( f`ç`g)(x)=-1이므로함수( f`ç`g)(x)가실수전체의집합에 서연속이다.
Þ k-1<5일때
g(a)=g(b)=5인a,b`(a<1,b>k)가존재한다.
3H10-3_2Ü`=9C7_2Ü`=36_8= 288
이다.이중에서부등식(a-1)(b-1)>0을만족시키는0이아닌정 수a,b,c의모든순서쌍(a,b,c)의개수를구하자.
Ú a-1>0,b-1>0인경우
a>1,b>1에서a¾2,b¾2이다.
즉,이경우의순서쌍(a,b,c)의개수는
방정식a+b+|c|=10`(a¾2,b¾2,|c|¾1)을만족시키는0이
아닌정수a,b,c의모든순서쌍(a,b,c)의개수와같으므로
3H10-5_2=7C5_2=21_2= 42
이다.
Û a-1<0,b-1<0인경우
a<1,b<1에서a,b는0이아닌정수이므로모두음의정수이다.
a'=-a,b'=-b라하면a'¾1,b'¾1이다.
즉,이경우의순서쌍(a,b,c)의개수는
방정식a'+b'+|c|=10`(a'¾1,b'¾1,|c|¾1)을만족시키
는0이아닌정수a',b',c의모든순서쌍(a',b',c)의개수와같 으므로
3H10-3_2=9C7_2=36_2= 72
이다.
Ú,Û에서방정식|a|+|b|+|c|=10과부등식(a-1)(b-1)É0 을동시에만족시키는0이아닌정수a,b,c의모든순서쌍(a,b,c) 의개수는
288 -( 42 + 72 )=174 이다.
이상에서p=288,q=42,r=72이므로
p+q+r=288+42+72=402
①
19
∠
APB=h`(∠
ACB<h<180ù-∠
ACB)라하면∠
APC=180ù-h이다.이때삼각형ABP에서사인법칙에의해 sin (∠BAP)BPÓ = ABÓ
sin (∠APB) 이고,
삼각형APC에서사인법칙에의해 sin (∠CAP)CPÓ = ACÓ
sin (∠APC) 이므로
18
P(140ÉXÉ176)=P(140ÉXÉ146)+P(146ÉXÉ176),
P(146ÉXÉ182)=P(146ÉXÉ176)+P(176ÉXÉ182) 이므로조건(가)에의해
P(140ÉXÉ146)=P(176ÉXÉ182)
x 146 m 176
140 182
이때146-140=182-176=6이므로확률밀도함수의그래프의성질 에의해
m= 140+1822 = 146+1762 =161
Z= X-161r 이라하면확률변수Z는표준정규분포N(0,1)을따르 고조건(나)에서
P(140ÉXÉ146)+P(X¾182)
=P(176ÉXÉ182)+P(X¾182)
=P(X¾176)
=P {Z¾ 176-161r }
=P {Z¾ 15r }
=0.5-P {0ÉZÉ 15r }=0.1056
P {0ÉZÉ 15r }=0.5-0.1056=0.3944 이때P(0ÉZÉ1.25)=0.3944이므로
15r =1.25,r=12
따라서m+r=161+12=173
③
( f`ç`g)(x)=
-1 3 -1
(xÉa) (a<x<b) (x¾b) ({
9
이므로함수( f`ç`g)(x)가x=a,x=b에서불연속이다.
Ý,Þ에서함수( f`ç`g)(x)가실수전체의집합에서연속이려면 k-1¾5이므로k¾6
따라서실수k의최솟값은6이다.
②
BPÓ
sin (∠BAP)+ CPÓ sin (∠CAP)
= ABÓ
sin (∠APB) + ACÓ sin (∠APC)
= ABÓsin`h + ACÓ sin (180ù-h)
= ABÓsin`h + ACÓ sin`h
= ABÓ+ACÓsin`h =2 ABÓ sin`h
h 180ù-h
B C
P(=M) A
이때삼각형ABC는ABÓ=ACÓ인이등변삼각형이므로그림과같이점
P가선분BC의중점M과일치할때h=90ù이므로sin`h=1이되어 sin (∠BAP)BPÓ + CPÓ
sin (∠CAP) 는최솟값 2ABÓ를갖는다.
즉,점P가선분BC의중점M과일치할때APÓ=4이고,2ABÓ=12 에서a=6이다.
