다항함수의 미분법 - 지수함수와 로그함수

`f(a+4h)-f(a)-{ f(a-3h)-f(a)}

=limh`Ú 0[`f(a+4h)-f(a)

4h _4+`f(a-3h)-f(a) -3h _3]

`f(3+2h)f {3+;2H;}-2 f(3+2h) h

h _f(3+2h)

(

`f {3+;2H;}-f(3)

h _f(3+2h)

(

`f {3+;2H;}-f(3)

;2H; _f(3+2h)_;2!;

(

0 5

=-(-2a+4)=2a-4

㉠에서 -4+4a+b-aÛ`=;3*;+c이므로

따라서 3(a+b+c)=3{4+:ª3¤:+2}=44

 44

07

f(x)=(2xÜ`-x+1)(ax-xÛ`)+x+1에서

f '(x)=(6xÛ`-1)(ax-xÛ`)+(2xÜ`-x+1)(a-2x)+1 이므로

따라서 ab=1_(-3)=-3

 ②

=x+2xÛ`+y+(2n-2)x^2n-2+(2n-1)x^2n-1+2nx²ⁿ A'(x)=1Û`+2Û`x+y+(2n-2)Û`x^2n-3+(2n-1)Û`x^2n-2

+(2n)Û`x^2n-1

A'(1)=1Û`+2Û`+y+(2n-2)Û`+(2n-1)Û`+(2n)Û`

=Á²ⁿ

k=1kÛ`=2n(2n+1)(4n+1)

6 =650

에서 n(2n+1)(4n+1)=1950=6_13_25이므로 n=6 즉, A(x)=x+2xÛ`+y+10x¹⁰+11x¹¹+12x¹²

조건 (나)에서 f(x)=f(-x), g(x)=-g(-x)이므로 f(x)=2xÛ`+4xÝ`+y+8x¡`+10x¹⁰+12x¹²

g(x)=x+3xÜ`+y+7xà`+9xá`+11x¹¹이고 f '(x)=2Û`x+4Û`xÜ`+y+8Û`xà`+10Û`xá`+12Û`x¹¹ g'(x)=1Û`+3Û`xÛ`+y+7Û`xß`+9Û`x¡`+11Û`x¹⁰ B'(x)=f '(x)-g'(x)에서

B'(1)=f '(1)-g'(1)

=_k=1Á⁶ (2k)Û`-_k=1Á⁶ (2k-1)Û`

=Á⁶

k=1(4k-1)

=4Á⁶

k=1k-Á⁶

k=11

=4_ 6_72 -6

=78

 ④

10

점 (a, b)는 곡선 y=xÜ`-10 위의 점이므로 b=aÜ`-10 yy`㉠

y=xÜ`-10에서 y '=3xÛ`

조건에서 x=a에서의 접선의 기울기가 12이므로 3aÛ`=12

점 (a, b)는 제4사분면 위의 점이므로 a=2

㉠에서 b=-2

따라서 a+b=2+(-2)=0

 ①

11

f(x)=axÛ`+bx+c에서 f '(x)=2ax+b

함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선과 직선 y=-;3!;x+:Á3£:이 수직이므로 x=1에서의 접선의 기울기는 3이다.

f '(1)=3에서 2a+b=3 yy`㉠

f '(2)=1에서 4a+b=1 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=5

또한 함수 f(x)=-xÛ`+5x+c의 그래프 위의 점 (1, f(1))이 직선 y=-;3!;x+:Á3£: 위에 있으므로 f(1)=4

즉, -1+5+c=4, c=0 따라서 aÛ`+bÛ`+cÛ`=26

 ①

12

f(x)=2xÜ`+axÛ`+b에서 f '(x)=6xÛ`+2ax

두 접선 lÁ과 lª의 기울기가 같으므로 f '(-2)=f '(1)

f '(-2)=24-4a, f '(1)=6+2a이므로 24-4a=6+2a

즉, a=3

그러므로 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+b이고 f '(-2)=f '(1)=12

점 A(-2, -4+b)에서의 접선 lÁ의 방정식은 y-(-4+b)=12(x+2)

즉, y=12x+b+20

함수 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+b의 그래프와 직선 lÁ이 점 A가 아닌 점 B에 서 만나므로

2xÜ`+3xÛ`+b=12x+b+20에서 2xÜ`+3xÛ`-12x-20=0 (x+2)Û`(2x-5)=0

이므로 점 B의 x좌표는 ;2%;이다.

