평면벡터의 연산

Ⅱ.

평면벡터

03

1.

^3'5₅

2.

2'3

3.

¹⁰

4. 기본 유형

익히기 유제 본문 34~35쪽

1.

직각삼각형 ABC에서 ACÓ="Ã1Û`+2Û`='5이고 삼각형 ABC와 삼각형 AEB가 닮음이므로 ABÓ`:`ACÓ=AEÓ`:`ABÓ에서

1`:`'5=AEÓ`:`1, AEÓ= 1'5= '5 5 삼각형 AEB와 삼각형 CFD가 합동이므로 CFÓ=AEÓ= '5

따라서 EFÓ=ACÓ-(AEÓ+CFÓ)=3'5 5 이므로

|EF³|=EFÓ=3'5 5

 3'5 5

2.

AB³-AC³+DC³‌‌=AB³-AC³-CD³‌ ‌

=AB³-(AC³+CD³)

=AB³-AD³=DB³ 점 D에서 선분 AB에 내린 수선의

A H B

D 2

발을 H라 하면 사각형 ABCD가 등 변사다리꼴이므로

AHÓ=1, HBÓ=3 직각삼각형 DAH에서

DÕHÓ=AD DÕAÓ Û`-AHÓ Û`="Ã2Û`-1Û`='3 직각삼각형 BDH에서

DBÓ=AD DÕHÓ Û`+HBÓ Û` =¿¹('3 )Û`+3Û`=2'3 따라서 |AB³-AC³+DC³|=|DB³|=DBÓ=2'3

 2'3

3.

-2xø+3yø=aø yy ㉠

xø-yø=bø yy ㉡

㉠+㉡_2를 하면

yø=aø+2bø yy ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

01

^③

02

^④

03

^2'7

04

^③

05

⁷

06

^2'3

07

⁴

08

^④

09

^③

10

^③

11

^⑤

12

^①

유형

확인 본문 36~37쪽

01

여섯 개의 점 A, B, C, D, E, F를 시점 또는 종점으로 하는 벡터를 같은 벡터끼리 분류하면 다음과 같다.

AB³=FE³=DC³ AF³=FD³=BE³=EC³

AD³=BC³, AE³=FC³, BF³=ED³ AC³, BD³

위의 각각의 벡터에 대하여 방향이 반대인 벡터가 있으므로 서로 다른 벡터는 14개이다.

 ③

따라서

|AÕM³|‌‌=AÕMÓ=ADE AHÓ Û`+MòHÓ Û`

=¿¹(4+1)Û`+('3)Û`=2'7

 2'7

04

E G

A B B'

C' C F

그림에서 AÕC'³=xø, AÕB'³=yø라 하면 aø=-xø+yø, bø=2xø이므로 xø=;2!; bø, yø=aø+;2!; bø DE³‌‌=DF³+DG³‌ ‌

=-2AÕB'³+4AÕC'³

=-2yø+4xø

= (-2)_{aø+;2!; bø}+4_;2!; bø

= -2aø+bø

따라서 m=-2, n=1이므로 m+n=-1

 ③

05

^{타원 xÛ`}_{16 +}^yÛ`7 =1의 두 초점 F, F'을

F(c, 0), F'(-c, 0) (c>0)이라 하면 c='Ä16-7=3이므로 F(3, 0), F'(-3, 0)

F' F

P y

-16xÛ +-yÛ7=1

선분 FF'의 중점이 원점 O이므로 PF³+PÕF'³=2PO³

이때 |PF³+PÕF'³|=6이므로

|2PO³|=2|PO³|=6에서 POÓ=3

즉, OPÓ=OFÓ=OÕF'Ó=3에서 세 점 F, F', P는 원점 O를 중심 으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 위의 점이므로

∠FPF'=90ù이다.

02

직각삼각형 ABC의 넓이가 ;2!;_2_4=4이고

점 M이 선분 AC의 중점이므로 삼각형 ABM의 넓이는 2이다.

B H

K M

C 4

점 M에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 K라 하면 ABÓMòKÓ이고 AÕMÓ=MÕCÓ이므로

MòKÓ=;2!; ABÓ=1, BKÓ=2 직각삼각형 MBK에서 BÕMÓ‌‌=ADE BKÓ Û`+MòKÓ Û`

="Ã2Û`+1Û`='5

삼각형 ABM의 넓이는 2이므로

;2!;_'5_AHÓ=2에서 AHÓ=4'5

따라서 |AH³|=AHÓ=4'5 5

 ④

참고 삼각형의 두 변의 중점을 연결하는 선분의 성질

삼각형 ABC에서 ^A

M N

B C

⑴ AÕMÓ=MòBÓ, ANÓ=NCÓ이면 MòNÓBCÓ, MòNÓ=;2!; BCÓ

⑵ AÕMÓ=MòBÓ, MòNÓBCÓ이면 ANÓ=NCÓ, MòNÓ=;2!; BCÓ

03

점 M에서 선분 AB의 연장 ^D

A B H

M 60ù

선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 사각형 ABCD가 마름모이므로

∠CBH‌‌=∠DAB‌ ‌

=60ù

점 M은 선분 BC의 중점이므로 BÕMÓ=2

BHÓ=BÕMÓ cos`60ù=2_;2!;=1 MòHÓ=BÕMÓ sin`60ù=2_ '3

2 ='3

PFÓ=k라 하면 타원의 정의에 의하여 PFÓ+PÕF'Ó=2_4=8이므로 PÕF'Ó=8-k

직각삼각형 FPF'에서 PFÓ Û`+PÕF'Ó Û`=FÕ'FÓ Û`

kÛ`+(8-k)Û`=36

kÛ`-8k+14=0 yy ㉠

따라서 직각삼각형 FPF'의 넓이는 ㉠에 의하여

;2!;_k_(8-k)=;2!;(8k-kÛ`)

=;2!;_14=7

 7

06

OA³+OC³+BC³‌‌=OA³+OC³+(OC³-OB³)

=OA³+2OC³+OA³

=2(OA³+OC³)

점 C가 호 AB의 삼등분점 중에서 점 A에 가까운 점이므로 삼각형 OCA는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다.

