미적분학 II
1 성격
5개 과학특성대학의 1학년 기초과정에서 학습하는 미적분학 II 또는 그 에 준 하는 다변수 함수의 미적분학과 벡터해석에 해당하는 내용을 다루 며 기본개념 및 응용의 내용을 다룬다.2 목표
1. 총괄목표
‣ 다변수 함수/벡터함수의 미적분학을 다루며, 기본개념 및 응용을 다룬다. 벡터함수의 연속성, 미분가능성, 방향미분, 기하학적 구조해석을 기 본으로 하여 다중적분, 선적분, 면적분에 관한 이론을 이해한다. 학 생들은 이 과목을 통해 추상적인 개념을 정립하고 수학적 엄밀성을 높인 기초적인 증명방법을 배울 수 있다.2. 세부목표
‣ 벡터함수 및 이변수, 삼변수 함수의 연속성, 미분가능성, 방향미분, 기하학적 구조해석을 학습한다. ‣ 다변수 함수의 다중적분, 선적분, 면적분에 관한 이론을 이해한다. ‣ 추상적인 개념을 정립하고 수학적 엄밀성을 높인 기초적인 증명방법 을 학습한다. ‣ 함수로 나타나는 다양한 물리적 사회적 현상을 이해하고 활용한다.3 내용체계
영 역 단 원 교재챕터
1. Vector Algebra
A. Basics of vector space B. Lines in 3 dimensional space C. Planes in 3 dimensional space D. Dot product and cross product E. Cylinders and quadric surfaces
Stewart 12
2. ector- valued functions
A. Vector functions and space curves B. Derivatives and integrals of vector
functions
C. Arc-length and curvature (*) D. Unit tangent, principal normal E. Applications to planetary motion (*)
Stewart 13 3. Functions of several variables; Partial Derivatives
A. Scalar and vector fields B. Limits and continuity
C. The derivative of scalar fields D. Directional derivatives and partial
derivatives
E. The gradient of a scalar field F. Partial derivatives of higher order G. Applications to geometry; Level sets;
tangent planes
H. Derivatives of functions defined implicitly
I. Maxima, minima and saddle points J. Second derivative test for extrema of
functions of two variables
K. Extrema with constraints; Lagrange multipliers
4. Multiple integrals
A. Definition of the double integral of a function bounded on a rectangle B. Iterated integrals
C. Applications to area and volume D. Triple Integrals
E. Change of variables
F. Multiple integrals in cylindrical and spherical coordinates
Stewart 15
5. Vector calculus
A. Vector fields
B. Line integrals; Applications of line integrals; Line integral with respect to arc length
C. The fundamental theorem of calculus for line integrals
D. Green's theorem E. Curl and divergence
F. Necessary and sufficient condition for a vector field to be a gradient
G. Representation of a surface by parametric equations
H. The fundamental vector product as a normal to the surface; Area of a surface I. Surface integrals
J. The theorem of Stokes
K. The divergence theorem (Gauss' theorem) Applications of the divergenc theorem
4 추천 교재