또한 점 C(1, 5+b)에서의 접선 lª의 방정식은 y-(5+b)=12(x-1)

즉, y=12x+b-7

함수 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+b의 그래프와 직선 lª가 점 C가 아닌 점 D에 서 만나므로

2xÜ`+3xÛ`+b=12x+b-7에서 2xÜ`+3xÛ`-12x+7=0 (x-1)ÛÛ`(2x+7)=0

이므로 점 D의 x좌표는 -;2&;이다.

따라서 두 점 B, D의 x좌표의 곱은

;2%;_{-;2&;}=-:£4°:

 ③

13

f(x)=2xÜ`-xÛ`-ax+1에서 f '(x)=6xÛ`-2x-a

f '(-1)=6_(-1)Û`-2_(-1)-a=7에서 a=1 즉, f(x)=2xÜ`-xÛ`-x+1, f '(x)=6xÛ`-2x-1 접선 l의 기울기가 3이므로

6xÛ`-2x-1=3에서 3xÛ`-x-2=0

(x-1)(3x+2)=0이므로 x=1 또는 x=-;3@;

c＞0이므로 c=1 d=f(c)=f(1)=1

접선 l은 기울기가 3이고 점 (1, 1)을 지나므로 접선 l의 방정식은 y-1=3(x-1), 즉 y=3x-2

14

y=xÜ`에서 y '=3xÛ`이므로 점 P(a, aÜ`)`(a＞0)에서의 접선 l의 기울 기는 3aÛ`이다.

이때 접선 l의 방정식은

y-aÜ`=3aÛ`(x-a), 즉 y=3aÛ`x-2aÜ`

이 접선과 곡선 y=xÜ`의 교점의 x좌표는 xÜ`=3aÛ`x-2aÜ`에서 xÜ`-3aÛ`x+2aÜ`=0 (x-a)Û`(x+2a)=0

이때 x+a이므로 x=-2a

점 Q의 좌표는 (-2a, -8aÜ`)이므로 점 Q에서의 접선의 기울기는 3_(-2a)Û`=12aÛ`이다.

12aÛ`-3aÛ`=18에서 aÛ`=2

따라서 접선 l의 기울기는 3aÛ`=3_2=6

 ⑤

15

y=xÜ`+ax에서 y '=3xÛ`+a이므로 A(p, pÜ`+ap)라 하면 점 A에서의 접선의 방정식은

y-(pÜ`+ap)=(3pÛ`+a)(x-p) 즉, y=(3pÛ`+a)x-2pÜ` yy`㉠

이때 ㉠은 y=-x-2와 일치하므로

3pÛ`+a=-1, -2pÜ`=-2에서 p=1, a=-4 즉, A(1, -3)은 곡선 y=-xÛ`+bx+c 위의 점이므로 -3=-1+b+c에서

b+c=-2 yy`㉡

y=-xÛ`+bx+c에서 y '=-2x+b이고 점 A에서의 접선의 기울기 는 -1이므로

-2+b=-1에서 b=1

㉡에서 c=-3

따라서 두 곡선 y=xÜ`-4x, y=-xÛ`+x-3이 만나는 점의 x좌표는 xÜ`-4x=-xÛ`+x-3에서

xÜ`+xÛ`-5x+3=0, (x-1)Û`(x+3)=0 x=1 또는 x=-3

곡선 y=xÜ`-4x에서 x=-3일 때 y=-15

두 곡선 y=xÜ`-4x, y=-xÛ`+x-3의 점 A가 아닌 교점의 좌표는 (-3, -15)이다.

