도형의 닮음

Ⅳ ^{도형의 닮음}

채점기준표

&

모범답안

http://zuaki.tistory.com

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A A 용지의 닮음비를 이용하여 가로, 세로의 길이를 구할 수

있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 가로의 길이의 비를 이용하여 닮음비를 바르게 구한 경우 1 C ⑵ A4 용지와 A6 용지의 닮음비를 바르게 구한 경우 1 D ⑵ A6 용지의 가로, 세로의 길이를 각각 바르게 구한

경우 (각1점) 2

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1

⑴ △AOC»△BOD( SAS 닮음), 3`:`2

⑵ △ABC»△ACD( SAS 닮음), 2`:`1

교과서 기본예제 2

⑴ △ABC»△DAC, x=5 ⑵ △ABC»△EBD, x=:Á2°:

유사문제

⑴ △ABC와 △CBD에서

ABÓ`:`CBÓ=BCÓ`:`BDÓ=3`:`2 yy`① ∠B는 공통인 각 yy`② ①, ②에 의하여 △ABC»△CBD(SAS 닮음)이다.

∴ △ABC»△CBD(SAS 닮음)

⑵ ACÓ`:`CDÓ=3`:`2이므로

5`:`CDÓ=3`:`2, 3CDÓ=10, CDÓ=;`Á3¼`;cm ∴ ;`Á3¼`;(cm)

삼각형의 닮음조건과 응용

31

출제유형 다지기

p. 166

특별하게 연습하기

p. 168

⑴ △ABC와 △EDC에서

BCÓ`:`DCÓ=ACÓ`:`ECÓ=5`:`3 yy`① ∠C는 공통인 각 yy`② ①, ②에 의하여 △ABC»△EDC(SAS 닮음)이다.

이때 ABÓ`:`EDÓ=5`:`3이므로

x`:`5=5`:`3, 3x=25, x=`;`ª3°`;

∴ △ABC»△EDC(SAS 닮음), x=`;`ª3°`;

01

⑵ △ABC와 △EBD에서

ABÓ`:`EBÓ=BCÓ`:`BDÓ=2`:`1 yy`① ∠B는 공통인 각 yy`② ①, ②에 의하여 △ABC»△EBD(SAS 닮음)이다.

이때 ACÓ`:`EDÓ=2`:`1이므로 8`:`x=2`:`1, 2x=8, x=4 ∴ △ABC»△EBD(SAS 닮음), x=4

⑴ △ABC와 △AED에서 ∠A는 공통인 각 yy`① ∠ABC=∠AED yy`②

①, ②에 의하여 △ABC»△AED(AA 닮음)이다.

이때 ABÓ`:`AEÓ=ACÓ`:`ADÓ이므로 (x+3)`:`4=9`:`3 3(x+3)=36, 3x=27, x=9

∴ △ABC»△AED(AA 닮음), x=9

⑵ △ABC와 △ACD에서 ∠A는 공통인 각 yy`① ∠ABC=∠ACD yy`②

①, ②에 의하여 △ABC»△ACD(AA 닮음)이다.

이때 ABÓ`:`ACÓ=ACÓ`:`ADÓ이므로 (x+4)`:`6=6`:`4 4(x+4)=36, 4x=20, x=5

∴ △ABC»△ACD(AA 닮음), x=5

02

3

Step 서술하기

⑴ △ABE에서 삼각형의 외각의 크기의 성질에 의하여

∠DEF=∠BAE+∠ABE이다.

이때 ∠BAE=∠CBF이므로 ∠DEF=∠B이다.

∴ ∠B

⑵ ⑴과 같은 방법으로 ∠EFD=∠C, ∠EDF=∠A이므로 △ABC»△DEF(AA 닮음)이다.

즉, DEÓ`:`EFÓ=ABÓ`:`BCÓ=5`:`7 ∴ 5`:`7

모범답안

1

Step 조건확인

삼각형의 외각의 크기의 성질, 닮음, 닮음비 2

Step 서술순서

⑴ 삼각형의 외각의 크기의 성질을 이용하여 ∠DEF와 크기가 같은 각을 구한다.

