-1
y=x y
O
x 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
⑶ f{x}=#1x@2=x3@이라 하면
! 정의역은 실수 전체의 집합이다.
@ f{-x}=#1x@2= f{x}이므로 그래프는 y축에 대하 여 대칭이다.
# f{0}=0이므로 그래프는 원점을 지난다.
$ f '{x}=2
3x-3!= 2 3 #jx k f "{x}=-2
9x-3$=- 2 9x #jx k
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나 타내면 다음과 같다.
x y 0 y
f '{x} - +
f "{x} -
-f{x} 0
% lim
x`!E #1x@2=E, limx`!-E #1x@2=E 따라서 함수 y= f{x}의
x y
O
그래프는 오른쪽 그림과같다.
⑷ f{x}=2x-jx k라 하면
! 정의역은 x>0인 실수 전체의 집합이다.
@ f{x}=0에서
2x-jx k=0, 2x=jx k 양변을 제곱하면 4x@=x
x{4x-1}=0 / x=0 또는 x=1 4 따라서 그래프는 점 {0, 0}, [1
4 , 0]을 지난다.
# f '{x}=2- 1
2jx k, f "{x}= 1 4xjx k f '{x}=0인 x의 값은
2- 1
2jx k=0, 4jx k=1 / x= 1
16
x>0에서 함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록 을 표로 나타내면 다음과 같다.
x 0 y 1
16 y
f '{x} - 0 +
f "{x} + + +
f{x} 0 -1
8 극소
$ lim
x`!E {2x-jx k}=limx`!E x[2- 1jx k]=E 따라서 함수 y= f{x}의
x y
O 4!
- 8!
1 16
그래프는 오른쪽 그림과같다.
유제
10
풀이 참조⑴ f{x}=xe_X이라 하면
! 정의역은 실수 전체의 집합이다.
@ f{0}=0이므로 그래프는 원점을 지난다.
# f '{x} =e_X-xe_X={1-x}e_X f "{x} =-e_X-{1-x}e_X={x-2}e_X f '{x}=0인 x의 값은
x=1 {? e_X>0}
f "{x}=0인 x의 값은 x=2 {? e_X>0}
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나 타내면 다음과 같다.
x y 1 y 2 y
f '{x} + 0 - -
-f "{x} - - - 0 +
f{x} 1 e 극대
2 e@
변곡점
$ lim
x`!E xe_X=0, lim
x`!-E xe_X=-E이므로 점근선은 x축이다.
개 념 편
따라서 함수 y= f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
2 O 1
e!
y
x 2
e@
⑵ f{x}=ln {x@+1}이라 하면
! x@+1>0이므로 정의역은 실수 전체의 집합이다.
@ f{-x}=ln {x@+1}=f{x}이므로 그래프는 y축 에 대하여 대칭이다.
# f{0}=0이므로 그래프는 원점을 지난다.
$ f '{x}= 2x x@+1
f "{x} =2{x@+1}-2x\2x {x@+1}@
=-2{x+1}{x-1}
{x@+1}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=0
f "{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나 타내면 다음과 같다.
x y -1 y 0 y 1 y
f '{x} - - - 0 + + +
f "{x} - 0 + + + 0 -f{x} ln 2
변곡점 0
극소 ln 2
변곡점
% lim
x`!E ln {x@+1}=E, lim
x`!-E ln {x@+1}=E 따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
-1 O 1 x
ln 2 y
⑶ f{x}=x-2 sin x라 하면
f '{x}=1-2 cos x, f "{x}=2 sin x f '{x}=0인 x의 값은
1-2 cos x=0, cos x=1 2 / x=-p
3 또는 x=p
3 [? -p
2<x< p2 ] f "{x}=0인 x의 값은
sin x=0
/ x=0 [? - p2<x< p2 ]
-p
2<x< p2 에서 함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.
x -p
2 y -p
3 y 0 y p
3 y p
2
f '{x} + 0 - - - 0 +
f "{x} - - - 0 + + + f{x} -p
2+2 -p 3+j3 극대
0 변곡점
p 3-j3
극소
p 2-2 따라서 함수 y= f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
O 3" 2"
2"-2 3"-j3k
-3"+j3k
-2"
-2"+2
-3"
y
x
⑷ f{x}=cos@ x라 하면 f '{x} =2 cos x\{-sin x}
=-2 sin x cos x
=-sin 2x f "{x}=-2 cos 2x
f '{x}=0인 x의 값은 sin 2x=0 0<x<p에서 0<2x<2p이므로 2x=0 또는 2x=p 또는 2x=2p / x=0 또는 x=p
2 또는 x=p f "{x}=0인 x의 값은 cos 2x=0 2x=p
2 또는 2x=3 2p / x=p
4 또는 x=3 4p
0<x<p에서 함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록 을 표로 나타내면 다음과 같다.
x 0 y p
4 y p
2 y 3
4p y p
f '{x} - - - 0 + + +
f "{x} - 0 + + + 0
- f{x} 1 1 2
변곡점 0 극소
1 2
변곡점 1 따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 다음 그림과 같다.