따라서 ab=(-3)_(-15)=45

 45

16

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

17

f(1)=k+11, g(1)=kÛ`+2이고

f '(x)=3xÛ`-4x+k, g '(x)=2x+kÛ`에서 f '(1)=k-1, g '(1)=kÛ`+2

h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)이므로 i(k) =h'(1)=f '(1)g(1)+f(1)g '(1)

=(k-1)(kÛ`+2)+(k+11)(kÛ`+2)

=2kÜ`+10kÛ`+4k+20

함수 i(k)가 감소하기 위해서는 i '(k)É0이어야 한다.

i '(k)=2(3kÛ`+10k+2)É0에서 -5-'19

3 ÉkÉ -5+'193

그런데 4<'19<5, -1<-5+'19<0이므로 -;3!;<-5+'19

3 <0

같은 방법으로 -:Á3¼:<-5-'19

3 <-3이므로 이 구간에 속하는 정 수는 -3, -2, -1의 3개이다.

 ①

18

f '(x)=xÜ`-3xÛ`+3 g(x)=xÜ`-3xÛ`+3이라 하면 g '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2) g '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

함수 g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 0 y 2 y

g '(x) + 0 - 0 +

g(x) ↗ 3 ↘ -1 ↗

이때 g(3)=3이고, g(1)=1, g(-1)=-1이므로 함수 y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

y=g(x)

x y

-1 O -1

1 1 2

3 3

따라서 함수 g(x)의 값의 부호가 열린구간 (-1, 0), (1, 2), (2, 3) 에서 바뀌므로 구하는 모든 정수 a의 값의 합은

-1+1+2=2

 2 접선 l이 점 (2, b)를 지나므로

b=3_2-2=4

따라서 a+b+c+d=1+4+1+1=7

 ③

x y -3 y 1 y 5 y

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ ↗ ↘ ↗

x<-3, 1<x<5에서 함수 f(x)는 감소하므로 열린구간 (3, 5)에서 함수 f(x)는 감소한다.

 ⑤

19

f(x)=2xÜ`-2xÛ`-10x에서

f '(x) =6xÛ`-4x-10=2(3xÛ`-2x-5)

=2(x+1)(3x-5) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=;3%;

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y ;3%; y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

따라서 a+b=;3@;

 ②

20

f '(x)=xÛ`+x-2=(x+2)(x-1)=0에서 x=-2 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -2 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x=-2일 때 극댓값을 가지므로 a=-2

 ①

21

f '(x)-a=(x+2)(x-5)이므로 f '(x)=xÛ`-3x-10+a

함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 갖기 위해서는 방정식 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면

D =(-3)Û`-4(-10+a)=49-4a＞0 에서 a<:¢4»:

따라서 자연수 a의 최댓값은 12이다.

 12

22

함수 f(x)는 x=-2에서 극솟값을 가지고, x=2에서 극댓값을 가지 므로 y=f '(x)의 그래프는 그림과 같다.

y

-2 O 2 x

y=f '(x)

f(x)=axÜ`+(aÛ`-3)xÛ`+bx에서 f '(x)=3axÛ`+2(aÛ`-3)x+b f '(-2)=12a-4(aÛ`-3)+b=0 즉, 4aÛ`-12a-12-b=0 yy`㉠

23

함수 f(x)가 x=-3에서 극댓값을 가지고 x=1에서 극솟값을 가지 므로 a>0

f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx가 x=-3과 x=1에서 극값을 가지므로 f '(x)=3axÛ`+2bx+c=0의 두 근이 -3과 1이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 - 2b3a =-3+1=-2에서 b=3a

3a =-3에서 c=-9ac g(x)=axÛ`+bx+c이므로

g '(x)=2ax+b=2ax+3a=2a{x+;2#;}=0에서 x=-;2#;이고 a>0이므로

x<-;2#;일 때, g '(x)<0, x>-;2#;일 때, g '(x)>0 즉, g(x)는 x=-;2#;에서 극솟값을 갖는다.

