선생님 A 선생님 B1학년

참고

1학년 학생이 2명의 선생님 중 한 명을 택하여 묶고 이 묶음과 나머지 4명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수에서 1학년 학생이 2명의 선생님과 모두 이웃하도록 묶고 이 묶음과 나머지 3명이 원형으로 둘러앉는 경우 의 수를 빼는 이유는 1학년 학생이 2명의 선생님 중 한 명을 택하여 묶 고 이 묶음과 나머지 4명이 원형으로 둘러앉았을 때, 다음과 같은 경우 가 2번으로 중복되기 때문이다.

선생님 A ^선생님 B 1 학년

학생

선생님 A ^선생님 B 1 학년

학생

0 7

주머니에서 2개의 공을 꺼내는 모든 경우의 수는

7C2= 7_62_1 =21

꺼낸 2개의 공의 색이 서로 같은 경우는 2개의 공 모두 흰 공이거나 2개 의 공 모두 검은 공인 경우이다.

흰 공 2개를 꺼내는 경우의 수는

3C2=3C1=3

검은 공 2개를 꺼내는 경우의 수는

4C2= 4_32_1 =6 따라서 구하는 확률은

3+621 =;7#;

 ③

0 8

서로 다른 6개의 공을 서로 다른 3개의 상자 A, B, C에 각각 2개씩 넣 는 경우의 수는 6개의 공 중에서 상자 A에 넣을 공을 2개 선택하고, 남 은 4개의 공 중에서 상자 B에 넣을 공을 2개 선택하는 경우의 수와 같 으므로

6C2_4C2= 6_52_1 _4_3 2_1 =90

1부터 6까지의 자연수 중에서 서로소인 두 자연수를 순서쌍으로 나타 내면 다음과 같다.

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 6)

09

한 개의 주사위를 3번 던져 나오는 모든 경우의 수는 6³=216

a, b, c는 1 이상 6 이하의 자연수이고 aÉb<c이므로

1ÉaÉb<cÉ6이고, aÉb<c인 경우의 수는 a<b<c인 경우의 수 에서 a=b<c인 경우의 수를 더하여 구한다.

Ú 1Éa<b<cÉ6인 경우

부등식 1Éa<b<cÉ6을 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 6개에서 3개를 택하는 조합의 수와 같으므로

6C3= 6_5_43_2_1 =20 Û 1Éa=b<cÉ6인 경우

부등식 1Éa=b<cÉ6을 만족시키는 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 6개에서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로

6C2= 6_52_1=15

Ú, Û에서 aÉb<c인 경우의 수는 20+15=35

따라서 구하는 확률은 ;2£1°6;이므로 p=216, q=35

즉, p+q=216+35=251

 251 다른 풀이 1

한 개의 주사위를 3번 던져 나오는 모든 경우의 수는 6Ü`=216

a, b, c는 1 이상 6 이하의 자연수이고 aÉb<c이므로 1ÉaÉb<cÉ6 yy`㉠

이때 b<c에서 bÉc-1이므로 c-1=c'이라 하면 c'은 0 이상 5 이하 의 정수이고 부등식 ㉠을 만족시키는 1 이상 6 이하의 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는

1ÉaÉbÉc-1É5, 즉 1ÉaÉbÉc'É5

를 만족시키는 자연수 a, b, c'의 순서쌍 (a, b, c')의 개수와 같다.

이것은 서로 다른 5개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

5H3=5+3-1C3=7C3= 7_6_53_2_1 =35

따라서 상자 A에 넣는 2개의 공에 적힌 두 자연수가 서로소인 경우의 수는 11이다.

이때 위의 경우 각각에 대하여 남은 4개의 공을 두 상자 B, C에 2개씩 나누어 담는 경우의 수는

4C2= 4_32_1 =6 따라서 구하는 확률은

11_690 =;1!5!;

 ②

11

집합 X에서 집합 X로의 함수의 개수는 4Ý`=256

조건 (가)를 만족시키는 함수의 개수는 0, 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같고, 조건 (나)를 만족시키려면 함수의 치역의 원소에 0이 포함되어야 한다.