⑵ △ABC»△DEF임을 설명한다.

⑵ DEÓ`:`EFÓ=ABÓ`:`BCÓ임을 이용하여 비를 구한다.

03

4

Step 검토하기

⑴ 삼각형의 외각의 크기의 성질을 이용하여 ∠DEF와 크기가 같은 각을 바르게 구하였는가?

⑵ △ABC»△DEF임을 바르게 설명하였는가?

⑵ DEÓ`:`EFÓ=ABÓ`:`BCÓ임을 이용하여 비를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

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교과서 기본예제 1

;2(;cm

교과서 기본예제 2 :¤5¥:cm

유사문제

⑴ △ABD»△CAD(AA 닮음)이므로 ABÓ`:`CAÓ=BDÓ`:`ADÓ, 5`:`x=3`:`4 3x=20, x=:ª3¼;;

∴ :ª3¼;;

⑵ ADÓ`:`CDÓ=BDÓ`:`ADÓ, 4`:`y=3`:`4 3y=16, y=:Á3¤:

∴ :Á3¤:

직각삼각형에서의 닮음

32

출제유형 다지기

p. 170

특별하게 연습하기

p. 172

⑴ △ABD»△CAD(AA 닮음)이므로 BDÓ`:`ADÓ=ADÓ`:`CDÓ, x`:`8=8`:`4 4x=64, x=16

∴ 16

⑵ △ABD»△CAD(AA 닮음)이므로 BDÓ`:`ADÓ=ADÓ`:`CDÓ, (x-4)`:`2=2`:`4 4(x-4)=4, 4x=20, x=5

∴ 5

01

△ABH»△DAH(AA 닮음)이므로 BHÓ`:`AHÓ=AHÓ`:`DHÓ, 4`:`AHÓ=AHÓ`:`9 AHÓÛ`=36, AHÓ=6 (∵ AHÓ>0)

이때 ABCD=2△ABD=2_{;2!;_13_6}=78cmÛ`

∴ 78(cmÛ`)

02

3

Step 서술하기

⑴ △ABD와 △DCE에서 ∠B=∠C=60ù yy`①

∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=120ù이므로 ∠BAD=∠CDE yy`②

①, ②에 의하여 △ABD»△DCE(AA 닮음)이다.

∴ △ABD»△DCE(AA 닮음)

⑵ ABÓ`:`DCÓ=BDÓ`:`CEÓ이므로

a`:`;4!;a=;4#;a`:`CEÓ, a_CEÓ=;1£6;aÛ`, CEÓ=;1£6;a

이때 AEÓ=a-;1£6;a=;1!6#;a이므로

AEÓ`:`ECÓ=;1!6#;a`:`;1£6;a=13`:`3 ∴ 13`:`3

모범답안 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 닮음인 두 삼각형을 찾아 닮음인 이유를 설명하고, 변의 길

이의 비를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 삼각형의 외각의 크기의 성질을 이용하여 ∠DEF와 크 기가 같은 각을 바르게 구한 경우 (과정) 2 C ⑵ △ABC»△DEF임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2 D ⑵ DEÓ`:`EFÓ=ABÓ`:`BCÓ임을 이용하여 비를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 닮음인 두 삼각형을 찾고, 문제를 해결할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ △ABD와 △DCE가 닮음임을 바르게 설명한 경우 (과정) 3 C ⑵ AEÓ, CEÓ의 길이를 각각 a에 대한 식으로 바르게 나타

낸 경우 (각1점) 2

D ⑵ AEÓ`:`ECÓ를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

정삼각형, BDÓ`:`DCÓ=3`:`1, 닮음, 닮음비 2

Step 서술순서

⑴ △ABD와 △DCE가 닮음임을 설명한다.

⑵ AEÓ, CEÓ의 길이를 각각 a에 대한 식으로 나타낸다.

⑵ AEÓ`:`ECÓ를 구한다.

04

4

Step 검토하기

⑴ △ABD와 △DCE가 닮음임을 바르게 설명하였는가?

⑵ AEÓ, CEÓ의 길이를 각각 a에 대한 식으로 바르게 나타내었 는가?