한편,

g(x) =axÛ`+bx+c=axÛ`+3ax-9a

=a(xÛ`+3x-9)

이므로 g{-;2#;}=-:¢4°:a=-45에서 a=4 따라서 g(x)=4(xÛ`+3x-9)이므로 g(1)=-20

 ⑤ f '(2)=12a+4(aÛ`-3)+b=0

즉, 4aÛ`+12a-12+b=0 yy`㉡

㉠+㉡을 하면 8aÛ`-24=0, 즉 aÛ`=3 함수 y=f '(x)의 그래프에서 a<0이므로 a=-'3, b=12'3

따라서 f(x)=-'3xÜ`+12'3x이므로 f(2)=16'3

 ④

24

최고차항의 계수가 ;3!;이고, 상수항이 0이므로 f(x)=;3!;xÜ`+axÛ`+bx`(a, b는 자연수)라 하자.

또한 f(1)=;3!;+a+b=:ª3ª:이므로

a+b=7 yy`㉠

f '(x)=xÛ`+2ax+b

조건 (나)에서 함수 f(x)는 극댓값과 극솟값을 가지므로 이차방정식 f '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

xÛ`+2ax+b=0의 판별식을 D라 하면 D4 =aÛ`-b>0, 즉 aÛ`>b yy`㉡

㉠, ㉡을 만족시키는 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

이므로 서로 다른 함수 f(x)의 개수는 4이다.

 4

26

함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=f(a)가 만나는 점의 개수가 3이므 로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

a b x

c d

y

y O

y=f '(x)

y=f(0) y=f(a)

f(a)+f(b) y=;////////////////////2////////////////////;

f(0) f(a)

f(b)

그림에서 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=f(0)이 만나는 점의 개수 는 1이고 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=`f(a)+f(b)

2 가 만나는 점의 개수는 4이다.

따라서 p=1, q=4이므로 p+q=5

 ③

27

조건 (가), (나)를 만족시키는 사차함수 f(x)의 그래프는 그림과 같다.

-2 4 x

y=f(x)

f(x)=(x+2)Û`(x-4)Û`이므로

f '(x) =2(x+2)(x-4)Û`+2(x+2)Û`(x-4)

=4(x+2)(x-1)(x-4)

f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1 또는 x=4

함수 f(x)는 x=1에서 극대이므로 닫힌구간 [-2, 4]에서 최댓값 f(1)을 갖는다.

따라서 구하는 최댓값은 f(1)=3Û`_(-3)Û`=81

 81

28

함수 y=f '(x)의 그래프로부터 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그 림과 같다.

a b c x y

O

y=f '(x)

y=f(x)

x=0 x=a x=b x=c

조건 (가)에 의해 닫힌구간 [0, b]에서 최댓값은 f(b), 최솟값은 f(0) 이므로

f(b)-f(0)=5 yy`㉠

조건 (나)에 의해 닫힌구간 [0, c]에서 최댓값은 f(b), 최솟값은 f(0), f(c) 중 작은 값이다.

f(0)É f(c)이면 f(b)-f(0)=7`(㉠에 모순) 따라서 f(0)>f(c)이고, f(b)-f(c)=7 yy`㉡

조건 (다)에 의해 닫힌구간 [a, c]에서 최댓값은 f(b), 최솟값은 f(a), f(c) 중 작은 값이다.

f(a)¾ f(c)이면 f(b)-f(c)=9`(㉡에 모순) 따라서 f(a)<f(c)이고, f(b)-f(a)=9 yy`㉢

㉢-㉡을 하면 f(c)-f(a)=9-7=2 따라서 | f(c)-f(a)|=2

 2

29

f '(x) =3axÛ`+(3a+1)x+2(1-3a)

