2020 풍산자 라이트 수학1 답지 정답

(1)

수학Ⅰ

풍산자

필수 개념 연계 문항들로 빠르게 끝내는 단기 완성서

정답과 풀이

(2)

p. 06

0

1

⑴ -3, 3Ñ313 i 2 ⑵ Ñ2, Ñ2i

0

2

⑤

0

3

⑤

0

4

③

0

5

③

0

6

④

0

7

⑴ 7 ⑵ 47

지수

0

1

⑴ -27의 세제곱근을 x라고 하면 xÜ`=-27이므로 xÜ`+27=0 (x+3)(xÛ`-3x+9)=0 ∴ x=-3 또는 x=3Ñ313 i 2 따라서 -27의 세제곱근은 -3, 3Ñ313 i 2 이다. ⑵ 16의 네제곱근을 x라고 하면 xÝ =16이므로 xÝ`-16=0, (xÛ`-4)(xÛ`+4)=0 (x-2)(x+2)(xÛ`+4)=0 x=Ñ2 또는 x=Ñ2i 따라서 16의 네제곱근은 Ñ2, Ñ2i이다.

0

2

① -8의 세제곱근을 x라고 하면 xÜ`=-8이므로 xÜ`+8=0 (x+2)(xÛ`-2x+4)=0 ∴ x=-2 또는 x=1Ñ13 i ② 1¶256 =16의 네제곱근을 x라고 하면 xÝ`=16이므로 xÝ`-16=0, (xÛ`-4)(xÛ`+4)=0 (x+2)(x-2)(xÛ`+4)=0 ∴ x=Ñ2 또는 x=Ñ2i ③ 1의 세제곱근을 x라고 하면 xÜ`=1이므로 xÜ`-1=0 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴ x=1 또는 x=-1Ñ13 i` 2 ④ -16<0이고 4는 짝수이므로 -16의 네제곱근 중 실수 인 것은 없다. ⑤ 81>0이고 4는 짝수이므로 81의 네제곱근 중 실수는 ÑÝ1¶81 =ÑÝ"3Ý` =Ñ3이다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

0

3

ㄱ. Ü13`Ü19 =Ü1¶3_9 =Ü"3Ü`=3 (참) ㄴ. (Ý1¶36)Û`=Ý"36Û`=Ý"6Ý` =6 (거짓) ㄷ. Ý1¶16` Ý1¶10000` =4®É;10Á0¤00; =4¾Ð{;1ª0;}4`=;1ª0;=;5!; (참) ㄹ. Ý"Ü13=12 13 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

0

4

"aÜ`b ÖÜ"aÞ`bÛ` _ß"aà`b=a;2#;_b;2!;_Öa;3%;_b;3@;_{_a};6&;_b;6!; _=a;2#;-;3%;+;6&;_b;2!;-;3@;+;6!; _=aÚ`bâ`=a

정

답

과

풀

이

0

5

16;4#;_2-3 =(2Ý`);4#;_2-3 =2Ü`_2-3 =23-3 =20 =1

0

6

(218_Ö212₎_12`1₌₍₂18-12₎_12`1 =(2212-12₎_12`1 =(212)12`1₌₂12_12`1 =2

0

7

⑴ x+x-1_=(x;2!;_+x-;2!;₎2_-2 ` =3Û`-2=7 ⑵ xÛ`+x-2_=(x+x-1₎2_-2 =7Û`-2=47 p. 08

0

1

⑴ 4 ⑵ 32

0

2

③

0

3

⑴ 2 ⑵ 1

0

4

②

0

5

⑴ 3a+b ⑵ 4a-2b

0

6

⑤

0

7

②

0

8

④

로그

0

1

⑴ 로그의 정의에 의하여 2x_{=16, 즉 2}x₌₂4_∴ x=4 ⑵ 로그의 정의에 의하여 25_{=x ∴ x=32}

0

2

밑의 조건에서 x-1>0, x-1+1 ∴ x>1, x+2 yy`㉠ 진수의 조건에서 4-x>0 ∴ x<4 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<x<2 또는 2<x<4 따라서 구하는 자연수 x의 값은 3이다.

0

3

⑴ 2`logÁ¼ 2+logÁ¼ 25=logÁ¼ 2Û`+logÁ¼ 25 =logÁ¼ (2Û`_25) =logÁ¼ 100 =logÁ¼ 10Û` =2`logÁ¼ 10=2 ⑵ logª`6-2`logª`13 =logª`6-logª(13 )Û` ` =logª 6` (_13)Û` =logª`;3^;=logª`2 =1

02

정답과 풀이

(3)

0

4

log;3!;`2+log9`8+log3`12 =log3ÑÚ``2+log3Û`2Ü`+log£`2;2!; =-log£`2+;2#;`log£`2+;2!;`log£`2 ={-1+;2#;+;2!;} log£`2 =log£`2

0

5

⑴ log°`24=log°`(2Ü`_3) =3`log°`2+log°`3 =3a+b ⑵ log°`:Á9¤:=log°`16-log°`9 =log°`2Ý`-log°`3Û` =4`log°`2-2`log°`3 =4a-2b

0

6

logª`9_log£`8=log°`9_log°`2_log°`8_log°`3

₌log°`3Û`

log°`2 _log°`2Ü`log°`3

₌2`log°`3

log°`2 _3`log°`2log°`3

=2_3=6 참고 밑이 다른 로그의 계산에서 로그의 밑의 변환 공식을 이용 할 때, 밑을 1이 아닌 어떤 양수로 변환해도 그 결과는 같 다.

0

7

로그의 밑의 변환 공식에 의하여 1

logª`12+log£`121 +log°`121 =logÁª`2+logÁª`3+logÁª`5 =logÁª`(2_3_5)=logÁª`30 ∴ a=30

0

8

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log£`a+log£`b=2, log£`ab=2 ∴ ab=3Û`=9 p. 10

0

1

⑴ 3 ⑵ -2 ⑶ ;3@;

0

2

0.1418

0

3

⑤

0

4

③

0

5

⑴ 26.4 ⑵ 0.00264

0

6

⑴ 7자리 ⑵ 소수 넷째 자리

0

7

③

0

8

326광년

상용로그

0

1

⑴ log`1000=log`10Ü`=3 ⑵ log`0.01=log`10-2_=-2

⑶ log`Ü14100=log`100;3!;_=log`10;3@;₌_;3@;

0

2

log`1.32의 값은 1.32에서 1.3의 행과 소수 둘째 자리의 숫 자인 2의 열이 만나는 곳의 수이므로 log`1.32=0.1206 log`1.05의 값은 1.05에서 1.0의 행과 소수 둘째 자리의 숫 자인 5의 열이 만나는 곳의 수이므로 log`1.05=0.0212 ∴ log`1.32+log`1.05=0.1206+0.0212=0.1418

0

3

log`60=log(2_3_10) =1+log`2+log`3 =1+0.3010+0.4771 =1.7781

0

4

log`482+log`0.0482 =log`(4.82_10Û`)+log`(4.82_10-2₎ =2+log`4.82+(-2)+log`4.82 =2`log`4.82 =2_0.6830 =1.3660

0

5

2.4216=2+0.4216이므로 log`264=log (2.64_10Û`)=2+log`2.64 ∴ log`2.64=0.4216 ⑴ log`x=1.4216=1+0.4216=log (2.64_10) ∴ x=26.4 ⑵ -2.5784=-3+(1-0.5784)=-3+0.4216이므로 ⑵ log`x=-3+0.4216=log (2.64_10ÑÛ`) ⑵ ∴ x=0.00264

0

6

⑴ 220 에 상용로그를 취하면 log`220 =20`log`2=20_0.3010=6.020 따라서 log`220_{의 정수 부분이 6이므로 2}20_{은 7자리의 정} 수이다. ⑵ {;2!;}1`0`에 상용로그를 취하면 log`{;2!;}1`0`=log`2-10 =-10`log`2 =-10_0.3010 =-3.010=-4+(1-0.010) =-4+0.990 따라서 log`{;2!;}1`0`의 정수 부분이 -4이므로 {;2!;}1`0`은 소수 넷째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 정답과 풀이

03

풍산자특강수학(I)정답(02~40).indd 3 2018-10-29 오후 12:01:55

(4)

0

7

10<x<100의 각 변에 상용로그를 취하면 1<log`x<2 yy`㉠ log`x의 소수 부분과 log`xÜ`의 소수 부분이 같으므로 log`xÜ`-log`x =3`log`x-log`x =2`log`x=(정수) ㉠의 각 변에 2를 곱하면 2<2`log`x<4 ∴ 2`log`x=3` log`x=;2#; ∴ x=10;2#;=101¶10

