Ⅲ 사각형의 성질
채점기준표
&
모범답안
교과서 기본예제 1
⑴ 4 cm ⑵ 8 cm
교과서 기본예제 2
∠x=30ù, ∠y=60ù
유사문제
⑴ OAÓ=ODÓ이므로 4x-5=3x-3, x=2 ∴ x=2
⑵ ODÓ=3x-3=3이고, BDÓ=2ODÓ이므로 BDÓ=2_3=6
∴ 6
⑶ 직사각형의 두 대각선의 길이는 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
직사각형의 성질과 직사각형이 되는 조건
25
출제유형 다지기
p. 134특별하게 연습하기
p. 136⑴ ACÓ=BDÓ=16cm이므로 BOÓ=;2!;BDÓ=;2!;_16=8cm ∴ 8(cm)
⑵ ∠BDC=90ù-35ù=55ù
OBÓ=OCÓ이므로 ∠BCA=∠OBC=35ù ∴ ∠BDC=55ù, ∠BCA=35ù
⑶ △BOC에서 ∠COD=∠OBC+∠OCB=35ù+35ù=70ù ∴ 70ù
01
(가) DBÓ (나) 평행사변형 (다) DCÓ (라) SSS (마) ∠DCB (바) ∠D
02
1
Step 조건확인
평행사변형이 직사각형이 되는 조건 2
Step 서술순서
(가), (나)를 만족하는 사각형을 구하고, 그 이유를 제시한다.
조건을 모두 만족하는 사각형을 구하고, 그 이유를 제시한다.
03
4
Step 검토하기
(가), (나)를 만족하는 사각형을 구하고, 그 이유를 바르게 제 시하였는가?
조건을 모두 만족하는 사각형을 구하고, 그 이유를 바르게 제시 하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 평행사변형이 직사각형이 되는 조건을 설명할 수 있다. 1 문제해결
과정
B (가), (나)를 만족하는 사각형을 구하고, 그 이유를 바르게 제시
한 경우 (각1점) 2
C 조건을 모두 만족하는 사각형을 구하고, 그 이유를 바르게
제시한 경우 (각1점) 2
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
4
Step 검토하기
OAÓ=OPÓ=OCÓ=OQÓ임을 바르게 제시하였는가?
APCQ가 어떤 사각형이 되는지 구하고, 그 이유를 바르게 제시하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 평행사변형이 직사각형이 되는 조건을 설명할 수 있다. 1 문제해결
과정
B OAÓ=OPÓ=OCÓ=OQÓ임을 바르게 제시한 경우 1 C APCQ가 어떤 사각형이 되는지 구하고, 그 이유를 바르
게 제시한 경우 (각1점) 2
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
1
Step 조건확인
직사각형이 되는 조건, 대각선의 길이 2
Step 서술순서
OAÓ=OPÓ=OCÓ=OQÓ임을 제시한다.
APCQ가 어떤 사각형이 되는지 구하고, 그 이유를 제시한다.
04
3
Step 서술하기
ABCD는 (가), (나)에 의하여 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길 이가 같으므로 평행사변형이다.
이때 평행사변형 ABCD는 (다)에 의하여 두 대각선의 길이가 같 으므로 직사각형이다.
∴ 직사각형 모범답안
3
Step 서술하기
APCQ는 OAÓ=OPÓ=OCÓ=OQÓ이므로 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이다.
즉, APCQ는 직사각형이다.
∴ 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하므로 직사각형이다.
모범답안
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교과서 기본예제 1
⑴ 4cm ⑵ 35ù
교과서 기본예제 2
⑴ 8 cm ⑵ 48cmÛ`
유사문제
⑴ △AOE와 △COF에서
AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF=90ù, ∠EAO=∠FCO (엇각) 이므로 △AOEª△COF(ASA 합동)이다. 이때 EOÓ=FOÓ이다.
즉, AFCE는 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 마름 모이다.
∴ 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 마름모이다.
⑵ AFÓ=AEÓ=10-3=7cm ∴ 7(cm)
마름모의 성질과 마름모가 되는 조건
26
출제유형 다지기
p. 138특별하게 연습하기
p. 140마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ, ACÓ⊥BDÓ
이때 △ABOª△CBOª△CDOª△ADO이므로
∠x=∠DCO=90ù-40ù=50ù
또, ∠CAE=90ù-∠x=40ù, ∠y=90ù-40ù=50ù 즉, ∠x+∠y=100ù
∴ 100ù
01
⑴ △ABP와 △ADQ에서
∠APB=∠AQD=90ù yy`① ABÓ=ADÓ yy`②
∠B=∠D yy`③
①, ②, ③에 의하여 △ABPª△ADQ(RHA 합동)이다.
