p.210~212유제 & 문제 - 2019 개념플러스유형 미적분 답지 정답

념 편

p.210~212

유제 & 문제

4

유제

11

 ⑴ 72 ln 2 ⑵ 3ln 2-2 ⑶ 52 ln 2-1 ⑴ 시각 t=0에서 점 P의 위치가 3이므로 시각 t=3에서

점 P의 위치는

3+/0#~{2 T_!-1} dt =3+{2 T_!

ln 2-t}0#

=3+[ 7

2 ln 2-3]= 7 2 ln 2 ⑵ 시각 t=1에서 t=3까지 점 P의 위치의 변화량은 /1#~{2 T_!-1} dt ={2 T_!

ln 2-t}1#= 3 ln 2-2

⑶ 0<t<1에서 v{t}<0, 1<t<3에서 v{t}>0이므로 시각 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는 /0#~|2 T_!-1| dt

=/0!~{-2 T_!+1} dt+/1#~{2 T_!-1} dt ={-2 T_!

ln 2+t}0!+{2 T_!

ln 2-t}1#

=[- 1

2 ln 2+1]+[ 3

ln 2-2] = 5 2 ln 2-1

1.

 10

x, y를 각각 t에 대하여 미분하면 dx

dt=3, dy dt=4

따라서 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는 /0@ r[dx

dt ]@+[dy

dt ]@y dt =/0@ 13@+4@3 dt =/0@ 5`dt={5t}0@=10

2.

 13

12 f{x}= 1

12x#+1

x 이라 하면 f '{x}=1 4x@- 1

따라서 곡선 y=1 12x#+1

x 의 x=1에서 x=2까지의 길 이는

/1@ 11+9f '{x}30@3 dx =/1@ r 1+[1

4x@-1

x@ ]@y dx=/1@ r 1 16x$+1

2+1 x$ y dx =/1@ r [1

4x@+ 1

x@ ]@y dx=/1@ [1 4x@+ 1

x@ ] dx ={ 1

12x#-1 x }1@=13

p.209

4 문제 11-1

^ -¹_e

점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v{t}=0에서

{t-1}e_T=0 / t=1 (? e_T>0)

이때 t=0에서 점 P의 위치가 0이므로 t=1에서 점 P의 위치는

/0!~{t-1}e_T dt

f{t}=t-1, g'{t}=e_T이라 하면 f '{t}=1, g{t}=-e_T

/ /0!~{t-1}e_T dt ={-{t-1}e_T}0!-/0!~{-e_T} dt =-1-{e_T}0!=-1

e 유제

12

^ 19

x, y를 각각 t에 대하여 미분하면 dx

dt=6t, dy dt=3t @

따라서 시각 t=0에서 t=j5까지 점 P가 움직인 거리는 /0^j5`1{6t}@+{3t@}@3 dt=/0^j5`3t1t@+43 dt

t @+4=u로 놓으면 du

dt=2t이고, t=0일 때 u=4, t=j5 일 때 u=9이므로

/0^j5`3t1t@+43 dt =/4(`3

2 ju k`du ={uju k}4(=19

문제 12-1

x, y를 각각 t에 대하여 미분하면 dx

dt =-e_T cos t-e_T sin t

=-e_T{cos t+sin t}

dt =-e_T sin t+e_T cos t

=e_T{cos t-sin t}

이때 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리 s{a}는 s{a}

=/0A~19-e_T{cos t+sin t}0@3+9e_T{cos t-sin t}0@3 dt =/0A`e_T12{sin@ t3+cos@ t}3 dt