=(x+2)(3ax+1-3a)=0 에서 x=-2 또는 x= 3a-13a x=-2에서 극대이므로

3a-13a >-2에서 3a-1>-6a, 9a>1

a>;9!; yy`㉠

f(-3)=-27a+ 9(3a+1)2 -6(1-3a)+2a+4

= 13a+52

f(-2) =-8a+2(3a+1)-4(1-3a)+2a+4

=12a+2 f(-2)¾ f(-3)에서 12a+2¾ 13a+52 , :Á2Á:a¾;2!;

즉, a¾;1Á1; yy`㉡

f(1)=a+ 3a+12 +2(1-3a)+2a+4

=-;2#;a+:Á2£:

f(-2)¾ f(1)에서 12a+2¾-;2#;a+:Á2£:

즉, a¾;3!; yy`㉢

25

f '(x) =3xÛ`-9x+6=3(x-1)(x-2)=0에서 x=1 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y 1 y 2 y 3

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) -2 ↗ ;2!; ↘ 0 ↗ ;2%;

닫힌구간 [0, 3]에서 f(x)의 최댓값은 x=3일 때이므로 ;2%;이고, 최솟값은 x=0일 때이므로 -2이다.

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 ;2%;+(-2)=;2!;

 ③

30

f(x)=xÜ`-3x-6이므로

f '(x)=3xÛ`-3=3(x-1)(x+1)=0에서 x=-1 또는 x=1 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ -4 ↘ -8 ↗

함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

y

-2 -1 O

-4

-8 1

y=f(x)

x

xÜ`-3x-6=-8에서

xÜ`-3x+2=0, (x+2)(x-1)Û`=0 x=-2 또는 x=1

구간 [a, ¦)에서 함수 f(x)=xÜ`-3x-6의 최솟값 g(a)는 다음과 같다.

g(a)=

f(a) -8 f(a)

(aÉ-2) (-2<a<1) (a¾1) (

따라서 g(a)+f(a)인 실수 a의 값의 범위는 -2<a<1이므로 pÛ`+qÛ`=(-2)Û`+1Û`=5

 5

31

점 P의 좌표는 (t, f(t))이고 삼각형 OHP는 직각삼각형이므로 S(t)=;2!;_|t|_|3tÜ`-8tÛ`-6t+24|

=;2!;|3tÝ`-8tÜ`-6tÛ`+24t|

g(t)=3tÝ`-8tÜ`-6tÛ`+24t라 하면 g '(t) =12tÜ`-24tÛ`-12t+24

=12(tÜ`-2tÛ`-t+2)

=12(t+1)(t-1)(t-2)

열린구간 (-'2, 2)에서 함수 g(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.

t (-'2 ) y -1 y 1 y (2)

g '(t) - 0 + 0

-g(t) (-8'2 ) ↘ -19 ↗ 13 ↘ (8)

-'2<t<0, 0<t<2에서 함수 g(t)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

32

조건 (가), (나)에서 y=f(x)의 그래프와 y=f '(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

O k 2 x

y y=f '(x)

y=f(x)

x=0 x=k x=2

ㄱ. 그림에서 f '(3)>0`(참)

ㄴ. 그림에서 y=f '(x)의 그래프는 열린구간 (0, 2)에서 x축과 만난 다. (참)

ㄷ. f(0)=0이면 양수 a에 대하여 f(x)=xÜ`(x-a)로 놓을 수 있다.

f(x)=xÝ`-axÜ`에서 f '(x)=4xÜ`-3axÛ`이고 f '(2)=32-12a=16에서 a=;3$;

즉, f(x)=xÜ` {x-;3$;}=xÝ`-;3$;xÜ`

f '(x)=4xÜ`-4xÛ`=4xÛ`(x-1)=0에서 x=0 또는 x=1

y=g(t)

-1 1 2 O - 12

t y

13 -19

함수 S(t)=;2!;|3tÝ`-8tÜ`-6tÛ`+24t|의 그래프는 그림과 같다.

