EBS 올림포스 미적분 답지 정답

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(1)올 림 포 스. 미적분. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 1. 2017-10-31 오후 3:32:26.

(2) 정답과 풀이 Ⅰ. 수열의 극한. 01. 1.. ①. 유제. 3. 6. 4. 8. 본문 8~11쪽. 5. 1. aÇ aÇ ]은 모든 항이 ;3@;이므로 수열 [ ]은 ;3@;로 수렴 bÇ bÇ. bÇ bÇ ]은 모든 항이 ;2#;이므로 수열 [ ]은 ;2#;으로 수 aÇ aÇ. 1 1 1 = = aÇ bÇ 2n_3n 6nÛ` 수열 [. 1 1 1 1 ]은 , , , y이므로 수열 aÇ bÇ 6_1Û` 6_2Û` 6_3Û`. 1 [ ]은 0으로 수렴한다. aÇ bÇ ④. ⑤. n`Ú¦. n`Ú¦. b 3 = = =3 aÛ` (-1)Û` 3. 3.. (3n+1)Û`-(3n-1)Û`. =(9nÛ`+6n+1)-(9nÛ`-6n+1). 렴한다. ③. lim `bÇ bÇ n`Ú¦ = (aÇ)Û` lim  aÇ_ lim  aÇ. bÇ 3n = =;2#; aÇ 2n 수열 [. 따라서 n`Ú¦. 한다. ②. yy ㉡. ㉠에서 b=2-a=2-(-1)=3. lim  . aÇ 2n = =;3@; bÇ 3n. 수열 [. n`Ú¦. =3a+b=0. ㉠-㉡에서 -2a=2, a=-1. 기본 유형 익히기 2. 3 7. ①. n`Ú¦. 수열의 극한. 1. ⑤ 6. 8. lim  (3aÇ+bÇ)=3 lim  aÇ+ lim  bÇ. n`Ú¦. =12n (3n+1)Û`-(3n-1)Û` 12n = lim   lim   2n-1 n`Ú¦ n`Ú¦ 2n-1 12 = lim   n`Ú¦ 2-;n!; . 12 =6 2-0 6. 4.. aÇ-bÇ 2n-3n 1 = =aÇ bÇ 6n 2n_3n. =. lim  . n`Ú¦. 12 n-"Ãn`Û -3n. 수열 [. aÇ-bÇ 1 1 1 ]은 ,,, y이므로 aÇ bÇ 6_1 6_2 6_3. = lim  . 12(n+"ÃnÛ`-3n) (n-"ÃnÛ`-3n)(n+"ÃnÛ`-3n). 수열 [. aÇ-bÇ ]은 0으로 수렴한다. aÇ bÇ. = lim  . 12(n+"ÃnÛ`-3n) nÛ`-(nÛ`-3n). n`Ú¦. aÇ bÇ 2n_3n = =;5^; n aÇ+bÇ 2n+3n 수열 [ [. = lim  . aÇ bÇ ]은 ;5^; _1, ;5^; _2, ;5^; _3, y이므로 수열 aÇ+bÇ. aÇ bÇ ]은 양의 무한대로 발산한다. aÇ+bÇ. 두 수열 {aÇ}, {bÇ}이 수렴하므로. n`Ú¦. 2. 8 부등식 'Ä4n-1<('Än+1+'§n )aÇ<'Ä4n+1의 각 변을. 'Än+1+'§n 으로 나누면 'Än+1+'§n >0이므로. n`Ú¦. =a+b=2. 3  ¥ n. =4_2=8. 5.. n`Ú¦. lim  (aÇ+bÇ)= lim  aÇ+ lim  bÇ. n`Ú¦. n`Ú¦. =4(1+'¶1-0). lim  aÇ=a, lim  bÇ=b (a, b는 실수)라 하자.. n`Ú¦. 4(n+"ÃnÛ`-3n) n. =4 lim  ¦1+¾¨1n`Ú¦. ⑤. 2.. n`Ú¦. yy ㉠. 'Ä4n-1 'Ä4n+1 이다. <aÇ< 'Än+1+'§n 'Än+1+'§n. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 2. 2017-10-31 오후 3:32:26.

(3) 'Ä4n-1 =lim   lim   n`Ú¦ 'Än+1+'§n n`Ú¦  . =.  . =. 2xn+1-x xn-1+2 1 2x- n-1 x = lim   n`Ú¦ 2 xÑÚ`+ n x 2x-0 = =2xÛ` ;[!;+0. ¾¨4- 1 n 1 ¾¨1+ +1 n. f(x)= lim   n`Ú¦. 'Ä4-0 'Ä1+0+1 2 =1 1+1. 'Ä4n+1 = lim   lim   n`Ú¦ 'Än+1+'§n n`Ú¦. ¾¨4+ 1 n 1 ¾¨1+ +1 n.  . 'Ä4+0 = 'Ä1+0+1.  . =. 따라서 f(6)=2_6Û`=72 Ú, Û 에서 f {;4#;}_ f(6)=-;8#;_72=-27 ①. 2 =1 1+1. 따라서 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  aÇ=1 n`Ú¦. 1. 6.. lim   n`Ú¦. 01 ④ 06 ② 11 ① 16 ④ 21 ③. 22n+1 2_4Ç` = lim   n-1 3 +4n-1 n`Ú¦ ;3!;_3Ç`+;4!;_4Ç`. . = lim  . . =. n`Ú¦. . ;3!;_{;4#;}n`+;4!; 2. Ú 0<x<1일 때, n`Ú¦. n`Ú¦. . n`Ú¦. 2xn+1-x xn-1+2. 2_0-x 0+2 x =2. (-1)Ç` 2n. 에서. aÁ=. (-1)Ú` (-1)Û` -1 = =;1!;=1 =-1, aª= 1 (-1)Û` (-1)Ý`. a£=. (-1)Ü` (-1)Ý` -1 = =;1!;=1 =-1, a¢= 1 (-1)ß` (-1)¡`. 수열 {aÇ}은 교대로 -1과 1이 되므로 진동(발산)한다. ㄴ. aÇ=à. (-1)Ç`. (n=1, 3, 5, y). `-(-1)Ç` (n=2, 4, 6, y). 에서. . Û x>1일 때, n`Ú¦. 05 ① 10 ② 15 10 20 ①. a£=(-1)Ü`=-1, a¢=-(-1)Ý`=-1. 따라서 f {;4#;}=-;2!;_;4#;=-;8#;. n`Ú¦. 04 ⑤ 09 ① 14 ④ 19 ③ 24 ④. aÁ=(-1)Ú`=-1, aª=-(-1)Û`=-1. =. lim  xÇ`=¦이고 lim  . 03 ③ 08 ④ 13 ③ 18 8 23 ②. . lim  xÇ`=0이므로 lim  xÇ` ±Ú`= lim  xÇ` ÑÚ`=0 f(x)= lim  . 02 ③ 07 ③ 12 ③ 17 ④ 22 ⑤. 01 ㄱ. aÇ= (-1). =8. n`Ú¦. 본문 12~15쪽. 2. ;3!;_0+;4!; 8. 7.. 유형 확인. 1 1 =0이므로 lim   =0 xÇ` n`Ú¦ xÇ` ÑÚ`. 수열 {aÇ}은 -1로 수렴한다. ( -;n!; (n=1, 3, 5, y) ㄷ. aÇ={ 9 ;n!; (n=2, 4, 6, y). 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 3. 3. 2017-10-31 오후 3:32:27.

(4) 정답과 풀이 aÁ=-;1!;=-1, aª=;2!;. ② aÇ+an+1=(-1)Ç`+{-(-1)Ç`}. aÇ 1 2 O. a£=-;3!;, a¢=;4!;. =(-1)Ç`-(-1)Ç` 2. -1. a°=-;5!;, a¤=;6!;. 3. 1. 4. 5. =0. n. lim {aÇ+an+1}=lim  0=0. n`Ú¦. n`Ú¦. 따라서 수열 {aÇ+an+1}은 수렴한다.. . ③ aÇ-an+1=(-1)Ç`-{-(-1)Ç`}. 수열 {aÇ}은 0으로 수렴한다.. =(-1)Ç`+(-1)Ç`. 따라서 수열 {aÇ} 중 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.. =2(-1)Ç`. ④. 따라서 수열 {aÇ-an+1}은 교대로 -2와 2가 되므로 진동 (발산)한다.. f(0). 1. 02 ㄱ. aÇ= f(-n) = 1-2n 이라 하면. ④. aÁ=-1, aª=-;3!;, a£=-;5!;, a¢=-;7!;, y이므로 수열 f(0) ]은 0으로 수렴한다. f(-n) f(nÛ`) 2nÛ`+1 ㄴ. aÇ= 이라 하면 = 2n+1 f(n) [. lim  . n`Ú¦. aÇ =lim (-1)=-1 an+1 n`Ú¦. 따라서 수열 [. aÇ ]은 수렴한다. an+1. ⑤ a2n-1=(-1)Û`Ç`-1=1-1=0 a2n-1 0 = =0 aÇ (-1)Ç`. aÁ=;3#;=1, aª=;5(;=1+;5$;, a£=:Á7»:=2+;7%;, a¢=:£9£:=3+;3@;, y 이므로 수열 [. aÇ (-1)Ç` = =-1 an+1 -(-1)Ç`. lim  . n`Ú¦. f(nÛ`) ]은 양의 무한대로 발산한다. f(n). a2n-1 =lim  0=0 aÇ n`Ú¦. 따라서 수열 [. a2n-1 ]은 수렴한다. aÇ. ㄷ. f(f(n))= f(2n+1)=2(2n+1)+1=4n+3. ③. f(n) 2n+1 이라 하면 aÇ= = 4n+3 f( f(n)). 04 수열 {aÇ}이 수렴하므로 lim  aÇ=a (a는 실수)라 하면. aÁ=;7#;=;2!;-;1Á4;, aª=;1°1;=;2!;-;2Á2;,. n`Ú¦. lim  an+1=a이다.. a£=;1¦5;=;2!;-;3Á0;, a¢=;1»9;=;2!;-;3Á8;, y. n`Ú¦. lim  . f(n) ]은 ;2!;로 수렴한다. 이므로 수열 [ f( f(n)). n`Ú¦. 따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③. 2 lim  an+1-1 2an+1-1 n`Ú¦ = aÇ+2 lim  aÇ+2 n`Ú¦. . 2a-1 = a+2. . =-3. 2a-1=-3(a+2)에서 5a=-5. 03 수열 {aÇ}이 aÇ=(-1)Ç` 이므로. 따라서 a=-1, 즉 lim  aÇ=-1이다. n`Ú¦. an+1=(-1)n+1=(-1)_(-1)Ç`=-(-1)Ç` ① aÇ an+1=(-1)Ç`_{-(-1)Ç`} =-(-1)Û`Ç`. =-1. ⑤. 05 lim  aÇ= lim  {(aÇ-3)+3} n`Ú¦. n`Ú¦. lim  aÇ an+1=lim (-1)=-1. . =lim  (aÇ-3)+3. 따라서 수열 {aÇ an+1}은 수렴한다.. . =a+3. n`Ú¦. 4. n`Ú¦. n`Ú¦. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 4. 2017-10-31 오후 3:32:27.

