조건 (가)에서

limx`Úe f(x)-f(e)

x-e =12이므로

`f '(e)=12 yy ㉠

한편 함수 f(x)=2ax ln`x에서

`f '(x)=2a ln`x+2ax_;[!;

=2a(ln`x+1) yy ㉡

㉠, ㉡에서

`f '(e)=2a(ln`e+1)=4a=12

a=3 yy ➊

한편 f '(x)=0에서 ln`x+1=0, ln`x=-1 x=;e!;

함수 y=f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x (0) y ;e!; y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

함수 y=f(x)는 x=;e!; 에서 극소이고, 극솟값은

`f {;e!;}=2_3_;e!;`ln`;e!;=-;e^;

조건 (나)에서

함수 y=f(x)는 x=b에서 극솟값 c를 가지므로

b=;e!;, c=-;e^; yy ➋

따라서

{ acb }2`=

( { 9

3_{-;e^;}

;e!;x ) } 0

2`=324 yy ➌

 324

단계 채점 기준 비율

➊ 조건 (가)를 이용하여 a의 값을 구한 경우 40 %

➋ 함수 f(x)의 극솟값을 구한 후 b와 c의 값을

구한 경우 40 %

➌ { acb }Û`의 값을 구한 경우 20 %

ln`x=t로 놓으면 ;[!;= dtdx 이고 x=1일 때, t=ln`1=0 x=e일 때, t=ln`e=1 따라서

:!e ln`x

x dx=:!e {ln`x_;[!;} dx =:)1 t`dt

=[;2!;tÛ`]1)=;2!;

⑵ :)^;2Ò; sinÜ``x`cos`x`dx에서

sin`x=t로 놓으면 cos`x= dtdx 이고 x=0일 때, t=sin`0=0

x= p2 일 때, t=sin`p 2 =1 따라서

:)^;2Ò; sinÜ``x`cos`x`dx=:)1 tÜ``dt

=[;4!; tÝ`]1)=;4!;

 ⑴ ;2!; ⑵ ;4!;

5.

곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기가 ln`t이므로

f '(t)=ln`t, 즉 f '(x)=ln`x 이때 u=ln`x, v '=1로 놓으면 u '=;[!;, v=x이므로

f(x)=: f '(x) dx=: ln x`dx

=x ln`x-:` 1 dx

=x ln`x-x+C (단, C는`적분상수) 곡선 y=f(x)가 점 (1, 0)을 지나므로 f(1)=ln`1-1+C=0

C=1

따라서 f(x)=x ln`x-x+1이므로 f(e)=e ln`e`-e+1=1

 1

1.

;3&;

2.

⁵

3.

⑴ 2 ⑵ '3

4.

^⑴ ;2!; ⑵ ;4!;

5.

¹

6.

^-8

기본 유형

익히기 유제 본문 89~91쪽

1.

^{f(x)=: x-1}_'§x+1^`dx

=: ('§x-1)('§x+1) '§x+1 `dx =: ('x-1) dx

=;3@;x'x-x+C (단, C는 적분상수) 이때 f(0)=C=1이므로

f(x)=;3@; x'x-x+1

따라서 f(4)=;3@;_4'4-4+1=;3&;

 ;3&;

2.

:)1 (2Å`+2ÑÅ`) dx=[ 2Å`ln`2 - 2ÑÅ`

ln`2 ]1) ={ 2ln`2 - 2ÑÚ`

ln`2 }-{ 1 ln`2 - 1

ln`2 } = 32 ln`2

따라서 a=2, b=3이므로 a+b=2+3=5

 5

3.

^⑴ :)È sin`x`dx=[-cos`x]È)

=-cos`p-(-cos`0)

=-(-1)-(-1)=2

⑵ :)^;3Ò; secÛ``x`dx=[tan`x])^;3Ò;

=tan`p 3 -tan`0 ='3-0='3

 ⑴ 2 ⑵ '3

6.

^limx`Ú2

x-2 :@/ tÜ` cos`1 p 2 t`dt에서

f(x)=xÜ``cos` p2 x로 놓고 F'(x)=f(x)라 하면 limx`Ú2 1x-2 :@/ tÜ` cos`p

2 t`dt에서 limx`Ú2 F(x)-F(2)x-2 =F'(2)= f(2) =2Ü`_cos`p

=8_(-1)

=-8

 -8

01

^③

02

^④

03

^⑤

04

^ln`2_{2 +3}

05

^②

06

^①

07

^⑤

08

^④

09

^①

10

^②

11

⁸

12

^④

13

^②

14

^③

15

³²

16

^⑤

17

^④

18

⁴

19

^②

20

^;2Ò;

21

^4eÝ`

22

^④

23

^④

24

^3eÛ`

유형

확인 본문 92~95쪽

01

:!4 {'§x+ 1'§x } dx =[;3@;x'§x+2'§x ]4!

