공간좌표

Ⅲ.

공간도형과 공간좌표

06

1.

⁷

2.

(6, 0, 0)

3.

(3, -1, 10)

4.

-5

기본 유형

익히기 유제 본문 70~71 쪽

1.

점 P(-3, 4, 5)에서 xy평면에 내린 수선의 발 Q는 Q(-3, 4, 0)

즉, a+1=-3, b-2=4, c+3=0이므로 a=-4, b=6, c=-3

점 (-4, 6, -3)을 yz평면에 대하여 대칭이동한 점 R는 R(4, 6, -3)

따라서 p=4, q=6, r=-3이므로 p+q+r=7

 7

2.

x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0, 0)이라 하면 APÓ ="Ã(a-2)Û`+(0-1)Û`+{0-(-3)}Û`

="ÃaÛ`-4a+14

BPÓ ="Ã(a-3)Û`+{0-(-1)}Û`+(0-4)Û`

="ÃaÛ`-6a+26

APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 aÛ`-4a+14=aÛ`-6a+26 2a=12, a=6

따라서 점 P의 좌표는 (6, 0, 0)이다.

 (6, 0, 0)

3.

꼭짓점 C의 좌표를 (a, b, c)라 하면 { 2+1+a3 , 3+(-5)+b

3 , (-4)+3+c3 }=(2, -1, 3) 따라서 a=3, b=-1, c=10이므로

점 C의 좌표는 (3, -1, 10)이다.

 (3, -1, 10)

4.

xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+4y-8z-a=0에서 (x-1)Û`+(y+2)Û`+(z-4)Û`=21+a

이므로 구의 중심이 (1, -2, 4)이고 반지름의 길이가 'Ä21+a 이다.

01

^⑤

02

^②

03

^②

04

^④

05

^③

06

^⑤

07

^①

08

^②

09

^⑤

10

^③

11

^②

12

^④

13

^④

유형

확인 본문 72~73 쪽

01

점 A(3, -5, 2)를 zx평면에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 (3, 5, 2)이다.

점 B(3, 5, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 (-3, 5, -2)이다.

따라서 a=-3, b=5, c=-2이므로 abc=30

 ⑤

02

점 P(a, 3a, 4a)에서 zx평면, xy평면에 내린 수선의 발 A, B의 좌표는 각각 (a, 0, 4a), (a, 3a, 0)이다.

점 P(a, 3a, 4a)에서 y축, z축에 내린 수선의 발 C, D의 좌표 는 각각 (0, 3a, 0), (0, 0, 4a)이다.

a>0이므로 네 점 A, B, C, D를 좌표공간에 나타내면 그림과 같다.

y z

x

O C(0, 3a, 0)

B(a, 3a, 0) D(0, 0, 4a)

A(a, 0, 4a)

ADÓ=BCÓ=a,

ABÓ=DCÓ="Ã(3a)Û`+(4a)Û`=5a

즉, ADÓ=BCÓ, ABÓ=DCÓ이므로 사각형 ABCD는 평행사변 형이다.

이때 DOÓ⊥( xy평면), OCÓ⊥BCÓ이므로 삼수선의 정리에 의하여 DCÓ⊥BCÓ

이 구가 xy평면에 접하므로 (반지름의 길이)=|(중심의 z좌표)|

즉, '¶21+a=4이므로 21+a=16에서 a=-5

 -5

따라서 사각형 ABCD는 직사각형이므로 사각형 ABCD의 넓이는

a_5a=5aÛ`

즉, 5aÛ`=20에서 a=2

 ②

03

꼭짓점 E의 x좌표는 꼭짓점 B의 x좌표와 같다.

또, 꼭짓점 E의 y좌표, z좌표는 각각 꼭짓점 H의 y좌표, z좌표 와 같다.

즉, 꼭짓점 E의 좌표는 (2, 2, -3)이므로 꼭짓점 E를 yz평면 에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-2, 2, -3)이다.