⑵ ⑴에 의하여 APÓ=AQÓ이므로 △APQ는 이등변삼각형이다.
이때 ∠BAD=180ù-60ù=120ù이고,
∠BAP=∠DAQ=90ù-60ù=30ù이므로 ∠PAQ=60ù
즉, ∠APQ=∠AQP=;2!;_(180ù-60ù)=60ù ∴ 60ù
02
1
Step 조건확인
평행사변형이 마름모가 되는 조건, △AOBª△COB
03
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제해결
과정 A (가)~(바)를 바르게 완성한 경우 6
3
Step 서술하기
(가) DCÓ (나) BCÓ (다) ∠COB (라) SAS (마) ABÓ=CBÓ (바) 마름모
모범답안
4
Step 검토하기
⑴ △ABH와 △DFH가 합동임을 바르게 설명하였는가?
⑵ ⑴의 결과를 이용하여 ABGH가 어떤 사각형인지 쓰고, 그 이유를 바르게 제시하였는가?
⑶ ⑵의 결과를 이용하여 ∠HPG의 크기를 바르게 구하였는 가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
1
Step 조건확인
마름모의 성질, 두 직각삼각형의 합동 2
Step 서술순서
⑴ △ABH와 △DFH가 합동임을 설명한다.
⑵ ⑴의 결과를 이용하여 ABGH가 어떤 사각형인지 쓰고, 그 이유를 제시한다.
⑶ ⑵의 결과를 이용하여 ∠HPG의 크기를 구한다.
04
3
Step 서술하기
⑴ △ABH와 △DFH에서
ABÓ=DFÓ yy`①
ABÓEFÓ이므로
∠ABH=∠DFH(엇각) yy`② ∠BAH=∠FDH(엇각) yy`③
①, ②, ③에 의하여 △ABHª△DFH(ASA 합동)이다.
∴ △ABHª△DFH(ASA 합동)
⑵ ⑴의 결과에 의하여
AHÓ=DHÓ이고, ADÓ=2ABÓ이므로 ABÓ=AHÓ 같은 방법으로 ABÓ=BGÓ
이때 ABGH는 이웃한 두 변의 길이가 같은 평행사변형이므 로 마름모이다.
∴ 이웃한 두 변의 길이가 같은 평행사변형이므로 마름모이다.
⑶ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 AGÓ⊥BHÓ
즉,∠HPG=90ù ∴ 90ù
모범답안
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3
Step 서술하기
⑴ ABED는 ADÓBEÓ, ABÓDEÓ이므로 평행사변형이다.
이때 평행사변형 ABED는 ABÓ=ADÓ이므로 마름모가 된다.
∴ 이웃한 두 변의 길이가 같은 평행사변형이므로 마름모이다.
⑵ ∠ABE=∠DEC(동위각)=∠DCE=60ù 즉, △DEC는 정삼각형이므로 DEÓ=ECÓ=DCÓ 이때 ABCD의 둘레의 길이는 5ABÓ=40cm이다.
∴ 40(cm) 모범답안 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 합동인 두 삼각형을 찾고, 마름모의 성질을 이용하여 문제
를 해결할 수 있다. 1
문제해결 과정
B ⑴ △ABH와 △DFH가 합동임을 바르게 설명한 경우 (과정) 3 C ⑵ ⑴의 결과를 이용하여 ABGH가 어떤 사각형인지 쓰
고, 그 이유를 바르게 제시한 경우 (과정) 2 D ⑶ ⑵의 결과를 이용하여 ∠HPG의 크기를 바르게 구한
경우 1
의사소통
표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
교과서 기본예제 1
x=4, y=45
교과서 기본예제 2 25ù
유사문제
∠DCE=90ù-60ù=30ù이고, CDÓ=CEÓ이므로
∠CDE=∠CED=;2!;_(180ù-30ù)=75ù 이때 ∠BDC=45ù이므로 ∠BDE=75ù-45ù=30ù
∴ 30ù
정사각형과 등변사다리꼴의 성질
27
출제유형 다지기
p. 142특별하게 연습하기
p. 144⑴ △ABE와 △CBE에서
ABÓ=CBÓ yy`① ∠ABE=∠CBE=45ùyy`② BEÓ는 공통 yy`③
①, ②, ③에 의하여 △ABEª△CBE(SAS 합동)이다.
∴ △ABEª△CBE(SAS 합동)
⑵ ∠ABE=45ù, ∠AEB=80ù이므로 ∠BAE=55ù 이때 ∠EAD=90ù-55ù=35ù
∴ 35ù
01
⑴ △EBI와 △ECJ에서
∠EBI=∠ECJ=45ù yy`①
BEÓ=CEÓ yy`②
∠BEI=90ù-∠CEI=∠CEJ yy`③
①, ②, ③에 의하여 △EBIª△ECJ(ASA 합동)이다.