(5) 07 1+2+3+y+(2n-1)+2n. lim  bÇ=lim  [;2!; (2bÇ+1)-;2!;]. n`Ú¦. = Á k=. n`Ú¦. =;2!; lim  (2bÇ+1)-;2!;. =;2!; a-;2!;. n`Ú¦. =2nÛ`+n 이므로. lim  aÇ bÇ=lim  aÇ_lim  bÇ. n`Ú¦. n`Ú¦. lim. n`Ú¦. n`Ú¦. =(a+3){;2!;a-;2!;}. 2n(2n+1) 2. 2n. k=1. 3nÛ`+2n 1+2+3+y+(2n-1)+2n. 3nÛ`+2n 2nÛ`+n 2 3+ n =lim   n`Ú¦ 1 2+ n 3+0 = =;2#; 2+0 =lim. n`Ú¦. =6. 이므로 ;2!; aÛ`+a-;2#;=6, aÛ`+2a-15=0 (a+5)(a-3)=0 a=-5 또는 a=3. ③. 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -5+3=-2 ①. 08 등차수열 {aÇ}의 첫째항이 1이고 공차가 3이므로 일반항 aÇ과 첫째항부터 제n항까지의 합 SÇ은. 06 lim  (aÇ+bÇ)=2이므로 n`Ú¦. aÇ=1+(n-1)_3=3n-2. lim  (aÇ+bÇ)Û`=lim  (aÇ+bÇ)_lim  (aÇ+bÇ). SÇ=. n{2_1+(n-1)_3} 2. n`Ú¦. lim  (aÇÛ`-bÇÛ`)=5에서. =. n(3n-1) 2. lim  (aÇ-bÇ)(aÇ+bÇ)=5. 따라서. n`Ú¦. . n`Ú¦. n`Ú¦. yy ㉠. =2_2=4. n`Ú¦. lim  (aÇ-bÇ)=lim  . n`Ú¦. . n`Ú¦. =. (aÇ-bÇ)(aÇ+bÇ) aÇ+bÇ. lim  (aÇ-bÇ)(aÇ+bÇ). n`Ú¦. lim  (aÇ+bÇ). n`Ú¦. lim  . n`Ú¦. =;2%;. (aÇ)Û` (3n-2)Û` = lim   SÇ n`Ú¦ n(3n-1)   2. . =lim   n`Ú¦. 이므로 lim  (aÇ-bÇ)Û`=lim  (aÇ-bÇ)_lim  (aÇ-bÇ). n`Ú¦. . n`Ú¦. n`Ú¦. =;2%;_;2%;=:ª4°:. . =lim  . . =. n`Ú¦. yy ㉡. 따라서 ㉠, ㉡에 의하여. 2(3n-2)Û` n(3n-1). 2 }2` n 1 3n. 2{3-. 2(3-0)Û` =6 3-0. lim  aÇ bÇ=lim  ;4!;{(aÇ+bÇ)Û`-(aÇ-bÇ)Û`}. n`Ú¦. ④. n`Ú¦. . =;4!; lim {(aÇ+bÇ)Û`-(aÇ-bÇ)Û`}. . =;4!; [ lim (aÇ+bÇ)Û`-lim (aÇ-bÇ)Û`]. . =;4!;{4-:ª4°:}. . =-;1»6;. nÛ`. 09 lim  (2n+1)aÇ. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. nÛ` 1 =lim  » _ _ 2n+1 2n-1 n`Ú¦. n`Ú¦. ②. nÛ` =lim  » _ n`Ú¦ 4nÛ`-1. 1 aÇ ¼   2n-1. 1 aÇ ¼   2n-1. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 5. 5. 2017-10-31 오후 3:32:27.

(6) 정답과 풀이 (나) Á (an-b)= Á (2n-b). 1 aÇ   2n-1 1 1 =lim _ n`Ú¦ 1 lim   aÇ 4n`Ú¦ 2n-1   nÛ` 1 = _;3!;=;1Á2; 4-0 nÛ` _lim n`Ú¦ 4nÛ`-1 n`Ú¦. 10. =lim. 10. =2 Á n-b Á 1. n=1. n=1. . . n`Ú¦. (a+b)nÛ`+bn+1  2n-1. yy ㉠. 5. =2 Á n+b Á 1. n=1. n=1. ㉠에서 lim. . . . =. =30+5b. 10. 5. n=1. n=1. ①. 12 lim  {"ÃnÛ`+an-"ÃnÛ`+(a+3)n}. b+0 =;2B; 2-0. n`Ú¦. 이므로 ;2B;=1에서 b=2이고, a=-2이다.. = lim. 따라서. = lim. n`Ú¦. n`Ú¦. an+b -2n+2 = lim (aÛ`+bÛ`)n+1 n`Ú¦ 8n+1 2 -2+ n =lim   n`Ú¦ 1 8+ n -2+0 = 8+0 lim. n`Ú¦. = lim. n`Ú¦. = lim. n`Ú¦. = lim. n`Ú¦. =-;4!; ②. 11 (가) lim   n`Ú¦. (an-1)(an+b) nÛ`+1. {a- 1 }{a+ b } n n =lim   n`Ú¦ 1 1+ nÛ` =. (a-0)(a+0) =aÛ` 1+0. 이므로 aÛ`=4에서 a>0이므로 a=2. 6. 5_6 +b_5 2. =2_. 따라서 a+b=2+:Á3¤:=:ª3ª:. b+. . 5. n=1. 110-10b=30+5b, 15b=80, b=:Á3¤:. (a+b)nÛ`+bn+1 bn+1 =lim 2n-1 n`Ú¦ 2n-1 1 n =lim   n`Ú¦ 1 2n. 5. n=1. 이므로 Á (an-b)= Á (an+b)에서. a+b=0, 즉 a=-b이다.. n`Ú¦. n=1. Á (an+b)= Á (2n+b). . a+b+0이면 ㉠에서 발산하므로. n=1. =110-10b. 5. . 10 lim  . 10. 10_11 =2_ -b_10 2. . ①. 10. =. {"ÃnÛ`+an-"ÃnÛ`+(a+3)n }{"ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+(a+3)n } "ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+(a+3)n (nÛ`+an)-{nÛ`+(a+3)n} "ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+(a+3)n. (nÛ`+an)-(nÛ`+an+3n) "ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+(a+3)n -3n "ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+(a+3)n -3 a a+3 ¾¨1+ +¾¨1+ n n. -3 '¶1+0+'¶1+0. =-;2#;. ③. 13 aÁ=SÁ=1+2=3 n¾2일 때, aÇ=SÇ-Sn-1 =(nÛ`+2n)-{(n-1)Û`+2(n-1)} =(nÛ`+2n)-{(nÛ`-2n+1)+(2n-2)} =2n+1. yy ㉠. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 6. 2017-10-31 오후 3:32:28.

(7) 이고, ㉠은 aÁ=3을 만족하므로. 4n+7 "ÃnÛ`+6n+8+(n+1) 7 4+ n =lim   n`Ú¦ 6 8 1 ¾¨1+ + +{1+ } n n nÛ` 4+0 = =2 'ħ1+0+0+(1+0) = lim. n`Ú¦. aÇ=2n+1 (n¾1)이고, an+1=2(n+1)+1=2n+3 따라서 lim. n`Ú¦. 'Äan+1-'¶2n '§aÇ-'¶2n. = lim. n`Ú¦. '¶2n+3-'¶2n 'Ä2n+1-'¶2n. = lim [ n`Ú¦. =3 lim. n`Ú¦. ('¶2n+3-'¶2n)('Ä2n+3+'¶2n) 'Ä2n+1+'¶2n ] _ ('Ä2n+1-'¶2n)('Ä2n+1+'¶2n) 'Ä2¶ n+3+'¶2n '¶2n+1+'¶2n 'Ä2n+3+'¶2n. =3 lim   n`Ú¦. =3_ =3_. 15 Ú bÉ0이면. lim ("Ã4nÛ`+an-bn)=¦ n`Ú¦. Û b>0이면. ¾¨2+ 1 +'2 n. lim ("Ã4nÛ`+an-bn). ¾¨2+. = lim. n`Ú¦. ("Ã4nÛ`+an-bn)("Ã4nÛ`+an+bn) "Ã4nÛ`+an+bn ("Ã4nÛ`+an)Û`-(bn)Û` = lim n`Ú¦ "Ã4nÛ`+an+bn (4-bÛ`)nÛ`+an = lim  n`Ú¦ "Ã4nÛ`+an+bn. 3 +'2 n. n`Ú¦. '¶2+0+'2 '¶2+0+'2. '2+'2 =3 '2+'2. ③. 14 f(n)=nÜ`+7nÛ`+14n+8이라 하면. f(-1)=0 . 즉, f(n)은 n+1을 인수로 가지므로 조립제법을 이용하여 인 수분해하면 -1. 1. 1. ④. 7. 14. 8. -1. ``-6. -8. 6. 8. 0. nÜ`+7nÛ`+14n+8=(n+1)(nÛ`+6n+8). =(n+1)(n+2)(n+4) a<b<c이므로 a=1, b=2, c=4이다.. yy ㉠. 이때 ㉠에서 4-bÛ`+0이면 발산하므로 4-bÛ`=0이고 b>0이므로 b=2 ㉠에서 an "Ã4nÛ`+an+2n a = lim   n`Ú¦ a ¾¨4+ +2 n a = 154+0+2 lim  . n`Ú¦. =;4A;. 이므로 ;4A;=b에서 a=4b=4_2=8 따라서 a+b=8+2=10. 따라서.  10. lim {"Ã(n+b)(n+c)-(n+a)}. n`Ú¦. = lim {"Ã(n+2)(n+4)-(n+1)} n`Ú¦. = lim {"ÃnÛ`+6n+8-(n+1)} n`Ú¦. = lim. n`Ú¦. = lim. n`Ú¦. {"ÃnÛ`+6n+8-(n+1)}{"ÃnÛ`+6n+8+(n+1)} "ÃnÛ`+6n+8+(n+1) (nÛ`+6n+8)-(n+1)Û` "ÃnÛ`+6n+8+(n+1). 16 수열 {aÇ}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 2nÛ`-n<aÇ<2nÛ`+n을 만족시키므로 2(2n)Û`-2n<a2n<2(2n)Û`+2n 8nÛ`-2n<a2n<8nÛ`+2n. yy ㉠. 이때 ㉠의 각 변을 nÛ`+2(nÛ`+2>0)로 나누면 a2n 8nÛ`-2n 8nÛ`+2n < < nÛ`+2 nÛ`+2 nÛ`+2. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 7. 7. 2017-10-31 오후 3:32:28.

(8) 정답과 풀이 ㉠의 각 변을 n (n>0)으로 나누면 bÇ 8-;n!;< <8+;n#; n. 이때 2 n 8-0 = =8, 2 1+0 1+ nÛ` 2 8+ n 8nÛ`+2n 8+0 =lim   =8 = lim n`Ú¦ nÛ`+2 n`Ú¦ 2 1+0 1+ nÛ`. 8nÛ`-2n =lim   lim n`Ú¦ nÛ`+2 n`Ú¦. 8-. 이때 lim {8-;n!;}=8, lim {8+;n#;}=8. n`Ú¦. n`Ú¦. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 bÇ lim =8 n`Ú¦ n. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. 8. a2n =8 n`Ú¦ nÛ`+2 lim. ④. 19 lim   n`Ú¦. 17 수열 {aÇ}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 2n-1<aÇ<2n+1을 만족시키고, 2n-1>0이므로 (2n-1)Û`<(aÇ)Û`<(2n+1)Û`. a_22n+1-3Ç` 2a_4Ç`-3Ç` = lim   n`Ú¦ 4n-1+3Ç` ;4!;_4Ç`+3Ç`. . = lim. . =. n`Ú¦. yy ㉠. 을 만족시킨다. ㉠의 각 변을 3nÛ`+1(3nÛ`+1>0)로 나누면. (2n-1)Û` =lim   lim   n`Ú¦ n`Ú¦ 3nÛ`+1. (2n+1)Û` =lim   lim   n`Ú¦ n`Ú¦ 3nÛ`+1. lim  . 2a-0 ;4!;+0. =8a. ③. {2- 1 }2` n (2-0)Û` =;3$;, = 3+0 1 3+ nÛ`. 20 등비수열 {aÇ}의 첫째항과 공비가 모두 r (r>1)이므로 aÇ=r_rÇ` ÑÚ`=rÇ` r(rÇ`-1) SÇ= r-1. {2+ 1 }2` n (2+0)Û` =;3$; = 3+0 1 3+ nÛ`. `r(rÇ`-1) r-1 rÇ` r rÇ`-1 = lim   r-1 n`Ú¦ rÇ` r = lim  [1-{;r!;}n` ] r-1 n`Ú¦ SÇ lim   =lim   n`Ú¦ aÇ n`Ú¦. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 n`Ú¦. ;4!;+{;4#;}n`. 이므로 8a=6에서 a=;4#;. (2n-1)Û` (aÇ)Û` (2n+1)Û` < < 3nÛ`+1 3nÛ`+1 3nÛ`+1 이때. 2a-{;4#;}n`. (aÇ)Û` =;3$; 3nÛ`+1 ④. 이때 0<;r!;<1이므로 lim  {;r!;}n`=0. yy ㉠. n`Ú¦. 18 aÁ=3, a. -aÇ=4를 만족시키는 수열 {aÇ}은 첫째항. n+1. 이 3이고 공차가 4인 등차수열이므로 aÇ=3+(n-1)_4=4n-1. SÇ r ㉠에서 lim   = r-1 n`Ú¦ aÇ r 이므로 =3에서 r=3r-3, r=;2#; r-1 ①. a2n=4_2n-1=8n-1 a2n+1=4_(2n+1)-1=8n+3. bÇ. 따라서 수열 {bÇ}은 모든 자연수 n에 대하여 부등식 8n-1<bÇ<8n+3 을 만족시킨다.. 8. yy ㉠. 21 lim  aÇ n`Ú¦. =lim  [ n`Ú¦. (2Ç`+3n-1)bÇ 2n-1+3Ç` ] _ n-1 (2 +3Ç`)aÇ 2Ç`+3n-1. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 8. 2017-10-31 오후 3:32:28.