따라서 a=-2, b=2, c=-3이므로 a+b+c=-3

 ②

04

정삼각형 ABC의 세 변의 길이가 같으므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ

ABÓ=CAÓ에서 ABÓ Û`=CAÓ Û`

이때

ABÓ Û` =(1-a)Û`+(-1-1)Û`+(2-1)Û`

=aÛ`-2a+6

CAÓ Û` =(a-3)Û`+{1-(-2)}Û`+{1-(-1)}Û`

=aÛ`-6a+22

이므로 aÛ`-2a+6=aÛ`-6a+22 4a=16

따라서 a=4

 ④

05

두 점 A(1, 3, 6), B(-3, 1, 2)에서 xy평면에 내린 수 선의 발을 각각 A', B'이라 하면 A'(1, 3, 0), B'(-3, 1, 0) 이므로

ABÓ="Ã(-3-1)Û`+(1-3)Û`+(2-6)Û`=6, AÕ'B'Ó="Ã(-3-1)Û`+(1-3)Û`+(0-0)Û`=2'5 직선 AB와 xy평면이 이루는 각의 크기는 hù이므로 ABÓ_cos`hù=AÕ'B'Ó

6_cos`hù=2'5 따라서 cos`hù= '53

 ③

06

두 점 A, B의 z좌표의 부

xy평면 P

B A

A'

호가 같으므로 두 점 A, B는 xy 평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.

점 A(2, 1, 3)을 xy평면에 대하 여 대칭이동한 점을 A'이라 하면 A'(2, 1, -3)

이때 APÓ=AÕ'PÓ이므로 APÓ+BÕPÕ  =AÕ'PÓ+BPÓ

¾AÕ'BÓ

="Ã(-2-2)Û`＋(4-1)Û`+{2-(-3)}Û`=5'2 따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 5'2이다.

 ⑤

07

두 점 A(-3, 4, -2), B(4, -2, a)에 대하여 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는

{2_4+1_(-3)

2+1 , 2_(-2)+1_4

2+1  , 2_a+1_(-2)

2+1 }

즉, {;3%;, 0, 2a-23 } 이 점이 x축 위에 있으므로

2a-23 =0 따라서 a=1

 ①

08

점 A(2, 4, 5)에서 xy평면, yz평면, zx평면에 내린 수선 의 발 P, Q, R의 좌표는 각각 (2, 4, 0), (0, 4, 5), (2, 0, 5) 이다.

삼각형 PQR의 무게중심 G의 좌표는

{ 2+0+23 , 4+4+03 , 0+5+53  }, 즉 {;3$;, ;3*;, ;;Á3¼;;}

따라서 AGÓ=¾Ð{;3$;-2}Û`+{;3*;-4}Û`+{;;Á3¼;;Ð-5}Û`='5

 ②

09

CDÓ="Ã(12-7)Û`+(3-11)Û`+(5-2)Û`=7'2 이므로 정사면체 ABCD의 모든 모서리의 길이는 7'2이다.

ACÓ ="Ã(7-a)Û`+(11-2)Û`+(2-1)Û`

="ÃaÛ`-14a+131

AD Ó="Ã(12-a)Û`+(3-2)Û`+(5-1)Û`

＝"ÃaÛ`-24a+161

ACÓ=ADÓ에서 ACÓ Û`=ADÓ Û`이므로

10

xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-8z+4=0에서 (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-4)Û`=25

주어진 구의 중심을 C라 하면 C(2, -3, 4)이므로 AÕCÓ="Ã{2-(-1)}Û`+(-3-2)Û`+(4-3)Û`='3Œ5 점 A(-1, 2, 3)에서 구에 그은 접선의 ^B

ABÓ=¿¹('3Œ5 )Û`-5Û`='1Œ0

 ③

11

구 (x-1)Û`+(y-3)Û`+(z-2)Û`=16의 중심을 C라 하 면 C(1, 3, 2)이고 반지름의 길이는 4이다. S=p_(2'3 )Û`=12p