∴ △EBIª△ECJ(ASA 합동)
⑵ ⑴에 의하여 EICJ의 넓이는 △BEC의 넓이와 같다.
즉, EICJ=△BEC=;4!;ABCD=;4!;_(6_6)=9cmÛ`
∴ 9(cmÛ`)
02
4
Step 검토하기
⑴ ABED가 평행사변형임을 바르게 제시하였는가?
⑴ ABÓ=ADÓ임을 이용하여 ABED가 어떤 사각형인지 바 르게 제시하였는가?
⑵ △DEC가 정삼각형임을 바르게 제시하였는가?
⑵ ABCD의 둘레의 길이를 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
1
Step 조건확인
등변사다리꼴의 성질, ABED, 둘레의 길이 2
Step 서술순서
⑴ ABED가 평행사변형임을 제시한다.
⑴ ABÓ=ADÓ임을 이용하여 ABED가 어떤 사각형인지 제 시한다.
⑵ △DEC가 정삼각형임을 제시한다.
⑵ ABCD의 둘레의 길이를 구한다.
04
1
Step 조건확인 등변사다리꼴의 성질
03
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제해결
과정 A (가)~(바)를 바르게 완성한 경우 (각1점) 6
3
Step 서술하기
(가) ∠DEC (나) ∠C (다) ∠C (라) DEÓ=DCÓ (마) ABÓ=DEÓ (바) ABÓ=DCÓ
모범답안
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교과서 기본예제 1 ㄹ, ㅁ
교과서 기본예제 2 정사각형
유사문제
⑴ 평행사변형 ABCD에서 ACÓ⊥BDÓ이면
△ABOª△CBOª△CDOª△ADO(SAS 합동)이므로 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ이다.
즉, 네 변의 길이가 모두 같게 되어 마름모가 된다.
∴ 마름모
⑵ 평행사변형 ABCD에서 AOÓ=BOÓ이면 두 대각선의 길이가 같게 되 어 직사각형이 된다.
∴ 직사각형
⑶ 평행사변형 ABCD에서 ∠B=90ù이면 직사각형이다.
이때 ACÓ⊥BDÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같아지므로 정사각형이 된다.
∴ 정사각형
여러 가지 사각형 사이의 관계
28
출제유형 다지기
p. 146특별하게 연습하기
p. 148⑴ 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 마름모 이다.
이때 마름모인 것은 ㄷ, ㅁ이다.
∴ ㄷ, ㅁ
⑵ 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 등변사다리꼴이다.
이때 등변사다리꼴인 것은 ㄹ, ㅁ, ㅂ이다.
∴ ㄹ, ㅁ, ㅂ
⑶ 두 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.
이때 평행사변형인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ이다.
∴ ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ
01
△ABM과 △DCM에서 AMÓ=DMÓ yy`① BMÓ=CMÓ yy`② ABÓ=DCÓ yy`③
①, ②, ③에 의하여 △ABMª△DCM(SSS 합동)이다.
즉, ∠A=∠D
이때 ∠A+∠D=180ù이므로 ∠A=∠B=∠C=∠D=90ù이다.
∴ ABCD는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형이다.
02
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 등변사다리꼴의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 1
문제해결 과정
B ⑴ ABED가 평행사변형임을 바르게 제시한 경우 1 C ⑴ ABÓ=ADÓ임을 이용하여 ABED가 어떤 사각형인지
바르게 제시한 경우 1
D ⑵ △DEC가 정삼각형임을 바르게 제시한 경우 1 E ⑵ ABCD의 둘레의 길이를 바르게 구한 경우 1 의사소통
표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
1
Step 조건확인
평행사변형, 네 내각의 이등분선, EFGH 2
Step 서술순서
⑴ ∠A+∠B의 크기를 구한다.
⑵ ∠BAE+∠ABE의 크기를 구한다.
⑶ ⑵를 이용하여 EFGH의 네 내각의 크기가 모두 90ù임을 제시한다.
⑶ EFGH는 어떤 사각형인지 쓰고, 그 이유를 제시한다.
03
4
Step 검토하기
⑴ ∠A+∠B의 크기를 바르게 구하였는가?
⑵ ∠BAE+∠ABE의 크기를 바르게 구하였는가?
⑶ ⑵를 이용하여 EFGH의 네 내각의 크기가 모두 90ù임을 바르게 제시하였는가?