-1 1 2 O - 12

t y

y=S(t) 19 2 13 2

따라서 -'2<t<0, 0<t<2에서 함수 S(t)의 최댓값은 :Á2»:이므로 p+q=2+19=21

 21

㉠, ㉡, ㉢에서 a¾;3!;

따라서 p=3, q=1이므로 p+q=4

 4

34

도함수 y=f '(x)의 그래프에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.

x y -2 y 1 y

f '(x) - 0 + 0

-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

또한 f(-2) f(1)<0에서 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

x y

O 1 -2

y=f(x)

함수 y=f(x-5)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으 로 5만큼 평행이동한 것이므로 방정식 f(x-5)=0의 서로 다른 실근 의 개수는 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 개수와 같다.

즉, 방정식 f(x-5)=0의 서로 다른 실근의 개수는 3이다.

 ④

35

f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+1에서

f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 1 y 3 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f(1)=5, f(3)=1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

x y

O 1 1 5

3 y=f(x) y=5

방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 y=f(x)의 그래프와 x축 이 만나는 점의 개수이므로 1이다. 즉, a=1

방정식 f(x)-5=0, 즉 f(x)=5의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=5가 만나는 점의 개수이므로 2이다.

즉, b=2

따라서 a+b=1+2=3

 ②

36

;3@;xÜ`-2xÛ`+x=xÛ`-3x+a에서 ;3@;xÜ`-3xÛ`+4x-a=0 f(x)=;3@;xÜ`-3xÛ`+4x-a라 하면

f '(x)=2xÛ`-6x+4=2(x-1)(x-2)

두 곡선 y=;3@;xÜ`-2xÛ`+x와 y=xÛ`-3x+a가 만나는 점의 개수가 1

33

f '(x)=xÛ`-ax=x(x-a)=0에서 x=0 또는 x=a

a＞0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극대이고 극댓값은 f(0)=0, x=a에서 극소이고 극솟값은 f(a)=-;6!;aÜ`이다.

f(-1)=-;3!;-;2!;a, f(3)=9-;2(;a이므로

-1ÉxÉ3에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x -1 y 0 y a y 3

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) -;3!;-;2!;a ↗ 0 ↘ -;6!;aÜ` ↗ 9-;2(;a

f(a)É f(-1)을 만족시키는 양수 a의 값의 범위는 -;6!;aÜ`É-;3!;-;2!;a에서 aÜ`-3a-2¾0

즉, (a+1)Û`(a-2)¾0이므로 a¾2 yy`㉠

0<a<3이므로 ㉠에서 양수 a의 값의 범위에 따라 함수 f(x)의 최솟 값은 다음과 같다.

Ú 0<a<2일 때

㉠과 함수 f(x)의 증가와 감소를 나타낸 표에서 f(-1)< f(a)< f(3)이므로 함수 f(x)의 최솟값은 g(a)=f(-1)=-;3!;-;2!;a

Û 2Éa<3일 때

㉠과 함수 f(x)의 증가와 감소를 나타낸 표에서

f(a)É f(-1), f(a)< f(3)이므로 함수 f(x)의 최솟값은 g(a)=f(a)=-;6!;aÜ`

Ú, Û에서 g(a)=( {9

-;3!;-;2!;a`(0<a<2) -;6!;aÜ` (2Éa<3) h(a)=|g(a)|=(

;2!;a+;3!; (0<a<2)

;6!;aÜ` (2Éa<3)

따라서 h{;3$;}+h(2)+h(Ü'9 )=1+;3$;+;2#;=:ª6£:

 ② 함수 y=f(x)는 x=1에서 극소이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

-;3!; ;3$; x

y y=f(x)

O 1

따라서 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=-;3!; (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

37

g(x)=f(x)+2a이므로 방정식 g(x)=0의 근은 방정식 f(x)=-2a의 근과 같다.

f '(x) =6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2)=0에서 x=-1 또는 x=2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f(-1)=9, f(2)=-18, f(0)=2이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

x y

O 2

2 9 -1

-18

y=f(x) y=-2a

이때 방정식 g(x)=0이 서로 다른 두 개의 음의 실근과 한 개의 양의 실근을 가지려면 그림과 같이 2<-2a<9이어야 한다.