[그림 2]와 같이 구와 y축과 만나는 AÕMÓ=¿¹4Û`-('5 )Û`='1Œ1

따라서 y축이 구에 의하여 잘린 선분의 길이 l은 l=ABÓ=2AÕMÓ=2'1Œ1

그러므로 S+l=12p+2'1Œ1

 ②

12

점 (3, 4, 5)를 지나고 xy평면, yz평면, zx평면에 동시 에 접하는 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은 APÓ="Ã3Û`-1Û`=2'2

점 P에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 H 라 하면 접선의 접점들로 이루어진 도형은 중심이 H이고 반지름의 길이가 PHÓ의 길이인 원이다.

직각삼각형 APC의 넓이에서

APÓ_PCÓ=CAÓ_PHÓ, 2'2_1=3_PHÓ PHÓ= 2'23

따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는 4'23 p이다.

 ④

®É;;ª2°;;-k= '4Œ12 양변을 제곱하면 :ª2°:-k=:¢4Á:

따라서 k=;4(; yy ➌

 ;4(;

단계 채점 기준 비율

➊ 구의 방정식을 변형하여 구의 중심의 좌표와

반지름의 길이를 구한 경우 30 %

➋ 구의 중심에서 y축까지의 거리를 구한 경우 30 %

➌ 상수 k의 값을 구한 경우 40 %

03

구 (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-5)Û`=10의 중심을 C라 하 면 C(2, -3, 5)

점 A(4, -1, 2)와 구의 중심 C(2, -3, 5) 사이의 거리는 ACÓ ="Ã(2-4)Û`+{-3-(-1)}Û`+(5-2)Û`

='1Œ7 yy ➊

그림과 같이 점 A와 구의 중심 C를 지나는 직선이 구와 만나는 두 점을 PÁ, Pª라 하면 두 점 A, P 사이의 거리가 최대일 때는 점 P가 점 PÁ에 위치할 때이고, 최소일 때는 점 P가 점 Pª에 위 치할 때이다.

A(4, -1, 2)

C(2, -3, 5)

Pª PÁ

M

m

구의 반지름의 길이가 '1Œ0 이므로 M=APÁÓ=ACÓ+CPÁÓ='1Œ7+'1Œ0

m=APªÓ=ACÓ-CPªÓ='1Œ7-'1Œ0 yy ➋ 따라서

Mm =('1Œ7+'1Œ0 )('1Œ7-'1Œ0)

=('1Œ7 )Û`-('1Œ0 )Û`=7 yy ➌

 7

단계 채점 기준 비율

➊ 점 A와 구의 중심 사이의 거리를 구한 경우 40 %

➋ M, m의 값을 구한 경우 40 %

➌ Mm의 값을 구한 경우 20 %

01

²⁷²

02

^;4(;

03

⁷

연습장

^{본문 74 쪽}

서술형

0 1

선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 {2_4+1_(-2)

2+1 , 2_(-5)+1_1

2+1 , 2_6+1_(-3)

2+1 }

즉, (2, -3, 3) yy ➊

선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는 {2_4-1_(-2)

2-1 , 2_(-5)-1_1

2-1 , 2_6-1_(-3)

2-1 }

즉, (10, -11, 15) yy ➋

따라서

PQÓ Û`=(10-2)Û`+{-11-(-3)}Û`+(15-3)Û`=272

yy ➌

 272

단계 채점 기준 비율

➊ 내분하는 점 P의 죄표를 구한 경우 40 %

➋ 외분하는 점 Q의 좌표를 구한 경우 40 %

➌ PQÓ Û`의 값을 구한 경우 20 %

02

xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+3y-5z+k=0에서 (x-2)Û`+{y+;2#;}Û`+{z-;2%;}Û`=;;ª2°;;-k 이므로 구의 중심의 좌표가 {2, -;2#;, ;2%;}이고

반지름의 길이가 ®É;;ª2°;;-k이다. yy ➊

y

z

x 2

O {2, - , }-32 -52

-52

구의 중심 {2, -;2#;, ;2%;}에서 y축까지의 거리는

¾Ð2Û`+{;2%;}Û`= '4Œ12 yy ➋ 구가 y축에 접하므로 구의 중심에서 y축까지의 거리와 구의 반지 름의 길이가 같다.