⑵ AEÓ`:`ECÓ를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

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1

Step 조건확인

직각삼각형에서의 닮음, 직각삼각형의 외심 2

Step 서술순서

△ABD와 △CAD가 닮음임을 제시한다.

닮음비를 이용하여 ADÓ의 길이를 구한다.

직각삼각형의 외심의 위치를 이용하여 AMÓ, DMÓ의 길이를 각 각 구한다.

DHÓ의 길이를 구한다.

03

4

Step 검토하기

△ABD와 △ACE가 닮음임을 바르게 설명하였는가?

닮음비를 이용하여 CEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 직각삼각형에서 닮음인 두 삼각형을 찾고, 변의 길이를 구

할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △ABD와 △ACE가 닮음임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2 C 닮음비를 이용하여 CEÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

4

Step 검토하기

△ABD와 △CAD가 닮음임을 바르게 제시하였는가?

닮음비를 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

직각삼각형의 외심의 위치를 이용하여 AMÓ, DMÓ의 길이를 각 각 바르게 구하였는가?

DHÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 직각삼각형에서 닮음인 두 삼각형을 찾고, 변의 길이를 구

할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △ABD와 △CAD가 닮음임을 바르게 제시한 경우 1 C 닮음비를 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 D 직각삼각형의 외심의 위치를 이용하여 AMÓ, DMÓ의 길이

를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2

E DHÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

△ABD와 △ACE에서

∠A는 공통인 각 yy`① ∠ADB=∠AEC=90ù yy`②

①, ②에 의하여 △ABD»△ACE(AA 닮음)이다.

이때 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CEÓ이므로 8`:`9=6`:`CEÓ 8CEÓ=54, CEÓ=;`ª4¦`;cm  ∴ ;`ª4¦`;(cm)

모범답안

1

Step 조건확인

직각삼각형에서의 닮음 2

Step 서술순서

△ABD와 △ACE가 닮음임을 설명한다.

닮음비를 이용하여 CEÓ의 길이를 구한다.

04

3

Step 서술하기

! △ABD»△CAD(AA 닮음)이므로 BDÓ`:`ADÓ=ADÓ`:`CDÓ, 2`:`ADÓ=ADÓ`:`8 ADÓÛ`=16, ADÓ=4 (∵ ADÓ>0)

@ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ=5cm, DMÓ=3cm

이때 △ADM=;2!;_DMÓ_ADÓ=;2!;_AMÓ_DHÓ이므로 3_4=5_DHÓ, DHÓ=;`Á5ª`;cm ∴ ;`Á5ª`;(cm)

모범답안

교과서 기본예제 1 :£5ª:cm

교과서 기본예제 2 10cm

유사문제

⑴ △ABE와 △DEF에서

∠A=∠D=90ù yy`①

∠ABE+∠AEB=∠DEF+∠AEB=90ù이므로 ∠ABE=∠DEF yy`②

①, ②에 의하여 △ABE»△DEF(AA 닮음)이다.

∴ △ABE»△DEF(AA 닮음)

⑵ DEÓ=2cm, BEÓ=BCÓ=10cm

이때 ABÓ`:`DEÓ=AEÓ`:`DFÓ이므로 6`:`2=8`:`DFÓ 6DFÓ=16, DFÓ=;3*;cm

∴ ;3*;(cm)

종이접기에서의 닮음

33

출제유형 다지기

p. 174

http://zuaki.tistory.com

특별하게 연습하기

p. 176

△ABF와 △DFE에서

∠A=∠D=90ù yy`①

∠ABF+∠AFB=∠DFE+∠AFB=90ù이므로 ∠ABF=∠DFE yy`②

①, ②에 의하여 △ABF»△DFE(AA 닮음)이다.

이때 ABÓ`:`DFÓ=BFÓ`:`FEÓ이므로 12`:`DFÓ=15`:`{12-;2(;}

15DFÓ=90, DFÓ=6cm

∴ 6(cm)

01

△ABPª△EDP(ASA합동)이므로 PBÓ=PDÓ 즉, △PBD는 이등변삼각형이고

꼭지각 P에서 밑변에 내린 수선 PQ는 밑변 BD를 이등분하므로 BQÓ=DQÓ=5cm이다.

