평면벡터의 성분과 내적 - EBS 올림포스 기하 답지 정답

Ⅱ.

평면벡터

04

1.

-;3$; aø+;3$; bø

2.

3.

;5*;

4.

^-1

5.

;2#;

6.

-;3@;

7.

2'13 p

8.

2'2

기본 유형

익히기 유제 본문 43~46쪽

1.

선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 위치벡터를 pø라 하면 pø= 2bø+aø

2+1 =;3!; aø+;3@; bø

선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 위치벡터를 qø라 하면 qø= 2bø-aø

2-1 =-aø+2bø 따라서

PQ³=qø-pø=(-aø+2bø)-{;3!; aø+;3@; bø}=-;3$; aø+;3$; bø

 -;3$; aø+;3$; bø

2.

2aø-bø =2(t, -1)-(t-1, 1-2t)

=(2t, -2)-(t-1, 1-2t)

=(t+1, 2t-3) 이므로

|2aø-bø| ="Ã(t+1)Û`+(2t-3)Û`="Ã5tÛ`-10t+10

="Ã5(t-1)Û`+5

따라서 |2aø-bø|는 t=1일 때 최솟값 '5를 갖는다.

 '5

3.

pø=(x, y)라 하면

pø•aø=-1에서 pø•aø=(x, y)•(-1, 2)=-x+2y이므로

-x+2y=-1 yy ㉠

pø•bø=5에서 pø•bø=(x, y)•(3, 4)=3x+4y이므로

3x+4y=5 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;5&;, y=;5!;

따라서 벡터 pø의 모든 성분의 합은

;5&;+;5!;=;5*;

 ;5*;

4.

두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로 aø•bø=0

(k+2, k)•(2k-1, -2)=0 (k+2)_(2k-1)+k_(-2)=0 2kÛ`+k-2=0

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k 의 값의 곱은 -1이다.

 -1

5.

점 A(2, -3)을 지나고 직선 x+13 =y-5

4 에 수직인 직선의 방정식의 법선벡터는 (3, 4)이므로 이 직선의 방정식은 3(x-2)+4(y+3)=0

즉, 3x+4y+6=0

이 직선이 x축과 만나는 점 B의 좌표는 (-2, 0)이고, y축과 만나는 점 C의 좌표는 {0, -;2#;}이다.

따라서 삼각형 OBC의 넓이는

;2!;_2_;2#;=;2#;

 ;2#;

6.

3x=4y+8, 2x-4= y+1a 에서 x4 =y+2

3 , x-2=y+1 2a 두 직선 x4 =y+2

3 , x-2=y+1

2a 의 방향벡터를 각각 uø, vø라 하면

uø=(4, 3), vø=(1, 2a) 두 직선이 서로 수직이므로 uø•vø=0

(4, 3)•(1, 2a)=0 4_1+3_2a=0 4+6a=0 따라서 a=-;3@;

 -;3@;

01

^④

02

^⑤

03

^①

04

^③

05

^④

06

^③

07

19

^⑤

20

³⁷

21

^①

유형

확인 본문 47~49쪽

7.

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

pø-aø=(x+1, y-3), pø-bø=(x-5, y+1)이므로 (pø-aø)•(pø-bø) =(x+1, y-3)•(x-5, y+1)

=(x+1)(x-5)+(y-3)(y+1)

=xÛ`-4x+yÛ`-2y-8 (pø-aø)•(pø-bø)=0에서

xÛ`-4x+yÛ`-2y-8=0 (x-2)Û`+(y-1)Û`=13

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 (2, 1)이고 반지름의 길이가 '13인 원이므로 구하는 길이는 2'13 p이다.

 2'13 p

8.

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP³=(x-3, y-1)

|AP³|='2에서 |AP³|Û`=2이므로 (x-3)Û`+(y-1)Û`=2

즉, 점 P는 중심이 (3, 1)이고 반지름의 길이가 '2인 원 위의 점이 된다.