도형 CÁ은 xy평면과 평행하고, 중심이 H(0, 0, 1), 반지름의 PÕP'Ó=OHÓ=1, PÕ'QÓ=OÕP'Ó+2=PHÓ+2='3+2이므로 MÛ`=PQÓ Û`=PÕP'Ó Û`+PÕ'QÓ Û`=1Û`+('3+2)Û`=8+4'3

 8+4'3 ABÓ="Ã(1-3)Û`+(1-5)Û`+(0-0)Û`=2'5이므로

01

{;3$;, -1, 0}

02

^8+4'3

닮음비는 AÕ'HÓ`:`BH'Ó=a`:`2a=1`:`2이므로 AÕ'PÓ`:`BÕPÕ=1`:`2

APÓ=a dOAÓ Û`-OPÓ Û`="Ã4Û`-2Û`=2'3 점 P에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 H 라 하면 직각삼각형 APO의 넓이에서 APÓ_POÓ=OAÓ_PHÓ

2'3_2=4_PHÓ, PHÓ='3

따라서 직각삼각형 CGN에서

CNÓ=AQD CGÓ Û`+GNÓ Û`=¾Ð1Û`+{ '22 }Û`= '62 이므로 cos`hù= CGÓ

CNÓ= 1 ACÓ="Ã2Û`+2Û`=2'2이고 점 H는 ABCD의 두 대각선의 교점이므로 AHÓ=;2!; ACÓ=;2!;_2'2='2

또 OAÓ=2이므로 직각삼각형 OAH에서 OHÓ=ÚÞOAÓ Û`-AHÕ Û`=¿¹2Û`-('2 )Û`='2 따라서 sin`hù= OÕHÓ

OAÓ= '2 AOÓ⊥(평면 OBC), AHÓ⊥BCÓ 이므로 삼수선의 정리에 의하여 OHÓ⊥BCÓ

직각삼각형 OBC의 넓이에서 OBÓ_OCÓ=BCÓ_OHÓ

이때 BCÓ="Ã2Û`+3Û`='1Œ3이므로 2_3='1Œ3_OHÓ, OHÓ= 6

'1Œ3 직각삼각형 AOH에서 AHÓ=AD AOÓ Û`+OHÓ Û`

=¾Ð1Û`+{ 6

'1Œ3}Û`= 7 '1Œ3 따라서 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_BCÓ_AHÓ=;2!;_'1Œ3_ 7'1Œ3=;2&;

 ⑤

ㄴ. (직선 AD)⊥(직선 AB), (직선 AB)⊥(직선 BF)이다.

그러나 직선 AD와 직선 BF는 평행하지 않는다.

ㄷ. (직선 AD)(평면 EFGH), (직선 AD)(평면 BFGC)이 다.

그러나 평면 EFGH와 평면 BFGC는 평행하지 않는다.

ㄹ. (평면 ABCD)⊥(평면 BFGC), (평면 ABCD)⊥(평면 AEFB)이다.

EGÓ="Ã1Û`+1Û`='2이고 점 N은 선분 EG의 중점이므로 NGÓ=;2!; EGÓ=;2!;_'2= '22

삼각형 ABP의 넓이의 최댓값은

;2!;_2'5_{ 9

'5+2}=9+2'5

 9+2'5

05

점 A(2, -3, 4)를 zx평면에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 (2, 3, 4)이다.

