자연계 2교시 <수학 1> 분석
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학] - (3) 도형의 방정식 - 직선의 방정식 [10수학02-03] 직선의 방정식을 구할 수 있다.
[수학] - (3) 도형의 방정식 - 원의 방정식
[10수학02-07] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.
➢[수학 1-ⅲ]
점 B를 구하여 『기하』 교과서에 제시된 접선의 방정식을 구하는 방법을 적용시켜 구 하는 문제임.(『기하』 교과서 Ⅰ.이차곡선-4.이차곡선의 접선의 방정식, 천재교육]).
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학] - (3) 도형의 방정식 - 원의 방정식
[10수학02-07] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.
➢[수학 1-ⅳ]
[수학 1-ⅲ]에서 구한 두 접선을 좌표평면 위에 나타내고 두 접선이 이루는 각 의 위 치를 파악하고 sin의 값을 구하는 문제임.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학Ⅰ] - (2)삼각함수 - 삼각함수
[12수학Ⅰ02-02] 삼각함수의 뜻을 알고, 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수의 그래프를 그릴 수 있다.
[미적분] - (2) 미분법 - 여러 가지 함수의 미분 [12미적02-03] 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.
3. 출제의도, 채점기준, 예시답안 분석 1) 출제의도
중심과 반지름이 주어진 원의 방정식, 초점과 준선이 주어진 포물선의 방정식을 제시 하고 원과 포물선 위의 점 사이의 관계를 파악하는 문제임. 원과 포물선 위의 점의 위치 관계가 직관적으로 포물선 위의 점이 원 밖에 위치함을 알고 이를 대수적으로 보일 수 있는가를 평가함. 원과 포물선 위의 점이 최소가 되는 점을 좌표평면에 나타내고 그 때 의 포물선 위의 점에서 원에 그은 두 접선을 구하고 두 접선이 이루는 각의 sin값을 구 하는 과정을 평가함.
2) 채점기준
➢[수학 1-ⅰ]
포물선 위의 한 점을 매개변수로 표현할 수 있어야 함. 매개변수를 이용한 좌표를 통 해 두 점 사이의 거리를 구하고 그것을 함수로 표현해야 함. 표현된 함수의 증감표를 구 해 최솟값을 구하는 문제임.
➢[수학 1-ⅱ]
기하학적으로 거리가 최소가 되는 점은 원의 중심과 포물선 위의 점을 잇는 직선이 원 과 만나는 점임을 알 수 있다. 이를 이용해 직선의 방정식을 구하고 연립이차방정식을 이용하여 가까운 점을 구한다.
[수학 1-ⅰ]에서 얻은 결과를 해석하고 원과 직선이 만나는 교점을 이용하여, 두 점 A, B 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 점 A 와 점 B 를 올바르게 유도할 수 있다.
➢[수학 1-ⅲ]
[수학 1-ⅱ]에서 구한 점을 이용하여 간단하게 기하학적으로 원과 점을 이용하여 접선 을 그려 대수적으로 표현하는 문제임. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선은 판별식을 통해 구할 수 있다. 다른 풀이로는 음함수의 미분을 통해 직선의 방정식을 구할 수 있다.
➢[수학 1-ⅳ]
[수학 1-ⅲ]에서 구한 접선과 원을 기하하적으로 표현한 후, 각을 이등분 함. 의 sin값을 구한 후, 삼각형의 덧셈정리를 이용하여 sin 의 값을 구할 수 있다.
3) 예시답안 분석
➢[수학 1-ⅰ]
점 B 는 『미적분』 교과서 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 표현한 것이고 이를 이용하여 를 에 관한 함수로 표현한다. 『미적분』 교과서 함수의 그래 프를 이용하여 최솟값을 도출한다(『미적분』 교과서 Ⅲ.여러 가지 미분법-4.매개변수로 나 타낸 함수의 미분법, Ⅲ.여러 가지 미분법-7.함수의 그래프, 천재교육).
➢[수학 1-ⅱ]
고1 『수학』 교과서 원과 직선의 위치관계를 이용하여 직선 의 방정식을 구한다. 고1
『수학』 교과서 연립이차방정식을 이용하여 직선과 원의 연립이차방정식을 해결하여 두
점의 좌표를 구할 수 있다(고1 『수학』 교과서 Ⅲ.도형의 방정식-6.원과 직선의 위치관계,
Ⅱ.방정식과 부등식-7.연립이차방정식, 천재교육).