따라서 두 조건 (가), (나)를 동시에 만족시키는 함수의 개수는 공역 X의

10

9명 중 4명을 선택하는 경우의 수는

9C4= 9_8_7_64_3_2_1 =126

각 학년별로 한 명 이상씩 뽑히려면 한 학년에서 2명, 나머지 두 학년에 서 각각 한 명씩 뽑아야 한다.

2명을 뽑을 학년을 선택하는 경우의 수는

3C1=3

위에서 선택한 학년에서 2명을 뽑고, 나머지 두 학년에서 각각 한 명씩 뽑는 경우의 수는

3C2_3C1_3C1=3_3_3=27 따라서 구하는 경우의 수는 3_27=81

따라서 구하는 확률은

;1¥2Á6;=;1»4;

 ④ 따라서 구하는 확률은 ;2£1°6;이므로

p=216, q=35

즉, p+q=216+35=251 다른 풀이 2

한 개의 주사위를 3번 던져 나오는 모든 경우의 수는 6Ü`=216

a, b, c는 1 이상 6 이하의 자연수이고 aÉb<c이므로 1ÉaÉb<cÉ6 yy`㉠

이때 aÉb에서 a<b+1이므로

a<b+1<c+1이고, b+1=b', c+1=c'이라 하면

b', c'은 2 이상 7 이하의 자연수이므로 부등식 ㉠을 만족시키는 1 이상 6 이하의 자연수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는

1Éa<b'<c'É7을 만족시키는 자연수 a, b', c'의 순서쌍 (a, b', c') 의 개수와 같다.

이것은 서로 다른 7개에서 3개를 택하는 조합의 수와 같으므로

7C3= 7_6_53_2_1 =35

따라서 구하는 확률은 ;2£1°6;이므로 p=216, q=35

즉, p+q=216+35=251

12

15개의 점에서 임의로 3개를 동시에 선택하는 모든 경우의 수는

15C3=455

원의 중심을 O, 처음 선택한 점을 AÁ이라 하면 삼각형의 내부에 중심 O가 존재하려면 나머지 두 개의 점은 직선 OAÁ의 서로 반대쪽에 있어 야 한다.

U "„ "m U 0

"„s

"h

"~

Ú 두 번째로 선택한 점이 A»일 때

세 번째로 선택한 점은 Aª, A£, y, A8 중에서 하나이므로 경우의 수는

7C1=7

Û 두 번째로 선택한 점이 AÁ¼일 때

세 번째로 선택한 점은 A£, A¢, y, A8 중에서 하나이므로 경우의 수는

6C1=6

위와 같은 방법으로 두 번째로 선택한 점이 AÁÁ이면 경우의 수는 5C1=5

AÁª이면 경우의 수는 4C1=4

원소 중 0을 하나 택한 후 0, 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 3개를 택하 는 중복조합의 수와 같다.

즉, 4H3=4+3-1C3=6C3= 6_5_43_2_1 =20 따라서 구하는 확률은

;2ª5¼6;=;6°4;

 ⑤ 다른 풀이

집합 X에서 집합 X로의 함수의 개수는 4Ý`=256

조건 (가)를 만족시키는 함수의 개수는 0, 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

4H4=4+4-1C4=7C4=7C3= 7_6_53_2_1 =35

이때 f(k)=0을 만족시키는 집합 X의 원소 k가 존재하는 사건을 A 라 하면 사건 A^C은 집합 X의 모든 원소 k에 대하여 f(k)+0인 사건 이다. 이 경우의 수는 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로

3H4=3+4-1C4=6C4=6C2= 6_52_1 =15

따라서 두 조건 (가), (나)를 동시에 만족시키는 함수의 개수는 35-15=20

따라서 구하는 확률은

;2ª5¼6;=;6°4;

14

P(A^C;B^C)=;6!;에서

P(A'B)=1-P((A'B)^C)

=1-P(A^C;B^C)

=1-;6!;

=;6%;

P(B^C)=;5#;에서 P(B)=1-P(B^C)

=1-;5#;=;5@;

P(A)=;5#;이므로 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

;6%;=;5#;+;5@;-P(A;B)