OP³•AP³=0이면 OP³⊥AP³이므

A P

x y

3 O

로 그림과 같이 직선 OP는 원의 접선이고 점 P는 접점이다.

따라서 APÓ='2,

OAÓ="Ã3Û`+1Û`='10 이므로

|OP³|=OPÓ=AD OAÓ Û`-APÓ Û`

="Ã('10)Û`-('2 )Û`=2'2

 2'2

01

BD³=BA³+BC³에서 OD³-OB³=(OA³-OB³)+(OC³-OB³)

네 점 A, B, C, D의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø, dø이므로 dø-bø=(aø-bø)+(cø-bø)

그러므로 dø=aø-bø+cø

따라서 l=1, m=-1, n=1이므로 l+m+n=1

 ④

02

2AB³=BC³+AC³에서

2(OB³-OA³)=(OC³-OB³)+(OC³-OA³) 세 점 A, B, C의 위치벡터를 aø, bø, cø라 하면 2(bø-aø)=(cø-bø)+(cø-aø)이므로

3bø=aø+2cø bø= 1_aø+2_cø

1+2

즉, 점 B는 선분 AC를 2`:`1로 내분하는 점이다.

ACÓ=12이므로 선분 AB의 길이는 ABÓ=;3@;ACÓ=;3@;_12=8

 ⑤

03

3PA³-BP³-2CP³=0ø에서 ^A

B R C

3PA³=BP³+2CP³이므로 Q

PA³=- PB³+2PC³1+2

선분 BC를 2`:`1로 내분하는 점을 R라 하면

PB³+2PC³

1+2 =PR³이므로 PA³=-PR³‌

삼각형 ABC의 넓이가 24이므로 삼각형 ABR의 넓이는 24_;3@;=16

APÓ=PRÓ이므로 삼각형 ABP의 넓이는 16_;2!;=8

점 Q는 선분 AB를 1`:`3으로 내분하는 점이므로 삼각형 AQP 의 넓이는

8_;4!;=2

 ①

04

네 점 A(2, 3), B(-1, 2), C(2, 5), P(a, b)에 대하여 AP³=(a-2, b-3), BP³=(a+1, b-2),

CP³=(a-2, b-5)이므로 3AP³+2BP³+CP³‌

=(3a-6, 3b-9)+(2a+2, 2b-4)+(a-2, b-5)

=(6a-6, 6b-18) 3AP³+2BP³+CP³=0ø에서 (6a-6, 6b-18)=(0, 0) 즉, 6a-6=0, 6b-18=0이므로 a=1, b=3

따라서 a+b=1+3=4

 ③

05

직선 y=x+1 위의 점 P의 좌표를 (a, a+1)이라 하면 AP³+BP³‌‌=(a-3, a-1)+(a+1, a-2)

=(2a-2, 2a-3) 이므로

|AP³+BP³|="Ã(2a-2)Û`+(2a-3)Û`

="Ã8aÛ`-20a+13

=¾±8{a-;4%;}Û`+;2!;

따라서 |AP³+BP³|는 a=;4%;일 때 최솟값 '2

2 를 갖는다.

 ④

06

pø=(x, y)라 하면 pø-cø=(x+4, y-2) 두 벡터 pø, aø+bø가 서로 평행하므로

pø=t(aø+bø)`(단, t는 0이 아닌 실수) 이때 aø+bø=(-2, 6)이므로 (x, y)=t(-2, 6)에서

x=-2t, y=6t yy ㉠

|pø-cø|='10에서 |pø-cø|Û`=10이므로

(x+4)Û`+(y-2)Û`=10 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 4tÛ`-4t+1=0

(2t-1)Û`=0, t=;2!;

즉, pø=(x, y)=(-2t, 6t)=(-1, 3)이므로

|pø|=¿¹(-1)Û`+3Û`='10

 ③

07

aø•bø‌‌=(x+2, x-3)•(3, 3x)

=(x+2)_3+(x-3)_3x

=3xÛ`-6x+6

=3(x-1)Û`+3

따라서 aø•bø의 값은 x=1일 때 최소이다.