O 1
p 2!
4" 2" 4#p y
x
유제
11
⑴ 최댓값: 73 , 최솟값: 1⑵ 최댓값: 2, 최솟값: -2
⑴ f{x}=x+ 1 x+1 에서 f '{x} =1- 1
{x+1}@=x{x+2}
{x+1}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 {? 0<x<2}
구간 [0, 2]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 0 y 2
f '{x} 0 +
f{x} 1 ↗ 7
3
따라서 함수 f{x}는 x=2일 때 최댓값은 7
3 , x=0일 때 최솟값은 1이다.
⑵ f{x}=x14-x@3에서 f '{x} =14-x@3+x\ -2x
214-x@3 =4-2x@
14-x@3 f '{x}=0인 x의 값은 4-2x@=0, x@=2
∴ x=-j2 또는 x=j2
구간 [-2, 2]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -2 y -j2 y j2 y 2
f '{x} - 0 + 0
f{x} 0 ↘ -2
극소 ↗ 2
극대 ↘ 0
따라서 함수 f{x}는 x=j2일 때 최댓값은 2, x=-j2 일 때 최솟값은 -2이다.
유제
12
⑴ 최댓값: 12e , 최솟값: 0⑵ 최댓값: 56p+ j32 , 최솟값: p 6-j3
2
⑴ f{x}=ln x x@ 에서
f '{x}=
1
x\x@-ln x\2x
x$ =1-2 ln x x#
f '{x}=0인 x의 값은 1-2 ln x=0, ln x=1
2 / x=je
구간 [1, e]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 1 y je y e
f '{x} + 0
-f{x} 0 ↗
1 2e
극대 ↘ 1
e@
따라서 함수 f{x}는 x=je일 때 최댓값은 1 2e , x=1 일 때 최솟값은 0이다.
⑵ f{x}=x-sin 2x에서 f '{x}=1-2 cos 2x f '{x}=0인 x의 값은 1-2 cos 2x=0, cos 2x=1
2 0<x<p에서 0<2x<2p이므로 2x=p
3 또는 2x=5
3p / x=p
6 또는 x=5 6p 구간 [0, p]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 0 y p
6 y 5
6p y p
f '{x} - 0 + 0
-f{x} 0 ↘ p 6- j3
2 극소
↗ 5 6p+ j32
극대
↘ p
따라서 함수 f{x}는 x=5
6p일 때 최댓값은 5
6p+ j32 , x=p
6 일 때 최솟값은 p 6 -j3
2 이다.
유제
13
3j3다음 그림과 같이 ABZ의 중점을 O, CAOD=h [0<h<p
2 ]라 하고, 점 D에서 AOZ에 내린 수선의 발을 E라 하자.
4
A B
C D
E O 2
2 h
DEZ=2 sin h, OEZ=2 cos h / CDZ=2OEZ=4 cos h
사다리꼴 ABCD의 넓이를 S{h}라 하면 S{h} =1
2{ABZ+DCZ}\DEZ =1
2{4+4 cos h}\2 sin h
=4{1+cos h} sin h
개 념 편
/ S'{h} =49-sin@`h+{1+cos h} cos h0
=4{2 cos@`h+cos h-1}
=4{cos h+1}{2 cos h-1}
S'{h}=0인 h의 값은 cos h=1
2 [? 0<h<p
2 ] / h=p 3 0<h<p
2 에서 함수 S{h}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
h 0 y p
3 y p
2
S'{h} + 0
-S{h} ↗ 3j3
극대 ↘
따라서 넓이 S{h}는 h=p
3 일 때 최댓값은 3j3이다.
문제 13-1
j63원기둥의 밑면의 반지름의 길이를
O 1 h r r {0<r<1}, 높이를 h라 하면 오 른쪽 그림과 같이 구의 중심을 지 나면서 원기둥의 밑면에 수직인 평 면으로 자른 단면에서
h=211-r@3
원기둥의 부피를 V{r}라 하면 V{r} =pr@h=2pr@11-r@3
/ V'{r} =4pr11-r@3+2pr@\ -2r 211-r@3 =4pr{1-r@}-2pr#
11-r@3 =2pr{2-3r@}
11-r@3 V'{r}=0인 r의 값은 2-3r@=0, r@=2
3 / r=j6
3 {? 0<r<1}
0<r<1에서 함수 V{r}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
r 0 y j6
3 y 1
V'{r} + 0
-V{r} ↗ 극대 ↘
따라서 함수 V{r}는 r=j6
3 에서 최대이므로 원기둥의 부피를 최대로 하는 밑면의 반지름의 길이는 j6
3 이다.
