p.148~149유제 & 문제

2 x y=f{x}

y=a O

4 e@

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하 는 실수 a의 값의 범위는 0<a<4

e@

문제 02-1

 0<a<1

f{x}=sin x라 하면 f '{x}=cos x / f '{0}=1 따라서 곡선 y=sin x 위의 점 {0, 0}에서의 접선의 방정 식은 y=x

-p<x<p에서 함수 y=f{x}의 그래프는 다음 그림과 같으므로 교점이 3개가 되도록 직선 y=ax를 그리면

y

x y=x

y=ax y=f{x}

-p -2" p

2"

O

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하 는 실수 a의 값의 범위는 0<a<1

유제

03

 풀이 참조

e_X>1-x에서 e_X+x-1>0 f{x}=e_X+x-1이라 하면 f '{x}=-e_X+1

f '{x}=0인 x의 값은 e_X=1 / x=0

함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 0 y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 0

극소 ↗

함수 f{x}는 x=0일 때 최솟값 0을 가지므로 e_X+x-1>0

따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 e_X>1-x가 성립 한다.

문제 03-1

 풀이 참조 cos x>1-x@

2 에서 cos x+

x@

2 -1>0 f{x}=cos x+x@

2-1이라 하면 f '{x}=x-sin x

f "{x}=1-cos x

이때 0<x<p에서 -1<cos x<1이므로 f "{x}=1-cos x>0

즉, 0<x<p에서 함수 f '{x}는 증가하고, f '{0}=0이 므로 이 구간에서 f '{x}>0

따라서 0<x<p에서 함수 f{x}는 증가하고, f{0}=0이 므로 이 구간에서 f{x}>0 / cos x+x@

2-1>0 따라서 0<x<p일 때, 부등식 cos x>1-x@

2 이 성립한다.

문제 03-2

 0<a< e2

jx k>a ln x에서 jx k-a ln x>0 f{x}=jx k-a ln x라 하면 f '{x}= 1

2jx k-a

x=jx k-2a 2x

f '{x}=0인 x의 값은 jx k=2a / x=4a@

x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.

x 0 y 4a@ y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 2a{1-ln 2a}

극소 ↗

따라서 함수 f{x}는 x=4a@일 때 최솟값 2a{1-ln 2a}

를 가지므로 x>0일 때, f{x}>0이 성립하려면 2a{1-ln 2a}>0, 1-ln 2a>0 {? a>0}

ln 2a<1, 2a<e / 0<a<e 2

p.148~149

유제 & 문제

2

유제

04

 속도: 0, 가속도: - j32

시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=dx

dt=-sin t+1 2 , a=dv

dt=-cos t 따라서 t=p

6 에서 점 P의 속도는 -sin p 6+1

2=0 또 t=p

6 에서 점 P의 가속도는 -cos p 6=-j3

2

문제 04-1

 6

시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=dx

dt=a-2 cos t t=p

3 에서 점 P의 속도가 5이므로 a-2 cos p

3=5 a-1=5 / a=6

개 념 편

문제 04-2

 12

시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=dx

dt=2pt+q t , a=dv

dt=2p-q t@

t=1에서 점 P의 속도가 5

2 , 가속도가 3 2 이므로 2p+q=5

2 , 2p-q=3 2

두 식을 연립하여 풀면 p=1, q=1 2 / p-q=1

2

유제

05

 속력: 1, 가속도의 크기: 1 dx

dt=1-cos t, dy

dt=sin t이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은

1{1-cos t}@+3{sin t}@3=j2-2 cos tl 따라서 t=p

3 에서 점 P의 속력은 q2-2 cos p

3 e=1 또 d@x

dt@=sin t, d@y

dt@=cos t이므로 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는

1sin@ t+3cos@ t3=1 따라서 t=p

3 에서 점 P의 가속도의 크기는 1이다.

문제 05-1

^{ 2j3}₃ dx

dt=-1-sin t, dy

dt=-2 cos t이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은

1{-1-sin t}@3+{-2 cos3 t}@3

=11+2 sin t+sin@ t+34 cos@ t3

=1-3 sin@ t+32 sin t+53 =r-3[sin t-y1

3 ]@+16 3 y

0<t<2p에서 -1<sin t<1이므로 점 P는 sin t=1 3 일 때 속력이 최대이다.

한편 d@x

dt@=-cos t, d@y

dt@=2 sin t이므로 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는

1{-cos t}@+3{2 sin t}@3 =1cos@ t+43 sin@ t3

=11+3 sin@ t3 따라서 점 P의 속력이 최대일 때 sin t=1

3 이므로 구하는 점 P의 가속도의 크기는

r1+3\[1 3 ]@y=2j3

3

◀ cos@ t=1-sin@ t

◀ cos@ t=1-sin@ t

1

2 sin x=x+k에서 2 sin x-x=k f{x}=2 sin x-x라 하면 f '{x}=2 cos x-1 f '{x}=0인 x의 값은 cos x=1

2 / x=p

3 {? 0<x<p}

0<x<p에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y p

3 y p

f '{x} + 0

-f{x} 0 ↗ j3-p

3

극대 ↘ -p

따라서 함수 y= f{x}의 그래

j3k-3"

3" p

-p y=f{x}

y

O x 프는 오른쪽 그림과 같으므로 y=k 직선 y=k와 서로 다른 두 점 에서 만나도록 하는 실수 k의 값의 범위는

0<k<j3-p 3 / a=j3- p3

2

3x-k=ln x에서 3x-ln x=k f{x}=3x-ln x라 하면 x>0이고 f '{x}=3-1

x

f '{x}=0인 x의 값은 x=1 3

x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.

x 0 y 1

3 y

f '{x} - 0 +

f{x} ↘ 1+ln 3

극소 ↗

한편 lim

x`!0+{3x-ln x}=E이므로 그래프의 점근선은 y축 이다.