 ②

08

두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 hù라 하면 aø•bø=|aø||bø|cos`hù에서

2=2_3_cos`hù cos`hù=;3!;

0ù<hù<90ù이므로 sin`hù="Ã1-cosÛ` hù=2'2 3 따라서 구하는 평행사변형의 넓이는

|aø||bø|sin`hù=2_3_2'2 3 =4'2

 ②

09

두 벡터 OP³, OQ³가 이루는 각의 크기를 hù라 하면 OP³•OQ³=|OP³||OQ³|cos`hù‌ yy ㉠

|OP³|=2이므로 ㉠이 최대가 되려면 |OQ³| cos`hù의 값이 최 대가 되어야 한다.

|OQ³|cos`hù의 값이 최대가 될 때,

QÁ

O 2

P y

x 3

점 Q에서 원에 접하는 접선이 x축 과 만나는 점을 QÁ이라 하면

|OQ³|cos`hù‌ ‌

=|OÕQÁ³|

=2+(원의 반지름의 길이)

=2+'2

OP³•OQ³의 최댓값은 ㉠에 의하여 OP³•OQ³‌‌=|OP³||OQ³| cos`hù

É|OP³||OÕQÁ³|

=2_(2+'2)=4+2'2

㉠이 최소가 되려면 |OQ³| cos`hù의 값이 최소가 되어야 한다.

|OQ³| cos`hù의 값이 최소가 될 때,

Qª

O 2

P y

x 3

점 Q에서 원에 접하는 접선이 x축 과 만나는 점을 Qª라 하면

|OQ³| cos`hù

=|OÕQª³|

=2-(원의 반지름의 길이)

=2-'2

이므로 OP³•OQ³의 최솟값은 ㉠에 의하여 OP³•OQ³‌‌=|OP³||OQ³| cos`hù

¾|OP³||OÕQª³|

=2_(2-'2)=4-2'2 따라서 M=4+2'2, m=4-2'2이므로 Mm =(4+2'2)(4-2'2)

=4Û`-(2'2 )Û`=8

 ③

10

두 벡터 bø, cø가 서로 수직이므로 bø•cø=0

(3, q)•(q+1, -6)=0 3_(q+1)+q_(-6)=0 3-3q=0, q=1

두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 45ù이므로 aø•bø=|aø||bø| cos`45ù

이때 aø•bø=(p, -1)•(3, 1)=3p-1이고

|aø|="ÃpÛ`+(-1)Û`="pÛ`+1, |bø|="Ã3Û`+1Û`='10이므로 3p-1="ÃpÛ`+1_'10_ 1'2

양변을 제곱하여 정리하면 2pÛ`-3p-2=0

(2p+1)(p-2)=0 p>0이므로 p=2 따라서 p=2, q=1이므로 p+q=3

 3

11

|aø-2bø|='5 에서 |aø-2bø|Û`=5이므로

|aø|Û`-4aø•bø+4|bø|Û`=5 이때 |aø|=2, |bø|= '5

2 이므로 aø•bø=1

두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 hù이므로 aø•bø=|aø||bø| cos`hù에서

1=2_ '5

2 _cos`hù cos`hù= 1

'5 따라서 cosÛ``hù=;5!;

 ②

12

두 벡터 3aø+bø, aø-bø가 서로 수직이므로 (3aø+bø)•(aø-bø)=0

3|aø|Û`-2aø•bø-|bø|Û`=0 이때 |aø|=2, |bø|=3이므로 aø•bø=;2#;