(9) =lim   n`Ú¦. (2Ç`+3n-1)bÇ 2n-1+3Ç` _lim   (2n-1+3Ç`)aÇ n`Ú¦ 2Ç`+3n-1. =;6(;_lim   n`Ú¦. =;2#;_ . lim  rÇ`=1이므로 n`Ú¦. ;2!;_2Ç`+3Ç`. f(r)=lim  . 2Ç`+;3!;_3Ç`. =;2#;_ lim   n`Ú¦. Ü r=1일 때,. n`Ú¦. ;2!;_{;3@;}n`+1. rÇ`+2 1+2 = =;4#; 3_1+1 3rÇ`+1. Ú~Ü에서 함수 f(r)의 치역은 [;3!;, ;4#;, 2]이고, 치역의 모. {;3@;}n`+;3!;. 든 원소의 곱은 ;3!;_;4#;_2=;2!;이다. ②. ;2!;_0+1 0+;3!;. 24 Ú |x|<1, 즉 -1<x<1일 때,. lim  |x|Ç`=0이므로. =;2#;_3=;2(;. n`Ú¦. ③. f(x)= lim. n`Ú¦. |x|n+1+1 |x|Ç`+3. 0+1 =;3!; 0+3. 22 f(x)=(3x+6)Ç` 이라 하자.. 다항식 f(x)를 x-1로 나눈 나머지 aÇ은. Û |x|>1, 즉 x<-1 또는 x>1일 때,. aÇ= f(1)=9Ç`=(3Ç`)Û`. lim  |x|Ç`=¦이고 lim  . 다항식 f(x)를 x+1로 나눈 나머지 bÇ은. n`Ú¦. bÇ= f(-1)=3Ç`. lim  . n`Ú¦. bn+1-1 3n+1-1 n =lim   n`Ú¦ '¶aÇ+2 "Ã(3Ç`)Û`+2Ç`. . . . 3_3Ç`-1 =lim   3Ç`+2Ç` n`Ú¦ =lim   n`Ú¦. =. n`Ú¦. f(x)= lim. 이므로 bÇ*Á=3Ç` ±Ú` n`Ú¦. =. 3-{. 1 n` } 3. 1 =0이므로 |x|Ç`. |x|n+1+1 |x|Ç`+3. 1 |x|+0 |x|Ç` = lim   = n`Ú¦ 3 1+0 1+ |x|Ç`. =|x|. |x|+. Ü |x|=1, 즉 x=-1 또는 x=1일 때,. 1+{;3@;}n`. lim  |x|Ç`=1이므로 n`Ú¦. |x|n+1+1 n`Ú¦ |x|Ç`+3. f(x)= lim. 3-0 =3 1+0. ⑤. =. 1+1 =;2!; 1+3. Ú~Ü에서. 23. f(-1)=;2!;, f {;2!;}=;3!;이고,. Ú -1<r<1일 때,. lim  rÇ`=0이므로. f(-1)= f {;2!;}_ f(a)에서. n`Ú¦. f(r)=lim   n`Ú¦. rÇ`+2 0+2 = =2 3_0+1 3rÇ`+1. ;2!;=;3!;_ f(a), f(a)=;2#;이므로. Û r<-1 또는 r>1일 때, -1<;r!;<0 또는 0<;r!;<1이고, lim   n`Ú¦. 1 =0이므로 rÇ`. 2 1+ rÇ` rÇ`+2 1+0 f(r)=lim   = lim   = =;3!; 3+0 n`Ú¦ 3rÇ`+1 n`Ú¦ 1 3+ rÇ`. a<-1 또는 a>1이고 |a|=;2#;이어야 한다.. 따라서 a=-;2#; 또는 a=;2#;이고, 모든 실수 a의 값의 곱은 -;2#;_;2#;=-;4(; ④. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 9. 9. 2017-10-31 오후 3:32:28.

(10) 정답과 풀이 서술형 01 ;4#;. 연습장. 02 6. 본문 16쪽. 03 -4ÉxÉ-2 또는 x=3. 2nx+1 x-n 2n(x-n)+2nÛ`+1 = x-n 2nÛ`+1 +2n = x-n. n`Ú¦. = lim  {bÇ-. =1+ lim  . =1+ lim  . =1+. =1+3=4. n`Ú¦. n`Ú¦. 01 f(x)=. yy ➊. 함수 y=f(x)의 그래프의 두 점근선은 x=n, y=2n이므로 aÇ=n, bÇ=2n이고, 2n(2n)+1 4nÛ`+1  = 2n-n n aÇ+bÇ n+2n = lim   lim   n`Ú¦ f(2n) n`Ú¦ 4nÛ`+1   n 3nÛ` = lim   n`Ú¦ 4nÛ`+1 3 = lim   n`Ú¦ 1 4+ nÛ` 3 = =;4#; 4+0. yy ➋. f(2n)=. ➊. 30`%. 로 변형한 경우 ➋. aÇ, bÇ, f(2n)을 구한 경우. 30 %. ➌. 분자, 분모를 각각 nÛ`으로 나누어 극한값을 구 한 경우. 40 %. . 10. n+1. n`Ú¦. n+1 n+1 }-lim   2n-1 n`Ú¦ 2n-1. yy ➋. n`Ú¦. yy ➌. n`Ú¦. 채점 기준. 비율. ➊. 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하여 lim  aÇ을 구한 경우. 40 %. 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하여 lim  bÇ을 구한 경우. 40 %. 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하여 lim  aÇ bÇ을 구한 경우. 20 %. n`Ú¦. ➌. n`Ú¦. 03 수열 [(x-3){;2{;}n``]이 수렴하려면 x-3=0 또는 -1<;2{; É 1 x=3 또는 -2<xÉ2. yy ㉠. . yy ➊. x+1 }n``]이 수렴하려면 3. x+4=0 또는 -1<. x+1 É1 3. x=-4 또는 -4<xÉ2, 즉 -4ÉxÉ2. 1 n =2- lim   n`Ú¦ 1 2n 1+0 =22-0 1+. =2-;2!;=;2#;. ;2!;_0+1. 수열 [(x+4){. 02 lim  aÇ= lim  [{aÇ+ 2n-1 }- 2n-1 ]. . 0+3. 단계. ➋. yy ➌. 비율. n`Ú¦. ;2!;_{;3@;}n`+1. n`Ú¦. k 함수 f(x)를 f(x)= +q (x+p)의 꼴 x-p. =lim  {aÇ+. {;3@;}n`+3. 6. 채점 기준. . 2Ç`+3_3Ç` 1 _2Ç`+3ÇÇ` 2. lim  aÇ bÇ= lim  aÇ_ lim  bÇ=;2#;_4=6. n`Ú¦. 단계. n+1. n`Ú¦. 2Ç`+3n+1 2Ç`+3n+1 }+ lim   n-1 n-1 n`Ú¦ 2 2 +3Ç` +3Ç`. 따라서.  ;4#;. n`Ú¦. 2Ç`+3n+1 2Ç`+3n+1 }+ n-1 ] 2n-1+3Ç` 2 +3Ç`. lim  bÇ= lim  [{bÇ-. n`Ú¦. yy ㉡    yy ➋. ㉠, ㉡의 x의 값의 범위를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. ㉡. yy ➊. -4. -2. ㉠. 2 3 x. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 10. 2017-10-31 오후 3:32:29.

(11) 따라서 두 수열 중에서 어느 하나만 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위는 yy ➌. -4ÉxÉ-2 또는 x=3.  -4ÉxÉ-2 또는 x=3 단계 ➊. 채점 기준. 비율. 수열 [(x-3){;2{;}n``]이 수렴하도록 하는 실수. 40 %. x의 값의 범위를 구한 경우 . ➋. ➌. x+1 }n``]이 수렴하도록 하는 수열 [(x+4){ 3 실수 x의 값의 범위를 구한 경우 . 40 %. 두 수열 중에서 어느 하나만 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위를 구한 경우. 20 %. lim  {an+2(an+1-aÇ)}. n`Ú¦. = lim  {(2'5_'Än+3 )(2'5_'Än+2-2'5_'Än+1 )} n`Ú¦. = lim  2'5_'Än+3_2'5_('Än+2-'Än+1) n`Ú¦. = lim  20'Än+3('Än+2-'Än+1) n`Ú¦. =20 lim  ['Än+3_ n`Ú¦. ('Än+2-'Än+1)('Än+2+'Än+1) ] 'Än+2+'Än+1. 'Än+3 =20 lim   n`Ú¦ 'Än+2+'Än+1. ¾¨1+ 3 n =20 lim   n`Ú¦ 2 1 ¾¨1+ +¾¨1+ n n =20_ =20_. '¶1+0 '¶1+0+'¶1+0 1 =10 1+1. ③. 내신. 01 ③. +. 2n+1. 수능. 02 ⑤. 고난도 문항. 본문 17쪽. 03 80. 2+{;3!; x}. 02 f(x)= lim   1+{;3!; x}2` n` n`Ú¦. = lim  . 01 이차함수 y=xÛ`+4x의 그래프와 직선 y=2x+n이 만나. 는 두 점을 A, B라 하자.. 즉, xÛ`+2x-n=0의 실근과 같다. 이차방정식 xÛ`+2x-n=0의 두 실근을 a, b (a<b)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=-n이고, A(a, 2a+n), B(b, 2b+n)에서. yy ㉠. =(-2)Û`-4(-n) . n`Ú¦. f(x)= lim  . =. 2n. 2+;3!; x_{;3!; x} 1+{;3!; x}2` n`. 2+;3!; x_0 1+0. =2. Û ;3!; x=1, 즉 x=3일 때,. 모든 자연수 n에 대하여 {;3!; x}2` n`=1이므로 2n. =4n+4. f(x)= lim  . ㉠에서. aÇ='5 (b-a). 1+{;3!; x}2` n`. lim  {;3!; x}2` n`=0이므로 n`Ú¦. ="Ã(b-a)Û`+(2b-2a)Û`. (b-a)Û`‌=(a+b)Û`-4ab. 2n. 2+;3!; x_{;3!; x}. n`Ú¦. aÇ=ABÓ. 이때.  . Ú -1<;3!; x<1, 즉 -3<x<3일 때,. 두 점 A, B의 x좌표는 이차방정식 xÛ`+4x=2x+n,. ='5 (b-a).  . n`Ú¦. ='5_'Ä4n+4 =2'5_'Än+1. 이므로. =. 2+;3!; x_{;3!; x} 1+{;3!; x}2` n`. 2+1_1 =;2#; 1+1. 따라서 f(3)=;2#;. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 11. 11. 2017-10-31 오후 3:32:29.