△BCD와 △BQP에서

∠BCD=∠BQP=90ù  yy`① ∠CBD=∠QBP(접은각) yy`②

①, ②에 의하여 △BCD»△BQP(AA 닮음)이다.

이때 BCÓ`:`BQÓ=DCÓ`:`PQÓ이므로 8`:`5=6`:`PQÓ 8PQÓ=30, PQÓ=;;Á4°;;cm

∴ ;;Á4°;;(cm)

02

1

Step 조건확인

정삼각형 모양의 종이접기, 닮음 2

Step 서술순서

⑴ △A′DB와 △EA′C가 닮음임을 설명한다.

⑴ 닮음조건을 제시한다.

⑵ 닮음비를 이용하여 AEÓ의 길이를 구한다.

03

3

Step 서술하기

⑴ △A′DB와 △EA′C에서

∠B=∠C=60ù yy`①

∠BDA′+∠BA′D=∠CA′E+∠BA′D=120ù이므로 ∠BDA′=∠CA′E yy`②

①, ②에 의하여 △A′DB»△EA′C(AA 닮음)이다.

∴ △A′DB»△EA′C(AA 닮음)

⑵ AEÓ=A′EÓ이고 ABÓ=8+7=15cm이므로 CAÓ′=15-5=10cm

BDÓ`:`CA′Ó=A′DÓ`:`EA′Ó이므로

8`:`10=7`:`EA′Ó, 8EA′Ó=70, EA′Ó=:£4°:cm ∴ :£4°:(cm)

모범답안

4

Step 검토하기

⑴ △A′DB와 △EA′C가 닮음임을 바르게 설명하였는가?

⑴ 닮음조건을 바르게 제시하였는가?

⑵ 닮음비를 이용하여 AEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 정삼각형 모양의 종이를 접었을 때, 닮음인 두 삼각형을 찾

고, 문제를 해결할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ △A′DB와 △EA′C가 닮음임을 바르게 설명한 경우

(과정) 2

C ⑴ 닮음조건을 바르게 제시한 경우 1

D ⑵ 닮음비를 이용하여 AEÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

정삼각형 모양의 종이접기, 닮음 2

Step 서술순서

△BDE와 △CEF가 닮음임을 설명한다.

EFÓ, CFÓ의 길이를 각각 제시한다.

닮음비를 이용하여 ADÓ의 길이를 구한다.

04

3

Step 서술하기

△BDE와 △CEF에서

∠B=∠C=60ù yy`①

∠BDE+∠BED=∠CEF+∠BED=120ù이므로 ∠BDE=∠CEF yy`②

①, ②에 의하여 △BDE»△CEF(AA 닮음)이다.

이때 ADÓ=DEÓ, AFÓ=EFÓ=7cm, CFÓ=5cm BEÓ`:`CFÓ=DEÓ`:`EFÓ이므로

4`:`5=DEÓ`:`7, 5DEÓ=28, DEÓ=:ª5¥:cm ADÓ=DEÓ=:ª5¥:cm

∴ :ª5¥:(cm) 모범답안

4

Step 검토하기

△BDE와 △CEF가 닮음임을 바르게 설명하였는가?

EFÓ, CFÓ의 길이를 각각 바르게 제시하였는가?

닮음비를 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 정삼각형 모양의 종이를 접었을 때, 닮음인 두 삼각형을 찾

고, 문제를 해결할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △BDE와 △CEF가 닮음임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2 C EFÓ, CFÓ의 길이를 각각 바르게 제시한 경우 1 D 닮음비를 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

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자신있게 쫑내기

p. 178

01

⑴ 원뿔에서의 닮음비는 모선의 길이의 비와 같으므로 9`:`12=3`:`4

∴ 3`:`4

⑵ 원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면 6`:`r=3`:`4, r=8

이때 밑면의 둘레의 길이는 2p_8=16pcm이다.