0

8

겉보기 등급이 2, 절대 등급이 -3이므로 m-M=5`log`r-5에 m=2, M=-3을 대입하면 2-(-3)=5`log`r-5, log`r=2 ∴ r=100(파섹) 따라서 구하는 거리는 100_3.26=326(광년)

0

1

③

0

2

④

0

3

③

0

4

⑤

0

5

15

0

6

⑤

0

7

②

0

8

④

0

9

③

10

①

11

④

12

⑤

13

③

14

①

15

④

16

③

17

①

18

3.8938

19

①

20

②

21

11

22

②

23

③

실력

확인 문제

p. 12

0

1

ㄱ. n이 짝수일 때, 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 a>0이면 2개, a=0이면 1개, a<0이면 없다. (거짓) ㄴ. -64의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü14-64 =Ü"Ã(-4)Ü` =-4 (거짓) ㄷ. 16의 네제곱근을 x라고 하면 xÝ`=16이므로 xÝ`-16=0, (x+2)(x-2)(xÛ`+4)=0 x=Ñ2 또는 x=Ñ2i 네제곱근 16은 Ý_{1416 =Ý"2Ý` =2 (거짓)} ㄹ. n이 홀수일 때, 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 n "a 의 1개이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄹ이다.

0

2

256의 네제곱근 중 양의 실수인 것은 Ý14256=Ý"4Ý` =4 ∴ a=4 -125의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü14-125=Ü"Ã(-5)Ü` =-5 ∴ b=-5 ∴ a-b=9

0

3

Ü_{"2Û` _2}-;4!;_{_Ý}_"2à` =2;3@;_{_2}-;4!;_{_2};4&; =2;3@;-;4!;+;4&;=2:Á6£: ∴ k=:Á6£:

0

4

3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로 통분하여 지수를 같게 하면 A=Ü13=Ú`Û"3Ý` =Ú`Û1481 B=Ý14=Ú`Û"4Ü` =Ú`Û1464 C=ß16=Ú`Û"6Û` =Ú`Û1436 이때 Ú`Û_{1436<Ú`Û1464<Ú`Û1481이므로} ß16<Ý14<Ü13 ∴ C<B<A

0

5

Á¢aÜ`"aÛ``Ý'a =1a_ß"aÛ`_Û`Ý1a =Û`Ý"aÚ`Û`_Û`Ý"a¡`_Û`Ý1a =Û`Ý_{"aÚ`Û`_a¡`_a=Û`Ý"aÛ`Ú`=¡"aà`} =a;8&; 따라서 m=8, n=7이므로 m+n=15

0

6

주어진 식의 분모, 분자에 각각 2x 을 곱하면 2 3x -2-3x 2x_-2-x =2 4x -2-2x 2Û`x_-1 =3 2 -;3!; 3-1 =:Á3£:

0

7

[1단계] (a;2!;+a-;2!;)Û` =a+2+a-1 =7+2=9 a>0이므로 a;2!;_+a-;2!;₌₃ [2단계] 위의 식의 양변을 세제곱하면

(a;2!;)3`+(a-;2!;)3`+3_a;2!;_a-;2!;_(a;2!;+a-;2!;)=27 a;2#;+a-;2#;+3_1_3=27 ∴ a;2#;+a-;2#;=18

0

8

48a =16에서 48a =24 , (48a );a!;=(24 );a!; ∴ 48=2;a$; _yy`㉠ 3b =8에서 3b =23 , (3b );b!;=(23 );b!; ∴ 3=2;b#; yy`㉡㉠Ö㉡을 하면 48Ö3=2;a$;_Ö2;b#; 16=2;a$;-;b#;=24 ∴ ;a$;-;b#;=4

(5)

0

9

[1단계] ax =16에서 ax =24 이므로 (ax );[!;=(24 );[!;=2;[$; ∴ a=2;[$; 마찬가지로 by =24 에서 b=2;]$; _cz₌₂4_에서 c=2;z$; [2단계] abc=2;[$;_{_2};]$;_{_2};z$; abc=2;[$;+;]$;+;z$; ` abc=24{;[!;+;]!;+;z!;}₌₂3 이므로 4{;[!;+;]!;+;z!;}=3 ∴ ;[!;+;]!;+;z!;=;4#;

10

logx-3(-x2+9x-18)에서 밑의 조건에 의하여 x-3>0, x-3+1 ∴ x>3, x+4 yy`㉠ 진수의 조건에 의하여 -x2 +9x-18>0 즉, x2_{-9x+18<0이므로} (x-3)(x-6)<0 ∴ 3<x<6 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 3<x<4`또는`4<x<6 따라서 구하는 자연수 x는 5의 1개이다.

11

logª`3+logª`6-logª`9=logª` 3_6 9 =logª`2=1

12

log¦`1¶12=log¦`12;2!;₌_{;2!;`log¦`(2Û`_3)} =log¦`2+;2!;`log¦`3 =a+;2!; b

13

logª`48-logª`3+log£`64_log£`2 =logª`48-logª`3+logª`64 =logª`(2Ý`_3)-logª`3+logª`2ß` =4+logª`3-logª`3+6 =4+6=10

14

로그의 밑의 변환 공식에 의하여 1

log£`x+log¢`x1 +log°`x1 =logx`3+logx`4+logx`5 =logx`(3_4_5) =logx`60=_log¤¼`x1 ∴ a=60

15

로그의 정의에 의하여 2x =3에서 x=logª`3 3y_{=5에서 y=log£`5} ∴ xy=logª`3_log£`5 =logÁ¼`3_logÁ¼`2_logÁ¼`5_logÁ¼`3 =logÁ¼`5_logÁ¼`2 ` =logª`5

16

a=log°`(`1+12)에서 로그의 정의에 의하여 5a =1+12 5-a =₁₊1 12` =(1+_12)(1-12)1-12` =12 -1 ∴ 5 a₊₅-a 5a_-5-a=(1+₍₁₊12)+(12 -1)`_12)-(12 -1) =212`₂ =12`

17

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 logªà+logª`b=4, logªà_logª`b=2 ∴ `loga`b+logbà

=_logªàlogª`b+logªà_logª`b =(logªà)Û`+(logª`b)Û`_{logªà_logª`b} =(logªà+logª`b)Û`-2_logªà_logª`b_{logªà_logª`b} =4 2_{-2_2} 2 =6

18

1.8267=1+0.8267이므로 log`67.1=log (6.71_10)=1+log`6.71 따라서 log`6.71=0.8267이므로 a=log`6710=log (6.71_10Ü`)=3+log`6.71=3.8267 -1.1733 =-2+(1-0.1733) =-2+0.8267 이므로 log`b=-2+0.8267 log`b=log (6.71_10ÑÛ`) ∴ b=0.0671 ∴ a+b =3.8267+0.0671 =3.8938 다른 풀이 a =log`6710=log`(67.1_10Û`) =2+log`67.1 =2+1.8267 =3.8267 정답과 풀이

05

(6)

19

log`50=log`(5_10)=1+log`5에서 0<log`5<1이므로 n=1, a=log`5 ∴ 10 n +10a 10n_-10a=10 1 +10log`5 101 -10log`5 =10+5 log`_Ú``_â` 10-5log`Ú`` â` ` =10+5 10-5=3

20

log`A의 정수 부분을 n, 소수 부분을 a라고 하면 이차방정식 2xÛ`+3x+k=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 n+a=-;2#;, na=;2K; (단, n은 정수, 0Éa<1이다.) 이때 -_{;2#;=-2+;2!;이므로} n=-2, a=;2!; ∴ k=2na=2_(-2)_;2!;=-2

21

610 에 상용로그를 취하면 log`610_{=10`log`(2_3)} =10(log`2+log`3) =10(0.3010+0.4771) =7.781 따라서 log`610_{의 정수 부분이 7이므로 6}10_{은 8자리의 정수} 이다. ∴ m=8 {;5#;}1`0`에 상용로그를 취하면 log`_{{;5#;}1`0`=10`log`;5#;} =10`log`;1¤0; ` =10`(log`2+log`3-1) ` =10(0.3010+0.4771-1) ` =-2.219 ` =-3+0.781 따라서 log`{;5#;}1`0`의 정수 부분이 -3이므로 {;5#;}1`0`은 소수 셋째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. ∴ n=3 ∴ m+n=11