 ⑤

13

점 A(-1, a)를 지나고 방향벡터가 uø=(3, 2)인 직선 l 의 방정식은

x+1 3 =y-a

직선 l이 점 (2, 5)를 지나므로 2+13 =5-a

2 , 2=5-a 따라서 a=3

 3

14

점 A(-1, 4)를 지나고 직선 x-45 =2-y

3 에 수직인 직선의 방정식의 법선벡터는 (5, -3)이므로 이 직선의 방정식은 5(x+1)-3(y-4)=0

즉, 5x-3y+17=0

이 직선이 점 (2, k)를 지나므로 10-3k+17=0

따라서 k=9

 ④

15

점 A(3, -2)를 지나고 방향벡터가 uø=(3, 4)인 직선 l 의 방정식은

x-33 =y+2 4 x-33 =y+2

4 =t (t는 실수)라 하면 x=3t+3, y=4t-2

즉, 직선 l 위의 점 P의 좌표는 (3t+3, 4t-2)로 놓을 수 있다.

점 B에서 직선 l 위의 점까지의 거리의 최솟값은 점 B에서 직선 l에 내린 수선의 발까지의 거리와 같으므로 |BP³|가 최솟값을 가지려면 점 P가 점 B에서 직선 l에 내린 수선의 발이어야 한다.

BP³⊥uø이므로 BP³•uø=0

이때 BP³=(3t+5, 4t-5), uø=(3, 4)이므로 (3t+5, 4t-5)•(3, 4)=0

(3t+5)_3+(4t-5)_4=0 25t-5=0, t=;5!;

따라서 점 P의 좌표는 {:Á5¥:, -;5^;}이다.

 {:Á5¥:, -;5^;}

16

두 직선 x+3k+1 =y-2 2 , x+2

3 =y-1

k-4 의 방향벡터를 각각 uø, vø라 하면

uø=(k+1, 2), (3, k-4) 두 직선이 서로 수직이므로

uø•vø=0, (k+1, 2)•(3, k-4)=0 (k+1)_3+2_(k-4)=0 5k-5=0

따라서 k=1

 1

17

두 직선 x+24 =y-5

3 , 2-x=y+1

7 의 방향벡터를 각 각 uø, vø라 하면 uø=(4, 3), vø=(-1, 7)이므로

|uø|="Ã4Û`+3Û`=5, vø="Ã(-1)Û`+7Û`=5'2 uø•vø=4_(-1)+3_7=17

따라서 cos`hù=|uø•vø|

|uø||vø|= 17

5_5'2=17'2 50

 ⑤

18

^2x_{3 =}_{2a+1 ,}^y-3 ^3x-2₂ ^=1-2y에서

x3 = y-3

2(2a+1), x-;3@;

4 =y-;2!;

-3 두 직선의 방향벡터를 각각 uø, vø라 하면 uø=(3, 4a+2), vø=(4, -3) 두 직선이 서로 평행하면 uø=tvø (t는 0이 아닌 실수)이므로 (3, 4a+2)=t(4, -3) 에서 3=4t, 4a+2=-3t t=;4#;, a=-;1!6&;

즉, a=-;1!6&;

두 직선이 서로 수직이면 uø•vø=0이므로 (3, 4a+2)•(4, -3)=0

3_4+(4a+2)_(-3)=0

-12a+6=0, a=;2!;

즉, b=;2!;

따라서 a+b=-;1!6&;+;2!;=-;1»6;

 ②

19

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

pø-aø=(x-2, y+3), pø-bø=(x-4, y-1)이므로 (pø-aø)•(pø-bø) =(x-2, y+3)•(x-4, y-1)

=(x-2)(x-4)+(y+3)(y-1)

=xÛ`-6x+yÛ`+2y+5 (pø-aø)•(pø-bø)=0에서

xÛ`-6x+yÛ`+2y+5=0 (x-3)Û`+(y+1)Û`=5

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 (3, -1)이고 반지름 의 길이가 '5인 원이므로 구하는 넓이는 5p이다.

