다른 풀이
회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 보므로 구하는 경우의 수는 그림 의 맨 위에 위치한 의자를 비워두고 양 옆의 두 개의 의자와 아래 하나 의 의자에 학생들이 앉는 경우의 수와 같다. 이때 3명의 학생 A, B, C 가 3개의 의자에 앉는 경우의 수는
3!=6
경우의 수
07
01 ④ 02 ④ 03 ③ 04 72 05 10 06 ① 07 106 08 ⑤ 09 ④ 10 ① 11 21 12 ⑤ 13 ③ 14 840 15 ② 16 ① 17 129 18 ① 19 ③ 20 ⑤ 21 ③ 22 81 23 ② 24 ④ 25 ① 26 ④ 27 ③ 28 ② 29 ① 30 ② 31 20 32 284 33 ③ 34 ④ 35 151
정답 본문 88~97쪽
02
각 학년별 학생들이 서로 이웃해야 하므로 1학년 학생들 2명의 묶음을 A, 2학년 학생들 2명의 묶음을 B, 3학년 학생들 3명의 묶음을 C라 하 자. A, B, C가 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(3-1)!=2
1학년 묶음 내에서 1학년 학생 2명이 앉는 경우의 수는 2!=2 2학년 묶음 내에서 2학년 학생 2명이 앉는 경우의 수는 2!=2 3학년 묶음 내에서 3학년 학생 3명이 앉는 경우의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
2_2_2_6=48
④ 다른 풀이
1학년 학생 1명을 선택하여 미리 앉히고 시작한다.
남은 1학년 학생 1명이 앞서 앉은 학생의 왼쪽 또는 오른쪽에 앉는 경 우의 수는 2
=;3$;{;2!;}n+:ª3¼:{;2!;}n
=8{;2!;}n`(n=1, 2, 3, y, 10)
따라서 10개의 점 PÁ, Pª, P£, y, P10이 움직인 거리의 합은 sÁ+sª+s£+y+s10
=8{;2!;}1+8{;2!;}2+8{;2!;}3+y+8{;2!;}10
=8[;2!;+{;2!;}2+{;2!;}3+y+{;2!;}10]
=8_;2!;[1-{;2!;}10] 1-;2!;
=8[1-{;2!;}10]
=8-{;2!;}7
④
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46
EBS 수능완성 수학영역 나형0 3
의자를 모두 치우고 자녀 3명을 그림과 같이 원탁에 둘러앉히는 경우의 수는
(3-1)!=2
위의 그림에서 두 자녀의 사이사이인 3개의 위치 중 2개를 선택하여 부 모가 앉으면 모든 자녀들이 아버지 또는 어머니와 이웃하게 되므로 부 모가 앉는 경우의 수는
£Pª=6
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 2_6=12
③ 다른 풀이 1
아버지가 그림의 가장 윗부분의 자리에 앉고 어머니와 세 자녀를 앉힌다.
아버지 좌우에 세 자녀 중 두 자녀가 앉아야 하므로 경우의 수는
£Pª=6
아래 두 자리에 남은 자녀 한 명과 어머니가 위치에 관계없이 앉으면 되므로 경우의 수는
2!=2
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 6_2=12
다른 풀이 2
부모 2명이 서로 이웃하여 앉는 경우 부모 중 누구와도 이웃하여 앉지 못하는 자녀가 생기므로 가족 5명이 원형으로 앉는 모든 경우의 수에서 부모 2명이 서로 이웃하여 앉는 경우의 수를 빼서 구한다.