(12) 정답과 풀이 Ü ;3!; x=-1, 즉 x=-3일 때,. bÁ=;2!;_;2(;=;4(;. 모든 자연수 n에 대하여 {;3!; x}2` n`=1이므로. bÇ*Á=;2!; bÇ(n=1, 2, 3, y). 2+;3!; x_{;3!; x}. 따라서 bÇ=;4(;_{;2!;}. 2n. f(x)= lim  . 1+{;3!; x}2` n`. n`Ú¦. lim  . n`Ú¦. 2+(-1)_1 = =;2!; 1+1. 따라서 f(-3)=;2!; Ý ;3!; x<-1 또는 ;3!; x>1, 즉 x<-3 또는 x>3일 때, lim  {;3!; x}2` n`=¦이고 lim   n`Ú¦. n`Ú¦. {;3!; x}2` n` 1. f(x)= lim  . 2+;3!; x_{;3!; x} 1+{;3!; x}2` n`. n`Ú¦. {;3!; x}2` n` 2. = lim   n`Ú¦. =. . = lim  . . = lim  . . =. n`Ú¦. 1 이므로 2Ç`. 180_2n+1. 1+4Ç`_;2(;_. 1 2Ç`. 360_2n 1+2Ç`_;2(;. n`Ú¦. 360 1 +;2(; 2Ç`. 360 0+;2(;. =80  80. +;3!; x. {;3!; x}2` n` 1. =;2(;_. 180an+1 = lim   1+4Ç`_bÇ n`Ú¦. =0이므로. 2n. Ç` ÑÚ`. +1. 0+;3!; x 0+1. =;3!; x f(x)=;2#;에서 ;3!; x=;2#;, x=;2(;이고, 이 값은 x>3을 만족 시킨다. Ú~Ý에서 f(x)=;2#; 을 만족시키는 모든 실수 x는 3, ;2(; 이 고, 그 합은 3+;2(;=;;Á2°;; 이다. ⑤. 03 [과정 n]을 마쳤을 때 삼각형 모양의 종이의 개수가 aÇ이 므로 aÁ=2, an+1=2aÇ (n=1, 2, 3, y) 따라서 aÇ=2_2n-1=2Ç` 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_3_3=;2(; 이고, [과정 n]을 마쳤 을 때, 삼각형 모양의 종이 한 개의 넓이가 bÇ이므로 . 12. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 12. 2017-10-31 오후 3:32:29.

(13) Ⅰ. 수열의 극한. 02. 급수. 3.. lim (aÇ-4)=0이므로. n`Ú¦. lim  aÇ= lim {(aÇ-4)+4} . n`Ú¦. n`Ú¦. = lim (aÇ-4)+lim  4 n`Ú¦. 기본 유형 익히기 1. 4 6. 9. 1.. 3. ;4!;. 2. -1. 본문 20~23쪽. 유제. 4. ;2#;. 5. ;5(;. 급수 Á (bÇ-3)이 수렴하므로 lim (bÇ-3)=0 n`Ú¦. 급수 Á aÇ의 부분합 SÇ이. n`Ú¦. = lim (bÇ-3)+lim  3 n`Ú¦. ¦. 따라서. 1 2Ç`. 2 bÇ+ n nbÇ+2 =lim   lim   n`Ú¦ 3naÇ+4 n`Ú¦ 4 3aÇ+ n 3+0 = 3_4+0. 이므로. Á aÇ=lim  SÇ ¦. n`Ú¦. =lim  {4n`Ú¦. 1 }=4 2Ç` 4. =. . 1 1 = 'Än+1 '§n.  ;4!; Á  bÇ= Á  [;2!; aÇ-;2!; (aÇ-2bÇ)] ¦. n=1. = Á  ;2!; aÇ- Á  ;2!; (aÇ-2bÇ) ¦. =;2!; Á  aÇ-;2!; Á  (aÇ-2bÇ) n=1. . n=1. ¦. ¦. n=1. n=1. =;2!;_4-;2!;_1=;2#;. . '§n-'ħn+1 의 부분합 SÇ`은 "Ãn(n+1) n 1 1 } SÇ= Á { '§k k=1 'Äk+1. ¦. n=1 ¦. . '§n 'ħn+1 '§n_'Än+1 '§n_'Än+1. . =;1£2;=;4!;. . 4.. '§n-'ħn+1 '§n-'Än+1 = '§n_'Än+1 "Ãn(n+1). 이므로 급수 Á. n`Ú¦. = 0+3=3. n=1. n=1. n`Ú¦. n=1. lim  bÇ`= lim {(bÇ-3)+3} . SÇ=aÁ+aª+a£+y+aÇ=4-. 2.. = 0+4=4. ¦. 9'3 20. 7.. n`Ú¦.  ;2#;. ¦. n=1. 5.. Á  ¦. n=1. 1 1 1 1 1 }+{ } ={ -1}+{ '2 '3 '2 '4 '3. . . . +y+{. =-1+ Á. 1 'Än+1. 1 1 } 'Än+1 '§n. '§n-'ħn+1 =lim  SÇ` n`Ú¦ n=1 "Ãn(n+1) ¦. . 1 } =lim {-1+ n`Ú¦ 'Än+1 =-1. ¦ (2Ç`)Û`-1 (2Ç`-1)(2Ç`+1) =Á  6Ç` 6Ç` n=1 ¦ 4Ç`-1 =Á  6Ç` n=1. = Á  [{;3@;}n`-{;6!;}n` ] ¦. . = Á  {;3@;}n`- Á  {;6!;}n`. . =. . =2-;5!;=;5(;. n=1 ¦. ¦. n=1. n=1. ;3@;. 1-;3@;. -. ;6!;. 1-;6!;.  ;5(;.  -1. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 13. 13. 2017-10-31 오후 3:32:30.

(14) 정답과 풀이. 6.. 급수 Á (xÛ`-9){2-;2{;} ¦. n-1. n=1. () 한 변의 길이가 a인 정삼각형 ABC의 넓이를 S라. 참고. 이 수렴하려면. 하자.. Ú (첫째항)=0일 때,. A. xÛ`-9=0에서 (x+3)(x-3)=0 x=-3 또는 x=3. yy ㉠. a. a. Û -1<(공비)<1일 때, -1<2-;2{;<1에서 -3<-;2{;<-1. B. yy ㉡. 2<x<6. ㉠, ㉡에서 급수가 수렴하도록 하는 모든 정수 x의 값은 -3,. a 2. H. a 2. C. S=;2!;_BCÓ_AHÓ. =;2!;_a_¾¨aÛ`-{;2A;}2`. 3, 4, 5이고 그 합은 -3+3+4+5=9이다. 9. =;2!;_a_¾¨;4#; aÛ` =. 7.. '3 aÛ` 4. AÁPÁÓ=;3!; AÁBÁÓ=;3!;_3=1. 유형 확인. AÁAªÓ=;3!; AÁCÁÓ=;3!;_3=1. 01 ⑤ 06 ③ 11 ③ 16 ③. 이므로 삼각형 AÁPÁAª는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이고, 이 정삼각형의 넓이 SÁ은 SÁ=. '3  4. yy (). 두 정삼각형 AÁBÁCÁ, AªBªCÁ은 닮음비가 3 : 2이므로 두 정삼 각형 AÁPÁAª, AªPªA£의 넓이 SÁ, Sª 사이에는. 01 급수 Á  aÇ의 부분합 SÇ이 SÇ= '¶2n('Än+1-'§n ) ¦. n=1. 임을 알 수 있다.. Á SÇ=SÁ+Sª+S£+y. ¦. =SÁ+;9$; SÁ+{;9$;}2` SÁ+{;9$;}3` SÁ+y n=1. =. =;5(; SÁ. '3 4. 9'3 20 . 14. 1. Á  aÇ=lim  SÇ. S£=;9$; Sª={;9$;}2` SÁ, S¢=;9$; S£={;9$;}3` SÁ, y. =;5(;_. 05 ⑤ 10 ② 15 ⑤ 20 ②. 이므로. 이와 같은 방법으로. 1-;9$;. 04 ① 09 ④ 14 324 19 ③. n=1. 즉, Sª=;9$; SÁ이다.. SÁ. 03 ③ 08 ④ 13 ① 18 11. ¦. SÁ : Sª=3Û` : 2Û`=9 : 4가 성립한다.. =. 02 ③ 07 ② 12 80 17 11. 본문 24~27쪽. 9'3 20. n`Ú¦. 1 =lim   n`Ú¦ '¶2n('Än+1-'§n ). 'Än+1+'§n =lim   n`Ú¦ '¶2n('Än+1-'§n )('Än+1+'§n ) 'Än+1+'§n =lim   n`Ú¦ '¶2n{(n+1)-n}. 'Än+1+'§n =lim   n`Ú¦ '¶2n. ¾¨1+;n!;+1 =lim   n`Ú¦ '2. =. 2 ='2 '2. ⑤. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 14. 2017-10-31 오후 3:32:30.

(15) 02 수열 {aÇ}의 첫째항이 ;3%;이므로 aÁ=. yy ㉠. Á  aÇ=lim  Á  aû n. n`Ú¦ k=1. n=1. an+b 2n+1 b a+ n = lim   n`Ú¦ 1 2+ n. =lim   n`Ú¦. =. 1 1 - 2n+4 !@2Ý` "Ã2. =;4!;-. =;2A;=2. 1 1 } '¶a2k '¶a2k+2 1 1 1 1 1 1 }+{ }+{ } ={ '¶a2 '¶a4 '¶a4 '¶a6 '¶a6 '¶a8 1 1 }  +y+{ '¶a2n '¶a2n+2 1 1 = '¶a2 '¶a2n+2 n. k=1. a+b =;3%;에서 a+b=5 3. ¦. SÇ= Á  {. 1 2n+2. 따라서. 따라서 a=4이고 ㉠에서 b=5-a=5-4=1이므로. Á  { ¦. a-b=4-1=3. n=1. ③. 03 등차수열 {aÇ}의 첫째항이 1이고 공차가 3이므로. 1 1 }=lim  SÇ n`Ú¦ '¶a2n '¶a2n+2. . =lim  {;4!;-. . =;4!;. n`Ú¦. 1 } 2n+2. ①. aÁ=1, aÇ=1+(n-1)_3=3n-2 급수 Á  {. 1 1 }의 부분합 SÇ은 a2n-1 a2n+1 n 1 1 } SÇ= Á  { a2k-1 a2k+1 k=1 1 1 1 1 1 1 ={ - }+{ - }+{ - } aÁ a£ a£ a° a° a¦ ¦. n=1. . +y+{. =. 05 직선 2nx+(n+1)y=nÛ`+n에서 x=0일 때, (n+1)y=nÛ`+n, y=. 1 1 } a2n-1 a2n+1. 1 1 a2n+1 aÁ. =1-. 따라서 직선 2nx+(n+1)y=nÛ`+n과 x축, y축으로 둘러싸. 1 6n+1. SÇ=;2!;_n_. n=1. n(n+1) n+1 = 4 2. 이므로 1. ¦. n(n+1) nÛ`+n n+1 = = 2n 2n 2. 인 도형의 넓이 SÇ은. 따라서 Á  {. y=0일 때, 2nx=nÛ`+n, x=. 1 3(2n+1)-2. =;1!;-. n(n+1) nÛ`+n =n = n+1 n+1. a2n-1. -. 1. a2n+1. Á  n. }= lim  SÇ = lim  {1-. . k=1. n`Ú¦. n`Ú¦. 1 }=1 6n+1 ③. aÇ=8_2n-1=2Ü`_2n-1=2n+2 급수 Á  { ¦. n=1. 1 1 }의 부분합 SÇ은 '¶a2n '¶a2n+2. =4 [{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}. . +y+{. 1 1 }] n n+1. 1 } n+1 ¦ n 1 1 Á   =lim  Á   SÇ n`Ú¦ k=1 Sû n=1 1 }=4. =4lim  {1n+1 n`Ú¦. 04 등비수열 {aÇ}의 첫째항이 8이고 공비가 2이므로. n n 1 4 1 1 } =Á  =4 Á  { Sû k=1 k(k+1) k k+1 k=1. =4{1-. ⑤. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 15. 15. 2017-10-31 오후 3:32:31.