22

[1단계] log`x의 정수 부분이 4이므로 4Élog`x<5 yy`㉠ log`xÛ`과 log`;[!;의 소수 부분이 같으므로 log`xÛ`-log`;[!;=2`log`x+log`x =3`log`x=(정수) [2단계] ㉠의 각 변에 3을 곱하면 12É3`log`x<15 3`log`x는 정수이므로 3`log`x=12, 13, 14 log`x=4, _{:Á3£:, :Á3¢:이므로} x=10Ý`, 10:Á3£:, 10:Á3¢: ∴ log`a+log`b+log`c=log`10Ý`+log`10:Á3£:_+log`10:Á3¢: =4+:Á3£:+:Á3¢:=13

23

[1단계] P=20`log`255-10`logÈ에서 PA=20`log`255-10`logÈA PB=20`log`255-10`logÈB [2단계] 이때 EB=100EA이므로 PA-PB =(20`log`255-10`logÈA)-(20`log`255-10`logÈB) =10`logÈB EA _{=10`log` 100E}A EA =10`log`100=20 p. 16

0

1

④

0

2

풀이 참조

0

3

②

0

4

①

0

5

⑴ 12 >à`18 ⑵ {;3!;}4`>{;2Á7;}2`

0

6

⑤

0

7

①

지수함수

0

1

f(0)=2a_{=4에서 4=2Û`이므로 a=2} ∴ f(x)=2x+2 ∴ f(1)=21+2_=2Ü`=8

0

2

⑴ y=2x-2_{의 그래프는 y=2}x 의 O 1 4 2 1 x y _y=2Å``ÑÛ 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. ⑵ y=2-x+1_-3=2-(x-1)_-3 의 그래프는 y=2x 의 그래프 를 y축에 대하여 대칭이동 한 후, x축의 방향으로 1만 큼, y축의 방향으로 -3만 큼 평행이동한 것이므로 오 른쪽 그림과 같다. y -3 -1 y=2ÑÅ``±Ú`-3 O x

06

정답과 풀이

(7)

0

3

y=2x-1 +1의 그래프는 y=2x 의 1 1 2 y=2Å``ÑÚ`+1 O x y 3 2 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. ① x=1일 때, y=21-1 +1=2이 므로 그래프는 점 (1, 2)를 지 난다. ② 그래프의 점근선은 직선 y=1이다. ③ 그래프는 제3, 4사분면을 지나지 않는다. ④ x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑤ 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|y>1}이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

0

4

함수 y=3x_{의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방} 향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3x-a_+b 따라서 y=3x-a +b가 y=9_3x +3=3x+2 +3과 일치해 야 하므로 a=-2, b=3 ∴ a+b=-2+3=1

0

5

⑴ 12=2;2!;, à18 =(2Ü`);7!;₌₂;7#; 이때 2>1이고 ;2!;>;7#;이므로 2;2!;>2;7#; ∴ 12 >à18 ⑵ {;2Á7;}2`={ 1 3Ü` }2`={;3!;}6` 이때 0<_{;3!;<1이고 4<6이므로} {;3!;}4`>{;3!;}6` ∴ {;3!;}4`>{;2Á7;}2`

0

6

y={;2!;}-xÛ`+2x에서 O1 2 1 -3 -1 y x f(x)=-xÛ`+2x f(x)=-xÛ`+2x로 놓으면 f(x)=-(x-1)Û`+1 -1ÉxÉ2에서 f(x)는 x=-1일 때 최솟값 -3, x=1일 때 최댓값 1을 갖는다. ∴ -3Éf(x)É1 이때 0<;2!;<1이므로 f(x)가 최대일 때 y는 최소, f(x) 가 최소일 때 y는 최대가 된다. 즉, f(x)=-3에서 최댓값 {;2!;}-3=8을 가지므로 M=8 함수 y=2x+1 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 따라서 함수 y=2x+1_{은 x=-1에서 최솟값} 2-1+1 =1을 가지므로 m=1 ∴ M+m=9

0

7

y=2x+1 -4x +3=2x _2-(2x )Û`+3에서 2x_{=t로 놓으면} O -5 3 4 1 3 4 y t y=-tÛ`+2t+3 y =-tÛ`+2t+3 =-(t-1)Û`+4 이때 0ÉxÉ2이므로 20_É2x_{É2Û` ∴ 1ÉtÉ4} 즉, t=1에서 최댓값 4, t=4에서 최솟값 -5를 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 4+(-5)=-1 p. 18

0

1

⑴ x=3 ⑵ x=-;2#;

0

2

x=1

0

3

②

0

4

⑴ x=1 또는 x=2 ⑵ x=1 또는 x=3

0

5

⑴ x>;2#; ⑵ x¾1

0

6

x¾2

0

7

②

0

8

①

지수방정식과 지수부등식

0

1

⑴ 64=26_{이므로 2}2x₌₂6 2x=6 ∴ x=3 ⑵ {;3!;}x=3-x , 313=3_3;2!;₌₃;2#;_{이므로 3}-x =3;2#; -x=;2#; ∴ x=-;2#;

0

2

9x₌₍₃2₎x₌₍₃x₎2_{이므로 3}x_{=t (t>0)로 놓으면 주어진} 방정식은 t2_{-2t-3=0, (t+1)(t-3)=0} ∴ t=-1 또는 t=3 그런데 t>0이므로 t=3 즉, 3x =3이므로 x=1

0

3

4x =(22 )x =(2x )2 , 2x+1 =2_2x 이므로 (2x₎2_{-10_2}x₊₁₆₌₀ 2x =t (t>0)로 놓으면 t2_{-10t+16=0, (t-2)(t-8)=0} t=2 또는 t=8 즉, 2x_{=2 또는 2}x_{=8=2Ü`에서 x=1 또는 x=3} 이때 a>b이므로 a=3, b=1 ∴ a-b=3-1=2

0

4

⑴ 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 지수가 0이어 야 한다. Ú 밑이 같은 경우 x=2 Û 지수가 0인 경우 x-1=0 ∴ x=1 정답과 풀이

07

(8)

따라서 주어진 방정식의 해는 x=1 또는 x=2 ⑵ 주어진 방정식이 성립하려면 지수가 같거나 밑이 1이어 야 한다. Ú 지수가 같은 경우 2x-3=x ∴ x=3 Û 밑이 1인 경우 x=1 따라서 주어진 방정식의 해는 x=1 또는 x=3

0

5

⑴ 25x =(52 )x =52x , 125=53 이므로 주어진 부등식은 52x_>53 이때 5>1이므로 2x>3 ∴ x>;2#; ⑵ {;8!;}x+1=[{;2!;}3`]x+1={;2!;}3x+3, {;6Á4;}x=[{;2!;}6`]x={;2!;}6`x이므로 주어진 부등식은 {;2!;}3x+3¾{;2!;}6`x 이때 0<;2!;<1이므로 3x+3É6x, 3x¾3 ∴ x¾1

0

6

4x =(2x )2 이므로 2x =t (t>0)로 놓으면 주어진 부등식은 t2 -3t-4¾0, (t+1)(t-4)¾0 ∴ tÉ-1 또는 t¾4 그런데 t>0이므로 t¾4 ∴ 2x_¾2Û` 이때 2>1이므로 x¾2

0

7

Ú 0<x<1일 때 2x>x+2에서 x>2 그런데 0<x<1이므로 해가 없다. Û x=1일 때 1<1이므로 성립하지 않는다. Ü x>1일 때 2x<x+2에서 x<2 그런데 x>1이므로 1<x<2 Ú ~ Ü에 의하여 1<x<2

0

8

;9!;=3-2_, 27_13 =3;2&;_이므로 3-2 <32x-1 <3;2&; 이때 3>1이므로 -2<2x-1<_{;2&;, -1<2x<;2(;} ∴ -;2!;<x<;4(; 따라서 a=-;2!;, b=;4(;이므로 a+b=-;2!;+;4(;=;4&; p. 20

0

1

④

0

2

풀이 참조

0

3

⑤

0

4

②

0

5

⑴ logª`10>2`logª`3 ⑵ ;3!;`log;2!;`27>log;2!;`1¶10

0

6

①

0

7

⑤

로그함수

0

1

f(2)=loga`3=1이므로 a=3 ∴ `f(x)=log3`(x+1) ∴ `f(8)=log£`9=log£`3Û`=2

0

2

⑴ y=logª`(x+3)-1의 O -1 -3 y x y=logª(x+3)-1 그래프는 y=logª`x의 그래프를 x축의 방향으 로 -3만큼, y축의 방 향으로 -1만큼 평행이 동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. ⑵ y=log;2!;`(x+1)+2의 그 O 3 2 -1 y x y=log (x+1)+21 2 래프는 y=log;2!;`x의 그래 프를 x축의 방향으로 -1 만큼, y축의 방향으로 2만 큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