가족 5명이 원형으로 앉는 경우의 수는 (5-1)!=24
부모 2명을 한 묶음으로 생각하여 자녀 3명과 함께 원형으로 앉는 경우 의 수는
(4-1)!=6
부모가 앉는 경우의 수는 2!=2
따라서 부모 2명이 서로 이웃하여 앉는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 6_2=12
따라서 구하는 경우의 수는 24-12=12
Ú 1학년 학생이 앉은 자리의 시계방향으로 2학년과 3학년 학생들이 앉는 경우의 수는
2!_3!=12
Û 1학년 학생이 앉은 자리의 시계방향으로 3학년과 2학년 학생들이 앉는 경우의 수는
3!_2!=12
따라서 구하는 경우의 수는 합의 법칙과 곱의 법칙에 의하여 2_(12+12)=48
05
그림과 같이 8개의 영역의 일부에 번호를 부여하자.
①
②
④
③
빨간색과 파란색을 서로 이웃하지 않게 칠하는 경우는 다음과 같이 나 누어 생각할 수 있다.
Ú 빨간색을 ①번 영역에 칠하는 경우
파란색은 ①번, ②번을 제외한 나머지 영역에 칠할 수 있으므로 파 란색을 칠하는 경우의 수는 6
나머지 6개의 색을 칠하는 경우의 수는 6!
따라서 구하는 경우의 수는 6_6!
Û 빨간색을 ②번 영역에 칠하는 경우
파란색은 ①번, ②번, ③번, ④번 영역을 제외한 나머지 영역에 칠 할 수 있으므로 파란색을 칠하는 경우의 수는 4
나머지 6개의 색을 칠하는 경우의 수는 6!
따라서 구하는 경우의 수는 4_6!
Ú, Û에서 빨간색과 파란색이 서로 이웃하지 않게 칠하는 경우의 수는 6_6!+4_6!=10_6!
이므로 k=10
10 다른 풀이
전체 경우의 수에서 빨간색과 파란색이 서로 이웃하는 경우의 수를 빼 서 구하자.
8개의 색 중 4가지를 선택하는 경우의 수는 8C4
선택한 4가지 색을 내부의 4개의 영역에 칠하는 경우의 수는 (4-1)!
나머지 4가지 색을 외부의 4개의 영역에 칠하는 경우의 수는 4!
따라서 구하는 전체 경우의 수는
8C4_3!_4!
04
1, 2, 3, 4, 5, 6의 자연수 중 소수는 2, 3, 5이다.
3개의 소수 중 2개의 수를 택하는 경우의 수는
£Cª=3
택한 두 소수를 작은 원의 두 개의 반원의 영역에 붙이는 경우의 수는 (2-1)!=1
나머지 4개의 스티커를 나머지 4개의 영역에 붙이는 경우의 수는 4!=24
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_1_24=72
72 참고
이와 같은 도형의 경우 작은 원의 내부의 두 반원 영역에 의하여 180ù 로 회전시켜야 일치하는 것이 나타난다.
0 6
각 학생은 최소 1개의 사탕부터 최대 4개의 사탕을 받을 수 있으므로 각 학생이 받는 사탕의 수는 1, 2, 3, 4 중 하나이다.
따라서 구하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4 중 중복을 허락하여 3개를 택해 나열하는 중복순열의 수와 같으므로
¢P£=4Ü`=64
①
0 7
조건 (가)에서 aÁ=1 또는 aÁ=2 또는 aÁ=4이다.
이때 조건 (나)에서 aª<aÁ이고 aª는 1 이상 6 이하의 자연수이므로 aÁ=1이면 aª<aÁ인 자연수 aª는 존재하지 않는다.
따라서 aÁ=2 또는 aÁ=4이다.
Ú aÁ=2일 때
조건 (나)에서 aª<2Éa£이고 조건 (다)에서 a¢<2Éa°이므로 aª=a¢=1이고 a£과 a°의 값은 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이다. 따라서 구하는 경우의 수는 2, 3, 4, 5, 6 중 중복을 허락하여 2개를 택해 나열하는 중복순열의 수와 같으므로
°Pª=5Û`=25 Û aÁ=4일 때
조건 (나)에서 aª<4Éa£이고 조건 (다)에서 a¢<4Éa°이므로 그림과 같이 8개의 영역의 일부에 번호를 부여하자.
