서술형

A B

E D

점 E가 선분 BC의 삼등분점 중에서 점 B에 가까운 점이고, 점 M이 선분 BC의 중점이므로

MòE³=;3!; MòB³=;3!;_;2!; CB³=;6!; CB³

=;6!;(AB³-AC³) 그러므로

DE³=DÕM³+MòE³

=;2!;AB³+;6!;(AB³-AC³)

=;3@;AB³-;6!;AC³

따라서 m=;3@;, n=-;6!;이므로 m+n=;2!;

 ③

10

점 E가 선분 BC의 삼등분점 중에서 점 C에 가까운 점이 므로

BE³=;3@; BC³

또 평행사변형 ABCD에서 ADÓBCÓ이고 ADÓ`:`BEÓ=3`:`2 이므로 두 삼각형 AFD, EFB는 서로 닮음이고, 닮음비는 3`:`2이다.

그러므로

AF³=;5#;AE³=;5#;(AB³+BE³)

=;5#; {AB³+;3@; BC³}

=;5#;AB³+;5@; BC³

=;5#;AB³+;5@; AD³ 따라서 m=;5#;, n=;5@;이므로 mn=;5#;_;5@;=;2¤5;

 ③

11

AB³=OB³-OA³=3aø-4bø AC³=OC³-OA³=-3aø+(k-3)bø

이고, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC³=mAB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 m이 존재하여야 하므로

-3aø+(k-3)bø=m(3aø-4bø)

두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 -3=3m, k-3=-4m

따라서 m=-1이므로 k=7

 ⑤

12

pø+qø=(m+3)aø+5bø, qø+rø=aø+(n-1)bø에서 두 벡터 pø+qø, qø+rø가 서로 평행하므로

pø+qø=k(qø+rø)를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재한다.

(m+3)aø+5bø=k{aø+(n-1)bø}=kaø+k(n-1)bø에서 두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로

m+3=k yy ㉠

5=k(n-1) yy ㉡

㉠에서 m이 자연수이므로 k도 자연수이다.

㉡에서 k, n-1이 자연수이므로

Ú k=5, n-1=1, 즉 k=5, n=2인 경우

㉠에 대입하면 m+3=5이므로 m=2 Û k=1, n-1=5, 즉 k=1, n=6인 경우

㉠에 대입하면 m+3=1이므로 m=-2 이때 m이 자연수가 아니므로 모순이다.

Ú, Û에서 m=n=2이므로 m+n=4

 ①

01

^-7

02

03

^-;3$;

연습장

^{본문 38쪽}

01

AB³‌‌=OB³-OA³‌‌ ‌

=(aø+bø)-(2aø-bø)

=-aø+2bø

03

2pø+qø‌‌=2(3aø+2bø)+(-2aø+kbø)

=4aø+(4+k)bø

4pø-2qø‌‌=4(3aø+2bø)-2(-2aø+kbø)

=16aø+(8-2k)bø yy ➊

두 벡터 2pø+qø, 4pø-2qø가 서로 평행하려면

4pø-2qø=t(2pø+qø)를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재하여 야 한다.

16aø+(8-2k)bø=t{4aø+(4+k)bø}에서

16aø+(8-2k)bø=4taø+t(4+k)bø yy ➋ 두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 16=4t, 8-2k=t(4+k)

따라서 t=4이므로

k=-;3$; yy ➌

 -;3$;

단계 채점 기준 비율

➊ 두 벡터 2pø+qø, 4pø-2qø를 두 벡터 aø, bø로 표

현한 경우 30`%

➋ 두 벡터의 평행 조건을 이용하여 나타낸 경우 30`%

➌ 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않음을 이용하

여 실수 k의 값을 구한 경우 40`%

AC³ =OC³-OA³‌ ‌

=(5aø+mbø)-(2aø-bø)

=3aø+(m+1)bø yy ➊

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC³=k AB³를 만족 시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하여야 하므로

3aø+(m+1)bø=k(-aø+2bø)

3aø+(m+1)bø=-kaø+2kbø yy ➋

두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 3=-k, m+1=2k

따라서 k=-3이므로

m=-7 yy ➌

 -7

단계 채점 기준 비율

➊ 두 벡터 AB³, AC³를 두 벡터 aø, bø로 표현한 경

우 40`%

➋ 0이 아닌 실수 k에 대하여 AC³=kAB³임을 이

용하여 식을 세운 경우 40`%

➌ 실수 m의 값을 구한 경우 20`%

02

정육각형의 세 대각선 AD, ^A

D C

O E M

BE, CF의 교점을 O라 하면 사각형 ABOF가 평행사변형이므로 AB³+AF³=AO³ yy ➊ 선분 CE의 중점을 M이라 하면 삼 각형 ACE가 정삼각형이므로