0

3

y=logª`(x-3)+1의 그래프는 y=logª`x의 그래프를 x 축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 다음 그림과 같다. 1 O 3 4 y x y=logª(x-3)+1 ① x=4일 때, y=logª`(4-3)+1=1이므로 그래프는 점 (4, 1)을 지난다. ② 그래프는 제2, 3사분면을 지나지 않는다. ③ 그래프의 점근선의 방정식은 x=3이다. ④ x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑤ 정의역은 {x|x>3}이고, 치역은 실수 전체의 집합이 다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

0

4

함수 y=logª`x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동 하면 x=logª`y ∴ y=2x x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동 하면

(9)

y=2x-1 -2 따라서 y=2x-1 -2가 y=2x-a +b와 일치해야 하므로 a=1, b=-2 ∴ a+b=1+(-2)=-1

0

5

⑴ 2 logª`3=logª`3Û`=logª`9 이때 2>1이고 10>9이므로 logª`10>logª`9 ∴ logª`10>2`logª`3

⑵ ;3!;`log;2!;`27=log;2!;`27;3!;=log;2!;`3 이때 0<_{;2!;<1이고 3<1¶10 이므로} log;2!;`3>log;2!; 1¶10 ∴ ;3!;`log;2!;`27>log;2!; 1¶10

0

6

함수 y=log;2!; (x-1)+1은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 함수 y=log;2!;`(x-1)+1은 x=2에서 최댓값 log;2!;`1+1=1을 가지므로 M=1 y=log£`(xÛ`-2x+1)에서 f(x)=x2_{-2x+1로 놓으면} O1 9 1 2 4 y x f(x)=xÛ`-2x+1 f(x)=(x-1)Û` 2ÉxÉ4에서 f(x)는 x=2일 때 최솟값 1, x=4일 때 최댓값 9를 갖는다. ∴ 1É f(x)É9 이때 3>1이므로 f(x)가 최대 일 때 y도 최대, f(x)가 최소일 때 y도 최소가 된다. 즉, f(x)=1에서 최솟값 log£`1=0을 가지므로 m=0 ∴ M+m=1

0

7

y=(logª`x)Û`-2`logª`x-8에서 O 12 -2 -9 -8 4 t y=tÛ`-2t-8 y logª`x=t로 놓으면 y =tÛ`-2t-8 =(t-1)Û`-9 이때 ;4!;ÉxÉ4이므로 logª`;4!;Élogª`xÉlogª`4 logª`2-2_{Élogª`xÉlogª`2Û} ∴ -2ÉtÉ2 즉, t=-2에서 최댓값 0, t=1에서 최솟값 -9를 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 0+(-9)=-9 p. 22

0

1

⑴ x=17 ⑵ x=4

0

2

⑴ x=3 ⑵ x=12

0

3

⑤

0

4

④

0

5

⑴ ;3@;<x<2 ⑵ x>6

0

6

⑴ -;8!;<x<;5!; ⑵ ;3%;<xÉ3

0

7

②

0

8

②

로그방정식과 로그부등식

0

1

⑴ 진수는 양수이므로 x-1>0 ∴ x>1 yy`㉠ 로그의 정의에 의하여 주어진 방정식은 x-1=2Ý`=16 ∴ x=17 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=17 ⑵ 진수는 양수이므로 x>0, x-3>0 ∴ `x>3 yy`㉠ 로그의 기본 성질을 이용하여 주어진 방정식을 변형하면 logª`x(x-3)=2, x(x-3)=2Û` xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4 다른 풀이 ⑴ 진수는 양수이므로 x-1>0 ∴ x>1 yy`㉠ 방정식의 우변을 밑이 2인 로그의 꼴로 바꾸면 logª`(x-1)=logª`2Ý` x-1=2Ý`=16 ∴ x=17 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=17 ⑵ 진수는 양수이므로 x>0, x-3>0 ∴ `x>3 yy`㉠ 방정식의 우변을 밑이 2인 로그의 꼴로 바꾸면 logª`x+logª`(x-3)=logª`2Û` logª`x(x-3)=logª`4, x(x-3)=4 xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4

0

2

⑴ 진수는 양수이므로 2x-1>0, xÛ`-4>0 ∴ x>2 yy`㉠ logª`(2x-1)=logª`(xÛ`-4)에서 밑이 같으므로 2x-1=xÛ`-4, xÛ`-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1`또는`x=3 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=3 ⑵ 진수는 양수이므로 x-4>0, 5x+4>0 ∴ x>4 yy`㉠ log£`(x-4)=log»`(5x+4)에서 밑을 9로 같게 하면 log»`(x-4)Û`=log»`(5x+4) 정답과 풀이

09

(10)

(x-4)Û`=5x+4, xÛ`-13x+12=0 (x-1)(x-12)=0 ∴`x=1`또는`x=12 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=12

0

3

진수는 양수이므로 x>0 yy`㉠ logª`x=t로 놓으면 주어진 방정식은 tÛ`-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 ∴`t=-1 또는 t=4 즉, logª`x=-1 또는 logª`x=4이므로 x=;2!; 또는 x=16 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;2!; 또는 x=16 ∴ ab=;2!;_16=8

0

4

진수는 양수이므로 x>0 yy`㉠ xlog`x=1000xÛ`의 양변에 상용로그를 취하면 log`xlog`x_=log`1000x2

log`x_log`x=log`1000+log`x2 (log`x)Û`=3+2`log`x log`x=t로 놓으면 tÛ`=3+2t, tÛ`-2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 즉, log`x=-1 또는 log`x=3이므로 x=_{;1Á0; 또는 x=1000} 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;1Á0; 또는 x=1000 ∴ ab=_{;1Á0;_1000=100}

0

5

⑴ 진수는 양수이므로 3x-2>0 ∴ x>_;3@; yy`㉠ 부등식의 우변을 밑이 2인 로그의 꼴로 바꾸면 logª`(3x-2)<logª`2Û`, logª`(3x-2)<logª`4 이때 2>1이므로 3x-2<4 ∴ x<2 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 ;3@;<x<2 ⑵ 진수는 양수이므로 x+2>0 ∴ x>-2 yy`㉠ 부등식의 우변을 밑이 ;2!;인 로그의 꼴로 바꾸면 log;2!;`(x+2)<log;2!;`{;2!;} -3 log;2!;`(x+2)<log;2!;`8 이때 0<;2!;<1이므로 x+2>8 ∴ x>6 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 x>6

0

6

⑴ 진수는 양수이므로 2+3x>0, 1-5x>0 ∴ -_;3@;<x<;5!; yy`㉠ 이때 2>1이므로 2+3x>1-5x, 8x>-1` ∴ x>-;8!; yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 -;8!;<x<;5!; ⑵ 진수는 양수이므로 3x-5>0, x+1>0 ∴ x>;3%; yy`㉠ 이때 0<;3!;<1이므로 3x-5Éx+1, 2xÉ6 ∴ xÉ3 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 ;3%;<xÉ3

0

7

진수는 양수이므로 x>0 yy`㉠ log;2!;`x=t로 놓으면 주어진 부등식은 tÛ`+3t-10<0, (t+5)(t-2)<0 ∴ -5<t<2 즉, -5<log;2!;`x<2이므로 log;2!;`{;2!;} -5 <log;2!;`x<log;2!;`{;2!;}2` 이때 0<;2!;<1이므로 {;2!;}-5>x>{;2!;}2` ∴ ;4!;<x<32 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 ;4!;<x<32 따라서 a=_{;4!;, b=32이므로 ab=8}

0

8

xlogª`x_<8x2 의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 logª`xlogª`x<logª`8xÛ`

logª`x_logª`x<logª`8+logª`xÛ` (logª`x)2_<3+2`logª`x (logª`x)2 -2`logª`x-3<0 진수는 양수이므로 x>0 yy`㉠ logª`x=t로 놓으면 tÛ`-2t-3<0 (t+1)(t-3)<0 ∴ -1<t<3 즉, -1<logª`x<3이므로 logª`2ÑÚ`<logª`x<logª`2Ü` 이때 2>1이므로 2ÑÚ`<x<2Ü` ;2!;<x<8 따라서 a=;2!;, b=8이므로 ab=4

(11)