={;3@;_4'4+2'4 }-{;3@;_1'1+2'1 } =:ª3¼:

 ③

02

f '(x)= 2xÜ`-1 xÛ` 이므로 f(x)=:` 2xÜ`-1xÛ` `dx

=:`{2x- 1xÛ` } dx

=xÛ`+;[!;+C (단, C는 적분상수)

이때 함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 1)을 지나므로

f(1)=1Û`+;1!;+C=1 C=-1

따라서 f(x)=xÛ`+;[!;-1이므로 f(2)=2Û`+;2!;-1=;2&;

 ④

03

F(x)가 함수 f(x)의 한 부정적분이므로 F'(x)=f(x)

주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf`'(x)- 1

'§x`-2x x f`'(x)= 1

'§x`+2x 이때 x>0이므로 f '(x)= 1

x'§x`+2 f(x)=: { 1

x'§x`+2} dx

=- 2

'§x`+2x+C (단, C는 적분상수) 따라서

f(4)-f(1)={-;2@;+8+C}-{-;1@;+2+C}=7

 ⑤

04

f(x)+xf '(x)=3'§x+;[!; 에서 dx {xf(x)}=f(x)+xf '(x)이므로d

dx {xf(x)}=3'§x+;[!;d

따라서

xf(x)=: {3'§x+;[!;} dx

=2x'§x+ln`x+C 이때 x>0이므로 f(x)=2'§Œx+ ln`xx +C

x (단, C는 적분상수) 한편 f(1)=-2이므로

2+ln`1+C=-2 C=-4

따라서

f(x)=2'§x+ ln`xx -4 x 이므로 f(4)=2'4+ ln`44 -4

4 =ln`2 2 +3

 ln`22 +3

05

^:<sub>-ln`3</sub> |eÅ`-1| dx

=:_-0<sub>ln`3</sub> (1-eÅ`) dx+:)<sup>ln`3</sup>(eÅ`-1) dx

=[x-eÅ`]0<sub>-ln`3</sub>+[eÅ`-x])<sup>ln`3</sup>

={-eâ`-(-ln`3-e^{-ln`3</sup>)}+{(e<sup>ln`3}-ln`3)-eâ`}

={-1+ln`3+;3!;}+(3-ln`3-1) =;3$;

 ②

06

<sup>:)1 4Å`</sup><sub>2Å`+1</sub><sup>`dx-:)1 1</sup><sub>2Å`+1</sub>^`dx

=:)1 4Å`-12Å`+1`dx

=:)1 (2Å`+1)(2Å`-1)2Å`+1 `dx =:)1 (2Å`-1) dx

=[ 2Å`ln`2 -x]1) ={ 2ln`2 -1}-{ 2â`

ln`2 -0}

= 1ln`2 -1

 ①

07

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0에서 연속이어야 한다.

즉, lim

x`Ú0- f(x)= lim

x`Ú0+ f(x)=f(0)이어야 한다.

x`limÚ0- eÅ`=eâ`=1

x`limÚ0+ ('§x+a)=a 이므로 a=1

ln`3

따라서

:_-1_{ln`4</sub> f(x) dx=:<sub>-</sub>0<sub>ln`4} f(x) dx+:)1 f(x) dx

=:_-0_ln`4 eÅ``dx+:)1 ('§x+1) dx

=[eÅ`]0<sub>-ln`4</sub>+[;3@; x'§x+x]1)

=(eâ`-e<sup>-ln`4</sup>)+{;3@;+1}=;1@2(;

 ⑤

08

^:);2Ò; (cos`x+1)Û``dx+:<sub>;2Ò;</sub>0 (cos`x-1)Û``dx =:)<sup>;2Ò;</sup> (cos`x+1)Û``dx-:)^;2Ò; (cos`x-1)Û``dx =:)<sup>;2Ò;</sup> {(cos`x+1)Û`-(cos`x-1)Û`} dx =:)<sup>;2Ò;</sup> 4 cos`x`dx

=[4 sin`x])^;2Ò;

