접점의 좌표를 [t, 1+1
t ]이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '{t}=-1
t@이므로 접선의 방정식은 y-[1+1
t ]=-1 t@{x-t}
이 직선이 점 {2, 1}을 지나므로 1-[1+1
t ]=-1 t@{2-t}
-1 t=-2
t@+1 t
t=0이므로 양변에 t@을 곱하여 정리하면 2t=2 / t=1
따라서 점 {1, 2}에서 접하므로 점 {2, 1}에서 그을 수 있 는 접선의 개수는 1이다.
1.
극댓값: 0, 극솟값: -1 f{x}=2x#-3x@에서 f '{x}=6x@-6x=6x{x-1}f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 0 y 1 y
f '{x} + 0 - 0 +
f{x} ↗ 0
극대 ↘ -1
극소 ↗
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값은 0, x=1에서 극소이고 극솟값은 -1이다.
p.125
2
p.126~128
유제 & 문제2
유제
05
⑴ 구간 {-1, 0]에서 감소, 구간 [0, E}에서 증가⑵ 구간 {0, 2j2]에서 증가, 구간 [2j2, 4}에서 감소
⑶ 구간 {-E, 0]에서 감소, 구간 [0, E}에서 증가
⑷ 구간 [0, 76p}, { 116 p, 2p]에서 증가, 구간 { 76p, 116 p}에서 감소
⑴ f{x}=x+ 1 x+1 에서 f '{x}=1- 1
{x+1}@=x{x+2}
{x+1}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 (? x>-1)
x>-1에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -1 y 0 y
f '{x} - 0 +
f{x} ↘ 1 ↗
따라서 함수 f{x}는 구간 {-1, 0]에서 감소하고, 구 간 [0, E}에서 증가한다.
개 념 편
문제 05-1
⑴ -1<a<0 ⑵ 0<a< 13 f{x}={ax@-1}eX에서f '{x} =2ax\eX+{ax@-1}eX
={ax@+2ax-1}eX
⑴ 함수 f{x}가 구간 {-E, E}에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하여 f '{x}<0이어야 하므로
{ax@+2ax-1}eX<0 이때 eX>0이므로
ax@+2ax-1<0 yy ㉠
! a=0일 때
-1<0이므로 성립한다.
@ a=0일 때
이차부등식 ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로
a<0
또 이차방정식 ax@+2ax-1=0의 판별식을 D라 하면
D
4=a@+a<0 a{a+1}<0 / -1<a<0 그런데 a<0이므로 -1<a<0
!, @에 의해 -1<a<0
⑵ 함수 f{x}가 구간 [-1, 1]에서 감소하려면 -1<x<1에서 f '{x}<0이어야 하므로 {ax@+2ax-1}eX<0
이때 eX>0이므로 ax@+2ax-1<0
g{x}=ax@+2ax-1 {a>0}이라 하면 g{x}=a{x+1}@-a-1
g{x}<0이어야 하므로 함수 y=g{x}의 그래프는 다 음 그림과 같아야 한다.
y=g{x}
-1 1 x
따라서 g{1}<0에서 a+2a-1<0 / a<1
3
그런데 a>0이므로 0<a<1
3
⑵ f{x}=x+116-x@3에서 f '{x} =1+ -2x
2116-x@3 =116-x@3-x
116-x@3 f '{x}=0인 x의 값은 116-x@3=x
16-x@=x@
x@=8 / x=2j2 {? x>0}
0<x<4에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x 0 y 2j2 y 4
f '{x} + 0
-f{x} ↗ 4j2 ↘
따라서 함수 f{x}는 구간 {0, 2j2]에서 증가하고, 구 간 [2j2, 4}에서 감소한다.
⑶ f{x}=eX-x에서 f '{x}=eX-1
f '{x}=0인 x의 값은 eX=1 / x=0
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 0 y
f '{x} - 0 +
f{x} ↘ 1 ↗
따라서 함수 f{x}는 구간 {-E, 0]에서 감소하고, 구간 [0, E}에서 증가한다.
⑷ f{x}=1
2x-cos x에서 f '{x}=1
2+sin x f '{x}=0인 x의 값은 sin x=-1
2 / x=7
6p 또는 x=11
6p {? 0<x<2p}
0<x<2p에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 0 y 7
6p y 11
6 p y 2p
f '{x} + 0 - 0 +
f{x} ↗ 7
12p+ j32 ↘ 11
12p- j32 ↗
따라서 함수 f{x}는 구간 [0, 7 6p}, {11
6 p, 2p]에서 증가하고, 구간 { 7
6p, 11
6p }에서 감소한다.
유제
06
⑴ 극댓값: 1, 극솟값: -1⑵ 극댓값: 없다., 극솟값: e
⑶ 극댓값: 4e_@, 극솟값: 0
⑷ 극댓값: 3j32 , 극솟값: -3j3 2
⑴ f{x}= 2x x@+1에서
f '{x} =2{x@+1}-2x\2x {x@+1}@
=-2{x+1}{x-1}
{x@+1}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y 1 y
f '{x} - 0 + 0
-f{x} ↘ -1
극소 ↗ 1
극대 ↘
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극대이고 극댓값은 1, x=-1에서 극소이고 극솟값은 -1이다.
