10 운동에너지의 비

1

v

2

v

m₁ m₂ 정지해 있던 질량이 100인 원자핵에서 질량이 4인 덩어리가 속력 v로 튀어나왔다. 원자핵의 운동에너지는 튀어나온 덩어리의 운동에너지의 몇 배인가? 풀이] 원자핵의 질량과 속력 : m₁, v₁ 튀어나온 덩어리의 질량과 속력 : m₂, v₂ 운동량 보존법칙 원자핵의 속력 원자핵과 튀어나온 덩어리의 운동 에너지의 비

V m m M v = + gh m M V m M ) 0 0 ( ) ( 2 1 ₂ + + = + + gH V = 2



_v

=

M

+

m

₂

_gH

예제 6.11 탄환진자 (Ballistic pendulum)

어떤 총에서 발사되는 탄환의 속도를 실험실에서 측정하기 위하여 정지해 있는 나 무토막에 탄환을 발사하여 탄환이 박힌 나무토막이 얼마나 높이 올라가는지 측정 하였다. 그림 6.9에서와 같이 공중에 매달린 질량이 M인 나무토막에, 질량이 m인 탄환이 날아와 박힌 채로 한 덩어리로 운동한다고 하자. 충돌 후 나무토막의 속력 을 V라 할 때, 탄환의 속력은 얼마인가? 풀이] 충돌전의 운동량 충돌후의 운동량 운동량 보존 법칙

(

)

(

M m

)

V mv V m M mV + = + 탄환의 속력 역학적 에너지 보존법칙으로부터

(

m M

)

V mv = + gd v mv mgd 2 2 1 ₂ =  = gd m M m m M mv V 2 + = + =

예제 6.12 완전 비탄성충돌

아래 그림과 같이 끈의 길이가 l로 같은 두 진자의 끝에 질량이 각각 m, M인 두 공 이 달려 있다. 질량이 m인 공을 d만큼 높은 위치까지 들어올렸다가 놓았다. 여기서 끈의 질량은 무시한다. 완전 비탄성충돌이 일어나는 경우 충돌 직후에 합쳐진 물 체의 속력은 얼마인가? 풀이] 질량이 m 의 충돌 직전의 속력 : v 역학적 에너지 보존 두 공이 합쳐지기 전과 후의 운동량 보존 법칙 충돌 후 합쳐진 물체의 속력

예제 6.13 선운동량 보존과 질량중심

다음 그림과 같이 길이가 L인 기차의 왼쪽 벽(x = 0)에 질량이 m인 철수가 서 있다. 철수와 기차는 모두 정지해 있다. 이제, 철수가 기차의 오른쪽 벽으로 이동한다. 기 차의 질량이 M이고 기차와 선로 사이에는 마찰이 없다. (1) 철수가 기차의 왼쪽 벽에 서 있을 때(즉 철수의 위치가 x = 0일 때) 기차와 철수 를 합한 전체 계의 질량중심의 좌표 x_cm을 구하여라. (2) 초기에 정지해 있던 철수가 속력 v로 움직일 때 기차와 철수를 합한 전체의 선 운동량은 얼마인가? (단, 이 경우 철수의 속력 v는 외부에 정지한 관측자가 본 속력 이다) (3) 철수가 속력 v로 움직이는 동안 기차가 움직이는 속력은 얼마인가? (4) 철수가 기차의 오른쪽 벽까지 갔을 때 기차와 철수를 합한 전체의 질량중심의 좌표는 얼마이어야 하는가? (5)철수가 이동하는 동안 기차도 움직였다면, 철수가 기차의 오른쪽 벽까지 갔을 때 기차가 움직인 거리는 얼마인가? 풀이] 질량이 m 의 충돌 직전의 속력 : v

(1) 전체 계의 질량중심

(

M m

)

ML L M m m M m x m M M x m M m x L x x M m CM M m + = +  + = + + + = = = 2 ) 2 0 ( 2 , 0 (2) (철수+열차)의 총운동량 =0

예제 6.13 선운동량 보존과 질량중심

(3)기차의 속도 V :

v

M

m

V

MV

mv

+

=

0



=

−

(

M m

)

ML x_CM + = 2 (4) (철수+열차)의 질량중심 y L/2 m M x L x_CM

x

L

v

(5) 열차가 이동한 거리 : s

(

)

2

2

)

(

m

M

ML

m

M

s

L

M

s

L

m

+

=

+











 −



+

−



(

M

m

)

mL

s

+

=



s

L

x

s

L

x

_M

=

−

,

_m

=

−

2

예제 6.8 선운동량 보존과 질량중심

x = 0 s L/2 - s L - s x x

2차원 충돌 운동량 보존법칙 : m₁v₁ + 0 = m₁v₁'+m₂v₂' 2 2 2 1 1 1 1 1v m v 'cos m v 'cos m = + 2 2 2 1 1 1 'sin 'sin 0 = m v



− m v



탄성 충돌일 경우 : ' 2 2 2 2 ' 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 v m v m v m = +

7. 2차원과 3차원 충돌

예제 6.14 2차원 충돌

(2) sin 3 60 sin 2 (1) cos 3 60 cos 2   mV mv mV mv mv = = + x축: y축: v V V v v V V v 3 1 sin sin 3 3 3 2 cos cos 3 2 =  = =  =     v V V V _{x y} 3 7 2 2 = + =  (1) 충돌 후 물체의 속력 그림과 같이 질량이 각각 m, 2m인 두 물체가 속력 v로 서로 60o의 각을 이루며 날아 와서 충돌한 후, 한 덩어리가 되어 운동한다. (1) 중력을 무시할 때, 충돌 후 질량이 3m인 이 물체의 속력은 얼마인가? (2) 충돌 전후 에너지 손실은 얼마인가? 풀이] 운동량 보존법칙 두 식의 정리

예제 6.14 2차원 충돌

(2) 충돌 전 후 에너지 손실 충돌 전의 운동에너지 에너지 손실

( )

2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 mv v m mv + = 충돌 후의 운동에너지

( )

2 2 6 7 9 7 3 2 1 mv v m  =      3 1 6 7 2 3 2 2 2 mv mv mv KE KE_{i f} = − = −

정리

물체의 운동 = 질량 중심의 운동

질량 중심

2 1 2 2 1 1 m m x m x m x_cm + + =

(선)운동량, 힘, 보존 법칙

p =

mv

선운동량과 힘

선운동량 보존 법칙

₀

_constant

d

d

=

=

=

F

p

p

외력

t

t d dp F =

완전 탄성 충돌: 충돌 전 후 운동량 보존 및 역학적 에너지 보존

충돌