(16) 정답과 풀이. 06 모든 자연수 n에 대하여 이차함수 y=xÛ`-aÇx+bÇ의 그 래프는 두 점 (n(n+1), 0), ((n+1)(n+2), 0)을 지나므 로 이차방정식 xÛ`-aÇx+bÇ=0의 두 근은. n`Ú¦. aÇ=n(n+1)+(n+1)(n+2)=2(n+1)Û`. =n(n+1)Û`(n+2) 이므로 aÇ 2(n+1)Û` 2 = = bÇ n(n+1)Û`(n+2) n(n+2) 1 =;n!;n+2 ¦. aÇ -;4!;}=0이다. 2 +3 n+1. aÇ aÇ =lim  [{ -;4!;}+;4!;] 2n+1+3 n`Ú¦ 2n+1+3. n. . =0+;4!;=;4!;. lim  . n`Ú¦. aÇ aÇ 2n+1+3 } =lim  { n+1 _ n-1 n`Ú¦ 2 +1 2 +3 2 +1 n-1. aÇ 2n+1+3 _lim   n-1 n`Ú¦ 2 +3 n`Ú¦ 2 +1 3 2+ 2Ç` =;4!;_lim   n`Ú¦ 1 ;2!;+ 2Ç` =lim  . . k=1. ④. ={1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}. 1 1 =1+;2!;n+1 n+2 ¦ aÇ Á   =lim  SÇ n`Ú¦ n=1 bÇ. 1 1 } =lim  {1+;2!;n+1 n+2 n`Ú¦. =1+;2!;=;2#;. . =lim  { n`Ú¦. aÇ -3}+lim  3=0+3=3 n n`Ú¦. aÇ "Ã9nÛ`+n-2n aÇ n } =lim  { _ n n`Ú¦ "Ã9nÛ`+n-2n aÇ n =lim   _lim   n`Ú¦ n n`Ú¦ "Ã9nÛ`+n-2n =3 lim  . n("Ã9nÛ`+n+2n) ("Ã9nÛ`+n-2n)("Ã9nÛ`+n+2n). =3 lim  . n("Ã9nÛ`+n+2n) 5nÛ`+n. =3 lim  . "Ã9nÛ`+n+2n 5n+1. n`Ú¦. 4n. n`Ú¦. 4n }=0이다. 3n-1. n`Ú¦. ®É9+ 1 +2 n =3 lim   n`Ú¦ 1 5+ n. 4n 4n }-lim   =lim  {aÇ+ 3n-1 n`Ú¦ n`Ú¦ 3n-1 4 =0-lim   =-;3$; n`Ú¦ 3-;n!;. =3_ ②. 16. aÇ aÇ =lim  [{ -3}+3] n n`Ú¦ n. lim  . 4n 4n }] lim  aÇ=lim  [{aÇ+ 3n-1 3n-1 n`Ú¦ n`Ú¦ . aÇ. n`Ú¦. n`Ú¦. n=1. lim  {aÇ+. lim  . . 07 급수 Á  {aÇ+ 3n-1 }이 수렴하므로 n`Ú¦. aÇ. n=1. n`Ú¦. ③. ¦. 09 급수 Á  { n -3}이 수렴하므로 lim { n -3}=0이다. ¦. 1 1 1 }+{;n!;} +y+{ n-1 n+1 n+2. . n+1. =;4!;_4=1. . 1 } k+2. aÇ -;4!;}+lim  ;4!; n`Ú¦ 2n+1+3. =lim  {. n. = Á  {;k!;-. aÇ -;4!;}이 수렴하므로 +3. n+1. . n`Ú¦. aÇ 의 부분합 SÇ은 bÇ. aû SÇ= Á   k=1 bû n=1. lim  { lim  . 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여. 급수 Á  . ¦. n=1. n`Ú¦. n(n+1), (n+1)(n+2)이다.. bÇ=n(n+1)_(n+1)(n+2). 08 급수 Á  { 2. '¶9+0+2 =3_;5%;=3 5+0 ④. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 16. 2017-10-31 오후 3:32:31.

(17) 11 Á  {4(aÇ+1)+2bÇ}= Á  {(4aÇ+4)+2bÇ}. n. ¦. 10 ㄱ. aÇ= 2n-1 이라 하면. = Á  {4aÇ+2(bÇ+2)}. n=1. n lim  aÇ=lim   n`Ú¦ n`Ú¦ 2n-1 1 =lim   n`Ú¦ 2-;n!; . ¦. n=1 ¦. . = Á  4aÇ+ Á  2(bÇ+2) n=1 ¦. . . =8+6=14. . =;2!;. n 즉, lim  aÇ+0이므로 급수 Á  aÇ= Á   은 수렴하지 n`Ú¦ n=1 n=1 2n-1 ¦. ¦. ¦. =4 Á  aÇ+2 Á  (bÇ+2) n=1. n=1. ¦. ¦. n=1. n=1. =4_2+2_3. ③. 않는다. . ㄴ. ‌급수 Á  { ¦. 1 1 - n+1 }의 부분합 SÇ은 2Ç` 2. 12 두 급수 Á  aÇ, Á  bÇ이 모두 수렴하므로. 1 1 SÇ= Á  { - k+1 } 2 k=1 2û` n=1. ¦. ={;2!;-. n=1. ¦. 1 2n+1 ¦ 1 1 Á  { - n+1 }=lim  SÇ n`Ú¦ 2Ç` 2 n=1. ¦ aÇ (가) { Á   }2`= Á  bÇ에서 2 n=1 n=1. 1 1 - n+1 } 2Ç` 2. {Á  ¦. n=1. . =lim  ;2!;-lim  . . =;2!; (수렴). 1 의 부분합 SÇ은 ㄷ. 급수 Á   n=1 'Än+1 +'§n n 1 SÇ= Á   k=1 'Äk+1 +'§k. ¦. n=1. n=1. =8p-q. pÛ`=4(8p-64), pÛ`-32p+256=0, (p-16)Û`=0 즉, p=16이고 ㉠에서 q=;4!; pÛ`=;4!;_16Û`=64. 따라서 Á  (aÇ+bÇ)= Á  aÇ+ Á  bÇ. 'Äk+1 -'§k =Á  k=1 ('Äk+1 +'§k )('Äk+1 -'§k ). ¦. ¦. ¦. n=1. n=1. n=1. =p+q=16+64=80. n.  80. k=1. =('2 -'1 )+('3 -'2 )+('4 -'3 ). +y+('§n -'Än-1 )+('Än+1 -'§n ). . ¦. 이를 ㉠에 대입하면. n. n=1. 이므로 8p-q=64, q=8p-64. ¦. = Á  ('Äk+1 -'§k ). =8 Á  aÇ- Á  bÇ. . n+1. ¦. n=1. . 1. 2. ¦. n=1. 1 } 2n+1. n`Ú¦. yy ㉠. (나) Á  (8aÇ-bÇ)= Á  8aÇ- Á  bÇ ¦. =lim  {;2!;-. ¦ aÇ }2`={;2!; Á  aÇ}2`={;2!; p}2`=;4!; pÛ` 2 n=1. 이므로 ;4!; pÛ`=q, pÛ`=4q. . n`Ú¦. n=1. ¦. =;2!;-. n`Ú¦. n=1. ¦. n=1. 1 1 1 1 1 }+{ - }+{ - } 2Û` 2Û` 2Ü` 2Ü` 2Ý` +y+{. ¦. Á  aÇ=p, Á  bÇ=q라 하자.. n. =-1+'Än+1. Á . ¦. n=1. 1 =lim  SÇ 'Än+1 +'§n n`Ú¦. 13 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 aÇ=aÁr n-1=12r n-1이다. a£=12rÛ`에서 ;3$;=12rÛ` rÛ`=;3$;_;1Á2;=;9!;. =lim  (-1+'Än+1 ) n`Ú¦. =¦(발산). 이때. 따라서 수렴하는 것은 ㄴ이다. ②. an+2 12rn+1 =r(n+1)-(n-1)=rÛ`=;9!; = aÇ 12rn-1. 이므로. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 17. 17. 2017-10-31 오후 3:32:31.

(18) 정답과 풀이 ¦ an+2 }n`= Á  {;9!;}n`= Á  { aÇ n=1 n=1. ;9!;. ¦. 1-;9!;. aÇ = bÇ. =;8!; ①. 14 등비수열 {aÇ}의 공비를 r (-1<r<1)라 하면 aÇ=aÁrn-1이다.. aÁ Á  aÇ= Á  aÁrn-1= =4 1-r n=1 n=1 ¦. 2Ç`. ;9$;_3Ç`. 이므로 ¦ aÇ ¦ Á   =;4(; Á  {;3@;}n` n=1 bÇ n=1. Á  (aÇ)Û`= Á  (aÁrn-1)Û`= ¦. ¦. =;4(;_. =;4(;_2=;2(;. n=1. n=1. =. yy ㉠. (aÁ)Û` 1-rÛ`. ;3@;. ¦. aÁ=4(1-r). =;4(;_{;3@;}n`. 1-;3@;. ⑤. 16 3Ú`=3을 4로 나누었을 때의 나머지가 3이므로 aÁ=3. aÁ aÁ _ 1-r 1+r. 3Û`=9를 4로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 aª=1. 이므로 aÁ aÁ _ =:Á7¤: 1-r 1+r. 3Ü`=27을 4로 나누었을 때의 나머지가 3이므로 a£=3 3Ý`=81을 4로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 a¢=1   . ㉠을 이 식에 대입하면 4(1-r) 1-r 4_ =:Á7¤:, =;7!; 1+r 1+r. Á  ¦. 이고 ㉠에서 aÁ=4{1-;4#;}=1 따라서. ¦ 3Ç`-1Ç` (a2n-1)Ç`-(a2n)Ç` =Á  4Ç` 4Ç` n=1. . = Á  {;4#;}n`- Á  {;4!;}n`. . =. . =3-;3!;=;3*;. n=1. 7-7r=1+r에서 r=;4#;. 2Ú`â`_a°=2Ú`â`_`aÁrÝ`. =2Ú`â`_{;4#;}4` =2Ú`â`_. 참고.  324. 15 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 (aÇ, bÇ)이므로 n+1. 0+2Ç`+2 2Ç`+2_2Ç` = 3 3 3_2Ç` = =2Ç` 3. =. 18. 0+3n-1+3Ç` = 3 ;3$;_3Ç` 3. ¦. n=1. ;4#;. 1-;4#;. -. ;4!;. 1-;4!;. (). Ú 32n-1‌=3_32n-2=3_(3Û`)n-1. =324. bÇ=. ¦. n=1. ③. 81 2¡`. =2Û`_81. aÇ=. y (). 따라서 a2n-1=3, a2n=1이다.. ;3!;_3Ç`+3Ç`. =;9$;_3Ç`. 3. =3_9n-1 =3_(4_2+1)n-1 이때 (4_2+1)n-1을 4로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 3_(4_2+1)n-1을 4로 나누었을 때의 나머지는 3이다. Û 3Û`Ç`‌=(3Û`)Ç`=9Ç` =(4_2+1)Ç` 이때 (4_2+1)n을 4로 나누었을 때의 나머지는 1이다.. 17 수열 [{;a{;-2}n` -` 1`]은 공비가 ;a{;-2인 등비수열이므로. 등비급수 Á  {;a{;-2}n` -` 1`이 수렴하려면 ¦. n=1. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 18. 2017-10-31 오후 3:32:31.

