닮음의 활용

Ⅳ ^{도형의 닮음}

채점기준표

&

모범답안

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1

Step 조건확인

삼각형과 평행선, 선분의 길이의 비 2

Step 서술순서 AGÓ`:`GEÓ를 제시한다.

AGÓ의 길이를 구한다.

03

4

Step 검토하기

AGÓ`:`GEÓ를 바르게 제시하였는가?

AGÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비를 이해하고, 선분의

길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B AGÓ`:`GEÓ를 바르게 제시한 경우 (과정) 2

C AGÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

4

Step 검토하기

ABÓ`:`BDÓ=ADÓ`:`DFÓ=AFÓ`:`FHÓ임을 바르게 설명하였는가?

DFÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

FHÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비를 이해하고, 선분의

길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ABÓ`:`BDÓ=ADÓ`:`DFÓ=AFÓ`:`FHÓ임을 바르게 설명한

경우 (과정) 4

C DFÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

D FHÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

삼각형과 평행선, 선분의 길이의 비 2

Step 서술순서

ABÓ`:`BDÓ=ADÓ`:`DFÓ=AFÓ`:`FHÓ임을 설명한다.

DFÓ의 길이를 구한다.

FHÓ의 길이를 구한다.

04

3

Step 서술하기

BCÓDEÓ이므로 ABÓ`:`BDÓ=ACÓ`:`CEÓ yy`① CDÓEFÓ이므로 ACÓ`:`CEÓ=ADÓ`:`DFÓ yy`② DEÓFGÓ이므로 ADÓ`:`DFÓ=AEÓ`:`EGÓ yy`③ EFÓGHÓ이므로 AEÓ`:`EGÓ=AFÓ`:`FHÓ yy`④

①, ②, ③, ④에 의하여

ABÓ`:`BDÓ=ADÓ`:`DFÓ=AFÓ`:`FHÓ=4`:`2=2`:`1이다.

이때 ADÓ`:`DFÓ=2`:`1에서 6`:`DFÓ=2`:`1, DFÓ=3cm AFÓ`:`FHÓ=2`:`1에서 9`:`FHÓ=2`:`1, FHÓ=;2(;cm

∴ ;2(;(cm) 모범답안

3

Step 서술하기

FEÓDCÓ이므로 AEÓ`:`ECÓ=AFÓ`:`FDÓ yy`① FGÓDEÓ이므로 AFÓ`:`FDÓ=AGÓ`:`GEÓ yy`②

①, ②에 의하여 AGÓ`:`GEÓ=AEÓ`:`ECÓ=8`:`6=4`:`3이다.

이때 AGÓ=8_;7$;=;`£7ª`;cm

∴ ;`£7ª`;(cm) 모범답안

교과서 기본예제 1 9cm

교과서 기본예제 2 2cm

유사문제

⑴ 점 B에서 DAÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나는 점을 F라 하면 ADÓFBÓ이므로

∠EAD=∠AFB(동위각), ∠DAB=∠ABF(엇각)

즉, △ABF에서 ∠AFB=∠ABF이므로 ABÓ=AFÓ yy`①

이때 △CAD에서 ACÓ`:`AFÓ=DCÓ`:`DBÓ이므로 ACÓ`:`ABÓ=DCÓ`:`DBÓ (∵ ①)

∴ ACÓ`:`ABÓ=DCÓ`:`DBÓ

⑵ ⑴에 의하여 ACÓ`:`ABÓ=DCÓ`:`DBÓ이므로 ACÓ`:`4=8`:`6, 6ACÓ=32, ACÓ=:Á3¤:cm ∴ :Á3¤:(cm)

삼각형의 내각과 외각의 이등분선의 성질

35

출제유형 다지기

p. 186

A

F C B D

E

4cm 6cm 2cm

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교과서 기본예제 1

⑴ :Á2£:cm ⑵ ;2(;cm

교과서 기본예제 2

⑴ 10cm ⑵ 2cm

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분

36

출제유형 다지기

p. 190

BCÓ=xcm로 놓으면 BDÓ=(x+5)cm이다.

이때 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 4`:`3=(x+5)`:`5 3(x+5)=20, 3x+15=20, 3x=5, x=;3%;

∴ ;3%;(cm)

02

4

Step 검토하기

삼각형의 내심의 성질을 바르게 제시하였는가?

ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ임을 바르게 제시하였는가?

ACÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

BAÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`CEÓ임을 바르게 제시하였는가?

CEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형의 내심과 내각의 이등분선의 성질을 이용하여 선분의

길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 삼각형의 내심의 성질을 바르게 제시한 경우 1 C ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ임을 바르게 제시한 경우 1

D ACÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

E BAÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`CEÓ임을 바르게 제시한 경우 1

F CEÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 G 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

삼각형의 내심, 삼각형의 내각의 이등분선 2

Step 서술순서

삼각형의 내심의 성질을 제시한다.

ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ임을 제시한다.

ACÓ의 길이를 구한다.

BAÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`CEÓ임을 제시한다.

CEÓ의 길이를 구한다.

04

1

Step 조건확인

삼각형의 내각과 외각의 이등분선 2

Step 서술순서

⑴ ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ임을 제시한다.

⑴ ABÓ의 길이를 구한다.

⑵ ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ임을 제시한다.

⑵ CEÓ의 길이를 구한다.

03

4

Step 검토하기

⑴ ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ임을 바르게 제시하였는가?

⑴ ABÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑵ ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ임을 바르게 제시하였는가?

⑵ CEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형의 내각과 외각의 이등분선의 성질을 이용하여 선분

의 길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ임을 바르게 제시한 경우 1

C ⑴ABÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

D ⑵ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ임을 바르게 제시한 경우 1

E ⑵CEÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

3

Step 서술하기

⑴ ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로

ABÓ`:`6=3`:`2, 2ABÓ=18, ABÓ=9cm ∴ 9(cm)

⑵ ABÓ`:`ACÓ=BEÓ`:`CEÓ이므로

9`:`6=(CEÓ+5)`:`CEÓ, 9CEÓ=6(CEÓ+5), 9CEÓ=6CEÓ+30, 3CEÓ=30, CEÓ=10cm ∴ 10(cm)

모범답안

특별하게 연습하기

p. 188

BDÓ=xcm로 놓으면 CDÓ=(7-x)cm이다.

이때 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 8`:`6=x`:`(7-x) 6x=8(7-x), 6x=56-8x, 14x=56, x=4

∴ 4(cm)

01

3

Step 서술하기

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다.

! ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ 12`:`ACÓ=6`:`3, 6ACÓ=36, ACÓ=6cm

@ BEÓ는 ∠B의 이등분선이므로 BAÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`CEÓ=12`:`9=4`:`3

이때 CEÓ=;7#; ACÓ=;7#;_6=:Á7¥:cm  ∴ :Á7¥:(cm) 모범답안

http://zuaki.tistory.com

특별하게 연습하기

p. 192

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DEÓ=;2!; ACÓ, EFÓ=;2!; ABÓ, DFÓ=;2!; BCÓ

이때 DEÓ+EFÓ+DFÓ=;2!;(ACÓ+ABÓ+BCÓ)이므로 ABÓ+BCÓ+CAÓ=2(DEÓ+EFÓ+DFÓ)

=2_(3+5+6)=28cm

∴ 28(cm)

01

⑴ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 EFÓ=HGÓ=;2!; ACÓ=8cm, EHÓ=FGÓ=;2!; BDÓ=:Á2£:cm 즉, EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사

변형이다.

⑵ ⑴에 의하여 EFGH의 둘레의 길이는 2(EFÓ+EHÓ)=2{8+:Á2£:}=29cm이다.

∴ 29(cm)

02

1

Step 조건확인

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분, 보조선 2

Step 서술순서

점 F에서 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나는 점을 G로 놓는다.

FGÓ=;2!; BCÓ임을 설명한다.

CDÓ=GFÓ임을 설명한다.

CDÓ의 길이를 구한다.

03

4

Step 검토하기

점 F에서 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나는 점을 G로 바르게 놓았는가?

FGÓ=;2!; BCÓ임을 바르게 설명하였는가?

CDÓ=GFÓ임을 바르게 설명하였는가?

CDÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질을 이용하여

선분의 길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 점 F에서 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나는 점을 G

로 바르게 놓은 경우 1

C FGÓ=;2!; BCÓ임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2 D CDÓ=GFÓ임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2

E CDÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

3

Step 서술하기

! ADÓ=CDÓ이고 EDÓBCÓ이므로 EDÓ=;2!; FCÓ=3cm, AEÓ`:`EFÓ=1`:`1

@ △GDE»△GBF(AA 닮음)이므로 EGÓ`:`FGÓ=EDÓ`:`FBÓ=3`:`5

!, @에 의하여 AEÓ`:`EGÓ`:`GFÓ=8`:`3`:`5

∴ 8`:`3`:`5 모범답안

1

Step 조건확인

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분, AEÓ`:`EGÓ`:`GFÓ 2

Step 서술순서 EDÓ의 길이를 구한다.