13

P(A^C;B^C)=;7!;에서

P(A'B)=1-P((A'B)^C)

=1-P(A^C;B^C)

=1-;7!;

=;7^;

두 사건 A, B는 서로 배반사건이고 P(A)=2P(B)이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)

=2P(B)+P(B)

=3P(B)

=;7^;

P(B)=;7@;, P(A)=;7$;

따라서 P(A^C)=1-P(A)=1-;7$;=;7#;

 ② A13이면 경우의 수는 3C1=3

A14이면 경우의 수는 2C1=2 A15이면 경우의 수는 1C1=1

처음 선택한 점이 A1일 때의 경우의 수는

7+6+5+4+3+2+1=28이므로 원의 중심이 세 점을 이어 만든 삼 각형의 내부에 존재하는 삼각형의 개수는

28_15Ö3=140 따라서 구하는 확률은

;4!5$5);=;1¢3;

 ④

16

다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

Ú 10a+b의 값이 짝수인 경우

b의 값이 짝수이면 되므로 a가 홀수일 때 b가 짝수이거나 a가 짝수 일 때 b가 짝수인 경우로 나눌 수 있다. 이때 홀수가 3개, 짝수가 2개 이므로 확률은

3P1_2P1 5Pª +²P2

5P2= 6+220 =;5@;

Û 10a+b의 값이 3의 배수인 경우

10a+b=9a+(a+b)에서 a+b의 값이 3의 배수이면 되고 이때 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 다음과 같다.

(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4) 따라서 이때의 확률은

;2¥0;=;5@;

Ü 10a+b의 값이 짝수이면서 3의 배수인 경우

Û에서 b의 값이 짝수인 순서쌍 (a, b)는 다음과 같다.

(1, 2), (2, 4), (4, 2), (5, 4)

15

7명의 학생을 3명, 4명씩 2개 조로 편성하는 방법의 수는 서로 다른 7 개에서 3개를 선택하는 조합의 수와 같으므로

7C3= 7_6_53_2_1 =35

두 학생 A, B가 같은 조에 편성되는 경우는 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

Ú 두 학생 A, B가 3명인 조에 편성되는 경우

나머지 학생 5명 중 1명을 선택하여 두 학생 A, B가 포함된 조에 편성하면 되므로

5C1=5

따라서 이때의 확률은

;3°5;=;7!;

Û 두 학생 A, B가 4명인 조에 편성되는 경우

나머지 학생 5명 중 2명을 선택하여 두 학생 A, B가 포함된 조에 편성하면 되므로

5C2=10

따라서 이때의 확률은

;3!5);=;7@;

Ú, Û에서 두 사건은 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 확률의 덧 셈정리에 의하여

;7!;+;7@;=;7#;

 ① 따라서 P(A;B)=1-;6%;=;6!;

 ③

17

두 개의 1을 각각 1a, 1b로 놓고 6개의 자연수 1a, 1b, 2, 3, 4, 5를 일렬 로 나열하는 경우의 수는

6!=720 Ú a1=1인 경우

첫 번째에 놓을 1을 선택하는 경우의 수는

2C1=2

나머지 자연수 1, 2, 3, 4, 5를 빈 자리에 일렬로 나열하는 경우의 수는

5!=120

따라서 이때의 확률은 2_120

720 =;3!;

Û a2=2인 경우

2를 두 번째에 놓는 경우의 수는 1

나머지 자연수 1a, 1b, 3, 4, 5를 빈 자리에 일렬로 나열하는 경우의 수는

5!=120

따라서 이때의 확률은 1_120

720 =;6!;

Ü a1=1이고 a2=2인 경우

첫 번째에 놓을 1을 선택하는 경우의 수는

2C1=2

2를 두 번째에 놓는 경우의 수는 1

나머지 자연수 1, 3, 4, 5를 빈 자리에 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24

따라서 이때의 확률은 2_1_24

720 =;1Á5;

Ú, Û, Ü에서 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여

;3!;+;6!;-;1Á5;=;3!0#;