즉, -;2(;<a<-1

따라서 모든 정수 a의 값의 합은 (-4)+(-3)+(-2)=-9

 ④

38

f(x)=xÜ`+;2#;xÛ`-18x-kÛ`+;2(;k라 하면 f '(x)=3xÛ`+3x-18=3(x+3)(x-2) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=2 극댓값 f(-3)=:¥2Á:+;2(;k-kÛ`

극솟값 f(2)=-22+;2(;k-kÛ`

주어진 삼차방정식이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)=0이어야 하므로

{:¥2Á:+;2(;k-kÛ`}{-22+;2(;k-kÛ`}=0

39

f '(x)=xÛ`+2'§ax+;4A;

xÛ`+2'§ax+;4A;=0의 두 근을 a, b`(a<b)라 하고 판별식을 D라 하면 D=4a-a=3a>0이고 a+b=-2'§a<0, ab=;4A;＞0이므로 a<0, b<0

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y a y b y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

a<0, b<0, f(0)>0이고 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 곱이 음 수이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

x y

O y=f(x)

a b

방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=f(x)의 그래프 와 x축이 만나는 점의 개수이므로 3이다. 즉, p=3

서로 다른 실근 중 음수의 개수는 3이므로 q=3 따라서 pÛ`+qÛ`=3Û`+3Û`=18

 18 Ú :¥2Á:+;2(;k-kÛ`=0일 때

:¥2Á:+;2(;k-kÛ`=0에서 2kÛ`-9k-81=0 yy`㉠

㉠의 판별식을 D라 하면 D>0이므로 모든 실수 k의 값의 곱은 -:¥2Á:이다. 한편, ㉠에서 -kÛ`+;2(;k=-:¥2Á:

f(x)=xÜ`+;2#;xÛ`-18x-:¥2Á:=(x+3)Û`{x-;2(;}

이므로 a=-3, b=;2(;

Û -22+;2(;k-kÛ`=0일 때

-22+;2(;k-kÛ`=0에서 2kÛ`-9k+44=0

그런데 2kÛ`-9k+44=0의 판별식을 D라 하면 D<0이므로 실수 k가 존재하지 않는다.

Ú, Û에서 a=-3, b=;2(;, p=-:¥2Á:이므로

;9$;abp=;9$;_(-3)_;2(;_{-:¥2Á:}=243

 243

40

f(x)=xÝ`-4xÜ`+16이라 하면 f '(x)=4xÜ`-12xÛ`=4xÛ`(x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

이 되려면 방정식 f(x)=0의 해가 1개이어야 하므로 (극댓값)_(극솟값)>0이어야 한다.

즉, f(1)f(2)={;3%;-a}{;3$;-a}>0에서 {a-;3%;}{a-;3$;}>0 a<;3$; 또는 a>;3%;

따라서 p=;3$;, q=;3%;이므로 pq=;3$;_;3%;=:ª9¼:

 ①

41

조건 (가)에서 함수 y=f(x)의 그래프는 점 (1, 2)를 지나므로 f(1)=1+a+b-4=2에서

a+b=5 yy`㉠

조건 (나)에서 함수 f(x)는 극값을 가지므로

f '(x)=3xÛ`+2ax+b=0이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

방정식 3xÛ`+2ax+b=0의 판별식을 D라 하면 D4 =aÛ`-3b>0 yy`㉡

㉠에서 b=5-a이므로 ㉡에 대입하면 aÛ`+3a-15>0

a<-3-'69

2 또는 a>-3+'69 2

조건을 만족시키는 자연수 a의 최솟값은 3이므로 ㉠에서 b=2

f(x)=xÜ`+3xÛ`+2x-4이므로 f '(x)=3xÛ`+6x+2=0에서 x=-3-'3

3 또는 x=-3+'3 3 그러므로 함수 f(x)는 x=-3-'3

3 에서 극댓값을 갖는다.