(19) -1<;a{;-2<1, 1<;a{;<3을 만족해야 한다.. 두 직각삼각형 ABCÁ, ABÁCª는 닮음비가 3`:`2이므로 두 삼 각형 BÁBPÁ, BªBÁPª의 닮음비도 3`:`2이고, 두 삼각형의 넓이. 각 변에 a (a>0)를 곱하면 yy ㉠. a<x<3a. SÁ, Sª 사이에는 SÁ`:`Sª=3Û``:`2Û`=9`:`4가 성립한다.. 이때 a, 3a가 자연수이므로 ㉠을 만족시키는 모든 정수 x의 개. 즉, Sª=;9$; SÁ이다.. 수는. 이와 같은 방법으로. S£=;9$; Sª={;9$; }2` SÁ, S¢=;9$; S£={;9$; }3` SÁ, y. 3a-a-1=2a-1 이므로. 임을 알 수 있다.. 2a-1=21에서 a=11  11. 18 (가) xÛ`-8x+7<0에서 (x-1)(x-7)<0 1<x<7. (나) 급수 Á  {;[$;}n`이 수렴하므로. Á  SÇ=SÁ+Sª+S£+y ¦. n=1. yy ㉠. ¦. n=1. =SÁ+;9$; SÁ+{;9$; }2` SÁ+{;9$; }3` SÁ+y =. SÁ. 1-;9$;. yy ㉡. =;5(; SÁ. ㉠을 만족시키는 정수 x는 2, 3, 4, 5, 6이고, 이 중에서 ㉡을. =;5(;_. -1<;[$;<1. 만족시키는 정수 x는 5, 6이다.. 따라서 모든 정수 x의 값의 합은 5+6=11이다.. 3'3 4 27'3 = 20.  11. 19 점 BÁ에서 선분 BCÁ에 내린 수선의 발을 HÁ, 점 B. ③. 에. n+1. 서 선분 BÇCn+1에 내린 수선의 발을 Hn+1이라 하자.. 20. A. Bª B£. B£ Bª BÁ. y C¢. H£ P£. Hª Pª. CÁ. C£ Cª. PÁ. BÁ. AÁ. Pª. Aª. P£. A£. y. Q£. HÁ Qª. D£ Dª. QÁ DÁ. 직각삼각형 AÁPÁQÁ에서 AÁPÁÓ=AÁQÁÓ=2이므로 LÁ=PÁQÁÓ="Ã2Û`+2Û`=2'2. 점 Aª가 선분 PÁQÁ의 중점이므로 B. HÁ PÁ. CÁ. BPÁÓ=;2!; BCÁÓ=;2!;_3=;2#; 직각삼각형 ABCÁ에서 ACÁÓ="Ã6Û`-3Û`=3'3. 두 직각삼각형 ABCÁ, ABÁCª는 닮음비가 3`:`2이므로 ACªÓ=;3@; ACÁÓ=;3@;_3'3 =2'3. BÁHÁÓ=CªCÁÓ=ACÁÓ-ACªÓ=3'3 -2'3 ='3. AªQÁÓ=;2!; PÁQÁÓ =;2!;_2'2 ='2 점 QÁ에서 선분 AªDª에 내린 수선의 발을 HÁ이라 하고, 직각 삼각형 AªHÁQÁ에서 AªHÁÓ=QÁHÁÓ=x라 하면 xÛ`+xÛ`=('2 )Û`, x=1 즉, AªHÁÓ=QÁHÁÓ=1, DÁDªÓ=1이다. 따라서 정사각형 AªBªCÁDª의 한 변의 길이는 2이고, 두 정사. 삼각형 BÁBPÁ의 넓이 SÁ은. 각형 AÁBÁCÁDÁ, AªBªCÁDª의 닮음비는 3`:`2이므로. 3'3 SÁ=;2!;_;2#;_'3= 4. Lª=PªQªÓ=;3@;_PÁQÁÓ=;3@;_2'2 =. 4'2 3. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 19. 19. 2017-10-31 오후 3:32:33.

(20) 정답과 풀이 이와 같은 방법으로. 단계. 4'2 8'2 L£=`P£Q£Ó=;3@;_PªQªÓ=;3@;_ = 3 9 8'2 16'2 L¢=`P¢Q¢Ó=;3@;_`P£Q£Ó=;3@;_ = 9 27. 채점 기준. 비율. ➊. 수열의 합으로부터 일반항을 구한 경우. 40`%. ➋. 부분분수를 이용하여 부분합을 구한 경우. 40`%. ➌. 급수의 값을 구한 경우. 20`%.  따라서. Á  LÇ=2'2 + ¦. n=1. =. 2'2. 1-;3@;. 4'2 8'2 16'2 + + +y 3 9 27. 02 lim  aÇ= lim  {. =6'2. -1<. n`Ú¦. ②. n`Ú¦. x+1 n-1 } 이 수렴하려면 3. x+1 É1,-3<x+1É3 3. -4<xÉ2. yy ㉠. . Á  bÇ= Á  (2-x)Ç` ÑÚ` 이 수렴하려면. yy ➊. 1<x<3. yy ㉡. . yy ➋. ¦. ¦. n=1. n=1. -1<2-x<1,-3<-x<-1. 연습장. 서술형. 본문 28쪽. ㉠, ㉡의 범위를 수직선에 나타내면 다음과 같다. ;2!;. 01. 02. 1<xÉ2. 03. ;2#;. ㉡ ㉠. aÇ=SÇ-Sn-1=nÛ`-(n-1)Û` =nÛ`-(nÛ`-2n+1). 1 2 3. -4. 01 n¾2일 때,. yy ➌. 따라서 ㉠, ㉡의 공통인 범위는 1<xÉ2.  1<xÉ2. 단계. =2n-1 이때 aÁ=1=SÁ이므로 aÇ=2n-1 (n¾1)이다.. 급수 Á  . yy ➊. 1 의 부분합을 TÇ이라 하면 n=1 aÇan+1 n 1 TÇ= Á   k=1 akak+1 n 1 =Á  k=1 (2k-1)(2k+1) n 1 1 } =;2!; Á  { 2k-1 2k+1 k=1 ¦. 채점 기준 lim  aÇ이 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위. n`Ú¦. ➊. 를 구한 경우 . Á  bÇ이 수렴하도록 하는 실수 x의 값의 범위. 비율 40`%. ¦. ➋. n=1. 를 구한 경우 . lim  aÇ과 Á  bÇ이 모두 수렴하도록 하는 실수. 40`%. ¦. ➌. n`Ú¦. n=1. x의 값의 범위를 구한 경우 . 20`%. =;2!; [{;1!;-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}. . +y+{ =;2!; {1-. Á  ¦. n=1. 1 1 }] 2n-1 2n+1. 1 } 2n+1. yy ➋. 1 1 } = lim  TÇ=;2!; lim  {1aÇan+1 n`Ú¦ n`Ú¦ 2n+1. . =;2!; (1-0)=;2!;. yy ➌  ;2!;. 20. 03 a. =3aÇ (n¾1)을 만족시키는 수열 {aÇ}은 공비가 3. n+1. 인 등비수열이므로 3n-1  4. yy ➊. 이므로 4 1 4 4 = 2n-1 = =12_{;9!;}n` aªÇ 3 3Û`Ç`_;3!;. yy ➋. aÇ=;4!;_3n-1= aªÇ=. 2n-1. 3. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 20. 2017-10-31 오후 3:32:33.

(21) Á . ;9!; ¦ 1 Á  =12 Á  {;9!;}n`=12_ n=1 aªÇ n=1 1-;9!;. ¦. ¦. n=1. n = lim  SÇ aÇan+1 n`Ú¦ =;2!; lim  {. 1 1 } a1 an+1 1 } =;2!; lim  {1n`Ú¦ nÛ`+n+1. . =12_;8!;=;2#;. yy ➌  ;2#;. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 등비수열의 공비를 찾고 일반항 aÇ을 구한 경우. 30`%. ➋. 1 을 구한 경우 a2n. 30`%. ➌. 급수의 값을 구한 경우. 40`%. n`Ú¦. . =;2!;_(1-0). . =;2!; ①. 02 두 직선 l, m이 만나는 점 P의 x좌표는 방정식 3x=-6Ç` (x-1)의 실근과 같다. 3x=-6Ç`x+6Ç`에서 (3+6Ç`)x=6Ç` , x=. 내신. 01 ①. 01 a. +. 수능. 02 ④. 고난도 문항. 본문 29쪽. y=3x에서 y=3_. 03 ①. 6Ç` 3_6Ç` = 3+6Ç` 3+6Ç`. 이므로 P{ =(n+1)Û`-(n+1)+1. n+1. =(nÛ`+2n+1)-(n+1)+1. =nÛ`+n+1 이므로 an+1-aÇ=(nÛ`+n+1)-(nÛ`-n+1) =2n an+1-aÇ 에서 n= 2 an+1-aÇ n 즉, =;2!;_ aÇan+1 aÇan+1 1 1 } =;2!; { aÇ an+1 ¦ n 따라서 급수 Á   의 부분합을 SÇ이라 하면 n=1 aÇan+1 n k SÇ= Á   k=1 akak+1 n 1 1 } =;2!; Á  { ak ak+1 k=1 1 1 1 1 1 1 =;2!; [{ - }+{ - }+{ - } a1 a2 a2 a3 a3 a4 1 1 }]  +y+{ aÇ an+1 1 1 } =;2!;{ a1 an+1. 6Ç` 3+6Ç`. 6Ç` 3_6Ç` }이다. , 3+6Ç` 3+6Ç`. 직선 m`:`y=-6Ç` (x-1)이 x축과 만나는 점은 Q(1, 0)이다. 따라서 삼각형 OPQ의 넓이 SÇ은 SÇ=;2!;_1_ =;2#;_. 3_6Ç` 3+6Ç`. 6Ç` 3+6Ç`. 이므로 Á  ¦. n=1. ¦ 1 3+6Ç` } = Á  {;3@;_ 2Ç` Sn n=1 2Ç` _6Ç`. . =;3@; Á   ¦. 3+6Ç` 12Ç`. =;3@; Á  [3{;1Á2;}n`+{;2!;}n` ] n=1 ¦. =2 Á  {;1Á2;}n`+;3@; Á  {;2!;}n` n=1. ¦. ¦. n=1. n=1. ;1Á2;. . =2_. . =;1ª1;+;3@;. . =;3@3*;. 1-;1Á2;. +;3@;_. ;2!;. 1-;2!;. 이때 aÁ=1Û`-1+1=1, an+1=nÛ`+n+1이므로. ④. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 21. 21. 2017-10-31 오후 3:32:34.