0

1

④

0

2

③

0

3

②

0

4

④

0

5

④

0

6

③

0

7

③

0

8

①

0

9

⑤

10

5시간

11

①

12

③

13

②

14

③

15

⑤

16

③

17

⑤

18

⑤

19

①

20

②

21

⑤

22

⑤

23

②

24

③

실력

확인 문제

p. 24

0

1

ㄱ. 그래프는 점 (0, 1)을 지난다. (참) ㄴ. a>1일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하고, 0<a<1일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. (거짓) ㄷ. 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전 체의 집합이다. (참) ㄹ. 그래프는 x축을 점근선으로 한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

0

2

직선 y=x 위의 점은 x좌표와 y좌표 O1 2 4 1 2 4 x y=2Å y=x y 가 서로 같다. 따라서 a=1, b=21 =2, c=22_=4이므로 c-a-b=4-1-2=1 ∴ {;2!;}c-a-b={;2!;}1`=;2!;

0

3

y=ax 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=a-x yy`㉠㉠의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3 만큼 평행이동하면 y=a-(x-2) +3 yy`㉡㉡의 그래프가 점 (1, 5)를 지나므로 5=a-(1-2) +3, a+3=5 ∴ a=2

0

4

A=(12)Ü`={2;2!;}3 =2;2#; B=0.5;3!;₌₍₂-1₎;3!;₌₂-;3!; C=Ü14 =Ü"2Û` =2;3@; 이때 2>1이고 -;3!;<;3@;<;2#;이므로 2-;3!;<2;3@;<2;2#; ∴ B<C<A

0

5

y=4x -2x+a +b=(2x )2 -2a _2x +b이므로 2x_{=t`(t>0)로 놓으면} y=t2 -2a _t+b yy`㉠ 이때 ㉠은 x=1, 즉 t=2일 때 최솟값 3을 가지므로 y=t2 -2a _t+b=(t-2)2 +3 즉, t2_-2a_{_t+b=t}2_-4t+7에서 2a =4, b=7 ∴ a=2, b=7 ∴ a+b=9

0

6

2x >0, 2y >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2x +2y ¾2"2x _2y ₌₂_"2x+y ₌₂_"2Û`=4 (단, 등호는 2x₌₂y_{, 즉 x=y=1일 때 성립한다.)} 따라서 2x +2y 의 최솟값은 4이다. 참고 산술평균과 기하평균의 관계 x>0, y>0일 때 x+y 2 ¾"xy`(단, 등호는 x=y일 때 성립한다.)

0

7

{;3@;}xÛ`+1={;2#;}-x-3에서 {;3@;}xÛ`+1={;3@;}x+3 xÛ`+1=x+3 ∴ xÛ`-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 따라서 구하는 모든 x의 값의 합은 1이다.

0

8

2x_-6+23-x_=0에서 2x_{-6+8_}1 2x=0 양변에 2x 을 곱하면 (2x )2 -6_2x +8=0 2x =t`(t>0)로 놓으면 t2 -6t+8=0, (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 즉, 2x =2 또는 2x =4에서 x=1 또는 x=2 이때 a<b이므로 a=1, b=2 ∴ a+2b=1+2_2=5

0

9

[1단계] 25x -5x+1 +k=0에서 52x -5_5x +k=0 5x_{=t (t>0)로 놓으면} t2 -5t+k=0 yy`㉠ 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 이차방정 식 ㉠이 서로 다른 두 양의 근을 가져야 한다. [2단계] Ú 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라고 하면 D=(-5)Û`-4k>0에서 4k<25 ∴ k<:ª4°: Û (두 근의 합)=5>0 Ü (두 근의 곱)=k>0 Ú ~ Ü에 의하여 0<k<:ª4°: 따라서 정수 k는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이다. 정답과 풀이

11

(12)

10

3시간 후 박테리아는 6400마리가 되므로 100a3 =6400, a3 =64 ∴ a=4 x시간 후 박테리아가 102400마리가 된다고 하면 100_4x =102400, 4x =1024 22x₌₂10_{, 2x=10 ∴ x=5} 따라서 5시간 후 박테리아는 102400마리가 된다.

11

(2x -8)(2x -32)<0에서 8<2x <32 ∴ 23_<2x_<2Þ` 이때 2>1이므로 3<x<5 따라서 자연수 x는 4의 1개이다.

12

4x₌₍₂x₎2_{이므로 2}x_{=t (t>0)로 놓으면 주어진 부등식은} t2 -6t-16É0, (t+2)(t-8)É0 ∴ -2ÉtÉ8 그런데 t>0이므로 0<tÉ8 ∴ 2x_É23 이때 2>1이므로 xÉ3 따라서 자연수 x는 1, 2, 3의 3개이다.

13

y=log¢`(x-2)+3으로 놓으면 y-3=log¢`(x-2) x-2=4y-3_∴ x=4y-3₊₂ x와 y를 서로 바꾸면 f(x)의 역함수는 g(x)=4x-3 +2 ∴ g(3)=1+2=3

14

y=a+logª`(x-b)의 그래프의 점근선의 방정식은 x=b 이므로 b=2 y=a+logª`(x-2)의 그래프가 점 (6, 3)을 지나므로 3=a+logª`4, a+2=3 ∴ a=1 ∴ a+b=3

15

오른쪽 그림과 같이 y=x의 그래 프 위에 점 A, C를, y=log£`x의 그래프 위에 점 B, D를 잡으면 A(1, 1)이므로 B(a, 1) y=log£`x의 그래프가 점 B(a, 1)을 지나므로 1=log£`a ∴ a=3 따라서 C(3, 3)이므로 D(b, 3) 또, y=log£`x의 그래프가 점 D(b, 3)을 지나므로 3=log£`b ∴ b=27 ∴ a+b=30

16

[1단계] y =logª`(6x-12) =logª`{2_3(x-2)} =logª`2+logª`3(x-2) =1+logª`3(x-2) ∴ y-1=logª`3(x-2) O AC B D 1 1 x b a y y=x y=log£`x [2단계] 위의 함수의 그래프는 함수 y=logª`3x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므 로 m=2, n=1 ∴ m+n=3 다른 풀이 y=logª`3x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방 향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y =logª`3(x-m)+n=logª`3(x-m)+logª`2Ç` =logª`{2Ç`_3(x-m)} yy`㉠㉠이 y=logª`(6x-12)와 일치해야 하므로 2Ç`_3(x-m)=6x-12=6(x-2) 2Ç`_3=6, m=2이므로 n=1, m=2 ∴ m+n=3

17

A=2`log0.1`212 =log0.1`8

B=log10`;1Á6;=-log10`16=log0.1`16 C=log0.1`2-1=log0.1`2-log0.1`0.1 =log0.1` 2

0.1=log0.1`20

이때 0<0.1<1이고 8<16<20이므로 log0.1`8>log0.1`16>log0.1`20 ∴ C<B<A

18

y=(log;2!;`x)Û`+log;2!;`xÛ`+3에서 y=(log;2!;`x)Û`+2`log;2!;`x+3

log;2!;`x=t로 놓으면 y=tÛ`+2t+3=(t+1)Û`+2 이때 ;4!;ÉxÉ2이므로

log;2!;;4!;¾log;2!;`x¾log;2!;`2 ∴ -1ÉtÉ2 O 2 23 11 -1 t y y=tÛ`+2t+3 즉, t=-1에서 최솟값 2, t=2에서 최댓값 11을 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 11+2=13

19

[1단계] log£`{x+;]$;}+log£`{y+;[!;} =log£`{x+;]$;}{y+;[!;} =log£`_{{xy+;[¢];+5}}

(13)

[2단계] x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 xy+_{;[¢];+5¾2¾¨xy_;[¢];+5} =9 (단, 등호는 xy=2일 때 성립한다.) ∴ log£`{x+;]$;}+log£ {y+;[!;}¾log£`9=log£`3Û` =2 따라서 log£`{x+;]$;}+log£`{y+;[$;}의 최솟값은 2이다.