 ⑤

20

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

pø-aø=(x+2, y+3), pø-bø=(x-3, y-1) 이때 |pø-aø|=2에서 |pø-aø|Û`=4이므로 (x+2)Û`+(y+3)Û`=4

즉, |pø-aø|=2를 만족시키는 점 P가 나타내는 도형을 CÁ이라 하면 CÁ은 중심이 (-2, -3)이고 반지름의 길이가 2인 원이다.

|pø-bø|=k (k>0)라 하면 |pø-bø|Û`=kÛ`이므로 (x-3)Û`+(y-1)Û`=kÛ`

즉, |pø-bø|=k를 만족시키는 점 P가 나타내는 도형을 Cª라 하면 Cª는 중심이 (3, 1)이고 반지름의 길이가 k인 원이다.

O 3 CÁ

Cª -2

-3 y

그림과 같이 두 원 CÁ, Cª가 접할 때, k가 최댓값과 최솟값을 갖는다.

두 원 CÁ, Cª의 중심 (-2, -3), (3, 1) 사이의 거리는

"Ã{3-(-2)}Û`+{1-(-3)}Û`='41 이고, 원 CÁ의 반지름의 길이는 2이므로

01

^:¢2°:

02

¹⁵

03

04

²⁰

연습장

^{본문 50쪽}

서술형

01

|aø+bø|=3에서 |aø+bø|Û`=9

|aø|Û`+2aø•bø+|bø|Û`=9 yy ㉠

|pø-bø|의 최댓값 M은 '41+2, 최솟값 m은 '41-2이다.

따라서

Mm =('41+2)('41-2)

=('41 )Û`-2Û`=37

 37

21

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

AP³=(x-5, y+3), BP³=(x+1, y-5)이므로 AP³+BP³=(2x-4, 2y-2)

|AP³+BP³|=2에서

|AP³+BP³|Û`=4 (2x-4)Û`+(2y-2)Û`=4 (x-2)Û`+(y-1)Û`=1

즉, 점 P가 나타내는 도형은 중심이 (2, 1)이고 반지름의 길이 가 1인 원이다.

그림과 같이 점 C와 원의 중심

O 2

P y

1 C(-4, 5)

을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중에서 점 C와 가까운 점 에 점 P가 위치할 때, 두 점 C, P 사이의 거리가 최소가 된다.

점 C(-4, 5)와 원의 중심 (2, 1) 사이의 거리는

"Ã{2-(-4)}Û`+(1-5)Û`=2'13 이므로 구하는 최솟값은 2'13-1이다.

따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1

 ①

|aø-bø|=2에서 |aø-bø|Û`=4

|aø|Û`-2aø•bø+|bø|Û`=4 yy ㉡ yy ➊

㉠+㉡을 하면

2|aø|Û`+2|bø|Û`=13, |aø|Û`+|bø|Û`=:Á2£:

㉠-㉡을 하면

4aø•bø=5, aø•bø=;4%; yy ➋

|aø-2bø|Û`=|aø|Û`-4aø•bø+4|bø|Û`,

|2aø-bø|Û`=4|aø|Û`-4aø•bø+|bø|Û`이므로

|aø-2bø|Û`+|2aø-bø|Û`=5(|aø|Û`+|bø|Û`)-8aø•bø

=5_:Á2£:-8_;4%;

=:¤2°:-10=:¢2°: yy ➌

 :¢2°:

단계 채점 기준 비율

➊ |aø+bø|=3, |aø-bø|=2의 양변을 각각 제곱

하여 전개한 경우 30`%

➋ |aø|Û`+|bø|Û`, aø•bø의 값을 구한 경우 30`%

➌ 벡터의 크기와 내적을 이용하여 식의 값을 구

한 경우 40`%

02

직선 l`:` x+53 =y-1에 평행한 직선의 방향벡터를 uø라 하면 uø=(3, 1)

점 (1, 2)를 지나고 방향벡터가 uø=(3, 1)인 직선 m의 방정 식은

x-13 =y-2 yy ➊

직선 m이 x축, y축과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하면 A(-5, 0), B{0, ;3%;}