➢[수학 1-ⅲ]
점 B 에서 원
에 그은 접선의 방정식은 고1 『수학』 교과서 원과 직선의 위치관 계의 내용 중 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식’을 이용하여 구한다(고1 『수학』 교 과서 Ⅲ.도형의 방정식-6.원과 직선의 위치관계, 천재교육).➢[수학 1-ⅳ]
두 접선의 방정식이 이루는 각의 크기를 라 할 때, 원의 중심과 접점 원 밖의 점으로 이루어지는 삼각형의 한 각은 이다. 이 직각삼각형으로부터 sin 를 구하면 된다.
『미적분』 교과서 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 sin의 값을 구하면 된다(『미적분』 교 과서 Ⅱ.여러 가지 함수의 미분-3.삼각함수의 덧셈정리 , 천재교육).
자연계 2교시 <수학 2> 분석
1. 제시문 분석➢<제시문 1>
고등학교 『수학Ⅱ』 교과서에 나오는 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 적분공식을 제시함 (『수학Ⅱ』 교과서 Ⅲ.적분-4. 넓이, 천재교육).
➢<제시문 2>
고등학교 『미적분』 교과서에 나오는 무리수 의 정의를 제시함(『미적분』 교과서 Ⅱ여 러 가지 함수의 미분-1.지수 함수와 로그 함수의 극한, 천재교육).
➢<제시문 3>
고등학교 『수학Ⅱ』 교과서에 나오는 함수의 극한의 대소 관계를 제시함(『수학Ⅱ』 교과 서 Ⅰ.함수의 극한과 연속-2.함수의 극한에 대한 성질, 천재교육).
➢<제시문 4>
<제시문1>을 이용하여 두 부분의 넓이를 구하여 새로운 함수를 정의한다(『수학Ⅱ』 교 과서 Ⅲ.적분-4. 넓이, 천재교육).
2. 문제 분석
➢[수학 2-ⅰ]
<제시문1>을 이용하여 <제시문4>의 넓이를 에 관한 함수로 표현하는 문제.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학Ⅱ] - (3) 적분 - 정적분의 활용
[12수학Ⅱ03-05] 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.
➢[수학 2-ⅱ]
[수학 2-ⅰ]의 결과를 이용하여 의 최솟값을 미분을 적용하여 구하는 문제.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학Ⅱ] - (2) 미분 - 도함수의 활용
[12수학Ⅱ02-08] 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다.
➢[수학 2-ⅲ]
<제시문2>을 이용하여 극한
lim
→ 의 값을 구하는 문제. 고등학교 교육과정에 로 피탈의 정리가 빠져 있으므로 선행학습의 영향을 막기 위해 못 쓰게 함.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학Ⅱ] - (1) 함수의 극한과 연속 - 함수의 극한
[12수학Ⅱ01-02] 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 함수의 극한값을 구할 수 있다.
➢[수학 2-ⅳ]
<제시문3>을 이용하기 위해 부등식 가 성립함을 보이는 문제.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학Ⅱ] - (2) 미분 - 도함수의 활용
[12수학Ⅱ02-10] 방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.
➢[수학 2-ⅴ]
[수학 2-ⅳ]의 결과와 <제시문3>을 이용하여 극한
lim
→ 을 구하는 문제. 고등학교 교육과정에 로피탈의 정리가 빠져 있으므로 선행학습의 영향을 막기 위해 못 쓰게 함.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학Ⅱ] - (1) 함수의 극한과 연속 - 함수의 극한
[12수학Ⅱ01-02] 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 함수의 극한값을 구할 수 있다.
3. 출제의도, 채점기준, 예시답안 분석 1) 출제의도
고등학교 『미적분』, 『수학Ⅱ』 교과서에 나와 있는 두 곡선 사이의 넓이, 무리수 의 개념을 설명하고 이를 바탕으로 넓이를 이용한 함수를 만들어 그 함수를 이용해 『수학
Ⅱ』 교과서에 나오는 함수의 극한의 대소 관계를 이용해 문제를 해결할 수 있는가를 평 가함.
2) 채점기준
➢[수학 2-ⅰ]
<제시문1>을 이용하여 <제시문4>에 주어진 내용을 이용해 를 구하고 이를 이용하여 를 올바르게 구하는가를 채점기준으로 제시함.
➢[수학 2-ii]
[수학 2-ⅰ]에서 구한 를 이용하여 미분을 한 후, 함수의 증감을 이용하여 올바르 게 최솟값을 구하는지 평가함.
➢[수학 2-iii]
극한
lim
→ 의 값을 <제시문2>의 형태로 변형하고 고등학교 수준의 극한값 계산을 할 수 있는지에 대해 평가함.
➢[수학 2-ⅳ]
함수의 미분을 통해 미분값이 주어진 구간에서 항상 보다 크면 증가함수인 것을 이용 하여 결과를 도출함.