=j2/0A`e_T dt=j2{-e_T}0A =j2[1-1

eA ] ∴ lim

a`!E s{a}=lim

a`!E j2[1-1 eA ]=j2

따라서 1

4-a=b, a=1이므로 a=1, b=1

3 / ab= 13

2

lim

n`!E 1

n%9{2n-1}$+{2n-2}$+y+{2n-n}$0 =lim

n`!E 1 n -[

2n-1

n ]$+[2n-2

n ]$+y+[2n-n n ]$=

=lim

n`!E 1 n

? n k=1[2-k

n ]$

=lim

n`!E _k=1?ⁿ--[-2+k n ]=$\1

n =lim

n`!E _k=1?ⁿ[-2+k n ]$\1

n =/-2_! x$`dx

={1

5x%}-2_!=31 5

3

lim

n`!E p n@ -f[1

n ]+2 f[2

n ]+y+n f[n n ]=

=plim

n`!E _k=1?ⁿ k n f[k

n ]\1 n =p/0! xf{x} dx

=p/0! x sin px dx

/0! x sin px dx에서 u{x}=x, v'{x}=sin px라 하면 u'{x}=1, v{x}=-1

p cos px

/ p/0! x sin px dx ={-x cos px}0!+/0! cos px dx =1+{1

p sin px}0!=1

4

구간 {0, 2

3 p}에서 2 sin [x+p

3 ]>0이고, 구간 {2

3p, 5 3p}에서 2 sin [x+p

3 ]<0이므 로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/0^3@p~2 sin [x+p

3 ] dx

+/_3@p^3%p`--2 sin [x+p 3 ]= dx ={-2 cos [x+p

3 ]}0

3@p+{2 cos [x+p 3 ]}3@p

3%p

y=2 sin[x+3"]

6" 3@p 6&p

3%p x y

-2 2 유제

13

^ ⑴_{32 ⑵}^p@ ¹⁵₄ ^+ln 2

⑴ x, y를 각각 t에 대하여 미분하면 dx

dt=cos t-t sin t-cos t=-t sin t dy

dt=-sin t+sin t+t cos t=t cos t 따라서 0<t<p

4 에서의 곡선의 길이는 /0^4"`4{-t sin t}@+{t cos6 t}@6`dt

=/0^4"`4t@{sin@ t+cos@6 t}6`dt =/0^4"`t dt [? 0<t<p

4 ] ={1

2t@}0^4"=p@

32 ⑵ y=1

4x@-ln jx k=1 4x@-1

2 ln x y를 x에 대하여 미분하면 dy

dx=1 2x- 1

따라서 1<x<4에서의 곡선의 길이는 /1$`r 1+[1

2x- 1

2x ]@y`dx =/1$`r 1

4x@+1 2+ 1

4x@ y`dx=/1$`r [1 2x+ 1

2x ]@y`dx =/1$`[1

2x+ 1

2x ] dx (? 1<x<4) ={1

4x@+1

2 ln x}1$=15 4+ln 2

1

lim

n`!E _k=1?ⁿ f[a+4-a n k]1

n = 1

4-a lim

n`!E _k=1?ⁿ f[a+4-a

n k]\4-a n = 1

4-a /a$`f{x} dx

1

③

2

³¹₅

3

4

5

4 ln 2-2

6

④

7

_p@⁸

8

-6

5+2 ln 2

9

2e@

10

②

11

³²₅

12

¹₂^e@+¹₂

13

^-¹₂+ln 3

기본 연습문제

p.213~215

개 념 편

5

y= - eX {y>0}

-eX {y<0}이므로 곡선과 y축의 교점의 y좌표를 구하면

y>0일 때, y=e)=1 y<0일 때, y=-e)=-1 또 y를 x에 대하여 풀면 y>0일 때, x=ln y y<0일 때, x=ln {-y}

이때 구간 [-2, -1]에서 y=-2일 때 t=2, y=-1일 때 t=1이므로

/-2_! ln {-y} dy=-/2! ln t dt=/1@ ln t dt / S=2/1@ ln y dy

f{y}=ln y, g'{y}=1이라 하면 f '{y}=1

y , g{y}=y / S =2/1@ ln y dy=2[{y ln y}1@-/1@ dy]

=2[2 ln 2-{y}1@]=4 ln 2-2

6

두 곡선 y=1

x , y=jx k의 교점 의 x좌표를 구하면

x=jx k, x#-1=0 {x-1}{x@+x+1}=0 / x=1 (? x@+x+1>0) 이때 구간 {1 /0^2"~{sin 2x-ax} dx=0, {-1