(22) 정답과 풀이. 03 AÁPÁÓ=;3!;_AÁBÁÓ=;3!;_3=1. 대단원 종합 문제. 이고, ∠PÁAÁQÁ=60ù이므로 부채꼴 AÁPÁQÁ의 넓이 SÁ은 SÁ=p_. 60ù =;6Ò; 360ù AÇæéóØæ*Á AÇæéóØ. BÇæéóØ*Á PÇæéóØæ. CÇæéóØæ*Á. 02 ③ 07 ⑤ 12 3 17 32. 03 ⑤ 08 ② 13 ① 18 ⑤. 04 ② 09 ⑤ 14 ④ 19 ③. 01 lim  [ n`Ú¦. CÇæéóØ. (n+3)Û` (n-2)(n-1) ] n+1 n+1. 정삼각형 AÇBÇCÇ의 한 변의 길이를 aÇ이라 하면 점 AÇ이 중. =lim  {. 심인 원의 반지름의 길이가 ;3!; aÇ이므로 . =lim  . AÇAn+1Ó=;3!; aÇ. (nÛ`+6n+9)-(nÛ`-3n+2) n+1. =lim  . 9n+7 n+1. n`Ú¦. 7 n =9 =lim   1 n`Ú¦ 1+ n. an+1Û`={;2!; an+1}2`+{;3!; aÇ}2`. ⑤. ;4#; an+1Û`=;9!; aÇÛ`, an+1Û`=;2¢7; aÇÛ`. 02 lim  ("Ã4nÛ`+3n-2n). 2  aÇ 3'3. n`Ú¦. 따라서 두 정삼각형 AÇBÇCÇ, An+1Bn+1Cn+1의 닮음비는. =lim   n`Ú¦. 2  aÇ 3'3 2 =1`:` 3'3. aÇ`:`an+1=aÇ`:`. =lim   n`Ú¦. 이므로 두 부채꼴 AÇPÇQÇ, An+1Pn+1Qn+1의 넓이의 비는 2 2` } =1`:`;2¢7; 3'3. =lim   n`Ú¦. =lim   n`Ú¦. 따라서. Á  SÇ=SÁ+;2¢7; SÁ+{;2¢7;}2` SÁ+{;2¢7;}3` SÁ+y ¦. =. n=1. SÁ. =. =. =;2@3&;_;6Ò;. =. 1-;2¢7;. ("Ã4nÛ`+3n-2n)("Ã4nÛ`+3n+2n) "Ã4nÛ`+3n+2n 4nÛ`+3n-4nÛ` "Ã4nÛ`+3n+2n. 3n "Ã4nÛ`+3n+2n 3 3 ¾¨4+ +2 n. 3 =;4#; 'Ä4+0+2. ③. (2Ç`+3Ç`)Û`. 03 lim   1+3. 27  SÁ 23. n`Ú¦. 9 p 46. 2n-1. =lim  . (2Ç`)Û`+2_2Ç`_3Ç`+(3Ç`)Û` 1 1+ _32n 3. =lim  . 4Ç`+2_6Ç`+9Ç` 1 1+ _9n 3. n`Ú¦. ①. 22. nÛ`+6n+9 nÛ`-3n+2 } n+1 n+1. 9+. An+1Bn+1Ó Û`=Bn+1AÇÓ Û`+AÇAn+1Ó Û`. 1Û``:`{. n`Ú¦. n`Ú¦. 직각삼각형 An+1Bn+1AÇ에서 피타고라스 정리에 의하여. an+1=. 05 ③ 10 ④ 15 33 20 5. 21 ;2#;. QÇæéóØ. BÇæéóØ. 01 ⑤ 06 ④ 11 ④ 16 8. 본문 30~33쪽. n`Ú¦. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 22. 2017-10-31 오후 3:32:34.

(23) =lim   n`Ú¦. =. {;9$;}n`+2_{;3@;}n`+1. 0+0+1 0+;3!;. 따라서. {;9!;}n`+;3!;. lim  (2aÇ-bÇ)=2 lim  aÇ-lim  bÇ. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. =2_4-2=6 ③. =3. ⑤. 06 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 aÇ=1+(n-1)d이므로 a¢-aª=(1+3d)-(1+d)=2d=6, d=3. 04 (n+3)(n+5) =;2!;{ n+3 - n+5 }이므로 1. 급수 Á   ¦. 1. 1. 이때 등차수열 {aÇ}은 모든 자연수 n에 대하여. 1 의 부분합 SÇ은 (n+3)(n+5). an+1-an=d=3을 만족하므로 Á . 1 SÇ= Á   k=1 (k+3)(k+5) n=1. ¦. n. n=1. 1 1 } =;2!; Á  { k+5 k=1 k+3. n. +y+{ =;2!; {;4!;+;5!;-. 1 1 1 1 }+{ }] n+2 n+4 n+3 n+5. 1 1 } n+4 n+5. ¦. n=1. =. 1 3n-1. 1. 1-;3!;. ④. 07 다항함수 f(x)=xÜ`+2x+1에 대하여 `f(n)=nÜ`+2n+1,  f '(n)=3nÛ`+2 따라서. =lim  Sn n`Ú¦. 1 1 } =lim  ;2!;{;4!;+;5!;n`Ú¦ n+4 n+5. lim  . f(n) nÜ`+2n+1 =lim   (2n+1)f '(n) n`Ú¦ (2n+1)(3nÛ`+2).  . 2 1 + nÛ` nÜ` =lim   n`Ú¦ {2+ 1 }{3+ 2 } n nÛ`.  . =. n`Ú¦. =;2!;{;4!;+;5!;} 9 40. 1+. ②. 05 lim  (aÇ-3)=1이므로. 1. n`Ú¦. =lim  (aÇ-3)+lim  3. =lim  . =1+3=4. =lim  . n`Ú¦. n`Ú¦. 급수 Á  (bÇ-2)가 수렴하므로 lim  (bÇ-2)=0 ¦. n`Ú¦. n`Ú¦.   =0+2=2. n`Ú¦. 1 "ÃnÛ`+4n+9-"ÃnÛ`-4n+9. "ÃnÛ`+4n+9+"ÃnÛ`-4n+9 ("Ãn`Û +4n+9-"Ãn`Û -4n+9)("Ãn`Û +4n+9+"Ãn`Û -4n+9). =lim  . "ÃnÛ`+4n+9+"ÃnÛ`-4n+9 (nÛ`+4n+9)-(nÛ`-4n+9). n`Ú¦.   =lim  (bÇ-2)+lim  2 n`Ú¦. 1 "ÃnÛ`-2n+9+6n-"ÃnÛ`-2n+9-2n`. =lim  . n`Ú¦. n=1. lim  bÇ=lim  {(bÇ-2)+2}. n`Ú¦. ⑤. n`Ú¦. lim  aÇ=lim  {(aÇ-3)+3} n`Ú¦. 1+0+0 =;6!; (2+0)_(3+0). 08 lim  '¶aÇ+6n-'¶aÇ-2n. n`Ú¦. n`Ú¦. =;2#;. `f '(x)=3xÛ`+2이므로. 1 Á  n=1 (n+3)(n+5) ¦. =. =Á . =;2!;[{;4!;-;6!;}+{;5!;-;7!;}+{;6!;-;8!;}. . ¦ 3 an+1-an =Á  n 3n n=1 3. n`Ú¦. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 23. 23. 2017-10-31 오후 3:32:34.

(24) 정답과 풀이 =lim   n`Ú¦. =lim  . "ÃnÛ`+4n+9+"ÃnÛ`-4n+9 8n ¾¨1+. n`Ú¦. =. (나)에서 lim  . 4 9 4 9 + +¾¨1- + n n nÛ` nÛ` 8. n`Ú¦. 'Ä1+0+0+'Ä1-0+0 8. =;8@;=;4!; ② 다른풀이. lim  . n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. =lim  . '¶aÇ+6n+'¶aÇ-2n ('¶aÇ+6n-'¶aÇ-2n)('¶aÇ+6n+'¶aÇ-2n). ®É. 이때 lim   n`Ú¦. aÇ 6 aÇ 2 + +®É - n n nÛ` nÛ`  8. n`Ú¦. 이므로. n`Ú¦. ;nA;+{1-;n!;}dÁ ;nA;+{2-;n@;}dª. dÁ 2dª. dÁ =1에서 dÁ=2dª 2dª. yy ㉡. 즉, dª=;4!;이고 dÁ=2dª=2_;4!;=;2!; 따라서 aªÁ-bªÁ=(a+20dÁ)-(a+20dª) =20(dÁ-dª) =20 {;2!;-;4!;} =20_;4!;. yy ㉠. =5 ⑤. 2 9 + } n nÛ`. 10 이차방정식 xÛ`+2nx-2n=0의 두 실근은 근의 공식에. =1 따라서 ㉠에서 lim  . =. aÇ nÛ`-2n+9 =lim   nÛ` n`Ú¦ nÛ` =lim  {1-. n`Ú¦.  . '¶aÇ+6n+'¶aÇ-2n 8n. n`Ú¦. ¾¨. =lim. 3_2dª=2dª+1, 4dª=1. '¶aÇ+6n+'¶aÇ-2n =lim   n`Ú¦ (aÇ+6n)-(aÇ-2n) =lim  .  . ㉡을 ㉠에 대입하면. 1 '¶aÇ+6n-'¶aÇ-2n. =lim  . a+(n-1)dÁ aÇ =lim   b2n-1 n`Ú¦ a+(2n-2)dª. 의하여 x=-nÑ"ÃnÛ`+2n 이므로. aÇ 6 aÇ 2 + +¾¨ n n nÛ` nÛ` 8. aÇ=-n-"ÃnÛ`+2n, bÇ=-n+"ÃnÛ`+2n 수열 {cÇ}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식. '¶1+0+'¶1-0 8 2 = =;4!; 8 =. (-n-"ÃnÛ`+2n)+4n<cÇ<(-n+"ÃnÛ`+2n)+2n 3n-"ÃnÛ`+2n <cÇ<n+"ÃnÛ`+2n. yy ㉠. 을 만족시킨다.. ㉠의 각 변을 "ÃnÛ`+1 ("ÃnÛ`+1>0)로 나누면. 09 두 등차수열 {aÇ}, {bÇ}의 첫째항을 a, 공차를 각각 dÁ,. 3n-"ÃnÛ`+2n cÇ n+"ÃnÛ`+2n < < "ÃnÛ`+1 "ÃnÛ`+1 "ÃnÛ`+1. dª라 하면. 이때. aÇ=a+(n-1)dÁ. 2 3-®É1+ n 3n-"ÃnÛ`+2n =lim   lim   n`Ú¦ n`Ú¦ 1 "ÃnÛ`+1 ®É1+ nÛ`. bÇ=a+(n-1)dª (가) a10=b7+3에서 a+9dÁ=a+6dª+3 3dÁ=2dª+1. 24. yy ㉠. . =. 3-'Ä1+0 =2 'Ä1+0. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 24. 2017-10-31 오후 3:32:35.

(25) 이때. 2 1+®É1+ n n+"ÃnÛ`+2n =lim   lim   n`Ú¦ n`Ú¦ 1 "ÃnÛ`+1 ®É1+ nÛ` . =. lim  {2+. n`Ú¦. lim  {3+. 1+'Ä1+0 =2 'Ä1+0. n`Ú¦. n 1 }=lim ¦2+ ¥=2+1=3 n`Ú¦ n+1 1+;n!; 1 }=3 3Ç`. 따라서 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  SÇ=3이다.. cÇ =2 lim   n`Ú¦ "ÃnÛ`+1. 따라서. n`Ú¦. ④. 11 두 점 A(2Ç`, 4Ç`), B(4. n-1. , 2n+1)에 대하여 선분 AB를. 3`:`2로 내분하는 점의 좌표는 {. 3_4. 13 3으로 나누었을 때의 나머지가 2인 자연수를 작은 수부터. aÇ=2+(n-1)_3=3n-1. n+1. +2_2Ç` 3_2 +2_4Ç` , bÇ= 5 5. 이때 1 1 1 1 } = =;3!; { anan+1 (3n-1)(3n+2) 3n-1 3n+2. 이므로 급수 Á  . n+1. 3_2 +2_4Ç` 5 bÇ 3_2n+1+2_4Ç` = = n-1 aÇ 3_4n-1+2_2Ç` 3_4 +2_2Ç` 5. ¦. SÇ= Á   n. n+1. bÇ 3_2 +2_4Ç` lim   =lim   n-1 n`Ú¦ aÇ n`Ú¦ 3_4 +2_2Ç`  . =lim  .  . =lim  . n`Ú¦. n`Ú¦. =. k=1 n. 6_2 +2_4Ç`. k=1. ;4#;_4Ç`+2_2Ç` ;4#;x+2_{;2!;}n`. ;4#;+0. 12 급수. n 1 <aÁ+aª+a£+y+aÇ<3+ 3Ç` n+1 에서 2+. n 1 <SÇ<3+ 3Ç` n+1. 1 1 } 3k-1 3k+2. y+{ =;3!; {;2!;-. 1 1 }] 3n-1 3n+2. 1 } 3n+2. 따라서 Á  ¦. Á  aÇ의 부분합 SÇ은 SÇ=aÁ+aª+a£+y+aÇ이 ¦. 1 akak+1. . =;3*;. n=1. 1 의 부분합 SÇ은 anan+1. =;3!; [{;2!;-;5!;}+{;5!;-;8!;}+{;8!;-;1Á1;}+. 6_ {;2!;}n`+2. 0+2. n=1. = Á  ;3!; {. n. ④. 2+. 3. 로 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열이므로 n-1. 이때. 므로. n`Ú¦. n=1. {aÇ}`:`2, 5, 8, 11, 14, 17, y. 이므로.  . ¦. 크기순으로 나열한 수열 {aÇ}은. 3_4n-1+2_2Ç` 3_2n+1+2_4Ç` } , 3+2 3+2. aÇ=. Á  aÇ=lim  SÇ=3. n=1. 1 =lim  SÇ aÇaÇ+1 n`Ú¦.  . =;3!; lim  {;2!;-.  . =;3!;_;2!;=;6!;. n`Ú¦. 1 } 3n+2. ①. 14 (2Ç` x+3Ç`)Ü`의 전개식에서 xÛ`의 계수 aÇ과 x의 계수 bÇ은 각각 aÇ=3_(2Ç`)Û`_3Ç`=3_12Ç`. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 25. 25. 2017-10-31 오후 3:32:35.