즉, p=30, q=13이므로 p+q=30+13=43

 43 다른 풀이 1

두 개의 1을 각각 1a, 1b로 놓고 6개의 자연수 1a, 1b, 2, 3, 4, 5를 일렬 로 나열하는 경우의 수는

6!=720

Ú a1=1이고 a2+2인 경우

첫 번째에 놓을 1을 선택하는 경우의 수는

2C1=2

따라서 이때의 확률은

;2¢0;=;5!;

Ú, Û, Ü에서 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여

;5@;+;5@;-;5!;=;5#;

 ②

2를 첫 번째와 두 번째가 아닌 다른 위치에 놓는 경우의 수는

4C1=4

나머지 자연수 1, 3, 4, 5를 빈 자리에 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24

따라서 이때의 확률은 2_4_24 720 =;1¢5;

Û a1+1이고 a2=2인 경우 2를 두 번째에 놓는 경우의 수는 1

두 개의 1을 첫 번째와 두 번째가 아닌 4개의 위치 중 두 자리에 놓 는 경우의 수는

4P2=12

나머지 자연수 3, 4, 5를 빈 자리에 일렬로 나열하는 경우의 수는 3!=6

따라서 이때의 확률은 1_12_6 720 =;1Á0;

Ü a1=1이고 a2=2인 경우

첫 번째에 놓을 1을 선택하는 경우의 수는

2C1=2

2를 두 번째에 놓는 경우의 수는 1

나머지 자연수 1, 3, 4, 5를 빈 자리에 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24

따라서 이때의 확률은 2_1_24 720 =;1Á5;

Ú, Û, Ü에서 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여

;1¢5;+;1Á0;+;1Á5;=;3!0#;

즉, p=30, q=13이므로 p+q=30+13=43

다른 풀이 2

6개의 자연수 1, 1, 2, 3, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는 6!2! =360

Ú aÁ=1인 경우

나머지 자연수 1, 2, 3, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5!=120

따라서 이때의 확률은 ;3!6@0);=;3!;

Û aª=2인 경우

나머지 자연수 1, 1, 3, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5!2! =60

따라서 이때의 확률은 ;3§¤6¼0;=;6!;

Ü aÁ=1이고 aª=2인 경우

나머지 자연수 1, 3, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24

따라서 이때의 확률은 ;3ª6¢0;=;1Á5;

Ú, Û, Ü에서 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여

;3!;+;6!;-;1Á5;=;3!0#;

즉, p=30, q=13이므로 p+q=30+13=43

18

4명의 학생이 10개의 좌석 중 4개를 택해 앉는 경우의 수는

10P4=10_9_8_7

4명의 학생들이 어느 누구도 서로 이웃하여 앉지 않으려면 칠판을 바라 보고 양쪽에 각각 3명, 1명 또는 2명, 2명씩 앉아야 한다.

Ú 칠판을 바라보고 양쪽에 각각 3명, 1명씩 앉는 경우 왼쪽과 오른쪽 중 3명이 앉을 곳을 선택하는 경우의 수는

2C1=2

선택된 곳에 앉을 3명을 선택하는 경우의 수는

4C3=4C1=4

선택된 곳의 5개의 자리 중 서로 이웃하지 않게 3자리를 택해 앉는 경우는



의 1가지이고, 이때 3명이 앉는 경우의 수는 3!=6

다른 쪽에 앉을 1명이 자리를 선택하는 경우의 수는

5C1=5

따라서 이때의 확률은 2_4_6_5 10_9_8_7 =;2Á1;

Û 칠판을 바라보고 양쪽에 각각 2명씩 앉는 경우 왼쪽에 앉을 2명을 선택하는 경우의 수는

4C2= 4_32_1 =6

왼쪽의 5개의 자리 중 서로 이웃하지 않게 2자리를 택해 앉는 경우 의 수는 2명이 앉을 2개의 자리를 제외한 빈 3자리의 사이사이와 양 끝의 4곳 중 2곳을 택해 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로

4P2=4_3=12

오른쪽에 앉을 2명이 자리를 택해 앉는 경우의 수도 위와 같으므로

오른쪽에 앉을 2명이 자리를 택해 앉는 경우의 수도 위와 같으므로

문서에서 지수함수와 로그함수 (페이지 58-64)