직선 l이 x축, y축과 만나는 두 점을 각각 C, D라 하면 C(-8, 0), D{0, ;3*;}

O -5 -8C A

B D

-53 -83

x l m

yy ➋

그러므로 구하는 부분의 넓이는

(삼각형 COD의 넓이)-(삼각형 AOB의 넓이)

=;2!;_8_;3*;-;2!;_5_;3%;

=:£3ª:-:ª6°:=:Á2£:

따라서 p=2, q=13이므로

p+q=15 yy ➌

 15

단계 채점 기준 비율

➊ 직선 m의 방정식을 구한 경우 30`%

➋ 두 직선 l, m을 그래프로 나타낸 경우 30`%

➌ 둘러싸인 부분의 넓이를 구한 경우 40`%

03

x-2y+4=0, ax-y-5=0에서 x2 =y-2, x=y+5

두 직선 x2 =y-2, x=y+5

a 의 방향벡터를 각각 uø, vø라 하면 uø=(2, 1), vø=(1, a)이므로

|uø|="Ã2Û`+1Û`='5

|vø|="Ã1Û`+aÛ`="Ã1+aÛ`

uø•vø=(2, 1)•(1, a)=2_1+1_a=2+a yy ➊ 그러므로 cos`hù=|uø•vø|

|uø||vø|= |2+a|

'5"Ã1+aÛ` yy ➋

|2+a|

'5"Ã1+aÛ`= '2 2 에서 2|2+a|='10 "Ã1+aÛ`

양변을 제곱하면 4(2+a)Û`=10(1+aÛ`) 3aÛ`-8a-3=0 (3a+1)(a-3)=0

a=-;3!; 또는 a=3 yy ➌

a>0이므로 a=3

 3

단계 채점 기준 비율

➊ 두 직선의 방향벡터를 구하고 그 방향벡터의

크기와 내적을 구한 경우 30`%

➋ 방향벡터의 크기와 내적을 이용하여 cos`hù를

a에 대한 식으로 나타낸 경우 20`%

➌ 양수 a의 값을 구한 경우 50`%

04

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP³=(x-2, y-3)

|AP³|=5에서 |AP³|Û`=25이므로 (x-2)Û`+(y-3)Û`=25

즉, 점 P가 나타내는 도형은 중심이 A(2, 3)이고 반지름의 길

이가 5인 원이다. yy ➊

원이 x축과 만나는 두 점의 x좌표는 (x-2)Û`+(y-3)Û`=25에 y=0을 대입하면 x=-2 또는 x=6

그러므로 a=|6-(-2)|=8 원이 y축과 만나는 두 점의 y좌표는

(x-2)Û`+(y-3)Û`=25에 x=0을 대입하면 y=3-'21 또는 y=3+'21

그러므로 b=|(3+'21 )-(3-'21 )|=2'21 yy ➋ 따라서 bÛ`-aÛ`=(2'21 )Û`-8Û`=84-64=20 yy ➌

다른풀이

원이 x축과 만나는 두 점을 각각

B C

AÁ A

Aª F E y

B, C라 하고 y축과 만나는 두 점을 각각 E, F라 하자.