삼각형ABM에서BÕMÓ="Ã6Û`-4Û`=2'5이므로b=2_2'5=4'5 따라서ab=6_4'5=24'5
⑤
20
함수 f(x)=3`logª (x-1)의그래프위의점을(a,b)라하면 b=3`logª (a-1)
a=2;3B;+1
이때a,b가모두자연수이려면;3B;가자연수이어야하므로모든자연수
n에대하여
an=2n+1, f(an)=3n
ㄱ.f(an)=3n이므로 f(an+1)=3n+3
따라서모든자연수n에대하여 f(an+1)=f(an)+3이다.(참) ㄴ.점(a£, f(a£))은곡선y=f(x)위의점이고,a£=2Ü`+1=9,
f(a£)=9이므로점(a£, f(a£))은직선y=x위의점이다.
따라서곡선y=f(x)는점(a£, f(a£))에서직선y=x와만난다.
(참)
ㄷ.Á8
k=1{ak+f(ak)}=Á8
k=1(2k+1+3k)
=2(2¡`-1)
2-1 +8+3_8_9 2
=626(참) 이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.
⑤
21
함수 f(x)=xÜ`-3(a+1)xÛ`+12ax-3a-5의양변을x에대하여미 분하면
f '(x)=3xÛ`-6(a+1)x+12a
f '(x)=0에서
xÛ`-2(a+1)x+4a=0 (x-2a)(x-2)=0 x=2a또는x=2
조건(가)에서함수 f(x)는극솟값p를가지므로2a+2,즉a+1이다.
따라서함수 f(x)는x=2a또는x=2에서각각극댓값또는극솟값 을갖는다.
조건(나)에서함수| f(x)|가x=k에서미분가능하지않은실수k
의값이오직하나존재하고,조건(가)에서함수 f(x)의극솟값p에
대하여p<0이므로함수y=f(x)의그래프는[그림1]또는[그림2]
와같다.
y=|f(x)|
y=f(x)
x
y=|f(x)|
y=f(x)
x
[그림1] [그림2]
즉,함수 f(x)의극댓값을q라할때,qÉ0이어야한다.
Ú a<1일때2a<2이므로함수 f(x)의증가와감소를표로나타내 면다음과같다.
x y 2a y 2 y
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
f(2a)=(2a)Ü`-3(a+1)_(2a)Û`+12a_2a-3a-5
=8aÜ`-12aÜ`-12aÛ`+24aÛ`-3a-5
=-4aÜ`+12aÛ`-3a-5
f(2a)É0에서-4aÜ`+12aÛ`-3a-5É0
(a-1)(2a+1)(2a-5)¾0
이때a<1이므로(2a+1)(2a-5)É0,-;2!;ÉaÉ;2%;
즉,-;2!;Éa<1
Û a>1일때2a>2이므로함수 f(x)의증가와감소를표로나타내 면다음과같다.
x y 2 y 2a y
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
f(2)=2Ü`-3(a+1)_2Û`+12a_2-3a-5=9a-9
f(2)É0에서9a-9É0
이때a>1이므로 f(2)É0을만족시키는실수a는존재하지않는다.
따라서-;2!;Éa<1일때함수 f(x)는조건을만족시키므로두집합
A={a|a<a<b},B=[a|-;2!;Éa<1]
에대하여A,B이어야한다.
즉,-;2!;Éa<bÉ1에서m=-;2!;,M=1이므로 M+m=1+{-;2!;}=;2!;
④
22
부채꼴의반지름의길이를r라하면
;2!;_rÛ`_;3%;p=30p에서rÛ`=36 따라서r=6
6
23
a5는a2와a8의등차중항이므로 aª+a¥
2 =a5
5+a¥
2 =11 따라서a8=17
17
24
점P의시각t`(t¾0)에서의위치x가x=tÜ`-6tÛ`+pt+q이므로
점P의시각t`(t>0)에서의속도v는v=dx
dt =3tÛ`-12t+p 점P의시각t`(t>0)에서의가속도a는a= dvdt =6t-12 점P의가속도가0일때의시각t를구하면a=0에서 6t-12=0,t=2
t=2일때점P의속도v가-3이므로
-3=3_2Û`-12_2+p,-3=-12+p,p=9 t=2일때점P의위치x가3이므로
3=2Ü`-6_2Û`+9_2+q,3=2+q,q=1 따라서p+q=9+1=10
10
25
다항식(2x-y)Þ`의전개식의일반항은
5Cr (2x)r(-y)5-r=5Cr 2r(-1)5-rxry5-r이다.
(2x-y)Þ`의전개식에서xÛ`yÜ`의계수는r=2일때이므로
5C2 2Û`(-1)Ü`=-40
(2x-y)Þ`의전개식에서xÜ`yÛ`의계수는r=3일때이므로
5C3 2Ü`(-1)Û`=80
따라서다항식(3x+ay)(2x-y)Þ`의전개식에서xÜ`yÜ`의계수는 3_(-40)+a_80=-120+80a
즉,-120+80a=200에서a=4
4
26
곡선y=an xÛ`-2an+1 x+an+2가x축에접하려면
이차방정식an xÛ`-2an+1 x+an+2=0이중근을가져야하므로판별식 을D라하면
D4 =(an+1)Û`-an an+2=0
따라서수열{an}은등비수열이므로공비를r`(r+0)라하면
27
점AÁ은x축위의점이므로y좌표가0이고0=loga`x에서점AÁ의x 좌표는1이다.