‣ A: James Stewart Calculus (7E) Publisher: Brooks Cole; 7 edition (January 1, 2011) Language: English ISBN-10: 0538497815 ISBN-13: 978-0538497817
‣ B: George B. Thomas Calculus (12E) Publisher: Addison Wesley; 12 edition (September 12, 2009) Language: English ISBN-10: 0321587995 ISBN-13: 978-0321587992
5 교수·학습 방법
‣ 평가항목은 영어로 제출요망6 영역 및 단원 내용
벡터와 공간
1) 세부단원
‣ 벡터공간의 기본개념 Basics of vector space ‣ -공간의 직선과 평면
‣ 내적과 외적 Dot product and cross product
‣ 원기둥과 2차 곡면 Cylinders and quadric surfaces
2) 내용기준
‣ 벡터와 공간; 벡터의 크기 ‣ 좌표평면과 좌표공간, 향, 덧셈과 스칼라곱, 벡터, 벡터의 성분과 표 준기저벡터 ‣ 공간에서의 직선과 평면의 방정식 ‣ 내적과 외적 ‣ 원기둥 좌표계와 곡면 ‣ 구면좌표계의 소개와 응용3) 성취기준
‣ 공간에서 벡터의 연산과 성질을 이해하고 있는가 ‣ 원기둥 좌표계와 구면 좌표계의 정의를 이해하고 활용할 수 있는가4) 평가문항
별점벡터 함수
1) 세부단원
‣ 일변수 벡터함수와 공간 곡선Vector functions and space curves (**) ‣ 벡터함수의 미분과 적분
‣ 곡선의 길이와 곡률 Arc-length and curvature
‣ 단위 접벡터와 법선벡터 Unit tangent, principal normal ‣ 케플러의 법칙 Applications to planetary motion
2) 내용기준
‣ 벡터함수의 정의, 극한과 연속성, 미분과 속도, 가속도, 미분의 성질, 적분 ‣ 공간곡선의 길이, 단위 접벡터, 평면곡선의 곡률, 공간곡선의 곡률 ‣ 속도와 가속도, 가속도의 접성분과 법선성분, 케플러의 법칙3) 성취기준
‣ 벡터함수의 극한, 연속, 미분, 적분등의 정의를 이해하고 구할 수 있 는가 ‣ 평면곡선, 공간곡선의 곡률의 기하적 의미를 이해하고 다양한 곡선의 곡률을 계산할 수 있는가 ‣ 접벡터, 법선벡터, 종법선벡터 사이의 관계를 이해하고 여러 가지 공 식을 유도할 수 있는가 ‣ 접벡터, 법선벡터, 종법선벡터 의 체계의 항공기와 우주선의 궤도 계 산에 활용되는 사실을 이해하고 응용할 수 있는가4) 평가문항
별첨5) 유의사항
(*) 일변수 함수임 (**) 극한과 연속성에 대한 내용 포함다변수 함수의 미분
1) 세부단원
‣ 다변수 함수와 벡터장 Scalar and vector fields ‣ 극한과 연속 Limits and continuity
‣ 벡터장의 미분 The derivative of scalar fields
‣ 방향미분과 편미분 Directional derivatives and partial derivatives ‣ 전미분과 기울기 벡터
The derivative and the gradient of a scalar field ‣ 편미분; 고계 편미분과 고계 편도함수
Partial derivatives of higher order
‣ 기하에의 응용; 미분의 기하적 의미; 접평면
Applications to geometry; Level sets; tangent planes ‣ 음함수의 미분 Derivatives of functions defined implicitly ‣ 함수의 최대/최소와 안장점 Maxima, minima and saddle points
‣ 테일러 정리와 이차미분 판별법 Second derivative test for extrema of functions of two variables; Taylor formula for scalar fields
‣ 제한조건이 있는 함수의 최대/최소
Extrema with constraints; Lagrange multiplier
2) 내용기준
‣ 다변수 함수와 그래프, 등위집합, 벡터장 ‣ 극한의 직관적 의미, 정의 성질, 함수의 연속성
‣ 편미분과 이변수 함수의 전미분; 다변수 벡터함수의 전미분 ‣ 전미분과 편미분의 관계; 편미분의 연속성
‣ 미분법칙; 다변수 함수의 연쇄법칙; 미분의 기하적 의미 ‣ 방향미분, 기울기 벡터 ‣ 고차 편미분과 편미분의 순서; 테일러 정리 ‣ 극대극소와 안장점; 이차미분 판별법; 이차형식의 분류; 다변수 함수 의 최대/최소의 존재성 ‣ 라그랑지승수법; 유계닫힌 집합에서 정의된 함수의 최대/최소 구하기
3) 성취기준