점 A(2, 3)에서 y축에 내린 수선 의 발을 AÁ이라 하면

AÕAÁÓ=2, AEÓ=5이므로 직각삼각형 EAÁA에서 EÕAÁÓ‌=AD AEÓ Û`-AAÁÓ Û`

="Ã5Û`-2Û`='21

그러므로 b=EFÓ=2 EÕAÁÓ=2'21

점 A(2, 3)에서 x축에 내린 수선의 발을 Aª라 하면 AÕAªÓ=3, ACÓ=5이므로

직각삼각형 CAAª에서 CAªÓ‌=AD ACÓ Û`-AAªÓ Û`

="Ã5Û`-3Û`=4

그러므로 a=BCÓ=2 CAªÓ=8 yy ➋

따라서 bÛ`-aÛ`=(2'21 )Û`-8Û`=84-64=20 yy ➌

 20

단계 채점 기준 비율

➊ 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구한 경우 30`%

➋ x축, y축과 만나는 두 점 사이의 거리 a, b의

값을 구한 경우 50`%

➌ bÛ`-aÛ`의 값을 구한 경우 20`%

01

^④

02

^①

03

^①

고난도 문항

내신

⁺

수능

본문 51쪽

01

두 실수 s, t`(0<s<1, 0<t<1)에 대하여 AP³=AD³+DP³=;3@;AB³+tDE³

=;3@;AB³+t(AE³-AD³)

=;3@;AB³+t{;4#;AC³-;3@;AB³}

=;3@;(1-t)AB³+;4#;tAC³ yy ㉠ AP³=AB³+BP³=AB³+sBF³

=AB³+s(AF³-AB³)

=AB³+s{;4!;AC³-AB³}

=(1-s)AB³+;4!;sAC³ yy ㉡

㉠, ㉡에서 ;3@;(1-t)=1-s, ;4#;t=;4!;s

위의 두 식을 연립하여 풀면 t=;7!;, s=;7#; yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 AP³=;7$;AB³+;2£8;AC³ 따라서 m=;7$;, n=;2£8;이므로 m+n=;2!8(;

 ④

02

삼각형 EAD는 EAÓ=EDÓ=2인 이등변삼각형이고

∠AED=60ù+90ù=150ù이므로

∠EAD=15ù

같은 방법으로 삼각형 ABC에서 ∠CAB=15ù 그러므로

∠DAC =∠EAB-(∠EAD+∠CAB)

=60ù-(15ù+15ù)=30ù 점 A에서 선분 BE와 선분 CD에

C A

D E

Q P

내린 수선의 발을 각각 Q, P라 하 면

APÓ=AQÓ+QPÓ='3+2, DPÓ=CPÓ=1이므로

ADÓÛ`=ACÓÛ`=('3+2)Û`+1Û`=8+4'3

AC³•AD³=|AC³||AD³|cos(∠DAC)

=(8+4'3)_ '3 2

=6+4'3 따라서 a=6, b=4이므로 a+b=10

 ①

03

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

AP³=(x-6, y), BP³=(x-2, y-8)이므로 AP³+BP³=(2x-8, 2y-8)

|PA³+PB³|=2에서 |PA³+PB³|Û`=4, 즉 |AP³+BP³|Û`=4이 므로

(2x-8)Û`+(2y-8)Û`=4 (x-4)Û`+(y-4)Û`=1

즉, 점 P가 나타내는 도형은 중심이 C(4, 4)이고 반지름의 길 이가 1인 원이다.

O 4 8

2 4

A(6, 0) B(2, 8)

L N

C Pª PÁ

y l

두 벡터 OB³, OP³가 이루는 각의 크기를 hù라 하자.

또 두 점 O, B를 지나는 직선을 l, 점 P에서 직선 l에 내린 수 선의 발을 M이라 하면

OB³•OP³=|OB³||OP³|cos`hù=|OB³||OÕM³| yy ㉠

㉠의 값이 최대가 되려면 |OÕM³|의 값이 최대가 되어야 한다.

즉, 그림과 같이 직선 l에 수직이고 원에 접하는 직선이 원과 만날 때의 점 P가 점 PÁ에 위치할 때, OMÓ의 길이가 최대이므 로 ㉠의 값이 최대가 된다.

또 원점과 원의 중심 C를 지나는 직선이 원과 만날 때의 점 P가 점 Pª에 위치할 때, |OP³|가 최댓값을 갖는다.