∴ 16p(cm) 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 닮은 입체도형의 성질을 이용하여 밑면의 반지름의 길이를

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 모선의 길이의 비를 이용하여 닮음비를 바르게 구한 경우 1 C ⑵ 원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 바르게 구한 경우 1 D ⑵ 원뿔 B의 밑면의 둘레의 길이를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

△ABC와 △EDC에서

∠BAC=∠DEC yy`① ∠C는 공통인 각 yy`②

①, ②에 의하여 △ABC∽△EDC(AA 닮음)이다.

이때 BCÓ`:`DCÓ=BAÓ`:`DEÓ이므로 6`:`12=4`:`DEÓ, DEÓ=8cm

∴ △ABC∽△EDC(AA 닮음), DEÓ=8(cm) 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 닮음인 두 삼각형을 찾아 닮음인 이유를 설명하고, 변의 길

이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △ABC와 △EDC가 닮음임을 설명하고, 닮음조건을 바르

게 제시한 경우 (과정) 3

C DEÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

02

⑴ △ABC와 △HBA에서

∠BAC=∠BHA=90ù yy`① ∠B는 공통인 각 yy`②

①, ②에 의하여 △ABC∽△HBA(AA 닮음)이다.

∴ △ABC∽△HBA(AA 닮음)

⑵ ABÓ`:`HBÓ=BCÓ`:`BAÓ이므로 6`:`3=(x+3)`:`6 3(x+3)=36, x=9 ∴ 9

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 직각삼각형에서 닮음인 두 삼각형을 찾고, 변의 길이를 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ △ABC와 △HBA가 닮음임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2

C ⑴ 닮음조건을 바르게 제시한 경우 1

D ⑵ 닮음비를 이용하여 x의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

05

△ABC와 △CBD에서

ABÓ`:`CBÓ=BCÓ`:`BDÓ=2`:`1 yy`①

∠B는 공통인 각 yy`②

①, ②에 의하여 △ABC∽△CBD(SAS 닮음)이다.

이때 ACÓ`:`CDÓ=2`:`1이므로 ACÓ`:`4=2`:`1, ACÓ=8cm

∴ △ABC∽△CBD(SAS 닮음), ACÓ=8(cm) 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 닮음인 두 삼각형을 찾아 닮음인 이유를 설명하고, 변의 길

이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B △ABC와 △CBD가 닮음임을 설명하고, 닮음조건을 바르

게 제시한 경우 (과정) 3

C ACÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

03

△ADF와 △FEC에서 DFÓECÓ이므로 ∠AFD=∠FCE(동위각) yy`① ∠ADF=∠FEC=90ù yy`②

①, ②에 의하여 △ADF∽△FEC(AA 닮음)이다.

DBÓ=DFÓ=xcm로 놓으면

ADÓ=(2-x)cm, ECÓ=(6-x)cm이다.

이때 ADÓ`:`FEÓ=DFÓ`:`ECÓ이므로 (2-x)`:`x=x`:`(6-x)

xÛ`=(2-x)(6-x), xÛ`=xÛ`-8x+12, 8x=12, x=;2#;

즉, DBEF={;2#;}Û`=;4(;cmÛ`  ∴ ;4(;(cmÛ`) 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 직각삼각형에서 닮음인 두 삼각형을 찾고, 문제를 해결할

수 있다. 1

문제해결 과정

B △ADF와 △FEC가 닮음임을 바르게 설명한 경우 (과정) 2 C DBEF의 한 변의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 3

D DBEF의 넓이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

06

⑴ △ADF와 △EBF에서 ADÓBEÓ이므로 ∠ADF=∠EBF(엇각) yy`① ∠DAF=∠BEF(엇각) yy`②

①, ②에 의하여 △ADF∽△EBF(AA 닮음)이다.

∴ △ADF∽△EBF(AA 닮음)

⑵ BDÓ=15cm이고 DFÓ`:`BFÓ=ADÓ`:`EBÓ=12`:`6=2`:`1 BFÓ=;3!;BDÓ=;3!;_15=5cm ∴ 5(cm)

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 닮음인 두 삼각형을 찾아 닮음인 이유를 설명하고, 변의 길

이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ △ADF와 △EBF가 닮음임을 설명하고, 닮음조건을

바르게 제시한 경우 (과정) 3

C ⑵BFÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

04

http://zuaki.tistory.com

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