20

진수는 양수이므로 x-1>0, 4x-7>0 ∴ x>;4&; yy`㉠ 방정식의 우변을 밑이 3인 로그의 꼴로 바꾸면 log£`(x-1)+log£`(4x-7)=log£`3Ü` log£`(x-1)(4x-7)=log£`27 (x-1)(4x-7)=27, 4xÛ`-11x-20=0 (4x+5)(x-4)=0 ∴ x=-;4%; 또는 x=4 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4

21

진수는 양수이므로 x-3>0, x-1>0 ∴ x>3 yy`㉠ 2`log;2!;`(x-3)>log;2!;`(x-1)에서 log;2!;`(x-3)Û`>log;2!;`(x-1) 이때 0<;2!;<1이므로 (x-3)Û`<x-1, xÛ`-7x+10<0 (x-2)(x-5)<0 ∴ 2<x<5 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 3<x<5 따라서 a=3, b=5이므로 ab=15

22

진수는 양수이므로 x>0 yy`㉠ (logª`x)Û`-logª`xÞ`+6<0에서 (logª`x)Û`-5`logª`x+6<0 logª`x=t로 놓으면 주어진 부등식은 tÛ`-5t+6<0, (t-2)(t-3)<0 ∴`2<t<3 즉, 2<logª`x<3이므로 logª`2Û`<logª`x<logª`2Ü` 이때 2>1이므로 2Û`<x<2Ü` ∴ 4<x<8 yy`㉡㉠, ㉡의 공통부분은 4<x<8 따라서 a=4, b=8이므로 ab=32

23

(1+logª`x)(a-logª`x)>0의 해가 _{;2!;<x<4이므로} logª`;2!;<logª`x<logª`4 ∴ -1<logª`x<2 ∴ (logª`x+1)(logª`x-2)<0 yy`㉠ (1+logª`x)(a-logª`x)>0에서 (logª`x+1)(logª`x-a)<0 yy`㉡㉠과 ㉡이 일치해야 하므로 a=2

24

불순물의 양을 a로 놓으면 이 여과 장치를 n번 통과시켰을 때 불순물의 양은 a(1-0.1)n 이므로 a(1-0.1)n_{É0.01a, 0.9}n_É0.01 양변에 상용로그를 취하면 n`log`0.9Élog`0.01 n(log`9-1)É-2, n(1-2`log`3)¾2 n¾ 2 1-2`log`3= 2 0.0458 _{=43.6___} 따라서 여과 장치를 최소한 44번 통과시켜야 한다. p. 28

0

1

⑴ 360ùn+40ù`(n은 정수) ⑵ 360ùn+340ù`(n은 정수)

0

2

③

0

3

③

0

4

⑴ ;3Ò; ⑵ -;6%; p ⑶ 225ù ⑷ -120ù

0

5

④

0

6

④

0

7

⑴ ;2Ò; ⑵ ;4#; p

0

8

③

일반각과 호도법

0

1

⑴ 760ù=360ù_2+40ù에서 40ù와 동경이 일치하므로 일 반각은　 360ùn+40ù (단, n은 정수이다.) ⑵ -380ù=360ù_(-2)+340ù에서 340ù와 동경이 일치 하므로 일반각은 360ùn+340ù (단, n은 정수이다.)

0

2

① -690ù=360ù_(-2)+30ù이므로 제1사분면의 각이다. ② 820ù=360ù_2+100ù이므로 제2사분면의 각이다. ③ -530ù=360ù_(-2)+190ù이므로 제3사분면의 각이다. ④ 660ù=360ù_1+300ù이므로 제4사분면의 각이다. ⑤ -1020ù=360ù_(-3)+60ù이므로 제1사분면의 각이다. 따라서 제3사분면의 각은 ③이다.

0

3

h가 제2사분면의 각이므로 360ùn+90ù<h<360ùn+180ù (단, n은 정수이다.) ∴ 120ùn+30ù<h 3<120ùn+60ù Ú n=3k (k는 정수)일 때 120ù_3k+30ù<h₃<120ù_3k+60ù ∴ 360ùk+30ù<h 3<360ùk+60ù 정답과 풀이

13

(14)

따라서 h 3는 제1사분면의 각이다. Û n=3k+1 (k는 정수)일 때 120ù(3k+1)+30ù<h₃<120ù(3k+1)+60ù ∴ 360ùk+150ù<h₃<360ùk+180ù 따라서 h 3는 제2사분면의 각이다. Ü n=3k+2 (k는 정수)일 때 120ù(3k+2)+30ù<h₃<120ù(3k+2)+60ù ∴ 360ùk+270ù<h 3<360ùk+300ù 따라서 h 3 는 제4사분면의 각이다. Ú ~ Ü에 의하여 h 3 의 동경이 존재할 수 없는 사분면은 제3사분면이다.

0

4

⑴ 60ù=60_;18Ò0;=;3Ò; ⑵ -150ù=-150_;18Ò0;=-;6%; p ⑶ ;4%; p=;4%; p_180ù_{p =225ù} ⑷ -;3@; p=-;3@; p_180ù_{p =-120ù}

0

5

각 h를 나타내는 동경과 각 4h를 나타내는 동경이 일치하 므로 4h-h=2np (단, n은 정수이다.) 3h=2np ∴ h=2n₃ p yy`㉠ 0<h<p에서 0<2n 3 p<p이므로 0<n<;2#; ∴ n=1 이 값을 ㉠에 대입하면 h=;3@;p

0

6

각 h를 나타내는 동경과 각 7h를 나타내는 동경이 원점에 대하여 대칭이므로 7h-h=2np+p (단, n은 정수이다.) 6h=2np+p ∴ h=2n+1 6 p yy`㉠ ;2Ò;<h<p에서 ;2Ò;<2n+1 6 p<p 3<2n+1<6 1<n<;2%; ∴ n=2 이 값을 ㉠에 대입하면 h=;6%; p

0

7

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h, 호의 길 이를 l, 넓이를 S라고 하면 ⑴ r=3, h=;6Ò;이므로 l=rh=3_;6Ò;=;2Ò; ⑵ S=_{;2!; rl=;2!;_3_;2Ò;=;4#; p} 다른 풀이 ⑵ S=;2!; rÛ`h=;2!;_3Û`_;6Ò;=;4#; p

0

8

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h, 호의 길 이를 l, 넓이를 S라고 하면 l=p, S=;4#; p S=;2!; rl에서 ;4#; p=;2!;r_p ∴ r=_;2#; l=rh에서 p=;2#;h ∴ h=;3@; p p. 30

0

1

⑴ -;5#; ⑵ ;5$; ⑶ -;4#;

0

2

sin`h= 12` 2 , cos`h=- 1 2` 2 , tan`h=-1

0

3

⑴ 제3사분면 ⑵ 제1사분면 ⑶ 제2사분면

0

4

②

0

5

④

0

6

⑤

0

7

①

0

8

②

삼각함수

0

1

점 P(4, -3)에 대하여 x=4, y=-3 r=OPò="4Û`+(-3)Û` =5 O P(4,`-3) 4 -3 x y h ⑴ sin`h=;r};=-;5#; ⑵ cos`h=;r{;=;5$; ⑶ tan`h=_;[};=-;4#;

0

2

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길 O P 1 H -1 1 -1 x y p 3 4 이가 1인 단위원과 h=;4#;p를 나 타내는 동경의 교점을 P, 점 P에 서 x축에 내린 수선의 발을 H라 고 하자. 직각삼각형 PHO에서 OPò=1, ∠POH=;4Ò; 이므로 점 P의 좌표는 {- 12` 2 , 1 2` 2 } ∴ sin`h= 12` 2 , cos`h=- 1 2` 2 , tan`h=-1

(15)

0

3

⑴ sin`h<0이므로 각 h는 제3사분면 또는 제4사분면의 각 이다. cos`h<0이므로 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다. 따라서 각 h는 제3사분면의 각이다. ⑵ cos`h>0이므로 각 h는 제1사분면 또는 제4사분면의 각이다. tan`h>0이므로 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다. 따라서 각 h는 제1사분면의 각이다. ⑶ sin`h>0이므로 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이다. tan`h<0이므로 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다. 따라서 각 h는 제2사분면의 각이다.

0

4

cos`h`tan`h>0이므로 cos`h와 tan`h의 부호는 같다. 이때 cos`h+tan`h<0이므로　

cos`h<0, tan`h<0

따라서 h는 제2사분면의 각이다.