①
②
④
③
빨간색과 파란색을 서로 이웃하게 칠하는 경우는 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.
Ú 빨간색을 ①번 영역에 칠하는 경우
파란색을 ②번 영역에 칠해야 서로 이웃하므로 구하는 경우의 수는 빨간색과 파란색을 제외한 나머지 6가지 색을 6개의 영역에 칠하는 경우의 수인 6!
Û 빨간색을 ②번 영역에 칠하는 경우
파란색을 ①번 또는 ③번 또는 ④번 영역에 칠해야 서로 이웃하므로 파란색을 칠하는 경우의 수는 3
나머지 6가지 색을 6개의 영역에 칠하는 경우의 수는 6!
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_6!
Ú, Û에서 빨간색과 파란색이 서로 이웃하게 칠하는 경우의 수는 6!+3_6!=4_6!
따라서 빨간색과 파란색이 서로 이웃하지 않도록 칠하는 경우의 수는
¥C¢_3!_4!-4_6!= 8!
(8-4)!4! _3!_4!-4_6!
= 8!4 -4_6!
=2_7_6!-4_6!
=10_6!
따라서 k=10
08
조건 (가)에서 f(1)=4 또는 f(1)=5이다.
Ú f(1)=4일 때 1_f(1)=1_4=4
이므로 조건 (나)를 만족시키는 1이 아닌 정의역의 원소가 있어야 한다. 즉, 2, 3, 4, 5 중 적어도 하나의 원소 a에 대하여 a_f(a)의 값이 홀수이어야 한다. 이 경우의 수는 f(1)=4를 만족시키는 모 든 함수 f 의 개수에서 f(1)=4이고 모든 정의역의 원소 x에 대하 여 x_f(x)의 값이 짝수인 함수 f 의 개수를 뺀 것과 같다. 정의역 의 원소 2, 3, 4, 5를 공역의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응시키 는 경우의 수는 5개의 수 1, 2, 3, 4, 5 중 중복을 허락하여 4개를 택해 나열하는 중복순열의 수와 같으므로
5P4=54=625
한편, f(1)=4이고 모든 정의역의 원소 x에 대하여 x_f(x)의 값 이 짝수인 함수 f 의 개수는 정의역의 원소 2, 4는 공역의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응시키고 정의역의 원소 3, 5는 공역의 원 소 중 짝수인 2 또는 4에 대응시키는 경우의 수와 같으므로
5P2_2P2=5Û`_2Û`=10Û`=100
따라서 구하는 함수 f 의 개수는 625-100=525 Û f(1)=5일 때
1_f(1)=1_5=5이므로 조건 (나)를 만족시키는 정의역의 원소 1이 존재한다. 따라서 정의역의 원소 2, 3, 4, 5를 공역의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응시킬 수 있으므로 구하는 함수 f 의 개수 는 5개의 수 1, 2, 3, 4, 5 중 중복을 허락하여 4개를 택해 나열하는 중복순열의 수와 같으므로
5P4=54=625
Ú, Û에서 구하는 함수 f 의 개수는 합의 법칙에 의하여 525+625=1150
⑤ 다른 풀이
Ú f(1)=4일 때 1_f(1)=1_4=4
이므로 조건 (나)를 만족시키는 1이 아닌 정의역의 원소가 있어야 한다. 즉, 2, 3, 4, 5 중 적어도 하나의 원소 a에 대하여 a_f(a)의 값이 홀수이어야 하므로 a와 f(a)의 값이 모두 홀수이어야 한다.
따라서 이를 만족시키는 함수 f 의 개수는 f(3)의 값이 홀수인 함 수 f 의 개수와 f(5)의 값이 홀수인 함수 f 의 개수의 합에서 f(3) 의 값과 f(5)의 값이 모두 홀수인 함수 f 의 개수를 뺀 것과 같다.
f(3)의 값이 홀수이려면 f(3)=1 또는 f(3)=3 또는 f(3)=5이 어야 하므로 f(3)의 값이 홀수인 함수 f 의 개수는
aª와 a¢의 값은 1, 2, 3 중 하나이고 a£과 a°의 값은 4, 5, 6 중 하나 이다.