=4 sin`;2Ò;-4 sin`0=4

 ④

09

^:_;4Ò;_;4Ò; <sup>cosÛ``x</sup>1+sin`x `dx =:_<sup>;4Ò;</sup><sub>;4Ò;</sub> 1-sinÛ``x1+sin`x `dx

=:_^;4Ò;_;4Ò; (1+sin`x)(1-sin`x)1+sin`x `dx =:_^;4Ò;_;4Ò; (1-sin`x) dx

=[x+cos`x]^;4Ò;_-;4Ò;

= p4 +cos`p

4 -[{-p

4 }+cos {-p 4 }]

= p4 +p 4 =p

2

 ①

10

<sup>f '(x)=à eÅ`</sup> 1+sin`x (x>0)^(x<0)에서

f(x)=

( eÅ`+CÁ (x<0)

{ k (x=0)

9 x-cos`x+Cª (x>0)

(단, CÁ, Cª는 적분상수이고, k는 상수이다.) 한편 f(p)=p+2이므로

f(p)=p-cos`p+Cª=p+1+Cª=p+2에서 Cª=1

함수 f(x)가 미분가능하므로 연속함수이다.

즉, x=0에서 연속이어야 한다.

x`limÚ0- f(x)= lim

x`Ú0+ f(x)=f(0)에서

x`limÚ0- (eÅ`+CÁ)= lim_x`

Ú0+ (x-cos`x+1)=k 즉, 1+CÁ=0=k이므로

CÁ=-1, k=0 따라서

f(x)=àeÅ`-1 (x<0) x-cos`x+1 (x¾0)이므로 f(-ln`2)=e<sup>-ln`2</sup>-1

=;2!;-1=-;2!;

 ②

11

f`'(x)=cos`x-sin`x=0, 즉 cos`x=sin`x에서 0<x<2p이므로

x=;4Ò; 또는 x=;4%;p f "(x)=-sin`x-cos`x f "{;4Ò;}=-sin`;4Ò;-cos`;4Ò;

=- '2 2 -'2

2

=-'2 <0

f "{;4%; p}=-sin`;4%; p-cos`;4%; p

= '2 2 +'2

2

='2 >0

따라서 함수 f(x)는 x=;4Ò; 에서 극대이고, x=;4%; p에서 극소이다.

한편

f(x)=: (cos`x-sin`x) dx

=sin`x+cos`x+C (단, C는 적분상수)

함수 f(x)의 극댓값은

M=f {;4Ò;}=sin`;4Ò;+cos`;4Ò;+C

= '2 2 +'2

2 +C='2+C 함수 f(x)의 극솟값은

m=f {;4%; p}=sin`;4%; p+cos`;4%; p+C

=- '2 2 -'2

2 +C

=-'2+C 따라서

(M-m)Û`={('2+C)-(-'2+C)}Û`

=(2'2 )Û`=8

 8

참고 0<x<2p에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.

x (0) y ;4Ò; y ;4%;p y (2p)

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

12

^{`:!eÛ` (ln`x)Û`}_x ^`dx에서

ln`x=t로 놓으면 ;[!;= dtdx 이고 x=1일 때 t=0, x=eÛ`일 때 t=2이다.

따라서

`:!<sup>eÛ`</sup> (ln`x)Û`

x `dx=:!<sup>eÛ`</sup> [(ln`x)Û`_;[!;]`dx

=:)2 `tÛ``dt

=[;3!; tÜ`]2)

=;3*;

 ④

13

<sup>:);2Ò;`</sup>'¶cos`x`sin`x`dx에서 cos`x=t로 놓으면 -sin`x= dtdx 이고 x=0일 때 t=1, x=;2Ò; 일 때 t=0이다.

따라서

:)^;2Ò; '¶cos`x`sin`x`dx=:!0 (-'t )`dt

=:)1 't`dt

=[;3@; t't]1)=;3@;

 ②

14

^{f(x)=: cos`x</sup><sub>1-cosÛ``x</sub><sup>`dx}

=: cos`x sinÛ``x`dx

sin`x=t로 놓으면 cos`x= dtdx 이므로 f(x)=: { 1

sinÛ``x_cos`x} dx

=: 1 tÛ` dt

=-;t!;+C

=- 1

sin`x +C (단, C는 적분상수) 따라서

f {;6Ò;}- f {;2Ò;}=- 1

sin`;6Ò;+C-

¦

^-_sin`¹_;2Ò;^+C

¥

=-2+1=-1

 ③

15

^f(x)=: (ax+1)Ü``dx에서 f '(x)=(ax+1)Ü`

f "(x)=3a(ax+1)Û`

이때 f "(0)=3a=6이므로 a=2

한편 f(x)=: (2x+1)Ü``dx에서 2x+1=t로 놓으면 2= dtdx 이므로 f(x)=: (2x+1)Ü``dx

=;2!;: {(2x+1)Ü`_2} dx

=;2!;: tÜ``dt

=;2!;_;4!;tÝ`+C (단, C는 적분상수)