⑶ EFGH는 어떤 사각형인지 쓰고, 그 이유를 바르게 제시 하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 평행사변형의 네 내각의 이등분선으로 만들어진 사각형이
어떤 사각형인지 설명할 수 있다. 1
문제해결 과정
B ⑴ ∠A+∠B의 크기를 바르게 구한 경우 1 C ⑵ ∠BAE+∠ABE의 크기를 바르게 구한 경우 1 D ⑶ ⑵를 이용하여 EFGH의 네 내각의 크기가 모두 90ù
임을 바르게 제시한 경우 (과정) 2
E ⑶ EFGH는 어떤 사각형인지 쓰고, 그 이유를 바르게
제시한 경우 1
의사소통
표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
3
Step 서술하기
⑴ 평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180ù이다.
∴ ∠A+∠B=180ù
⑵ ∠BAE=∠DAE, ∠ABE=∠CBE이므로 ∠BAE+∠ABE=;2!;(∠A+∠B)=90ù ∴ 90ù
⑶ ⑵에 의하여 ∠AEB=90ù이고,
같은 방법으로 ∠BHC=∠CGD=∠AFD=90ù이다.
∴ EFGH는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형이다.
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모범답안채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제해결
과정 A (가)~(바)의 조건을 바르게 제시한 경우 (각1점) 6
1
Step 조건확인
여러 가지 사각형 사이의 관계
04
3
Step 서술하기 (가) ADÓBCÓ (나) ABÓDCÓ
(다) ∠A=90ù 또는 ACÓ=BDÓ (라) ABÓ=BCÓ 또는 ACÓ⊥BDÓ (마) ABÓ=BCÓ 또는 ACÓ⊥BDÓ (바) ∠A=90ù 또는 ACÓ=BDÓ
모범답안
교과서 기본예제 1 12cmÛ`
교과서 기본예제 2 60cmÛ`
유사문제
⑴ ABÓDCÓ이므로 △ABD=△ABE이다.
이때 △ADF=△ABD-△ABF=△ABE-△ABF=△BEF ∴ △BEF
⑵ △ABD=△BCD, △ADF=△BEF이므로
△ABF=△BCE+△DEF이다.
즉, 50=42+△DEF, △DEF=8cmÛ`
∴ 8(cmÛ`)
평행선과 삼각형의 넓이
29
출제유형 다지기
p. 150⑴ BDÓ:DCÓ=5:2이므로 △ABD:△ADC=5:2이다.
즉, △ADC=140_;7@;=40cmÛ`
∴ 40(cmÛ`)
⑵ AEÓ:ECÓ=3:2이므로 △ADE:△DCE=3:2이다.
즉, △DCE=40_;5@;=16cmÛ`
∴ 16(cmÛ`)
02
특별하게 연습하기
p. 152ABÓCDÓ이므로 △ABC=△ABO이다.
이때 한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 정비례하므로 색칠한 부분의 넓이는 p_3Û`_;6!;=;2#;pcmÛ`이다.
∴ ;2#;p(cmÛ`)
01
1
Step 조건확인
평행선과 삼각형의 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 2
Step 서술순서
△ACD=△ACE임을 제시한다.
ABCD=△ABE임을 제시한다.
BCÓ:CEÓ=2:1임을 이용하여 △ACE의 넓이를 구한다.
ABCD의 넓이를 구한다.
03
4
Step 검토하기
△ACD=△ACE임을 바르게 제시하였는가?
ABCD=△ABE임을 바르게 제시하였는가?
BCÓ:CEÓ=2:1임을 이용하여 △ACE의 넓이를 바르게 구하 였는가?
ABCD의 넓이를 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 평행선에서 넓이가 같은 삼각형을 찾고, 문제를 해결할 수
있다. 1
문제해결 과정
B △ACD=△ACE임을 바르게 제시한 경우 1 C ABCD=△ABE임을 바르게 제시한 경우 (과정) 2 D BCÓ:CEÓ=2:1임을 이용하여 △ACE의 넓이를 바르게 구한 경우 (과정) 2
E ABCD의 넓이를 바르게 구한 경우 1
의사소통
표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
3
Step 서술하기
ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE이다.
이때 ABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE=△ABE이다.
BCÓ:CEÓ=2:1이므로 △ABC:△ACE=2:1 12:△ACE=2:1, △ACE=6cmÛ`
즉, ABCD=△ABE=12+6=18cmÛ`
∴ 18(cmÛ`) 모범답안
1
Step 조건확인
평행사변형, 평행선과 삼각형의 넓이, ACÓEFÓ 2
Step 서술순서
⑴ 평행선을 이용하여 △AED와 넓이가 같은 삼각형을 모두 구한다.
⑵ △EBD, △AED의 넓이를 각각 구한다.
⑵ △DFC의 넓이를 구한다.