⑵ f{x}=eX x 에서 f '{x}=eX\x-eX
x@ =eX{x-1}
x@
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (? eX>0)
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
x 0 y 1 y
f '{x} - 0 +
f{x} ↘ e
극소 ↗
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 극소이고 극솟값은 e, 극댓값은 없다.
⑶ f{x}=x{ln x}@에서 x>0이고 f '{x} ={ln x}@+x\2 ln x\1
x
=ln x {ln x+2}
f '{x}=0인 x의 값은 ln x=0 또는 ln x=-2 / x=1 또는 x=e_@
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x 0 y e_@ y 1 y
f '{x} + 0 - 0 +
f{x} ↗ 4e_@
극대 ↘ 0
극소 ↗
따라서 함수 f{x}는 x=e_@에서 극대이고 극댓값은 4e_@, x=1에서 극소이고 극솟값은 0이다.
다른 풀이 이계도함수를 이용 f '{x}=ln x {ln x+2}에서 f "{x} =1
x {ln x+2}+ln x\1 x=2
x {ln x+1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=e_@
/ f "{1}=2{ln 1+1}=2>0, f "{e_@}= 2
e_@ {ln e_@+1}=-2e@<0
따라서 함수 f{x}는 x=e_@에서 극대이고 극댓값은 f{e_@}=e_@{ln e_@}@=4e_@
또 x=1에서 극소이고 극솟값은 f{1}=1\{ln 1}@=0
⑷ f{x}=2 cos x+sin 2x에서 f '{x} =-2 sin x+2 cos 2x
=-2 sin x+2{1-2 sin@ x}
=-2{2 sin@ x+sin x-1}
=-2{2 sin x-1}{sin x+1}
f '{x}=0인 x의 값은 sin x=1
2 또는 sin x=-1 / x=p
6 또는 x=5
6p {? 0<x<p}
0<x<p에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
x 0 y p
6 y 5
6p y p
f '{x} + 0 - 0 +
f{x} ↗
3j3 2 극대
↘ -3j3 2 극소
↗
따라서 함수 f{x}는 x=p
6 에서 극대이고 극댓값은 3j3
2 , x=5
6p에서 극소이고 극솟값은 -3j3 2 이다.
다른 풀이 이계도함수를 이용 f '{x}=-2 sin x+2 cos 2x에서 f "{x}=-2 cos x-4 sin 2x f '{x}=0인 x의 값은 x=p
6 또는 x=5 6p / f "[ p6 ]=-2 cos p
6-4 sin p
3=-3j3<0, f "[5
6p]=-2 cos 5
6p-4 sin 5
3p=3j3>0 따라서 함수 f{x}는 x=p
6 에서 극대이고 극댓값은 f[p
6 ]=2 cos p 6+sin p
3=3j3 2 또 x=5
6p에서 극소이고 극솟값은 f[5
6p]=2 cos 5
6p+sin 5
3p=- 3j32
개 념 편
문제 06-1
1f{x}=a cos x-b cos 2x에서 f '{x}=-a sin x+2b sin 2x x=p
3 에서 극댓값 3
2 을 가지므로 f '[p
3 ]=0, f [p 3 ]=3
2 f '[p
3 ]=0에서 -j3
2 a+j3b=0 / a-2b=0 yy`㉠
f [p 3 ]=3
2 에서 1
2a+1 2b=3
2 / a+b=3 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 / a-b=1
문제 06-2
- 98-2 ln 2f{x}=ax@-bx+ln x에서 x>0이고 f '{x}=2ax-b+1
x
x=1에서 극솟값 -3을 가지므로 f '{1}=0, f{1}=-3 f '{1}=0에서 2a-b+1=0 / 2a-b=-1 yy ㉠
f{1}=-3에서 a-b=-3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=5 / f{x}=2x@-5x+ln x / f '{x}=4x-5+1
x=4x@-5x+1 x f '{x}=0인 x의 값은
4x@-5x+1=0, {4x-1}{x-1}=0 / x=1
4 또는 x=1 따라서 함수 f{x}는 x=1
4 에서 극대이고 극댓값은 f [1
4 ]=-9 8-2 ln 2
문제 06-3
10f{x}={x@-6x+k}eX에서
f '{x} ={2x-6}eX+{x@-6x+k}eX
={x@-4x+k-6}eX
이때 eX>0이므로 함수 f{x}가 극값을 갖지 않으려면 x@-4x+k-6>0
따라서 이차방정식 x@-4x+k-6=0이 중근 또는 허근 을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4=4-k+6<0 / k>10 따라서 구하는 상수 k의 최솟값은 10이다.