=;8!; tÝ`+C

=;8!; (2x+1)Ý`+C

이때 f(0)=;8!;+C=;8!; 이므로 C=0 따라서 f(x)=;8!; (2x+1)Ý`이므로 f {;2#;}=;8!; {2_;2#;+1}4`=32

 32

16

조건 (가)에서 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이므로 조 건 (나)에서 양변을 f(x)로 나누면

`f '(x)

`f(x) =sin`x+cos`x 이때

: `f`'(x)

`f(x) `dx=: (sin`x+cos`x) dx

ln` f(x)=-cos`x+sin`x+C (단, C는 적분상수) f(x)=e-cos`x+sin`x+C

f(0)=e-cos`0+sin`0+C=e^-1+C=1에서 -1+C=0, C=1

따라서 f(p)=e-cos`p+sin`p+1=eÛ`이므로 ln` f(p)=ln`eÛ`=2

 ⑤

17

:!e x ln`x`dx에서 u=ln`x, v'=x로 놓으면 u'=;[!;, v=;2!; xÛ`\이므로

:!e x ln`x`dx=[;2!; xÛ``ln`x]e!-:!e ;2!; x`dx

={;2!; eÛ` ln`e-;2!;_1Û`_ln`1}-:!e ;2!; x`dx

=;2!; eÛ`-[;4!; xÛ`]e!

=;2!; eÛ`-{;4!; eÛ`-;4!;}

=;2!; eÛ`-;4!; eÛ`+;4!;

= eÛ`+14

 ④

18

f '(x)=x'ŒeÅ` 에서 f(x)=: x'ŒeÅ``dx

이때 u=x, v '='ŒeÅ` 으로 놓으면 u'=1, v=2'ŒeÅ` 이므로 f(x)=2x'ŒeÅ`-: 2'ŒeÅ``dx

=2x'ŒeÅ` -4'ŒeÅ` +C

=2(x-2)'ŒeÅ` +C (단, C는 적분상수) 따라서 f(2)-f(0)=C-(-4+C)=4

 4

19

:)È eÅ` sin`x`dx에서

f(x)=sin`x, g '(x)=eÅ`으로 놓으면 f '(x)=cos`x, g(x)=eÅ`이므로

:)È eÅ` sin`x`dx=[eÅ` sin`x]È)-:)È eÅ` cos`x`dx

=(e^p sin`p-eâ` sin`0)-:)È eÅ` cos`x`dx

=-:)È eÅ` cos`x`dx yy ㉠

또, :)È eÅ` cos`x`dx에서 u=cos`x, v '=eÅ`으로 놓으면 u'=-sin`x, v=eÅ`이므로

:)È eÅ` cos`x`dx=[eÅ` cos`x]È)+:)È eÅ` sin`x`dx

=(e^p cos`p-eâ` cos`0)+:)È eÅ` sin`x`dx

=-(e^p+1)+:)È eÅ` sin`x`dx yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

:)È eÅ` sin`x`dx`=(e^p+1)-:)È eÅ` sin`x`dx 따라서

:)È eÅ` sin`x`dx= e^p+1 2

 ②

20

f '(x)=x`cos`x에서 f(x)=: x`cos`x`dx

이때 u=x, v'=cos`x로 놓으면

u'=1, v=sin`x이므로 f(x)=: x`cos`x`dx

=x sin`x-: sin`x`dx

=x`sin`x+cos`x+C (단, C는 적분상수) 이때 f(0)=1+C=1에서 C=0이므로 f(x)=x`sin`x+cos`x

한편 f '(x)=0에서 x cos`x=0 이때 0ÉxÉp이므로 x=0 또는 x=;2Ò;

0ÉxÉp에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.

x 0 y ;2Ò; y p

f '(x) + 0

f(x) 1 ↗ 극대 ↘ -1

0ÉxÉp에서 함수 f(x)는 x=;2Ò; 에서 극대이고, 동시에 최댓 값을 가진다.