점BÁ의x좌표는점AÁ의x좌표와같으므로1이고AÕÁBÁÓ=3에서 BÁ(1,3)이므로3=b1
즉,b=3
점Aª의y좌표는점BÁ의y좌표와같으므로3이고BÕÁAªÓ=3에서 Aª(4,3)이므로3=loga`4
즉,aÜ`=4 yy`㉠
점Bª의x좌표는점Aª의x좌표와같으므로4이고점Bª의y좌표를
yÁ이라하면 yÁ=3Ý`=81
점A£의y좌표는점Bª의y좌표와같으므로81이고점A£의x좌표k 에대하여
loga`k=81,k=a81 이때㉠에서aÜ`=4이므로 k=a81=(aÜ`)27=427=254 따라서log2`k=logª`254=54
54
28
이고등학교학생n명을임의추출하여1주일동안의수면시간을조사 한표본평균이x®ÁÕ이므로모평균m에대한신뢰도95`%의신뢰구간은 x®ÁÕ-1.96_ 2
'§nÉmÉx®ÁÕ+1.96_ 2 '§n 즉,a=x®ÁÕ-1.96_ 2
'§n,b=x®ÁÕ+1.96_ 2 '§n 이때a+b=84이므로
a+b=2_x®ÁÕ=84,x®ÁÕ=42
또이고등학교학생4n명을다시임의추출하여1주일동안의수면시간 을조사한표본평균이xªÕ이므로모평균m에대한신뢰도99`%의신뢰 구간은
x®ªÕ-2.58_ 2
'§4§nÉmÉx®ªÕ+2.58_ 2 '§4§n 즉,x®ªÕ-2.58_ 1
'§nÉmÉx®ªÕ+2.58_ 1 '§n이므로 a+0.268=x®ªÕ-2.58_ 1
'§n,b-0.268=x®ªÕ+2.58_ 1 '§n 이때a+b=84이므로
a+b=2_x®ªÕ=84 an=rn-1
rn-1 xÛ`-2rn x+rn+1=0 x=3이중근이므로 rn-1 (3Û`-2r_3+rÛ`)=0 rÛ`-6r+9=0
(r-3)Û`=0 r=3 따라서Á5
k=1ak=aÁ(rÞ`-1)
r-1 = 3Þ`-13-1 =121
121
x®ªÕ=42 한편,
0.268=(a+0.268)-a
={42-2.58_ 1'§n}-{42-1.96_ 2'§n}
=-2.58_ 1
'§n+1.96_ 2 '§n
= 1.96_2-2.58 '§n = 1.34
'§n 'n= 1.340.268 =5,n=5Û`=25 따라서n+x®ªÕ=25+42=67
67
29
조건(가),(나)에의해 f(x)=5인집합X의원소x의개수는1또는
2이다.
Ú f(x)=5인원소x가1개인경우
집합X의원소중에서 f(x)=5인원소1개를택하는경우의수는
5C1=5
조건(나)에서Á5
k=1`f(k)=14이므로 f(x)=5가아닌나머지네함 숫값을a,b,c,d라하면
a+b+c+d=9`(a,b,c,d는4이하의자연수)
a=a'+1,b=b'+1,c=c'+1,d=d'+1이라하면
a'+b'+c'+d'=5`(a',b',c',d'은3이하의음이아닌정수)
이방정식을만족시키는순서쌍(a',b',c',d')의개수는중복조합 의수4H5에서a',b',c',d'중하나가4인경우의수와5인경우의
수를뺀것과같으므로
4H5-12-4=4+5-1C5-16=8C5-16=8C3-16
= 8_7_63_2_1 -16=40
따라서 f(x)=5인원소x가1개인함수 f 의개수는
5_40=200
Û f(x)=5인원소x가2개인경우
집합X의원소중에서 f(x)=5인원소2개를택하는경우의수는
5C2= 5_42_1 =10
조건(나)에서k=1Á5 `f(k)=14이므로 f(x)=5가아닌나머지세함 숫값을a,b,c라하면
a+b+c=4`(a,b,c는4이하의자연수)
이방정식을만족시키는순서쌍(a,b,c)의개수는
(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)의3이다.