2 cos 2x-1

4x+1, y=x의 교점의 x좌표를 구하면 -1

11

점 P의 좌표를 {x, x@}이 라 하면 점 Q의 좌표는 {x, 0}이므로

PQZ=x@

PQZ를 한 변으로 하는 정 사각형의 넓이를 S{x}라 하면

S{x} ={x@}@=x$

따라서 구하는 입체도형의 부피를 V라 하면 V =/0@ S{x} dx=/0@ x$`dx

={1

5x%}0@=32 5

12

x, y를 각각 t에 대하여 미분하면 dx

dt=t-1 t ,

dy dt=2

따라서 시각 t=1부터 t=e까지 점 P가 움직인 거리는 /1E`r[t-1

t ]@+2@y`dt =/1E`r[t+1

t ]@y`dt =/1E~[t+1

t ] dt ={1

2t@+ln t}1E =1

2e@+1 2

13

y를 x에 대하여 미분하면 dy

dx=-2x 1-x@

따라서 0<x<1

2 에서의 곡선의 길이는 /0^2!r 1+[ -2x

1-x@ ]@y`dx =/0^2!r 1+ 4x@

{1-x@}@ y dx =/0^2!r [x@+1

1-x@ ]@y`dx =/0^2!x@+1

1-x@`dx =/0^2![-1+ 2

1-x@ ] dx =/0^2![-1+ 1

1+x+ 1 1-x ] dx ={-x+ln {1+x}-ln {1-x}}0^2!

=-1 2+ln 3

2-ln 1 2 =-1

2+ln 3

O Q

y=x@

x 2

x x@

S{x}

9

두 함수 f{x}, g{x}는 서로 역함수이므로 f{1}=0, f{e@}=2에서

g{0}=1, g{2}=e@

따라서 두 함수 y=f{x}, y=g{x}의 그래프를 그리면 오 른쪽 그림과 같다.

이때

/1^e@~f{x} dx=S1, /0@~g{x} dx=S2

라 하고, S1에 해당하는 부분을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 값은 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 /1^e@~f{x} dx+/0@~g{x} dx =S1+S2

=2\e@=2e@

10

S{h}=he^-^3!h에서 S'{h}=e^-^3!h-1

3he^-^3!h=[1-1 3h]e^-^3!h S'{h}=0인 h의 값은

1-1

3h=0 (? e^-^3!h>0) / h=3

0<h<6에서 함수 S{h}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

h 0 y 3 y 6

S'{h} + + 0 -

-S{h} ↗ 극대 ↘

따라서 S{h}는 h=3일 때 최대이므로 이때의 물의 부피 V는

V=/0# S{h} dh=/0# he^-^3!h`dh f{h}=h, g'{h}=e^-^3!h이라 하면 f '{h}=1, g{h}=-3e^-^3!h / V =/0# he^-^3!h`dh

={-3he^-^3!h}0#+/0# 3e^-^3!h`dh =-9

e+{-9e^-^3!h}0#

=9-18 e

y

x y=f{x}

y=g{x} y=x

1 2 1 2

O

S1 e@

e@

S2

SG

y

x y=g{x}

1 O 2

S1 e@

S2

개

즉, f{e}=eAE=e에서 ae=1 / a=1

COPQ=90!, OPZ=|x| cm이므로 sPOQ에서 PQZ =

7

^OQZ @-OPZ @

9

=11-x@3 {cm}

CPQR=90!, CRPQ=60!이므로 sPQR에서 RQZ =PQZ tan 60!

=11-x@3\j3 {cm}

sPQR의 넓이를 S{x}라 하면 S{x} =1

2\PQZ\RQZ =1

2\11-x@3\11-x@3\j3 =j3

g{x}=eln x

OXBkZ @ =OXAkZ @+AXkBkZ @

= k@

2p sin px}0!=p@

12+1

2 에서 0<cos x<1이므로 1

y=n!cosx

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