1

①

2

1+ln 3

3

1

4

^k>_e@¹

5

e[ e2-1]

6

^p₃

7

20

8

⑤

9

{4, 0}

기본 연습문제

p.150~151

1<x<2에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 1 y 2

f '{x} 0 +

f{x} e ↗ e@

2

따라서 함수 f{x}는 1<x<2에서 증가하므로 e<f{x}<e@

2 ∴ e< eX x< e@

2 yy ㉡

㉠, ㉡에 의해 a<e, b>e@

2

따라서 b-a의 최솟값은 b가 최소이고 a가 최대일 때이 므로

e@

2-e=e[e 2-1]

6

시각 t에서의 두 점 P, Q의 속도는 각각 dxp

dt =-sin t, dxq

dt =-2 sin t cos t 0<t<p

2 에서 두 점 P, Q의 속도가 같으므로 -sin t=-2 sin t cos t

cos t=1

2 / t=p 3

7

^dx_dt=10j2, dy

dt=-10t+10j2이므로 시각 t에서의 야구공의 속력은

1{10j2}@+{-10t3+10j2}@3=101t@-23j2t+43 한편 야구공이 지면에 떨어질 때는 y=0이므로 -5t@+10j2t=0, -5t{t-2j2}=0

/ t=2j2 {? t>0}

따라서 t=2j2에서 야구공의 속력은 101{2j2}@-2j23\2j2+43=20

8

^dx_dt=eT cos t-eT sin t=eT{cos t-sin t}, dy

dt=eT sin t+eT cos t=eT{sin t+cos t}

이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은

19eT{cos t3-sin t}0@+39eT{sin t+3cos t}0@3=j2eT 점 P의 속력이 j2e이므로

j2eT=j2e / t=1 d@x

dt@ =eT{cos t-sin t}+eT{-sin t-cos t}=-2eT sin t d@y

dt@=eT{sin t+cos t}+eT{cos t-sin t}=2eT cos t 따라서 시각 t에서의 점 P의 가속도의 크기는 1{-2eT sin t}@+3{2eT cos t}@3=2eT

이므로 t=1에서 점 P의 가속도의 크기는 2e이다.

함수 y=f{x}의 그래프는 오른

3!

1+ln 3 y=k

y=f{x}

y

O

^x

쪽 그림과 같으므로 직선 y=k 와 만나도록 하는 실수 k의 값 의 범위는 k>1+ln 3 따라서 구하는 k의 최솟값은 1+ln 3이다.

3

x@+cos x>k에서 x@+cos x-k>0 f{x}=x@+cos x-k라 하면

f '{x}=2x-sin x, f "{x}=2-cos x 이때 x>0에서 -1<cos x<1이므로 f "{x}=2-cos x>0

즉, x>0에서 함수 f '{x}는 증가하고, f '{0}=0이므로 x>0에서 f '{x}>0

따라서 x>0에서 함수 f{x}는 증가하므로 f{x}>0이 성립하려면 f{0}>0이어야 한다.

1-k>0 / k<1

즉, 구하는 k의 최댓값은 1이다.

4

x>0에서 함수 y= f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그 래프보다 위쪽에 있으려면

f{x}>g{x} / f{x}-g{x}>0 F{x}=f{x}-g{x}라 하면

F{x} =x+k-{-x ln x}=x{1+ln x}+k이므로 F'{x}=1+ln x+x\1

x =2+ln x

F'{x}=0인 x의 값은 ln x=-2 / x=1 e@

x>0에서 함수 F{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.

x 0 y 1

e@ y

F '{x} - 0 +

F{x} ↘ k-1

e@

극소

↗

따라서 x>0일 때, 함수 F{x}는 x=1

e@에서 최솟값 k-1

e@을 가지므로 F{x}>0이 성립하려면 k-1

e@>0 / k>1 e@

5

1<x<2이므로 ax<eX<bx의 각 변을 x로 나누면 a<eX

x<b yy ㉠

이때 f{x}=eX

x 이라 하면 f '{x}=xeX-eX

x@ ={x-1}eX x@

f '{x}=0인 x의 값은 x=1 {? eX>0}

개 념 편

9

^dx_dt=2{1-cos t}, dy

dt=2 sin t이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은

192{1-cos t}0@+3{2 sin t}@3

=2j1-2 cos t+lcos@ t+sin@ tl

=2j2-2 cos tl

0<t<2p에서 -1<cos t<1이므로 점 P는 cos t=-1 일 때 속력이 최대이다.

/ t=p

따라서 t=p에서 점 P의 속도는 {2{1-cos p}, 2 sin p}

/ {4, 0}

1

3

2

1

3

^{j3, -7}

4

¹²

p.152

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