0

5

h가 제2사분면의 각이므로

sin`h>0, cos`h<0, sin`h-cos`h>0 ∴ |sin`h-cos`h|+cos`h+ "sinÛ``h

=|sin`h-cos`h|+cos`h+|sin`h| =sin`h-cos`h+cos`h+sin`h =2`sin`h

0

6

_1-sin`hcos`h + cos`h 1+sin`h

=cos h(1+sin h)+cos h(1-sin h)_{(1-sin h)(1+sin h)} =cos h+cos h sin h+cos h-cos`h sin h

1-sinÛ``h =2`cos`h _cosÛ``h ₌ 2 cos`h

0

7

h가 제2사분면의 각이므로 sin`h>0 sin`h="1-cosÛ``h=¾¨1-{-;5$;}2` =;5#; tan`h=_cos`hsin`h= ;5#;

-;5$;=-;4#; ∴ sin`h+tan`h=;5#;+{-;4#;}=-;2£0;

0

8

sin`h+cos`h=_{;4%;의 양변을 제곱하면}

(sin h+cos h)Û`=;1@6%;

sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+cosÛ``h=;1@6%; 1+2`sin`h`cos h=_{;1@6%;, 2`sin h`cos h=;1»6;} ∴ sin`h`cos`h=;3»2;

0

1

⑤

0

2

④

0

3

④

0

4

⑤

0

5

②

0

6

①

0

7

②

0

8

④

0

9

③

10

③

11

14

12

⑤

실력

확인 문제

p. 32

0

1

① ;2#; p=;2#; p_180ù_{p =270ù} ② 135ù=135_;18Ò0;=;4#; p ③ 108ù=108_;18Ò0;=;5#; p ④ ;1!2#; p=;1!2#; p_180ù_{p =195ù} ⑤ ;3$; p=;3$; p_180ù_{p =240ù} 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

0

2

① 550ù=360ù_1+190ù이므로 제3사분면의 각이다. ② ;4(; p=2p_1+;4Ò; 는 제1사분면의 각이다. ③ 855ù=360ù_2+135ù이므로 제2사분면의 각이다. ④ -60ù=360ù_(-1)+300ù이므로 제4사분면의 각이 다. ⑤ ;3&; p=2p_1+;3Ò; 이므로 제1사분면의 각이다. 따라서 제4사분면의 각은 ④이다.

0

3

h가 제4사분면의 각이므로 2np+;2#; p<h<2np+2p (단, n은 정수이다.) ∴ np+_{;4#; p< h2 <np+p} Ú n=2k (k는 정수)일 때 2kp+_{;4#; p< h2 <2kp+p이므로}h₂ 는 제2사분면의 각이다. Û n=2k+1 (k는 정수)일 때 (2k+1)p+_{;4#; p< h2 <(2k+1)p+p} 2kp+;4&; p<h₂ <2kp+2p이므로 h₂ 는 제4사분면 의 각이다. Ú, Û에 의하여 h2 의 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제 2, 4사분면이다. 정답과 풀이

15

(16)

0

4

각 h를 나타내는 동경과 각 5h를 나타내는 동경이 x축에 대하여 대칭이므로 h+5h=2np (단, n은 정수이다.) 6h=2np ∴ h=;3N; p yy`㉠ p<h<;2#; p이므로 p<;3N; p<;2#; p 3<n<;2(; ∴ n=4 이 값을 ㉠에 대입하면 h=;3$; p

0

5

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h, 호의 길 이를 l, 넓이를 S라고 하면 h=45ù=;4Ò;, l=2p이므로 l=rh에서 2p=r_;4Ò; ∴ r=8 ∴ S=;2!;rl=;2!;_8_2p ∴ S=8p

0

6

부채꼴의 반지름의 길이를 r`cm, 호의 길이를 l`cm라고 하면 둘레의 길이가 40`cm이므로 2r+l=40 ∴ l=40-2r 부채꼴의 넓이를 S`cmÛ`라고 하면 S=_{;2!;rl=;2!;r(40-2r)} S=-rÛ`+20r S=-(r-10)Û`+100`(단, 0<r<20) 따라서 r=10(cm)일 때 부채꼴의 넓이는 최대가 된다. r=10이면 l=40-2r=20이므로 20=10h ∴`h=2

0

7

오른쪽 그림과 같이 직선 O P 4 -3 x y y=- x h 4 3 y=-_{;3$; x 위의 점 P의 좌표를} (-3, 4)로 놓으면 OPò="(-3)Û` +4Û`=5 이므로 cos`h=-;5#;, tan`h=-;3$; ∴ 5`cos`h+3`tan h=5__{{-;5#;}+3_{-;3$;}} =(-3)+(-4) =-7

0

8

sin`h`cos`h<0이므로 sin`h<0, cos h>0`또는 sin`h>0, cos h<0 ∴ 제4사분면 또는 제2사분면 sin`h`tan`h>0이므로 sin`h>0, tan h>0`또는 sin`h<0, tan h<0 ∴ 제1사분면 또는 제4사분면 따라서 주어진 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제4사분 면의 각이다.

0

9

10

_{1-2`sin`h`cos`h}cosÛ``h -sinÛ``h -1+tan`h 1-tan`h =_{sinÛ``h+cosÛ``h-2`sin`h`cos h}cosÛ``h-sinÛ``h -1+ sin`h cos`h 1-_cos`hsin`h =(cos`h+sin`h)(cos`h-sin`h) (cos`h-sin`h)Û` -cos`h+sin`h cos`h-sin`h =cos`h+sin`h _cos`h-sin`h-cos`h+sin`h _cos`h-sin`h

₌₀

11

[1단계]

_cosÛ``hsinÛ``h +cosÛ``h _sinÛ``h=sinÝ``h+cosÝ``h _{cosÛ``h`sinÛ``h} [2단계] sin`h+cos`h= 12` 2 의 양변을 제곱하면 sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+cosÛ``h=;2!; 1+2`sin`h`cos`h=_;2!; ∴ sin`h`cos`h=-;4!; sinÝ``h+cosÝ``h=(sinÛ``h+cosÛ``h)Û`-2`sinÛ``h`cosÛ``h =1Û`-2_{-;4!;}2`=;8&; [3단계]

∴ _cosÛ``hsinÛ``h +cosÛ``h _sinÛ``h=sinÝ``h+cosÝ``h _{cosÛ``h`sinÛ``h}

_∴ ₊ ₌ ;8&;

{-;4!;}2`=14

12

이차방정식 3xÛ`+x+a=0의 두 근이 sin`h, cos`h이므로 근과 계수의 관계에 의하여

sin`h+cos`h=-;3!; yy`㉠

sin`h`cos`h=;3A; yy`㉡

㉠의 양변을 제곱하면

sinÛ` h+2`sin`h`cos`h+cosÛ` h=;9!; 1+2`sin`h`cos`h=;9!;

(17)

∴`sin`h`cos`h=-;9$; ㉡에서 ;3A;=-;9$; ∴`a=-;3$; p. 34

0

1

⑴ p ⑵ 2p ⑶ ;2Ò;

0

2

⑴ 최댓값: 1, 최솟값: -5 ⑵ 최댓값: 4, 최솟값: 2

0

3

x=;2N; p+;4Ò;`(n은 정수)

0

4

④

0

5

③

0

6

①

0

7

⑴ ;2!; ⑵ -;2!; ⑶ ;2!; ⑷ -13

0

8

⑴ 1 ⑵ 0

삼각함수의 그래프

0

1

⑴ 2p 2 =p ⑵ 2p 1 =2p ⑶ ;2Ò;

0

2

⑴ (최댓값)=3-2=1 (최솟값)=-3-2=-5 ⑵ (최댓값)=|-1|+3=4 (최솟값)=-|-1|+3=2

0

3

점근선의 방정식은 2x=np+_{;2Ò; (단, n은 정수이다.)} ∴ x=;2N; p+;4Ò;

0

4

① 주기는 2p 2 =p ② 최댓값은 2-1=1이다. ③ 최솟값은 -2-1=-3이다. ④ y=2`sin`2x-1의 그래프는 y=2`sin`2x의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 점 (0, -1)에 대하여 대칭이다. ⑤ y=2`sin`2x의 그래프를 평행이동하면 겹칠 수 있다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

0

5

함수 f(x)=a`cos`bx+c의 최댓값이 1, 최솟값이 -3, a>0이므로　 a+c=1, -a+c=-3 위의 두 식을 연립하여 풀면　 a=2, c=-1 또, 주기가 p이고 b>0이므로 2p b =p ∴ b=2 ∴ a+b+c=2+2-1=3

0

6

함수 y=a sin`bx+c의 그래프에서 최댓값이 2, 최솟값이 0이고 a>0이므로 a+c=2, -a+c=0 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, c=1 또, 주기가 p이고 b>0이므로 2p b =p ∴ b=2 ∴ abc=2

0

7

⑴ sin`870ù=sin(360ù_2+150ù) =sin`150ù =sin(180ù-30ù) =sin`30ù=;2!; ⑵ cos`;3$; p=cos{p+;3Ò;} ⑵ cos`;3$; p=-cos`;3Ò;=-;2!; ⑶ cos`{-;3&; p}=cos`;3&; p =cos`{2p+;3Ò;}` =cos ;3Ò;=;2!; ⑷ tan`480ù =tan`(360ù+120ù) =tan`120ù =tan(90ù+30ù) =-_tan`30ù1 =- 1 ₁ '3 =-13

