평행사변형

Ⅲ ^{사각형의 성질}

채점기준표

&

모범답안

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교과서 기본예제 1 70ù

교과서 기본예제 2 5cm

유사문제

! ADÓBCÓ이므로 ∠FBC=∠BFA(엇각) 즉, ∠ABF=∠BFA이므로 AFÓ=ABÓ=6cm

@ ABÓECÓ이므로

∠ABF=∠DEF(엇각), ∠BFA=∠DFE(맞꼭지각) 즉, ∠DEF=∠DFE이므로 DFÓ=DEÓ=4cm 이때 BCÓ=ADÓ=AFÓ+DFÓ=6+4=10cm

∴ 10(cm)

평행사변형의 내각의 이등분선의 특징

22

출제유형 다지기

p. 118

특별하게 연습하기

p. 120

평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로

∠D=∠B=56ù, ∠ADF=∠CDF=28ù, ∠DAF=62ù 이때 ∠A+∠B=180ù이므로 62ù+∠x+56ù=180ù, ∠x=62ù

∴ 62ù

01

평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같으므로 ABÓ=DCÓ=5cm, BCÓ=ADÓ=9cm

ADÓBCÓ이므로 ∠DAE=∠BEA(엇각) 즉, ∠BAE=∠BEA이므로 ABÓ=BEÓ=5cm 이때 CEÓ=BCÓ-BEÓ=9-5=4cm

∴ 4(cm)

02

1

Step 조건확인

평행사변형, 내각의 이등분선 2

Step 서술순서

BEÓ, CFÓ의 길이를 각각 구한다.

평행사변형의 성질을 이용하여 ADÓ의 길이를 구한다.

x+y의 값을 구한다.

04

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제해결

과정 A (가)~(바)를 바르게 완성한 경우 (각1점) 6

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제해결

과정 A (가)~(바)를 바르게 완성한 경우 (각1점) 6

1

Step 조건확인

평행사변형의 성질, AEÓ=CFÓ

04

3

Step 서술하기

(가) ABÓ=CDÓ (나) ∠CFD

(다) ∠CDF (라) △ABEª△CDF (마) RHA (바) CFÓ

모범답안

3

Step 서술하기

⑴ ADÓBCÓ이므로 ∠DAF=∠BFA(엇각) 즉, ∠BFA=∠BAF이므로 BFÓ=ABÓ=6cm ∴ 6(cm)

⑵ ADÓBCÓ이므로 ∠ADE=∠CED(엇각)

즉, ∠CED=∠CDE이므로 CEÓ=CDÓ=ABÓ=6cm ∴ 6(cm)

⑶ ⑴, ⑵에 의하여 BFÓ=CEÓ=6cm이므로 BEÓ=CFÓ=2cm 이때 EFÓ=BCÓ-BEÓ-CFÓ=4cm

∴ 4(cm) 모범답안

1

Step 조건확인

평행사변형, 내각의 이등분선 2

Step 서술순서

⑴ ADÓBCÓ임을 이용하여 BFÓ의 길이를 구한다.

⑵ ADÓBCÓ임을 이용하여 CEÓ의 길이를 구한다.

⑶ BEÓ, CFÓ의 길이를 이용하여 EFÓ의 길이를 구한다.

03

4

Step 검토하기

⑴ ADÓBCÓ임을 이용하여 BFÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑵ ADÓBCÓ임을 이용하여 CEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑶ BEÓ, CFÓ의 길이를 이용하여 EFÓ의 길이를 바르게 구하였는 가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형의 내각의 이등분선의 특징을 알고, 변의 길이를

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ ADÓBCÓ임을 이용하여 BFÓ의 길이를 바르게 구한 경

우 (과정) 2

C ⑵ ADÓBCÓ임을 이용하여 CEÓ의 길이를 바르게 구한 경

우 (과정) 2

D ⑶ BEÓ, CFÓ의 길이를 이용하여 EFÓ의 길이를 바르게 구한

경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

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3

Step 서술하기

AEÓDCÓ이므로 ∠BEF=∠CDF(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠ADF=∠CFD(엇각),

∠BFE=∠CFD(맞꼭지각)

∠BEF=∠BFE이므로 BEÓ=BFÓ=3cm

∠CDF=∠CFD이므로 CDÓ=CFÓ=ABÓ=14cm 이때 ADÓ=BCÓ=BFÓ+CFÓ=3+14=17cm 즉, x=17, y=3이므로 x+y=20

∴ 20 모범답안

교과서 기본예제 1 (가), (다), (라)

교과서 기본예제 2

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

유사문제

평행사변형인 것은 (나), (다), (라)이다.

(나) 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행사 변형이다.

(다) 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형이다.

(라) 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 ABCD는 평행사변형 이다.

평행사변형이 되는 조건과 응용

23

출제유형 다지기

p. 122

4

Step 검토하기

BEÓ, CFÓ의 길이를 각각 바르게 구하였는가?