따라서 f(x)=5인원소x가2개인함수 f 의개수는
10_3=30
Ú,Û에의해구하는함수 f 의개수는 200+30=230
230
30
삼차함수 f(x)를
f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d`(a,b,c,d는상수,a>0)라하자.
f '(x)=3axÛ`+2bx+c이므로 f '(0)=-28에서c=-28
또한함수g(x)가실수전체의집합에서연속이므로x=0에서도연속 이다.
x`Ú 0+lim g(x)= limx`Ú 0- g(x)=g(0)에서
x`Ú 0+lim`f(x)= lim
x`Ú 0-{-f(-x)}=f(0)
즉, f(0)=-f(0)이므로 f(0)=0,d=0 따라서함수 f(x)는 f(x)=axÜ`+bxÛ`-28x이다.
이때a>0이고 f(0)=0, f(3)<0이므로x¾0에서함수y=f(x)의
그래프의개형은그림과같다.
y=f(x)
x y
O 3
한편,함수g(x)에서x<0일때함수y=g(x)의그래프는x>0일
때의그래프를원점에대하여대칭이동한그래프이므로양수a에대하 여 f(a)=0이라하면함수y=g(x)의그래프는그림과같다.
y=g(x)
-a a x
y
O 3
함수G(x)를G(x)=:@/ g(t)dt라하면G(2)=0이고
G'(x)=g(x)이다.
또한모든실수x에대하여:` /_?`g(t)dt=0이므로 :` 2_?`g(t)dt+:@/ `g(t)dt=0
-:@-``x`g(t)dt+:@/ `g(t)dt=0
-G(-x)+G(x)=0이므로G(x)=G(-x)
즉,함수y=G(x)의그래프는y축에대하여대칭이고,함수G(x)는
x=0에서극댓값,x=-a와x=a에서극솟값을갖는다.
이때0<2<3<a이므로G(0)과G(a)의값에따라함수y=G(x) 의그래프와함수y=|G(x)|의그래프는그림과같다.
Ú G(0)>|G(a)|일때
y=G(x)
-a a x
y
O 2
y=|G(x)|
-a a x
y
O 2
Û G(0)=|G(a)|일때
y=G(x)
-a a x
y
O 2
y=|G(x)|
x
-a a
y
O 2
Ü G(0)<|G(a)|일때
y=G(x)
-a a x
y
O 2
y=|G(x)|
y=144 x
-a a
y
O 2
n(A)=7이므로방정식|G(x)|=144의서로다른실근의개수가7 이려면함수y=G(x)의그래프와함수y=|G(x)|의그래프는Ü의
경우만가능하고,이때G(0)=144이다.
G(0)=:@0 g(x)dx
=-:)2 g(x)dx
=-:)2 f(x)dx
=-:)2 (axÜ`+bxÛ`-28x)dx
=-[;4!;axÝ`+;3!;bxÜ`-14xÛ`]2)
=-4a-;3*;b+56=144
이므로a+;3@;b=-22 yy`㉠
xÁ xª x£
y=|G(x)|
y=144
-a a x
y
O 2
그림과같이방정식|G(x)|=144의서로다른세양의실근을xÁ,
xª,x£`(xÁ<xª<x£)이라하면3<A,a>3에서xÁ=3이고,
G(3)=-144이다.
G(3)=:@3 g(x)dx
=:@3 f(x)dx
=:@3 (axÜ`+bxÛ`-28x)dx
=[;4!;axÝ`+;3!;bxÜ`-14xÛ`]3@
=:¤4°:a+:Á3»:b-70=-144
이므로:¤4°:a+:Á3»:b=-74 yy`㉡
㉡-㉠_:Á2»:를하면:ª4¦:a=135에서a=20 이것을㉠에대입하면b=-63
즉, f(x)=20xÜ`-63xÛ`-28x f '(x)=60xÛ`-126x-28이므로 f '(1)=60-126-28=-94 따라서| f '(1)|=94
94
수능연계완성 3/4주 특강
고난도·신유형 수능의 7대 함정
FINAL 실전모의고사
고난도 시크릿X 봉투모의고사
만점마무리 봉투모의고사
수능특강 사용설명서
정답과 풀이
105
0 3
:_2@`(3xÛ`+2x-1)dx=2:)2`(3xÛ`-1)dx
=2[xÜ`-x]2)
=2_{(8-2)-(0-0)}=12
④
0 2
limx`Ú 2
xÛ`-4 x-2=lim
x`Ú 2
(x-2)(x+2) x-2
=limx`Ú 2(x+2)=2+2=4
⑤
0 4
P(AC)=1-P(A)=;5#;에서 P(A)=;5@;
P(BC)=1-P(B)=;4#;에서 P(B)=;4!;
두사건A,B가서로독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;5@;_;4!;=;1Á0;
따라서
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;5@;+;4!;-;1Á0;=;2!0!;
①