0

8

⑴ cos`{;2Ò; +;6Ò;}+sin`{;2Ò; -;3Ò;}+tan`{p+;4Ò;} =-sin`_{;6Ò;+cos`;3Ò;+tan`;4Ò;} =-;2!;+;2!;+1=1 ⑵ sin`{;2Ò; +h}+cos(p-h)+sin(p+h)` ` +cos`{;2#; p+h} =cos h-cos h-sin h+sin h =0 정답과 풀이

17

(18)

p. 36

0

1

⑤

0

2

④

0

3

①

0

4

⑴ x=;3Ò; 또는 x=;3@; p ⑵ x=;3@; p 또는 x=;3$; p ⑶ x=;4Ò; 또는 x=;4%; p

0

5

④

0

6

②, ④

0

7

⑴ ;4Ò;<x<;4#; p ⑵ ;6%; pÉxÉ;6&; p ⑶ ;3Ò;<x<;2Ò; 또는 ;3$; p<x<;2#; p

0

8

⑴ ;1É2; <x<p ⑵ ;6Ò;ÉxÉ;6%; p

삼각함수의 그래프의 활용

0

1

y=|2`sin`x-1|-1에서 sin`x=t`(-1ÉtÉ1)로 놓으면 y=|2t-1|-1 따라서 오른쪽 그림에서 O -1 1 2 -1 t y=|2t-1|-1 y 1 2 t=-1일 때 최댓값 2, t=_{;2!;일 때 최솟값 -1을 가지므} 로 M=2, m=-1 ∴ M+m=1 다른 풀이 -1Ésin`xÉ1이므로 -2É2`sin`xÉ2 -3É2`sin`x-1É1, 0É|2`sin`x-1|É3 ∴ -1É|2`sin`x-1|-1É2 따라서 최댓값은 2, 최솟값은 -1이므로 M=2, m=-1 ∴ M+m=1

0

2

y =-cosÛ` x+4`sin`x+2 =-(1-sinÛ` x)+4`sin`x+2 =sinÛ` x+4`sin`x+1 이때 sin`x=t`(-1ÉtÉ1)로 1 -1 6 -2 -2 O -3 t y=(t+2)Û`-3 y 놓으면 y =tÛ`+4t+1 =(t+2)Û`-3 따라서 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값 6, t=-1일 때 최솟값 -2를 가지 므로 M=6, m=-2 ∴ M+m=4

0

3

cos`x=t`(-1ÉtÉ1)로 놓으면 y=-t+4_t+2 =_t+26 -1 오른쪽 그림에서 t=-1일 때 -1 O 1 1 5 t y y= -1_t+26 최댓값 5, t=1일 때 최솟값 1을 가지 므로 치역은 {y|1ÉyÉ5} 따라서 a=1, b=5이므로 b-a=4

0

4

⑴ sin`x= 1₂3`의 해는 -1 O 1 x y y=sin`x y= '3 2 '3₂ p p 2p 3 2 p 2 3 p 3 곡선 y=sin`x와 직선 y= 1₂3`의 교점의 x좌표와 같으므로 오른쪽 그림에서 x=;3Ò; 또는 x=p-;3Ò; =;3@; p ⑵ cos`x=-_{;2!;의 해는} --1 O 1 x y y=cos`x y=-2p p 4 3 p 2 3 1 2 1 2 곡선 y=cos`x와 직선 y=-;2!;의 교점의 x좌표 와 같으므로 오른쪽 그림 에서 x=p-;3Ò;=;3@; p 또는 x=p+;3Ò;=;3$; p ⑶ tan`x=1의 해는 곡선 y=tan`x와 직선 y=1의 교점의 x좌표와 같으므로 오른쪽 그림에서 x=;4Ò; 또는 x=p+;4Ò;=;4%; p

0

5

2`cos`_{{x+;6Ò;}=13에서 x+;6Ò;=t로 놓으면} 2`cos`t=13 ∴ cos`t= 1₂3` 한편, 0Éx<2p이므로 ;6Ò;Éx+;6Ò;<:Á6£: p ∴ ;6Ò;Ét<:Á6£: p 오른쪽 그림에서 방정식 t y y= -1 O y=cos`t p 6 11₆p 13₆p '3 2 '3 2 cos`t= 13`₂ 의 해는　 t=;6Ò; 또는 t=:Á6Á: p Ú t=;6Ò;일 때 x+;6Ò;=;6Ò; ∴ x=0 Û t=:Á6Á: p일 때 x+;6Ò;=:Á6Á: p ∴ x=;3%; p Ú, Û에서 주어진 방정식을 만족시키는 모든 x의 값의 합은 0+;3%; p=;3%; p O 1 x y y=1 y=tan`x 2p p p5 4 p 3 2 p 4 p 2

(19)

0

6

cosÛ``x=1-sinÛ``x이므로 2(1-sinÛ``x)-sin`x-1=0 2`sinÛ``x+sin`x-1=0 (2`sin`x-1)(sin`x+1)=0 ∴ sin`x=;2!; 또는 sin`x=-1 오른쪽 그림에서 방정식 x y -1 1 y=sin`x _y= y=-1 p 2p p 6 56p p 3 2 1 2 1 2 O sin`x=;2!;의 해는 x=;6Ò; 또는 x=;6%; p 방정식 sin`x=-1의 해는 x=;2#; p 따라서 주어진 방정식의 해가 아닌 것은 ②, ④이다.

0

7

⑴ sin`x> 12` 2 의 해는 y=sin`x의 그래프가 직선 x y O 1 -1 y=sin`x y= p 2p p 4 34p '2 2 '2 2 y=;2!;보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위이므로 오른 쪽 그림에서 ;4Ò; <x<;4#; p ⑵ cos`xÉ- 13` 2 의 해는 y=cos`x의 그래프가 x y=-y -O 1 y=cos`x 2p '3 2 '3 2 p 7 6 p 5 6 직선 y=- 13` 2 과 만나 거나 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이므로 오른쪽 그림에서 ;6%; pÉxÉ;6&; p ⑶ tan`x>13 의 해는 O x y y=tan`x 2p p p4 3 p 3 2 p 3 p 2 '3 y='3 y=tan`x의 그래프가 직선 y=13보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위이므로 오른쪽 그림에서 ;3Ò;<x<;2Ò; 또는 ;3$; p<x<;2#; p

0

8

⑴ x+;6Ò;=t로 놓으면 cos`t< 1₂2` 0Éx<p에서 ;6Ò;Éx+;6Ò;<;6&; p이므로　 ;6Ò;Ét<;6&; p 오른쪽 그림에서 부등식 O -1 t y y= y=cos`t p 7 6 p 6 p4 '2 2 '2 2 cos`t< 12` 2 의 해는 ;4Ò;<t<;6&; p이므로 ;4Ò;<x+;6Ò;<;6&; p ∴ ;1É2; <x<p ⑵ 2`cosÛ` x+3`sin`x-3¾0에서 2(1-sinÛ` x)+3`sin`x-3¾0 2`sinÛ` x-3`sin`x+1É0 (2`sin`x-1)(sin`x-1)É0 ∴ ;2!;Ésin`xÉ1 x y y=1 y= -1 O 1 y=sin`x 2p p 6 1 2 1 2 p 5 6 오른쪽 그림에서 부등식 ;2!;Ésin`xÉ1의 해는 ;6Ò;ÉxÉ;6%; p

0

1

④

0

2

⑤

0

3

⑤

0

4

②

0

5

②

0

6

①

0

7

-p

0

8

④

0

9

②

10

④

11

①

12

③

13

:¥2»:

14

④

15

②

16

③

17

:Á3¤:

18

-;6%; p

19

7

20

③

21

③

22

③

23

⑤

24

②

실력

확인 문제

p. 38

0

1

모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(x+p)를 만족시키는 것 은 주기가 p인 함수이다. 각 함수의 주기를 구하면 다음과 같다. ① ;2Ò; ② 2p 2p=1 ③ 2p p =2 ④ 2p_{2 =}p ⑤ 2p 12` 2 =212 p 따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수는 ④이다.

0

2

① 주기는 2p_{p =2} ② 최댓값은 2-1=1이다. ③ 최솟값은 -2-1=-3이다. ④ f(-2)=2`cos`(-p)-1=-2-1=-3 f(0)=2`cos`p-1=-2-1=-3 ⑤ f(x)=2`cos(px+p)-1=2`cos{p(x+1)}-1이므 로 y=f(x)의 그래프는 y=2`cos`px의 그래프를 x축 의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이 동한 것이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

0

3

함수 f(x)=a`sin`bx+c의 최댓값이 3, 최솟값이 1이고 a>0이므로　 정답과 풀이