2
유제
03
⑴ 2+ln 3 ⑵ -e+4 ⑶ 2j3+ p 3 ⑴ 구간 [2, 4]에서 xx-1>0이 므로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/2$`| x
x-1 | dx =/2$`[1+ 1
x-1 ] dx ={x+ln {x-1}}2$
=2+ln 3
⑵ 구간 [0, 1]에서 eX-3<0이 므로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/0!~|eX-3| dx
=/0!~{-eX+3} dx ={-eX+3x}0!
=-e+4
x y
1
O 1 2 4
x y=x-1
y=eX-3
ln 3 x y
1
-2 -3 O
⑶ 곡선 y=2 sin x-1과 x축의 교점의 x좌표를 구하면 2 sin x-1=0, sin x=1
2 / x=5
6p [? p
2<x< 32p] 이때 구간 {p
2 , 5 6p}에서 2 sin x-1>0이고, 구간 {5
6p, 3 2p}에서 2 sin x-1<0이므로 구하 는 넓이를 S라 하면
S =/2"2#p|2 sin x-1| dx =/2"
5 6p
{2 sin x-1} dx+/5
62#p\ ~{-2 sin x+1} dx ={-2 cos x-x}2"
5 6p
+{2 cos x+x}6%2#p\~ =[j3-p
3 ]+[j3+2 3p] =2j3+p
3
문제 03-1
ej2 구간 [1, e@]에서 ln xx >0이므로 두 부분 A, B의 넓이를 각각 Sa, Sb라 하면
Sa=/1K` ln x
x `dx, Sb=/kE@ ln x x `dx ln x=t로 놓으면 dt
dx=1
x 이고, x=1일 때 t=0, x=k 일 때 t=ln k, x=e@일 때 t=2이므로
Sa =/1K` ln x
x `dx=/0ln k`t dt ={1
2t @}0ln k
=1 2{ln k}@
Sb =/kE@ ln x
x `dx=/ln k@ t dt ={1
2t @}@
ln k
=2-1 2 {ln k}@
이때 두 부분 A, B의 넓이가 같으므로 Sa=Sb
1
2{ln k}@=2-1
2{ln k}@, {ln k}@=2 그런데 1<k<e@에서 0<ln k<2이므로 ln k=j2 / k=ej2
y
y=2sin x-1 2"
6%p 2#p O1
-1
-3
x ⑵ y=ln x를 x에 대하여 풀면
x=eY
이때 구간 [-1, 1]에서 eY>0 이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/-1! |eY| dy
=/-1! eY dy={eY}!-1 =e-1
e
⑶ 곡선 y=jx k와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하면 jx k=x, x@-x=0, x{x-1}=0
/ x=0 또는 x=1
이때 구간 [0, 1]에서 jx k>x 이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/0!~{jx k-x} dx
={2 3xjx k-1
2x@}0!
=2 3-1
2=1 6
y=ln x
x y
1 1
-1 O
y=x y=jxk
x y
1
O 1
개 념 편
유제
04
⑴ e-2 ⑵ 5-1 e@⑴ y= 1
1-x 을 x에 대하여 풀면 1-x=1
y / x=1-1 y 이때 구간 [1, e]에서
1-1
y>0이므로 구하는 넓이 를 S라 하면
S =/1E~|1-1 y | dy =/1E~[1-1
y ] dy ={y-ln y}1E=e-2
⑵ y=-ln {x-2}를 x에 대하여 풀면
ln {x-2}=-y, x-2=e_Y / x=e_Y+2 이때 구간 [0, 2]에서
e_Y+2>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =/0@~|e_Y+2| dy =/0@~{e_Y+2} dy ={-e_Y+2y}0@=5-1
e@
유제
05
⑴ 2 ⑵ 32 ⑶ j3 13 ⑷ 12e@-e+3 2 ⑴ 두 곡선 y=ln 2x, y=-ln x2 의 교점의 x좌표를 구하면 ln 2x=-ln x
2 , ln 2x=ln 2 x 2x=2
x , x@=1 / x=1 {? x>0}
이때 구간 [1, e]에서 ln 2x>-ln x
2 이므로 구하 는 넓이를 S라 하면 S
=/1E~-ln 2x-[-ln x 2 ] = dx =/1E ln x@ dx=2/1E ln x dx f{x}=ln x, g'{x}=1이라 하면 f '{x}=1
x , g{x}=x
/ S =2/1E ln x dx =2[{x ln x}1E-/1E`dx]
=2[e-{x}1E]=2 y
x
O 1
1 e
y= 1 1-x
y 2
2 3 x
y=-ln {x-2}
O
y=ln 2x ln 2e
ln 2
y=-ln2X -ln2E 2!
y
1 e O 2
x
⑵ 두 곡선 y=cos x, y=cos 2x의 교점의 x좌표를 구하면 cos x=cos 2x, cos x=2 cos@ x-1
{2 cos x+1}{cos x-1}=0 / cos x=-1
2 또는 cos x=1 / x=2
3p 또는 x=0 {? 0<x<p}
이때 구간 {0, 2 3p}에 서 cos x>cos 2x이고, 구간 {2
3p, p}에서 cos 2x>cos x이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =/03@|{cos x-cos 2x} dx
+/3@\|`~{cos 2x-cos x} dx
={sin x-1
2 sin 2x}03@|+{1
2 sin 2x-sin x}|3@\
=3j3 4 +3j3
4 =3j3 2 ⑶ y=jx-1l, y=1
2x를 각각 x에 대하여 풀면 x=y@+1, x=2y
곡선 x=y@+1과 직선 x=2y의 교점의 y좌표를 구하면 y@+1=2y, {y-1}@=0 / y=1
이때 구간 [0, 1]에서 y@+1>2y이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =/0!~9{y@+1}-2y0 dy =/0!~{y@-2y+1} dy
={1
3y#-y@+y}0!=1 3
⑷ y=eX, y=-x+1을 각각 x에 대하여 풀면 x=ln y, x=-y+1
이때 구간 [1, e]에서 ln y>-y+1이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =/1E9ln y-{-y+1}0 dy
=/1E ln y`dy+/1E~{y-1} dy
/1E ln y`dy에서 f{y}=ln y, g'{y}=1이라 하면 f '{y}=1
y , g{y}=y
y=cos 2x
y=cos x p x y
1
-1 -2!