1
832
2j23
a<-3-2j2 또는 -3+2j2<a<0 또는 a>04
②5
-1e@
6
27
j2p8
ㄱ, ㄷ9
③10
2111
2312
p3기본 연습문제
p.139~141
1
f{x}=1ax+b3라 하면 f '{x}= a2jax+bl
x=2에서의 접선의 방정식 x-3y+4=0의 기울기가 1 3 이므로 f '{2}=1
3 에서 a
2j2a+bl=1
3 , 3a=2j2a+bl 양변을 제곱하면 9a@=4{2a+b}
/ 9a@-8a-4b=0 yy ㉠
한편 접점의 좌표는 {2, j2a+bl}이고 이 점은 접선 x-3y+4=0 위의 점이므로
2-3j2a+bl+4=0, j2a+bl=2 양변을 제곱하면 2a+b=4
/ b=4-2a yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 9a@-8a-4{4-2a}=0 a@=16
9 / a=4
3 {? a>0}
이를 ㉡에 대입하면 b=4 3 / a+b=4
3+4 3=8
3
2
y=eX+1에서 eX=y-1 y y=eX+1y=ln {x-1}
y=x
O A
B
x 양변에 자연로그를 취하면
x=ln {y-1}
즉, 두 함수 y=eX+1, y=ln {x-1}은 역함수 관계 이므로 두 함수의 그래프는 직 선 y=x에 대하여 대칭이다.
따라서 선분 AB의 길이가 최소이려면 두 점 A, B는 직 선 y=x와 기울기가 같은 접선의 접점이어야 하므로 두 점 A, B에서의 접선의 기울기는 1이어야 한다.
f{x}=eX+1이라 하면 f '{x}=eX
A{a, eA+1}이라 하면 점 A에서의 접선의 기울기는 f '{a}=eA이므로 eA=1 / a=0
/ A{0, 2}
또 g{x}=ln {x-1}이라 하면 g '{x}= 1 x-1
B{b, ln {b-1}}이라 하면 점 B에서의 접선의 기울기는 g '{b}= 1
b-1 이므로 1
b-1=1 / b=2 / B{2, 0}
따라서 A{0, 2}, B{2, 0}일 때, ABZ의 길이는 최소이므 로 구하는 최솟값은
1{2-0}@+3{0-2}@3=2j2
3
f{x}=x@eX이라 하면f '{x}=2xeX+x@eX={x@+2x}eX
접점의 좌표를 {t, t@eT}이라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는 f '{t}={t@+2t}eT이므로 접선의 방정식은 y-t@eT={t@+2t}eT{x-t}
이 직선이 점 {a, 0}을 지나므로 -t@eT={t@+2t}eT{a-t}
eT>0이므로 양변을 eT으로 나누면 -t@={t@+2t}{a-t}
t9t@+{1-a}t-2a0=0 yy ㉠
/ t=0 또는 t@+{1-a}t-2a=0
점 {a, 0}에서 곡선 y=x@eX에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있으려면 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가져 야 한다.
즉, 이차방정식 t@+{1-a}t-2a=0이 0이 아닌 서로 다 른 두 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D 라 하면
D={1-a}@-4\{-2a}>0 a@+6a+1>0
/ a<-3-2j2 또는 a>-3+2j2
이때 이차방정식 t@+{1-a}t-2a=0의 해가 0이 아니 어야 하므로
0+{1-a}\0-2a=0 / a=0 따라서 구하는 a의 값의 범위는
a<-3-2j2 또는 -3+2j2<a<0 또는 a>0
4
f{x}=eX-ax에서 f '{x}=eX-a x>0에서 f '{x}>0이어야 하므로 eX-a>0 / eX>a그런데 x>0인 모든 실수 x에서 eX>1이므로 a<1
따라서 실수 a의 최댓값은 1이다.
5
f{x}=x+x ln x에서 x>0이고 f '{x}=1+ln x+x\1x=2+ln x
f '{x}=0인 x의 값은 ln x=-2 / x=1 e@
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.
x 0 y 1
e@ y
f '{x} - 0 +
f{x} ↘ -1
e@
극소
↗
따라서 함수 f{x}는 x=1
e@에서 극소이고 극솟값은 -1
e@이다.
6
f{x}=x-a ln x-1x 에서 x>0이고 f '{x}=1-a
x+1
x@=x@-ax+1 x@
f '{x}=0에서 x@-ax+1=0
함수 f{x}가 x>0에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려 면 이차방정식 x@-ax+1=0이 서로 다른 두 양의 실근 을 가져야 한다.