두 벡터 CÕPÁ³ , CÕPª³가 이루는 각의 크기를 aù라 하고, 직선 CPÁ 이 x축과 만나는 점을 L이라 하면 직선 OM과 직선 PÁL이 평 행하므로 맞꼭지각과 엇각의 성질에 의하여

∠aù=∠LCO=∠MOC

02

3(xø-2aø+3bø)=2(xø-aø+6bø)에서 3xø-6aø+9bø=2xø-2aø+12bø

xø=4aø+3bø

따라서 m=4, n=3이므로 m+n=7

 ③

03

AB³=OB³-OA³=(-2, -3), CD³=OD³-OC³=(x+2, y-1)이므로 AB³=CD³에서 x+2=-2, y-1=-3 따라서 x=-4, y=-2이므로 x+y=-6

 ④

04

OA³=(1, a), OB³=(a-3, 2)에서 AB³=OB³-OA³=(a-4, 2-a)이므로 OB³•AB³=(a-3, 2)•(a-4, 2-a)

=(a-3)(a-4)+2(2-a)

=aÛ`-9a+16

OB³•AB³=26에서 aÛ`-9a+16=26 aÛ`-9a-10=0, (a+1)(a-10)=0 a=-1 또는 a=10

a>0이므로 a=10

 ⑤

05

^{직선 x-4}_{3 =}^y-54 의 방향벡터를 uø라 하면 uø=(3, 4)

점 (5, 1)을 지나고 방향벡터가 uø=(3, 4)인 직선의 방정식은 x-53 =y-1

이 직선이 점 (k, -7)을 지나므로 k-53 =-2에서 k=-1

 ②

06

두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로 aø•bø=0 이때 |aø|=2, |bø|=3이므로

^;5#;

본문 52~55쪽

대단원

종합 문제

01

2(-aø+2bø)+3(aø-3bø)=-2aø+4bø+3aø-9bø

=(-2+3)aø+(4-9)bø

=aø-5bø 따라서 m=1, n=-5이므로

m-n=1-(-5)=6

 ① 점 C에서 직선 l에 내린 수선의 발을 N이라 하면

PÕÁMÓ=CNÓ

두 점 O(0, 0), B(2, 8)을 지나는 직선 l의 방정식은 y=4x, 즉 4x-y=0

점 C(4, 4)와 직선 4x-y=0 사이의 거리는 CNÓ= |4_4-4|

"Ã4Û`+(-1)Û`= 12 '¶17

직각삼각형 CNO에서 OCÓ=4'2이므로 sin`aù= CNÓ

OCÓ= '¶1712 4'2= 3

'¶34 0ù<aù<90ù이므로

cos`aù="Ã1-sinÛ``aù= 5'¶34

|CÕPÁ³|=|CÕPª³|=1이므로 CÕPÁ³•CÕPª³=|CÕPÁ³||CÕPª³|`cos`aù

=1_1_ 5 '¶34= 5

'¶34 따라서 k= 5

'¶34이므로 kÛ`=;3@4%;

 ①

이때 ABÓ=BMÓ=2, ∠ABM=60ù이므로 삼각형 ABM은 정삼각형이다.

따라서 AMÓ=2이므로

|AB³+AC³|Û`=4AMÓ‌Û`=4_2Û`=16

 ②

11

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면

AC³=t AB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재하여야 한다.

AB³=OB³-OA³=aø+3bø이고

AC³=OC³-OA³=aø+(-k+1)bø이므로 aø+(-k+1)bø=t(aø+3bø)

aø+(-k+1)bø=taø+3tbø

두 벡터 aø, bø가 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 t=1, 3t=-k+1

따라서 k=-2

 ①

12

kaø+bø‌‌=k(1, -2)+(-1, 3)

=(k, -2k)+(-1, 3)

=(k-1, -2k+3) 이므로

|kaø+bø| ="Ã(k-1)Û`+(-2k+3)Û`

="Ã5kÛ`-14k+10

=¾±5{k-;5&;}Û`+;5!;

따라서 |kaø+bø|는 k=;5&;일 때 최솟값 '55 를 갖는다.

문서에서 EBS 올림포스 기하 답지 정답 (페이지 32-54)