2"
O 3@p
y=2!x
y=jxk-1l 1
1
2 y
O x
y=-x+1 y=eX
1 y
1 1-e
e
O x
/ S =/1E ln y`dy+/1E~{y-1} dy ={y ln y}1E-/1E`dy+{1
2y@-y}1E =e-{y}1E+[1
2e@-e+1
2 ] =1
2e@-e+3 2
문제 05-1
j3a>1이므로 두 곡선 y=a sin x, y=cos x와 두 직 선 x=0, x=p
3 로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.
이때 두 곡선과 두 직선으로
둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로 /03"~{a sin x-cos x} dx=0
{-a cos x-sin x}03"=0 [-1
2a-j3
2 ]-{-a}=0 1
2a-j3
2=0 / a=j3 유제
06
e2-1
f{x}=ln {x-1}이라 하면 f '{x}= 1 x-1 점 {e+1, 1}에서 그은 접선의 기울기는 f '{e+1}=1
e
따라서 점 {e+1, 1}에서 그은 접선의 방정식은 y-1=1
e{x-e-1}
/ y=1 ex-1
e y=ln {x-1}, y=1
ex-1 e 을 각각 x에 대하여 풀면
x=eY+1, x=ey+1 이때 구간 [0, 1]에서
eY+1>ey+1이므로 구하는 넓 이를 S라 하면
S =/0!~9{eY+1}-{ey+1}0 dy =/0!~{eY-ey} dy
={eY-e 2y@}0!=e
2-1
y=cos`x y=a sin x
3" x 2"
2!
y
O 1
y=ln {x-1}
y=e!x-e!
y
x O1
1 2 e+1
다른 풀이
구간 [2, e+1]에서 ln {x-1}>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S =1
2\e\1-/2E"! ln {x-1} dx
=e
2-/2E"! ln {x-1} dx
/2E"! ln {x-1} dx에서 u{x}=ln {x-1}, v'{x}=1이 라 하면
u '{x}= 1
x-1 , v{x}=x / S =e
2-/2E"! ln {x-1} dx =e
2-{x ln {x-1}}2E"!+/2E"! x
x-1`dx =e
2-{e+1}+{x+ln {x-1}}2E"!
=-e
2-1+e=e 2-1
문제 06-1
e 2-32e
f{x}=e_X이라 하면 f '{x}=-e_X
점 {-1, e}에서 그은 접선의 기울기는 f '{-1}=-e 따라서 점 {-1, e}에서 그은 접선의 방정식은 y-e=-e{x+1} / y=-ex
또 이 접선과 수직인 직선의 기울기는 1
e 이고, 이 직선이 점 [1, 1
e ]을 지나므로 y-1
e=1
e{x-1} / y=1 ex 직선 y=1
ex가 지나는 점 [1, 1
e ]은 곡선 y=e_X 위의 점이므로 곡선 y=e_X과 직선 y=1
e x의 교점의 x좌표는 x=1
이때 구간 [-1, 0]에서 e_X>-ex이고, 구간 [0, 1]에 서 e_X>1
ex이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/-1)``9e_X-{-ex}0 dx+/0! [e_X-1
ex] dx =/-1)``{e_X+ex} dx+/0! [e_X-1
ex] dx ={-e_X+e
2x@})-1+{-e_X-1
2ex@}0!
=[-1+e
2 ]+[-3
2e+1]=e 2-3
2e
y=-ex y=e_X y=e!x e!
y
O 1 x 1 -1
e
개 념 편
다른 풀이
구간 [-1, 1]에서 e_X>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S =/-1! e_X dx-1 두 함수 y=f{x}, y=g{x}
의 그래프를 그리면 오른쪽
2x가 세 점 {-1, -1}, {0, 0}, {1, 1}을 지나므로 곡선 y=sin p
2x와 직선 y=x의 교점의 x좌 표는
x=-1 또는 x=0 또는 x=1
y=g{x} x>sin p
2 x이고, 구간 [0, 1]에서 sin p S{x}=e@X+x+2 {cm@}
물의 깊이가 4 cm일 때, 물의 부피를 V라 하면
V =/0$~S{x} dx=/0$~{e@X+x+2} dx ={1
2e@X+1
2x@+2x}0$=1
2{e*+31}{cm#}
문제 08-1
10수심이 t일 때의 수면의 넓이를 S{t}라 하면 수심이 x일 때의 물의 부피 V는 V=18jx k+7x이므로
/0X S{t} dt=18jx k+7x 양변을 x에 대하여 미분하면 S{x}= 9
jx k+7
따라서 수심이 9일 때, 즉 x=9일 때 수면의 넓이는 S{9}=3+7=10
1.
2구하는 입체도형의 부피를 V라 하면
V =/0! S{x} dx=/0! {2x+1} dx={x@+x}0!=2