! 이차방정식 x@-ax+1=0의 판별식을 D라 하면 D=a@-4>0, {a+2}{a-2}>0
/ a<-2 또는 a>2
@ 두 근의 합이 양수이어야 하므로 근과 계수의 관계에 의해 a>0
!, @에 의해 a>2 / k=2
7
f{x}=x+2 cos x에서f '{x}=1-2 sin x, f "{x}=-2 cos x f "{x}=0인 x의 값은 cos x=0 / x=p
2 또는 x=3
2p {? 0<x<2p}
이때 x=p 2 , x=3
2p의 좌우에서 f "{x}의 부호가 바뀌므 로 두 변곡점의 좌표는
[p 2 , p
2 ], [ 3 2p, 3
2p]
따라서 구하는 두 변곡점 사이의 거리는 r[3
2p- p2 ]@+y[3
2p- p2 ]@y=1p@+p@3=j2p
8
ㄱ. f '{a}=0이고 x=a의 좌우에서 f '{x}의 부호가 음 에서 양으로 바뀌므로 x=a에서 극소이다.개 념 편
ㄴ. f '{b}=0이지만 x=b의 좌우에서 f '{x}의 부호가 바뀌지 않으므로 x=b에서 극값을 갖지 않는다.
ㄷ. f "{0}=0, f "{b}=0이고 x=0, x=b의 좌우에서 f "{x}의 부호가 바뀌므로 x=0, x=b인 점이 변곡 점이다. 따라서 그래프의 변곡점은 2개이다.
ㄹ. 구간 {0, b}에서 f "{x}<0이므로 그래프는 위로 볼 록하다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
9
f{x}=xeX에서f '{x}=eX+xeX={x+1}eX f "{x}=eX+{x+1}eX={x+2}eX f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 {? eX>0}
f "{x}=0인 x의 값은 x=-2 {? eX>0}
함수 f{x}의 증가와 감소, 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 y -1 y
f '{x} - - - 0 +
f "{x} - 0 + + +
f{x} 변곡점 극소
ㄱ. x=-1에서 극솟값을 갖는다.
ㄴ. x=-t로 놓으면 x`!`-E일 때 t`!`E이므로
x`lim!-E f{x}= lim
x`!-E xeX=lim
t`!E {-te_T}=0
ㄷ. x<-2에서 f "{x}<0이므로 그래프는 위로 볼록하다.
ㄹ. ㄴ에서 lim
x`!-E xeX=0이므로 그래프의 점근선은 x축이 다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
10
f{x}= x-1 x@+x+2에서f '{x} ={x@+x+2}-{x-1}{2x+1}
{x@+x+2}@
=-{x+1}{x-3}
{x@+x+2}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y 3 y
f '{x} - 0 + 0
-f{x} ↘ -1
극소 ↗
1 7 극대
↘
한편 lim
x`!-E f{x}=lim
x`!E f{x}=0이므로 함수 y=f{x}의 그래프의 점근선은 x축이다.
따라서 함수 f{x}는 x=3일 때 최댓값이 1 7 이므로 a=3, M=1
7 / a M=21
11
f{x}=x{x+k}eX =x@+kx eX 에서 f '{x} ={2x+k}eX-{x@+kx}eX
e@X =-x@-{k-2}x+k
eX
함수 f{x}가 x=4에서 극댓값을 가지므로 f '{4}=0
-16-{k-2}\4+k
e$ =0 / k=-8 3 이를 f{x}, f '{x}에 각각 대입하면
f{x}= x@-8 3x
eX =3x@-8x 3eX
f '{x} = -x@+14 3x-8
3
eX =-{3x-2}{x-4}
3eX f '{x}=0인 x의 값은 x=2
3 또는 x=4
구간 [0, 4]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x 0 y 2
3 y 4
f '{x} - 0 + 0
f{x} 0 ↘ 극소 ↗ 16
3e$
따라서 함수 f{x}는 x=2
3 일 때 최솟값을 가지므로 a=2
3
12
OAZ=a [0<a< p2 ]라 하면 ABZ=p-2a, ADZ=4 sin a직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 f{a}라 하면 f{a}=2{p-2a+4 sin a}
f '{a}=2{-2+4 cos a}=4{2 cos a-1}
f '{a}=0인 a의 값은 cos a=1
2 / a=p
3 [? 0<a<p 2 ] 0<a<p
2 에서 함수 f{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
a 0 y p
3 y p
2
f '{a} + 0
-f{a} ↗ 극대 ↘
따라서 함수 f{a}는 a=p
3 일 때 최대이므로 선분 AB의 길이는
p-2\p 3=p
3
1
y=3 4 x-12