AC³+AE³=2AÕM³ yy ➋

또 점 O가 정삼각형 ACE의 무게중심이므로 AÕM³=;2#; AO³

따라서 AC³+AE³=2AÕM³=2_;2#; AO³=3AO³ 이므로

k=3 yy ➌

 3

단계 채점 기준 비율

➊ 정육각형에 대각선을 그어 AB³+AF³를 구한

경우 30`%

➋ 삼각형 ACE가 정삼각형임을 이용하여 벡터

AC³+AE³를 구한 경우 30`%

➌ 삼각형의 무게중심을 이용하여 실수 k의 값을

구한 경우 40`%

01

^①

02

⁴¹

03

^-;4!;

고난도 문항

내신

⁺

수능

본문 39쪽

01

사각형 ABCD가 마름모이고 ∠DAB=120ù이므로 두 삼각형 ABC, ACD는 모두 한 변의 길이가 2인 정삼각형이다.

2AB³+3AD³‌‌=2(AB³+AD³)+AD³‌ ‌

=2AC³+AD³

B D

120ù C E H

그림과 같이 선분 AC의 연장선 위에 ACÓ=CEÓ를 만족시키는 점을 E라 하고, 점 D를 지나면서 선분 AE와 평행한 직선 위 에 AEÓ=DFÓ를 만족시키는 점을 F라 하면 사각형 AEFD는 평행사변형이 된다.

그러므로

2AÕB³+3AÕD³ =2AC³+AD³‌ ‌

=AF³

점 F에서 선분 AE의 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 ACÓ=2에서 AEÓ=4, EFÓ=ADÓ=2이고

∠FEH=∠DAC=60ù이므로 EHÓ=FEÓ‌cos`60ù=2_;2!;=1 FHÓ=FEÓ sin`60ù=2_ '3

2 ='3 직각삼각형 FAH에서

AHÓ=AEÓ+EHÓ=4+1=5이므로 AFÓ‌‌=ADAHÓÛ`+FHÓÛ`=¿¹5Û`+('3 )Û`=2'7

따라서 |2AÕB³+3AÕD³|=|AF³|=AFÓ=2'7이므로

|2AB³+3AD³|Û`=28

 ①

02

OA³+2OB³-OC³‌‌=(OA³+OB³)+(OB³-OC³)

=OA³+OB³+CB³

삼각형 ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이고 점 O가 선분 BC의 중점이므로 선분 AO와 선분 BC는 서로 수직이다.

B C

E D

그림과 같이 선분 OA, OB를 이웃한 두 변으로 하는 직사각형 의 나머지 한 꼭짓점을 D라 하고, 선분 AD의 연장선 위에 ADÓ=DEÓ가 되도록 점 E를 잡아 직사각형 OADB와 합동인 직사각형 BDEF를 그리면 OA³+OB³=OD³=BE³이므로

OA³+2OB³-OC³‌‌=OA³+OB³+CB³

=BE³+CB³

=CE³

BOÓ=;2!; BCÓ=2이므로 직각삼각형 ABO에서 EFÓ‌=AOÓ=AD ABÓ‌Û`-BOÓ‌Û`

="Ã3Û`-2Û`='5

또 CFÓ=6이므로 직각삼각형 CEF에서 CEÓ‌=AD EFÓ‌Û`+CFÓ‌Û`

=¿¹('5 )Û`+6Û`='41

따라서 |OA³+2OB³-OC³|=|CE³|=CEÓ='41이므로

|OA³+2OB³-OC³|Û`=41

 41

03

정육각형의 세 대각선 AD, BE, ^A

M O

C E

N F

aø bø

CF의 교점을 O라 하면 BC³=FE³=AO³=aø+bø AÕM³=AB³+BÕM³

=AB³+;2!;‌BC³

=aø+;2!;(aø+bø)

=;2#; aø+;2!; bø 이고

AP³=;2!;AN³=;2!;(AF³+FE³+EN³)

=;2!; {AF³+FE³+;2!;‌ED³}

=;2!;[bø+(aø+bø‌)+;2!; aø]

=;4#; aø+bø 이므로

MòP³=AP³-AÕM³

={;4#; aø+bø}-{;2#; aø+;2!; bø}

=-;4#; aø+;2!; bø

따라서 m=-;4#;, n=;2!;이므로 m+n=-;4!;

 -;4!;

문서에서 EBS 올림포스 기하 답지 정답 (페이지 29-32)