➢[수학 2-ⅴ]
[수학 2-ⅳ]와 <제시문3>을 이용하여 함수의 극한값을 구할 수 있는지에 대해 평가함.
3) 예시답안 분석
➢[수학 2-ⅰ]
<제시문1>에 의해 ln
를 구하고 좌표평면에 곡선 (단, ),
직선 , 직선 을 그려봄으로서 를 구함. 그리고 <제시문4>에서 요구하는 를 도출(『수학Ⅱ』교과서 Ⅲ.적분-4. 넓이, 『미적분』교과서 Ⅳ.여러 가지 적 분법-4. 넓이, 고1 『수학』교과서 Ⅴ.함수-4.유리함수, 천재교육).
➢[수학 2-ⅱ]
,
를 이용하여 임을 이용하여 의 최솟값이
일 때임을 알 수 있다(『미적분』 교과서 Ⅲ.여러 가지 미분법-4.함수의 그래프-곡선 의 오목과 볼록, 천재교육).
➢[수학 2-ⅲ]
lim
→ 를 로 바꾸어
lim
→
ln
로 표현하고 <제시문 2>에 의해 무 리수 의 극한값의 정의에 의해 문제를 해결(『미적분』 교과서 Ⅱ.여러 가지 함수의 미분 -1.지수함수와 로그함수의 극한, 천재교육).
➢[수학 2-ⅳ]
임을 미분을 통해 보이고 이므로 임을 도출함(『미적분』
교과서 Ⅲ.여러 가지 미분법-4.함수의 그래프-함수 그래프의 개형, 『미적분』 교과서 Ⅲ.
여러 가지 미분법-4.음함수와 역함수의 미분법, 천재교육).
➢[수학 2-ⅴ]
[수학 2-ⅱ]와 [수학 2-ⅳ]의 결과로 ln
≤
를 구하고 <제시문3>을 이용하여 함수의 극한값을 구함.
<자연계 2교시 수학 종합의견>
2교시 수학 1번 문항은 고1 과정에서 배우는 원과 고등학교 『기하』 시간에 배우는 포 물선 사이의 관계에 대한 문제이다. 원은 고1에서, 포물선은 고3에서 배우게 된다. 포물선 과 원과의 관계를 직관적으로 이해하고 이를 대수적으로 풀이할 수 있게 출제되어 수험생 이 고등학교 전학년에 걸쳐 수학 공부를 연계성 있게 준비했는지에 대해 평가할 수 있는 문항이다. 기하에서 흔히 다룰 수 있는 포물선 위의 점과 원 위의 점이 가장 가까워질 때 는 원의 중심을 지나는 직선이 만나는 두 점이라는 것을 직관적으로 이해하고 정확히 대 수적으로 그것을 표현할 수 있는가가 평가의 핵심이다. 또한 접선 사이의 각을 이용한 삼각함수를 구하는 것과 거리의 최솟값 미분을 통해서 구한다는 것은 복합적 평가요소이 다. 수험생들이 정규교육과정을 충실히 이해하고 한 가지 분야에 얽매이지 않고 도형 사 이의 연관성을 공부해야한다는 것을 보여주는 문제이다.
2교시 수학 2번은 『수학Ⅱ』, 『미적분』을 정규교육과정에서 얼마나 충실히 공부했는가를 평가하는 문제이다. 실제로 고1에서 배운 기초적인 유리 함수를 적분을 통해 넓이를 구해 보고 그것을 『미적분』 무리수 의 정의와 함수의 미분을 통해 극한값을 구하는 문제로 함 수의 극한부터 적분을 통한 넓이를 구하는 부분까지 알고 있는가에 대한 문제이다. 이 문 제는 고등학교 수학과 교육과정의 여러 과목의 연관성을 평가하는 문제가 아니라 함수의 극한부터 적분까지 한 가지 줄기에서 비롯된 여러 가지 사실들을 깊게 알고 있는지를 평 가하는 문제이다. 특히 무리수 의 극한의 정의를 정확히 알고 이를 극한의 대소 관계를 이용하여 문제에서 요구하는 답을 해결해야 한다. 특히 단계별로 고등학교 수학과 교육과 정에서 학교 수업을 충실히 들었다면 충분히 경험할 수 있는 문제이다. 수험생들은 이런 점을 볼 때, 여러 과목의 연관성뿐만 아니라 한 가지 줄기에서 이어오는 부분을 종합적으 로 공부하여 자신의 실력을 향상시킬 필요가 있다. 또한 수학적 엄밀성을 가지고 여러 가 지 놓치지 말아야 할 부분은 꾸준한 논술 연습을 통해 극복해 나갈 수 있다.