AEÓ`:`EFÓ를 구한다.

EGÓ`:`GFÓ를 구한다.

AEÓ`:`EGÓ`:`GFÓ를 구한다.

04

3

Step 서술하기

그림과 같이 점 F에서 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나는 점을 G라 하면

! 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여

AGÓ=GCÓ, FGÓ=;2!; BCÓ=5cm

@ △EFG와 △EDC에서

∠EFG=∠EDC(엇각) yy`① EFÓ=EDÓ yy`② ∠FEG=∠DEC(맞꼭지각) yy`③

①, ②, ③에 의하여 △EFGª△EDC(ASA 합동)이다.

이때 CDÓ=GFÓ

!, @에 의하여 CDÓ=FGÓ=5cm

∴ 5(cm) 유사문제 모범답안

그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 평행한 직선을 그어 DEÓ와 만나는 점을 F라 하면

! 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DFÓ=FEÓ, AFÓ=;2!; BEÓ

@ △AMF와 △CME에서

∠FAM=∠ECM(엇각), AMÓ=CMÓ, ∠AMF=∠CME(맞꼭지각)이므로 △AMFª△CME(ASA 합동)이다.

이때 CEÓ=AFÓ

!, @에 의하여 CEÓ=AFÓ=;2!; BEÓ이므로 CEÓ=;3!; BCÓ=;3!;_9=3cm

∴ 3(cm)

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4

Step 검토하기

EDÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

AEÓ`:`EFÓ를 바르게 구하였는가?

EGÓ`:`GFÓ를 바르게 구하였는가?

AEÓ`:`EGÓ`:`GFÓ를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질을 이용하여 문

제를 해결할 수 있다. 1

문제해결 과정

B EDÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

C AEÓ`:`EFÓ를 바르게 구한 경우 1

D EGÓ`:`GFÓ를 바르게 구한 경우 1

E AEÓ`:`EGÓ`:`GFÓ를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1

⑴ 9 ⑵ 9

교과서 기본예제 2 16cm

유사문제

⑴ ADÓEFÓBCÓ이므로

! △ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=EQÓ`:`BCÓ 1`:`2=EQÓ`:`13, EQÓ=:Á2£:cm @ △ACD에서 ADÓ`:`QFÓ=DCÓ`:`FCÓ 7`:`QFÓ=2`:`1, QFÓ=;2&;cm 이때 EFÓ=EQÓ+QFÓ=:Á2£:+;2&;=10cm ∴ 10(cm)

⑵ △ABD에서 ADÓ`:`EPÓ=ABÓ`:`EBÓ 7`:`EPÓ=2`:`1, EPÓ=;2&;cm

이때 PQÓ=EQÓ-EPÓ=:Á2£:-;2&;=3cm ∴ 3(cm)

평행선 사이의 선분의 길이의 비

37

출제유형 다지기

p. 194

특별하게 연습하기

p. 196

⑴ ! 3`:`(3+6)=4`:`x, 3x=36, x=12 @ 3`:`y=(3+6)`:`6, 9y=18, y=2 ∴ x=12, y=2

⑵ ! 4`:`2=6`:`x, 4x=12, x=3 @ 4`:`(4+2)=7`:`y, 4y=42, y=;;ª2Á;;

∴ x=3, y=;;ª2Á;;

01

⑴ ADÓMNÓBCÓ이므로

! △ABC에서 AMÓ`:`ABÓ=MQÓ`:`BCÓ 1`:`2=MQÓ`:`12, MQÓ=6cm @ △ACD에서 ADÓ`:`QNÓ=DCÓ`:`NCÓ 4`:`QNÓ=2`:`1, QNÓ=2cm 이때 MNÓ=MQÓ+QNÓ=6+2=8cm ∴ 8(cm)

⑵ △ABD에서 ADÓ`:`MPÓ=ABÓ`:`MBÓ 4`:`MPÓ=2`:`1, MPÓ=2cm 이때 PQÓ=MQÓ-MPÓ=6-2=4cm ∴ 4(cm)

02

1

Step 조건확인

사다리꼴에서의 평행선과 선분의 길이의 비 2

Step 서술순서

△ABC에서 비례식을 이용하여 x의 값을 구한다.