점 A(2, -3, 4)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 (-2, -3, -4)이다.

따라서 두 점 B, C 사이의 거리는

BCÓ="Ã(-2-2)Û`+(-3-3)Û`+(-4-4)Û`=2'2Œ9

 ⑤

06

xÛ`+yÛ`+zÛ`-x+3y-2z+k=0에서 {x-;2!;}Û`+{y+;2#;}Û`+(z-1)Û`=;2&;-k 이 방정식이 구가 되려면 ;2&;-k>0이어야 한다.

즉, k<;2&;

따라서 구하는 자연수 k의 값은 1, 2, 3이므로 그 합은 BHÓ=;2!;_"Ã2Û`+2Û`=;2!;_2'2='2

또 ABÓ='5 이므로 직각삼각형 ABH에서 이때 HMÓ=;2!;_2=1, MCÓ=1, MDÓ=¿¹1Û`+2Û`='5이므로

=2_sin`60ù=2_ '3 2 ='3

PÕMÓ=QNÓ=KHÓ=;4!; a

직각삼각형 AHM에서 AKÓ=ÚÞ AHÓ Û`+KHÓ Û`

=¾Ð{ '22 a}

Û+{;4!; a}^Û=;4#;a

따라서 cos`hù= KHÓ AÕKÓ=;4!;a

DÕMÓ=ÚÞ DBÓ Û`-BÕMÓ Û`="Ã5Û`-3Û`=4

삼각형 AMD는 DAÓ=DÕMÓ인 이등 ^A

4 D MòNÓ=;2!; AÕMÓ='1Œ0이고 DNÓ=ÚÞ DÕMÓ Û`-MNÓ Û`

=¿¹4Û`-('1Œ0)Û`='6 따라서 sin`hù= DNÓ

DÕMÓ= '6

cos`hù= MHÓ OÕMÓ= 1

ABÓ="Ã(0-4)Û`+{2-(-4)}Û`+(2-0)Û`=2'1Œ4

 2'1Œ4

13

사각형 ABCD가 ABÓCDÓ인 평행사변형이므로 두 선분 AC와 BD의 중점이 같다.

선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 Q의 좌표는

15

xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+2y-6z+k=0에서 (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-3)Û`=14-k AÕMÓ=;2!; ABÓ='3

또 점 M은 z축 위의 점이므로 M(0, 0, 3)이고

CÕMÓ="Ã(0-2)Û`+{0-(-1)}Û`+(3-3)Û`='5 직각삼각형 CAM에서 cos`hù= ENÓ

MEÓ= '2

PQÓ="Ã(2-0)Û`+(4-3)Û`+(0-2)Û`=3 RÕSÕ="Ã(0-2)Û`+(5-6)Û`+(2-0)Û`=3

즉, PSÓ=QRÓ, PÕQÓ=RÕSÕ이므로 사각형 PQRS는 평행사변형 이다.

점 Q와 y축 사이의 거리는 2이고, y축과 PSÓ 사이의 거리는 2 이므로 점 Q와 PSÓ 사이의 거리는 2'2이다.

따라서 평행사변형 PQRS의 넓이는 2_2'2=4'2

 ④

19

xÛ`+yÛ`+zÛ`-6x+8y-4z+4=0에서 (x-3)Û`+(y+4)Û`+(z-2)Û`=25

AHÓ="Ã5Û`-2Û`='2Œ1

따라서 구에 내접하는 원뿔의 높이는 5+2=7이므로 구하는 원뿔의 부피는

;3!;_21p_7=49p

 ②

20

xÛ`+yÛ`+zÛ`-6x+4y-4z+11=0에서 (x-3)Û`+(y+2)Û`+(z-2)Û`=6 AÕ'PÓ=5'2-'2=4'2

AÕ'QÓ=5'2+'2=6'2 따라서

M=AQÓ=ÚÞAÕ'QÓ Û`+AÕA'Ó Û`=¿¹(6'2 )Û`+2Û`=2'1Œ9 m=APÓ=ÚÞAÕ'PÓ Û`+AÕA'Ó Û`=¿¹(4'2 )Û`+2Û`=6 이므로 MÛ`+mÛ`=(2'1Œ9)Û`+6Û`=76+36=112