평행사변형의 성질을 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구하였는 가?

x+y의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형의 내각의 이등분선의 특징을 알고, 변의 길이를

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B BEÓ, CFÓ의 길이를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 C 평행사변형의 성질을 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구한

경우 1

D x+y의 값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

3

Step 서술하기

ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이다.

이때 AEÓ=CGÓ이므로 EOÓ=GOÓ 

BFÓ=DHÓ이므로 FOÓ=HOÓ

즉, EFGH는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사 변형이다.

모범답안

1

Step 조건확인

APCQ가 평행사변형이 되는 경우 2

Step 서술순서 미지수를 설정한다.

APÓ, CQÓ를 각각 미지수를 사용한 식으로 나타낸다.

문제의 뜻에 맞게 방정식을 세운다.

방정식을 풀고, 답을 구한다.

04

특별하게 연습하기

p. 124

! ABÓDCÓ, ADÓBCÓ

@ ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ

# ∠A=∠C, ∠B=∠D

$ AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ

% ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ (또는 ADÓBCÓ, ADÓ=BCÓ)

01

⑴ AECG는 AEÓGCÓ이고 AEÓ=GCÓ이므로 평행사변형이다.

BFDH는 HDÓBFÓ이고 HDÓ=BFÓ이므로 평행사변형이다.

⑵ ⑴의 결과에 의하여 PQRS는 PQÓSRÓ, PSÓQRÓ이므로 평 행사변형이다.

02

1

Step 조건확인

평행사변형이 되는 조건 2

Step 서술순서

EOÓ=GOÓ, FOÓ=HOÓ임을 근거와 함께 제시한다.

EFGH가 평행사변형이 되는 조건을 제시한다.

03

4

Step 검토하기

EOÓ=GOÓ, FOÓ=HOÓ임을 근거와 함께 바르게 제시하였는가?

EFGH가 평행사변형이 되는 조건을 바르게 제시하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형이 되는 조건을 설명할 수 있다. 1 문제해결

과정

B EOÓ=GOÓ, FOÓ=HOÓ임을 근거와 함께 바르게 제시한 경우 2 C EFGH가 평행사변형이 되는 조건을 바르게 제시한 경우 1 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

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교과서 기본예제 1 48 cmÛ`

교과서 기본예제 2 14cmÛ`

유사문제

⑴ △AOE와 △COF에서

ABÓDCÓ이므로 ∠OAE=∠OCF(엇각), AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF(맞꼭지각) ∴ △AOEª△COF(ASA 합동)

⑵ △AOE+△DOF=△COD=;4!;ABCD이므로

;4!;ABCD=24, ABCD=96cmÛ`

∴ 96(cmÛ`)

평행사변형과 넓이

24

출제유형 다지기

p. 126

특별하게 연습하기

p. 128

△PDA+△PBC=;2!;ABCD=;2!;_70=35cmÛ`이므로

△PBC=35-8=27cmÛ`

∴ 27(cmÛ`)

01

⑴ △DOE와 △BOF에서

ADÓBCÓ이므로 ∠ODE=∠OBF(엇각), DOÓ=BOÓ, ∠DOE=∠BOF(맞꼭지각) ∴ △DOEª△BOF(ASA 합동)

⑵ △DOE+△COF=△BOC=;4!;ABCD이므로

;4!;ABCD=19, ABCD=76cmÛ`

∴ 76(cmÛ`) 4

02

Step 검토하기

미지수를 바르게 설정하였는가?

APÓ, CQÓ를 각각 미지수를 사용한 식으로 바르게 나타내었는가?

문제의 뜻에 맞게 방정식을 바르게 세웠는가?

방정식을 풀고, 답을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형의 되는 조건을 이해하고 문제를 해결할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 미지수를 바르게 설정한 경우 1

C APÓ, CQÓ를 각각 미지수를 사용한 식으로 바르게 나타낸

경우 (각1점) 2

D 문제의 뜻에 맞게 방정식을 바르게 세운 경우 1 E 방정식을 풀고, 답을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

3

Step 서술하기

점 Q가 출발한 지 x초 후에 APCQ가 평행사변형이 된다고 하면 APÓ=5(6+x)=(5x+30)cm, CQÓ=8_x=8xcm 이때 APÓ=CQÓ여야 하므로 5x+30=8x, 3x=30, x=10 즉, 점 Q가 출발한 지 10초 후에 APCQ가 평행사변형이 된다.

∴ 10초 후 모범답안

1

Step 조건확인

평행사변형이 되는 조건, 평행사변형에서의 넓이 분할 2

Step 서술순서

⑴ ANCM, MBND가 각각 평행사변형임을 제시한다.

⑴ MPNQ가 평행사변형이 되는 조건을 제시한다.

⑵ MPNQ=;4!;ABCD임을 제시한다.

⑵ MPNQ의 넓이를 구한다.

03

4

Step 검토하기

⑴ ANCM, MBND가 각각 평행사변형임을 바르게 제시 하였는가?