△ACD에서 비례식을 이용하여 y의 값을 구한다.

x+y의 값을 구한다.

03

4

Step 검토하기

△ABC에서 비례식을 이용하여 x의 값을 바르게 구하였는가?

△ACD에서 비례식을 이용하여 y의 값을 바르게 구하였는가?

x+y의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 이해하고, 선분의 길이

를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △ABC에서 비례식을 이용하여 x의 값을 바르게 구한 경우 1 C △ACD에서 비례식을 이용하여 y의 값을 바르게 구한 경우 1

D x+y의 값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

3

Step 서술하기

! △ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=EGÓ`:`BCÓ이므로 2`:`6=x`:`12, 6x=24, x=4

@ △ACD에서 ACÓ`:`GCÓ=ADÓ`:`GFÓ이므로 6`:`4=y`:`6, 4y=36, y=9

이때 x+y=13 ∴ 13

모범답안

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4

Step 검토하기

△ABC에서 비례식을 이용하여 y의 값을 바르게 구하였는가?

△ABD에서 비례식을 이용하여 x의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평행선과 선분의 길이의 비를 이해하고, 선분의 길이를 구

할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △ABC에서 비례식을 이용하여 y의 값을 바르게 구한 경우 1 C △ABD에서 비례식을 이용하여 x의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

평행선 사이의 선분의 길이의 비 2

Step 서술순서

△ABC에서 비례식을 이용하여 y의 값을 구한다.

△ABD에서 비례식을 이용하여 x의 값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

! △ABC에서 AEÓ`:`ABÓ=EFÓ`:`BCÓ이므로

y`:`12=3`:`9, 9y=36, y=4

@ △ABD에서 ADÓ`:`EFÓ=ABÓ`:`EBÓ이므로

x`:`3=12`:`8, 8x=36, x=;2(;

∴ x=;2(;, y=4 모범답안

교과서 기본예제 1

⑴ x=6, y=9 ⑵ x=4, y=6

교과서 기본예제 2

x=6, y=7

유사문제

△ACD에서 DFÓ=CFÓ, AEÓ=CEÓ이므로 ADÓ=2EFÓ=12cm 이때 AGÓ`:`GDÓ=2`:`1이므로 AGÓ=;3@; ADÓ=;3@;_12=8cm

∴ 8(cm)

삼각형의 무게중심의 이해

38

출제유형 다지기

p. 198

특별하게 연습하기

p. 200

⑴ AGÓ`:`GDÓ=2`:`1이므로 GDÓ=;3!; ADÓ=;3!;_24=8cm ∴ 8(cm)

⑵ GG'Ó`:`G'DÓ=2`:`1이므로 GG'Ó=;3@; GDÓ=;3@;_8=;;Á3¤;;cm ∴ ;;Á3¤;;(cm)

01

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ=9cm이다.

이때 점 P는 △ABC에서 두 중선 AM, BO의 교점이므로 △ ABC의 무게중심이다.

즉, BPÓ`:`OPÓ=2`:`1이므로 OPÓ=;3!; BOÓ=;3!;_9=3cm

∴ 3(cm)

02

3

Step 서술하기

삼각형의 무게중심은 세 중선의 교점이므로 BDÓ=DCÓ=6cm 이때 EFÓBCÓ이고 AGÓ`:`GDÓ=2`:`1이므로

! GFÓ`:`DCÓ=AGÓ`:`ADÓ, x`:`6=2`:`3, 3x=12, x=4

@ AFÓ`:`FCÓ=AGÓ`:`GDÓ, 8`:`y=2`:`1, 2y=8, y=4

∴ x=4, y=4 모범답안

1

Step 조건확인

삼각형의 무게중심, 평행선에 의하여 생기는 선분의 길이의 비 2

Step 서술순서 DCÓ의 길이를 구한다.

AGÓ`:`GDÓ=2`:`1임을 제시한다.

비례식을 이용하여 x의 값을 구한다.

비례식을 이용하여 y의 값을 구한다.

03

4

Step 검토하기

DCÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

AGÓ`:`GDÓ=2`:`1임을 바르게 제시하였는가?

비례식을 이용하여 x의 값을 바르게 구하였는가?

비례식을 이용하여 y의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B DCÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

C AGÓ`:`GDÓ=2`:`1임을 바르게 제시한 경우 1 D 비례식을 이용하여 x의 값을 바르게 구한 경우 1 E 비례식을 이용하여 y의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

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문서에서 채점기준표 및 모범답안 (페이지 52-64)