f(x) =xÜ`+3xÛ`+2x-4

=x(xÛ`+3x+2)-4

=x(x+1)(x+2)-4 이므로

f {-3-'3

3 }=-3-'3

3 _{- '3 3 }_

3-'3 3 -4

=-4+2'3 9 <-3

따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=-3이 만나는 점의 개수는 1이다.

 ②

42

최고차항의 계수가 ;3!;이고 조건 (가)에서 함수 y=f(x)의 그래프가 원 점을 지나므로 f(x)=;3!;xÜ`+pxÛ`+qx`(p, q는 상수)라 하자.

x y 0 y 3 y

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ ↘ 극소 ↗

함수 f(x)는 x=3에서 극소이면서 최소이다.

f(0)=16, f(3)=-11이므로 곡선 y=f(x)는 0<x<3일 때와 x＞3일 때 x축과 만난다. 즉, 방정식 xÝ`-4xÜ`+16=0의 서로 다른 실 근의 개수는 2이다.

그런데 f(2)=0이고 f(3)=-11<0, f(4)=16>0 이므로 한 근은 2이고 다른 한 근은 3과 4 사이에 있다.

그러므로 방정식 xÝ`-4xÜ`+16=0의 서로 다른 모든 실근의 합은 5와 6 사이의 값이다.

따라서 구하는 자연수 n의 최댓값은 5이다.

 5

조건 (나)에 의하여 f '(x)=xÛ`+2px+q=0을 만족시키는 서로 다른 두 실근을 a, a+2라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+a+2=-2p, a(a+2)=q 즉, a+1=-p yy`㉠

aÛ`+2a=q yy`㉡

㉠에서 a=-p-1이므로 이 식을 ㉡에 대입하면 (-p-1)Û`+2(-p-1)=q

즉, pÛ`-1=q yy`㉢

f(1)=;3!;+p+q=;3!;+p+(pÛ`-1)

=pÛ`+p-;3@;

={p+;2!;}²-;1!2!;

f(1)의 값은 p=-;2!;일 때 최소이므로 ㉢에서 q=-;4#;

g(x)=;3!;xÜ`-;2!;xÛ`-;4#;x

g '(x)=xÛ`-x-;4#;=;4!;(4xÛ`-4x-3)

=;4!;(2x+1)(2x-3)=0 에서 x=-;2!; 또는 x=;2#;

함수 g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y - ;2!; y ;2#; y

g '(x) + 0 - 0 +

g(x) ↗ ;2°4; ↘ -;8(; ↗

그러므로 함수 y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

- ;2!;

-;8(;

;24; ;2#;

x y

O

5 y=g(x)

방정식 g(x)=a의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=a가 만나는 점의 개수이므로

h(1)+h{;3!;}+h(-1)=1+1+3=5

 ①

43

f(x)=;3!;xÜ`-2xÛ`+a라 하면 f '(x)=xÛ`-4x=x(x-4)

f '(x)는 닫힌구간 [1, 3]에서 항상 f '(x)<0이므로 이 구간에서 감 소하는 함수이다.

닫힌구간 [1, 3]에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(3)이므로 f(3)=9-18+a¾0에서 a¾9

따라서 실수 a의 최솟값은 9이다.

 ①

44

f(x)=2xÜ`-9xÛ`+28이라 하면 f '(x)=6x(x-3)

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 0 y 3 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x＞0일 때 함수 f(x)는 x= 3 에서 극소이면서 최소이다.

이때 함수 f(x)의 최솟값은 1 이므로 x＞0인 모든 실수 x에 대하여

문서에서 지수함수와 로그함수 (페이지 27-38)