 ③

21

점 P, Q를 평면 ABCD에 내린 수선의 발을 각각 P', Q' 이라 하면 선분 PQ의 평면 ABCD 위로의 정사영은 선분

ORÓ=PRÓ=OPÓ=;3@; OBÓ=2, OQÓ=;3!; OCÓ=1

삼각형 OPR는 정삼각형이고 점 Q는 선분 OR의 중점이므로

∠PQO=90ù

따라서 PQÓ= '32 _2='3

정사각형 ABCD에서 두 대각선의 교점 ^A

B C

Q' P'

H D

이 H이므로

∠BHC=90ù

직각삼각형 P'HQ'에서 P'HÓ=;3@; BHÓ=;3@;_ 3'22 ='2, Q'HÓ=;3!; CHÓ=;3!;_ 3'22 ='2

2 이므로

P'Q'Ó=ÚÞ P'HÓ Û`+Q'HÓ Û`

=¾Ð('2)Û`+{ '2 2 }

Û= '1Œ0

2 yy ➋

PQÓ_cos`hù=P'Q'Ó이므로 '3_cos`hù= '1Œ0

2 cos`hù= '1Œ0

2'3= '3Œ0 6

따라서 cosÛ``hù=;6%; yy ➌

 ;6%;

단계 채점 기준 비율

➊ 선분 PQ의 평면 ABCD 위로의 정사영을 구

한 경우 30 %

➋ 두 선분 PQ, P'Q'의 길이를 구한 경우 50 %

➌ cosÛ``h의 값을 구한 경우 20 %

22

점 C가 xy평면 위에 있으므로 점 C의 좌표를 (a, b, 0) 이라 하면

ABÓ=¿¹(2-3)Û`+{1-(-1)}Û`+(2-1)Û`='6 BCÓ =¿¹(a-2)Û`+(b-1)Û`+(0-2)Û`

="ÃaÛ`-4a+bÛ`-2b+9

CAÓ  =¿¹(3-a)Û`+(-1-b)Û`+(1-0)Û

="ÃaÛ`-6a+bÛ`+2b+11 yy ➊ 삼각형 ABC가 정삼각형이므로

ABÓ=BCÓ=CAÓ, 즉 ABÓ Û`=BCÓ Û`=CAÓ Û`

BCÓ Û`=ABÓ Û`에서 aÛ`-4a+bÛ`-2b+9=6

aÛ`-4a+bÛ`-2b+3=0 yy ㉠

CAÓ Û`=ABÓ Û`에서 aÛ`-6a+bÛ`+2b+11=6

aÛ`-6a+bÛ`+2b+5=0 yy ㉡ yy ➋

㉠-㉡을 하면 2a-4b-2=0

a=2b+1 yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하여 정리하면 5bÛ`-6b=0

b(5b-6)=0 b=0 또는 b=;5^;

b=0, b=;5^; 을 각각 ㉢에 대입하면 a=1, a=:Á5¦:

따라서 점 C의 좌표는 (1, 0, 0), {:Á5¦:, ;5^;, 0}이다. yy ➌

 (1, 0, 0), {:Á5¦:, ;5^;, 0}

단계 채점 기준 비율

➊

점 C의 좌표를 (a, b, 0)이라 하고 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 경우

30 %

➋ ABÓ=BCÓ=CAÓ임을 이용하여 a, b에 대한 관

계식을 구한 경우 40 %

➌ 점 C의 좌표를 구한 경우 30 %

문서에서 EBS 올림포스 기하 답지 정답 (페이지 54-64)