따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개 중 중복을 허락하여 2개 를 택해 나열하는 중복순열의 수의 제곱과 같으므로
(3Pª)Û`=(3Û`)Û`=3Ý`=81
따라서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 25+81=106
106
0 9
5개의 문자 b, b, c, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 2!_3! =105!
이 각각에 대하여 그림과 같이 ∨ 표시된 곳 중 두 곳에 a를 넣으면 되 므로 경우의 수는 서로 다른 6개에서 2개를 택하는 조합의 수와 같다.
즉, 6Cª=15
∨ b ∨ b ∨ c ∨ c ∨ c ∨ 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 10_15=150
④ 다른 풀이
7개의 문자 a, a, b, b, c, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 2!_2!_3! =210 7!
a끼리 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 2개의 a를 한 묶음()으로 생각하고 , b, b, c, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
2!_3! =60 6!
따라서 구하는 경우의 수는 210-60=150
10
상품의 종류를 각각 A, B, C라 하면 A가 3개, B가 3개, C가 3개 있 고, 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.
Ú A, B, C 중 두 종류의 상품으로 3개씩 나누어 주는 경우 A, B, C 중 두 종류의 상품을 선택하는 경우의 수는
£Cª=3
위에서 선택한 상품을 6명의 참가자에게 나누어 주는 경우의 수는 3!_3! =206!
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_20=60
5P3_3=53_3=375
f(5)의 값이 홀수인 함수 f 의 개수도 위와 마찬가지로
5P3_3=53_3=375
f(3)의 값과 f(5)의 값이 모두 홀수인 함수 f 의 개수는
5P2_3P2=52_32=225 따라서 구하는 함수 f 의 개수는 375+375-225=525 Û f(1)=5일 때
1_f(1)=1_5=5이므로 조건 (나)를 만족시키는 정의역의 원소 1이 존재한다. 따라서 정의역의 원소 2, 3, 4, 5를 공역의 원소 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응시킬 수 있으므로 구하는 함수 f 의 개수 는 5개의 수 1, 2, 3, 4, 5 중 중복을 허락하여 4개를 택해 나열하는 중복순열의 수와 같으므로
5P4=54=625
Ú, Û에서 구하는 함수 f 의 개수는 합의 법칙에 의하여
525+625=1150
11
다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.
Ú aÁ+aª+a£+a¢=4인 경우 (1, 1, 1, 1)로 경우의 수는 1이다.
Û aÁ+aª+a£+a¢=8인 경우 2+2+2+2=8인 경우 (2, 2, 2, 2)로 경우의 수는 1 1+2+2+3=8인 경우
1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4!2! =12
1+1+3+3=8인 경우
1, 1, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 2!_2! =64!
따라서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 1+12+6=19
Ü aÁ+aª+a£+a¢=12인 경우 (3, 3, 3, 3)으로 경우의 수는 1이다.
Ú, Û, Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 1+19+1=21
21
12
홀수가 적힌 카드는 1, 3, 5가 적힌 카드 3장이고 짝수가 적힌 카드는 2, 4, 6이 적힌 카드 3장이다.
짝수가 적힌 카드 중 하나를 선택하여 가장 오른쪽에 나열하는 경우의 수는 £PÁ=3
홀수가 적힌 카드를 놓을 자리를 a라 하고 나머지 두 개의 짝수를 b, c 라 하면 a, a, a, b, c를 나열하는 경우의 수는 5!3! =20
이때 홀수는 a에 작은 수부터 크기순으로 위치가 결정된다.
이때 홀수는 a에 작은 수부터 크기순으로 위치가 결정된다.