선분 AC의 중점을 M이라 하면 OÕMÓ= '3

2 이고

OA³+OC³=2OÕM³이므로

|OA³+OC³+BC³|‌‌=|2(OA³+OC³)|‌ ‌

=|4‌OÕM³|=4‌OÕMÓ

=4_ '3 2 =2'3

 2'3

07

P N

L Q

C D

aø M

bø

선분 BC의 중점을 L이라 하고, 선분 AM과 선분 NL의 교점 을 Q라 하자.

두 점 N, L은 각각 두 선분 AD, BC의 중점이므로 ABÓNLÓ, NLÓDCÓ

이때 직각삼각형 AMD에서 ANÓ=NDÓ이고, NQÓDÕMÓ이므로 NQ³=;2!; DÕM³Ó

A O B

C M

그러므로

AQ³=AÕN³+NÕQ³=;2!; AD³+;2!; DÕM³

=;2!; AD³+;2!;_;2!; DC³

=;2!; AD³+;4!; DC³

=;2!; bø+;4!; aø

또 ABÓ`:`NQÓ=4`:`1이고 ABÓNQÓ이므로 두 삼각형 ABP, QNP는 서로 닮음이고, 닮음비는 4`:`1이다.

그러므로

AP³=;5$;AQ³=;5$;{;2!; bø+;4!; aø}

=;5!; aø+;5@; bø

따라서 m=;5!;, n=;5@;이므로 50mn=50_;5!;_;5@;=4

 4

08

정육각형 ABCDEF의 변 EF를 한 변으로 하는 정육각 형을 그리면 다음과 같다.

A' B 30ù

C E

aø bø

I H

FÕIø=2GH³=2AF³‌이므로 AÕIø=3bø -aø+3bø=BA³+AÕIø=BÕIø

점 A에서 선분 BF에 내린 수선의 발을 A'이라 하면 BÕA'Ó=ABÓ`cos`30ù=1_ '3

2 ='3 2 이므로

BHÓ=2BFÓ=4BÕA'Ó=4_ '3 2 =2'3 또 HÕI®=1이므로 직각삼각형 BIH에서 BÕI®=BHÓ‌Û`+HIÓ‌Û`

=¿¹(2'3)Û`+1Û`='13

따라서 |-aø+3bø|=|BÕIø|=BÕI®='13

 ④

09

선분 BC의 중점을 M이라 하면 DE³=DÕM³+MòE³

두 점 D, M이 각각 두 선분 AC, BC 의 중점이므로

DÕM³=;2!;AB³

A B

E D

점 E가 선분 BC의 삼등분점 중에서 점 B에 가까운 점이고, 점 M이 선분 BC의 중점이므로

MòE³=;3!; MòB³=;3!;_;2!; CB³=;6!; CB³

=;6!;(AB³-AC³) 그러므로

DE³=DÕM³+MòE³

=;2!;AB³+;6!;(AB³-AC³)

=;3@;AB³-;6!;AC³

따라서 m=;3@;, n=-;6!;이므로 m+n=;2!;

 ③

10

점 E가 선분 BC의 삼등분점 중에서 점 C에 가까운 점이 므로

BE³=;3@; BC³

또 평행사변형 ABCD에서 ADÓBCÓ이고 ADÓ`:`BEÓ=3`:`2 이므로 두 삼각형 AFD, EFB는 서로 닮음이고, 닮음비는 3`:`2이다.

그러므로

AF³=;5#;AE³=;5#;(AB³+BE³)

=;5#; {AB³+;3@; BC³}

=;5#;AB³+;5@; BC³

=;5#;AB³+;5@; AD³ 따라서 m=;5#;, n=;5@;이므로 mn=;5#;_;5@;=;2¤5;

 ③

11

AB³=OB³-OA³=3aø-4bø AC³=OC³-OA³=-3aø+(k-3)bø

이고, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC³=mAB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 m이 존재하여야 하므로

-3aø+(k-3)bø=m(3aø-4bø)

두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 -3=3m, k-3=-4m

따라서 m=-1이므로 k=7

 ⑤

12

pø+qø=(m+3)aø+5bø, qø+rø=aø+(n-1)bø에서 두 벡터 pø+qø, qø+rø가 서로 평행하므로

pø+qø=k(qø+rø)를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재한다.

(m+3)aø+5bø=k{aø+(n-1)bø}=kaø+k(n-1)bø에서 두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로

m+3=k yy ㉠

5=k(n-1) yy ㉡

㉠에서 m이 자연수이므로 k도 자연수이다.

㉡에서 k, n-1이 자연수이므로

Ú k=5, n-1=1, 즉 k=5, n=2인 경우

㉠에 대입하면 m+3=5이므로 m=2 Û k=1, n-1=5, 즉 k=1, n=6인 경우

㉠에 대입하면 m+3=1이므로 m=-2 이때 m이 자연수가 아니므로 모순이다.

Ú, Û에서 m=n=2이므로 m+n=4

 ①

01

^-7

02

03

^-;3$;

연습장

^{본문 38쪽}

문서에서 EBS 올림포스 기하 답지 정답 (페이지 26-29)