따라서 구하는 최댓값은 f {;2Ò;}=;2Ò; sin`;2Ò;+cos`;2Ò;=;2Ò;

 ;2Ò;`

21

:!/ f(t)dt=eÛ`Å`-ax …… ㉠

㉠의 양변에 x=1을 대입하면 0=eÛ`-a, a=eÛ`

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2eÛ`Å`-a, f '(x)=4eÛ`Å`

따라서

f '(ln`a)=f '(ln`eÛ`)=f '(2)=4eÝ`

 4eÝ`

22

^limx`Ú2 1

xÛ`-4 :@/ f(t) dt에서 F'(t)=f(t)라 하면

limx`Ú2 1

xÛ`-4 :@/ f(t) dt=lim<sub>x`Ú2</sub> F(x)-F(2)xÛ`-4

=lim

x`Ú2 F(x)-F(2)x-2 _lim

x`Ú2 1x+2 =F'(2)_;4!;

=;4!;`f(2)

=;4!;_2Ý``cos`2p=4

 ④

23

f(x)=sin`2x+:)<sup>;2Ò;</sup> f(t)`cos`2x`dt에서 f(x)=sin`2x+cos`2x:)^;2Ò; f(t) dt

:)^;2Ò; f(t)`dt=a (단, a는 상수)라 하면 f(x)=sin`2x+a cos`2x

이때

a=:)^;2Ò; f(x) dx

=:)^;2Ò; (sin`2x+a cos`2x) dx

=[-;2!; cos`2x+;2A; sin`2x])^;2Ò;

={-;2!; cos`p+;2A; sin`p}-{-;2!; cos`0+;2A; sin`0}

=;2!;+;2!;=1

따라서 f(x)=sin`2x+cos`2x이므로 f(p)=sin`2p+cos`2p=1

 ④

24

xf(x)=xÛ` ln`x+:E/ f(t) dt …… ㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+x f '(x)=2x ln`x+x+f(x) xf '(x)=2x ln`x+x

이때 x>0이므로 위 등식의 양변을 x로 나누면 f '(x)=2 ln`x+1

따라서

f(x)=: (2 ln`x+1) dx

=2: ln`x`dx+: 1`dx

01

⁴

02

^;3&;

03

^e

연습장

^{본문 96쪽}

서술형

01

`f(x)=|4 cos`2x|라 하면 닫힌구간 [0, ;2Ò;]에서 f(x)= 4 cos`2x {0Éx<;4Ò;}

-4 cos`2x {;4Ò;ÉxÉ;2Ò;}

(\ Ò[\

9 따라서

:)^;2Ò; |4 cos`2x| dx

=:)^;4Ò; 4 cos`2x`dx+:_;4Ò;^;2Ò; (-4 cos`2x) dx yy ➊

=[2 sin`2x])<sup>;4Ò;</sup> -[2 sin`2x]_;4Ò;^;2Ò;

={2 sin`;2Ò;-2 sin`0}-{2 sin`p-2 sin`;2Ò;}

=2-(-2)=4 yy ➋

 4

단계 채점 기준 비율

➊ 구간을 나누어서 정적분을 나타낸 경우 50`%

➋ 정적분의 값을 구한 경우 50`%

=2(x ln`x-x)+x+C

=2x ln`x-x+C (단, C는 적분상수) 한편 ㉠의 양변에 x=e를 대입하면 ef(e)=eÛ`이므로

f(e)=e

이때 f(e) =2e ln`e-e+C

=2e-e+C

=e+C f(e)=e이므로 C=0

따라서 f(x)=2x ln`x-x이므로 f(eÛ`) =2eÛ` ln`eÛ`-eÛ`

=4eÛ`-eÛ`=3eÛ`

 3eÛ`

02

^{:!e '3 "Ã}(ln`x)Û`+1_ln`x`

x `dx에서

(ln`x)Û`+1=t로 놓으면 2 ln`x

x = dt dx 이고

x=1일 때 t=1, x=e^'3일 때 t=4이므로 :!^e'3 "Ã(ln`x)Û`+1_ln`x`

x `dx

=;2!;:!^e'3 ["Ã(ln`x)Û`+1_ 2 ln`x x ] dx

=;2!;:!4 't dt yy ➊

=;2!; [;3@;t't ]4!

=;2!; {:Á3¤:-;3@;}=;3&; yy ➋

 ;3&;

단계 채점 기준 비율

➊ 치환적분을 이용하여 정적분을 나타낸 경우 60`%

➋ 정적분의 값을 구한 경우 40`%

문서에서 EBS 올림포스 미적분 답지 정답 (페이지 72-80)