⑴ MPNQ가 평행사변형이 되는 조건을 바르게 제시하였는 가?

⑵ MPNQ=;4!;ABCD임을 바르게 제시하였는가?

⑵ MPNQ의 넓이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

3

Step 서술하기

⑴ ANCM은 AMÓNCÓ이고 AMÓ=NCÓ이므로 평행사변형이다.

MBND는 MDÓBNÓ이고 MDÓ=BNÓ이므로 평행사변형이다.

이때 PNÓMQÓ, PMÓNQÓ가 성립한다.

즉, MPNQ는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형 이다.

∴ 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

⑵ MPNQ=△MPN+△MQN =;4!;ABNM+;4!;MNCD

=;4!;ABCD=;4!;_32=8cmÛ`

∴ 8(cmÛ`) 모범답안

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채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형이 되는 조건을 이해하고, 평행사변형에서의 넓 이 분할을 이용하여 넓이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ ANCM, MBND가 각각 평행사변형임을 바르게

제시한 경우 2

C ⑴ MPNQ가 평행사변형이 되는 조건을 바르게 제시한

경우 1

D ⑵ MPNQ=;4!;ABCD임을 바르게 제시한 경우 1 E ⑵ MPNQ의 넓이를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

4

Step 검토하기

점 R에서 ABÓ와 평행한 선을 그어 그림으로 바르게 나타내었 는가?

△RST=;8!;ABCD임을 바르게 제시하였는가?

평행사변형 ABCD의 넓이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형에서의 넓이 분할을 이용하여 넓이를 구할 수

있다. 1

문제해결 과정

B 점 R에서 ABÓ와 평행한 선을 그어 그림으로 바르게 나타

낸 경우 2

C △RST=;8!;ABCD임을 바르게 제시한 경우 (과정) 2 D 평행사변형 ABCD의 넓이를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

평행사변형에서의 넓이 분할, ABCD의 넓이 2

Step 서술순서

점 R에서 ABÓ와 평행한 선을 그어 그림으로 나타낸다.

△RST=;8!;ABCD임을 제시한다.

평행사변형 ABCD의 넓이를 구한다.

04

3

Step 서술하기

점 R에서 ABÓ와 평행한 선을 그어 PQÓ, BCÓ와 만나는 점을 각각 E, F라 하면

△RST=△RSE+△RTE =;8!;ABFR+;8!;RFCD =;8!;ABCD이므로

;8!;ABCD=5, ABCD=40cmÛ`

∴ 40(cmÛ`) 모범답안

자신있게 쫑내기

p. 130

01

∠A+∠B=180ù이므로

∠A=180ù_;1¦2;=105ù, ∠B=180ù_;1°2;=75ù 이때 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로

∠C=∠A=105ù, ∠D=∠B=75ù

∴ ∠C=105ù, ∠D=75ù 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형의 성질을 이용하여 각의 크기를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ∠A+∠B=180ù임을 이용하여 ∠A, ∠B의 크기를 각각

바르게 구한 경우 1

C 평행사변형의 성질을 이용하여 ∠C, ∠D의 크기를 각각

바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

주어진 그림에서 모든 사각형은 평행사변형이다.

! EFÓ=ADÓ, EPÓ=BHÓ이므로 PFÓ=8-5=3 즉, x=3

@ ∠EAG=∠EPG=180ù-80ù=100ù 즉, y=100

# ∠PHC=∠HPE(엇각)=80ù 즉, z=80

∴ x=3, y=100, z=80 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형의 성질을 이용하여 각의 크기와 변의 길이를

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B x의 값을 바르게 구한 경우 1

C y의 값을 바르게 구한 경우 1

D z의 값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

02

ADÓBCÓ이므로

∠DAF=∠BFA(엇각), ∠ADE=∠CED(엇각)

∠BFA=∠BAF이므로 BFÓ=ABÓ=10cm

∠CED=∠CDE이므로 CEÓ=CDÓ=ABÓ=10cm 이때 BFÓ=CEÓ=10cm이므로 BEÓ=CFÓ=2cm 즉, EFÓ=BCÓ-BEÓ-CFÓ=8cm

∴ 8(cm) 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행사변형의 내각의 이등분선의 특징을 알고, 변의 길이를

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ADÓBCÓ임을 이용하여 BFÓ, CEÓ의 길이를 각각 바르게

구한 경우 (각1점) 2

C EFÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

03

△ABE와 △FCE에서

ABÓDFÓ이므로 ∠ABE=∠FCE(엇각), BEÓ=CEÓ,

∠AEB=∠FEC(맞꼭지각)

즉, △ABEª△FCE(ASA 합동)이므로 FCÓ=ABÓ=8cm이다.

이때 ABÓ=DCÓ이므로 DFÓ=DCÓ+FCÓ=16cm

∴ 16(cm)

04

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문서에서 채점기준표 및 모범답안 (페이지 33-39)