‣ 다변수 함수의 극한, 연속을 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 편미분의 정의와 기하적인 의미를 이해하고 미분법칙을 활용할 수 있는가 ‣ 방향미분과 기울기 벡터 사이의 관계를 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 이변수 함수의 테일러 정리를 이해하고 테일러 다항식을 구할 수 있 는가 ‣ 다변수 함수의 극값에 대한 기하적인 의미를 이해하고 일변수 함수 와 비교하여 극값을 구할 수 있는가4) 평가문항
별첨다중적분
1) 세부단원
‣ 사각영역에서의 중적분의 정의 Definition of the double integral of a function bounded on a rectangle
‣ 반복적분; 일반영역에서의 중적분
Iterated integrals; Double integrals over general regions
‣ 중적분의 응용; 넓이와 부피 Applications to area and volume; Further application of double integrals
‣ 삼중적분 Triple Integrals
‣ 치환적분과 영역변환 Change of variables ‣ 원기둥좌표와 구면좌표를 이용한 삼중적분
Multiple integrals in cylindrical and spherical coordinates
2) 내용기준
‣ 사각영역에서 리만합을 이용한 중적분 및 삼중적분의 정의 ‣ 다중적분과 반복적분 ‣ 원기둥 좌표계와 구면 좌표계에서의 삼중적분 ‣ 영역변환과 자코비 행렬을 이용한 적분방법3) 성취기준
‣ 리만합을 이용한 중적분 및 삼중적분의 정의를 이해하는가 ‣ 푸비니 정리를 활용하여 다중적분을 반복적분으로 계산할 수 있는가 ‣ 영역변환과 자코비 행렬을 활용하여 적분을 쉽게 계산할 수 있는가4) 평가문항
별점
곡선과 곡면에서의 벡터장의 적분
1) 세부단원
‣ 벡터장 Vector fields
‣ 선적분과 응용 Line integrals; Applications of line integrals; Line integral with respect to arc length
‣ 선적분의 기본정리
The fundamental theorem of calculus for line integrals ‣ 그린의 정리 Green's theorem
‣ 벡터장의 회전과 발산 Curl and divergence
‣ 보존장의 필요충분 조건 Necessary and sufficient condition for a vector field to be a gradient
‣ 매개변수식에 의한 곡면의 정의 Representation of a surface by parametric equations
‣ 곡면의 넓이 The fundamental vector product as a normal to the surface; Area of a surface
‣ 곡면에서의 적분 Surface integrals ‣ 스톡의 정리 The theorem of Stokes ‣ 가우스의 발산 정리와 그 응용
2) 내용기준
‣ 벡터장의 정의; 적분곡선 ‣ 벡터 선적분; 매개변수식에 의한 곡선위에서의 선적분; 선적분의 기 본정리 ‣ 회전의 정의; 회전의 기하적 의미 ‣ 발산의 정의와 발산의 기하적 의미 ‣ 그린의 정리와 증명; 평면에서의 발산 정리 ‣ 곡면에서의 적분; 매개변수식에 의한 곡면에서의 벡터장 적분 ‣ 스톡스의 정리와 증명; 일반적인 곡면에 대한 스톡스 정리와 증명; 물리적 의미 ‣ 가우스의 발산 정리; 가우스의 발산 정리를 이용한 물리적 의미; 비 압축장의 기본정리3) 성취기준
‣ 벡터장의 정의를 이해하고 적분곡선을 구할 수 있는가 ‣ 곡선위에서의 선적분과 벡터 선적분을 구하고 활용할 수 있는가 ‣ 곡면을 매개화 하고 곡면에서의 실함수 적분과 벡터장 적분을 구할 수 있는가 ‣ 회전/발산과 관련된 미분공식을 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 보존장의 필요충분 조건을 이해하고 이를 활용할 수 있는가 ‣ 그린의 정리를 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 스톡스의 정리를 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 가우스의 정리를 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 보존장과 비압축장의 기본정리를 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 가우스의 법칙, 자기장의 법칙, 앰페어의 법칙, 페레데이의 법칙을 이 해하고 활용할 수 있는가(*)4) 평가문항
별첨