(26) 정답과 풀이 Û a=0, b+0일 때,. bÇ=3_2Ç`_(3Ç`)Û`=3_18Ç`. ㉠에서. 이고,. aÇ 3_12Ç` = ={;1!8@;}n`={;3@;}n` bÇ 3_18Ç`. bÛ`n+bc =lim   lim   n`Ú¦ 3n-1 n`Ú¦. 따라서 Á  ¦. n=1. ¦ aÇ = Á  {;3@;}n` bÇ n=1.  . =. ;3@;. 1-;3@;. 이므로. bÛ` =-2를 만족시키는 실수 b는 없다. 3. Ü a+0, b=0일 때, ㉠에서. =2 ④. lim  . n`Ú¦. acn ac ac ac = =lim   = 3n-1 n`Ú¦ 3-0 3 3-;n!;. 이므로 급수 Á  (x-3){;2{;-4} n=1. ac =-2, ac=-6을 만족시키는 두 정수 a, c의 3. 순서쌍 (a, c)의 개수는 다음과 같이 8이다.. n-1. ¦. 15. bc n bÛ`+0 bÛ` = = 3-0 3 1 3n. bÛ`+. 이 수렴하려면. Ú (첫째항)=0일 때,. yy ㉠. x-3=0에서 x=3 Û -1<(공비)<1일 때,. a. 1. 2. 3. 6. -1. -2. -3. -6. c. -6. -3. -2. -1. 6. 3. 2. 1. b=0이므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 8이다. Ú~Ü에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는 8이다.. -1<;2{;-4<1에서 3<;2{;<5. 8 yy ㉡. 즉, 6<x<10 ㉠, ㉡에서 집합 A={x|x=3`또는`6<x<10}. 17 이차항의 계수가 2인 이차함수 y=f(x)의 그래프가. 집합 B={x|aÉxÉb}에 대하여 A,B를 만족하려면 두 집. 두 점 A(n, 0), B(5n, 0)을 지나므로. 합 A, B는 다음과 같아야 한다.. `f(x)=2(x-n)(x-5n) . B a 3. =2(xÛ`-6nx+5nÛ`) A. 6. =2{(xÛ`-6nx+9nÛ`)-4nÛ`} 10 b x. =2(x-3n)Û`-8nÛ`. 즉, aÉ3, b¾10을 만족해야 한다.. 따라서 이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점 C의 좌표는 `. 이때 a, b는 20 이하의 자연수이므로 a는 1, 2, 3이고 b는 10,. C(3n,-8nÛ`)이다.. 11, 12, y, 20이다.. y. y=f(x). 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 3_11=33  33 A O. 16 lim   n`Ú¦. =lim   n`Ú¦. (an+b)(bn+c) 3n-1. abnÛ`+(ac+bÛ`)n+bc  3n-1. yy ㉠. CHÓ=8nÛ`이고, ABÓ=5n-n=4n이므로. Ú a=b=0일 때,. S(n)=;2!;_4n_8nÛ`=16nÜ`. 26. x. 점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 ABC의 넓이 S(n)은. n`Ú¦. B. C. ㉠에서 ab+0이면 발산하므로 ab=0이다. ㉠에서 lim  . H. 0 =0이므로 조건을 만족시키지 못한다. 3n-1. 한편  f(0)=10nÛ`이므로. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 26. 2017-10-31 오후 3:32:35.

(27) lim  . n`Ú¦. S(n) 16nÜ` =lim   (n+1)f(0) n`Ú¦ 10nÛ`(n+1).  . =lim  .  . =;5*;. n`Ú¦. SÁ=. 1 p _p= 4 4. 8. AÇ*Á. AÇ. 5 {1+;n!;}. DÁ. MÇ*Á MÇ. 따라서 k=;5*;이고 20k=20_;5*;=32  32. BÇ*Á. CÇ*Á. BÇ. CÇ RÇ*Á. 3xÜ`Ç`-2. 18 `f(x)= lim  (xÇ`+1)(xÛ`Ç`-xÇ`+1). 정사각형 AÇBÇCÇDÁ의 한 변의 길이를 aÇ이라 하면. n`Ú¦. . =lim   n`Ú¦. BÇBÇ*ÁÓ=;2!; AÇBÇÓ=;2!; aÇ. 3xÜ`Ç`-2 xÜ`Ç`+1. BÇ*ÁDÁÓ=!%aÇ*ÁÛ`+aÇ*ÁÛ`=12 aÇ*Á. ㄱ. x=1일 때,. 이므로. 모든 자연수 n에 대하여 xÜ`Ç`=1이므로 f(x)=lim   n`Ú¦. BÇDÁÓ=BÇBÇ*ÁÓ+BÇ*ÁDÁÓ. 3xÜ`Ç`-2 3_1-2 = =;2!; 1+1 xÜ`Ç`+1. =;2!; aÇ+'2 aÇ*Á. 따라서  f(1)=;2!; (참). 한편 직각삼각형 BÇCÇDÁ에서. ㄴ. 0<x<1일 때,. BÇCÇÓ=CÇDÁÓ=aÇ이므로. BÇDÁÓ=!%aÇÛ`+aÇÛ`=12 aÇ. lim  xÜ`Ç`=0이므로. n`Ú¦.  f(x)=lim   n`Ú¦. 3xÜ`Ç`-2 3_0-2 = =-2 0+1 xÜ`Ç`+1. 12 aÇ=;2!; aÇ+12 aÇ*Á. `f {;k!;}=-2이다.. aÇ*Á=. Á ` f {;k!;}=(-2)_9=-18 (참). k=2. 1 : . ㄷ. x>1일 때,. n`Ú¦. 12-;2!; 12. aÇ=. 4-12 aÇ 4. 이므로 두 정사각형 AÇBÇCÇDÁ, AÇ*ÁBÇ*ÁCÇ*ÁDÁ의 닮음비는. 10. lim  xÜ`Ç`=¦이고 lim  . yy ㉡. ㉠, ㉡에서. 한편 2 이상의 자연수 k에 대하여 0<;k!;<1이므로. n`Ú¦. yy ㉠. 1 =0이므로 xÜ`Ç`. 다.. 4-12 4-12 `2 9-412 } =1 : 이고, 넓이의 비는 1Û` : { 이 4 4 8. lim SÇ=SÁ+. 2 xÜ`Ç` 3xÜ`Ç`-2 3-0 f(x)=lim   = =lim   =3 1+0 n`Ú¦ xÜ`Ç`+1 n`Ú¦ 1 1+ xÜ`Ç` 3-. n`Ú¦. 한편 2 이상의 자연수 k에 대하여 k>1이므로  f(k)=3이다. Á ` f(k)=3_9=27 (참) 10. k=2. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. 19 정사각형 AÁBÁCÁDÁ에서 선분 AÁBÁ의 중점이 MÁ이므로. 9-412 9-412 2` } SÁ+y SÁ+{ 8 8. SÁ 9-412 18 p 4 2p = = 412-1 412-1 8 =. =. 2(1+412) p 31 ③. MÕÁBÁÓ=1이고,. 정답과 풀이. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 27. 27. 2017-10-31 오후 3:32:36.

(28) 정답과 풀이. 20 `2aÇ+bÇ=cÇ. yy ㉠ yy ㉡. aÇ-2bÇ=dÇ 이라 하면. Á  cÇ=7, Á  dÇ=-4 ¦. ¦. n=1. n=1. Á  aÇ= Á  {;5@;cÇ+;5!;dÇ}. yy ➊. n=1. ¦. ¦. n=1. n=1. =3[{1-.   =;5@;_7+;5!;_(-4) yy ➊.   =2 ㉠-2_㉡에서 bÇ=;5!;cÇ-;5@;dÇ이므로. 급수 Á  {naÇ-(n+1)an+1}=3 Á  { ¦. ¦. n=1. n=1. n. =;5!; Á  cÇ-;5@; Á  dÇ ¦. n+1 n } n+2 n+1. k=1. n=1. n=1. n n+1 }-{1}] n+1 n+2. TÇ=3 Á  {. ¦. ¦. =3 {. 1 1 1 }-(n+1)_3{ } n+1 n+1 n+2. =3. Á  (aÇ+bÇ)= Á  aÇ+ Á  bÇ ¦. ¦. n=1. n=1. n=1. =2+3=5. =3[{;3@;-;2!;}+{;4#;-;3@;}+{;5$;-;4#;}+ y+{. yy ➋. 채점 기준. ➊. 40`%. 급수 Á  (aÇ+bÇ)의 값을 구한 경우. 20`%. 급수 Á  bÇ의 값을 구한 경우 n=1 ¦. ➋. n=1 ¦. ➌. n=1. n+1 } n+2.  Á  {naÇ-(n+1)an+1}=lim  TÇ. yy ➌. n`Ú¦. n=1. =3 lim  {-;2!;+. n+1 } n+2. =3 lim »-;2!;+. 1+;n!;. =3{-;2!;+1}. =;2#;. n`Ú¦. 비율. 급수 Á  aÇ의 값을 구한 경우 ¦. =3 {-;2!;+. n+1 n }] n+2 n+1. ¦. yy ➌ 5. 단계. n+1 n } n+2 n+1. k+1 k } k+2 k+1. =;5!;_7-;5@;_(-4). ¦. yy ➋. 이므로 이 급수의 부분합 TÇ은. Á  bÇ= Á  {;5!;cÇ-;5@;dÇ} n=1. 1 }`(단, n¾1) n+1. =n_3 {;n!;-.   =;5@; Á  cÇ+;5!; Á  dÇ. n=1. 1 } n+1. naÇ-(n+1)an+1. ¦. ¦. =3 {;n!;-. aÇ=3 {;n!;-. aÇ=;5@;cÇ+;5!;dÇ이므로 n=1. 1 }-{1-;n!;}] n+1. 이때 aÁ=SÁ=;2#; 이므로. 2_㉠+㉡에서. ¦. =3[{1-. n`Ú¦. 40`%. 1+;n@;. 3(n-1) 3n = n n+1 =3 { =3 {. 28. n n-1 } n+1 n n+1-1 n-1 } n+1 n. yy ➍  ;2#;. 21 n¾2일 때, aÇ=SÇ-SÇÐÁ. ¼. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. aÇ을 구한 경우. 20`%. ➋. naÇ-(n+1)an+1을 구한 경우. 20`%. ➌. 부분합 TÇ을 구한 경우. 30`%. ➍. Á {naÇ-(n+1)an+1}의 값을 구한 경우 ¦. n=1. 30`%. 올림포스•미적분. 해 01-29 올림기본(미적분)_1단원-오.indd 28. 2017-10-31 오후 3:32:36.

수치

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