➢[수학 1-ⅰ]
′ 은 『미적분』 교과서의 음함수 미분법을 이용하여 도출.
은 『기하』 교과서의 포물선의 접선의 방정식 을 이용하여 구함. 이를 이용하여 D의 좌표를 구하고 선분 DE의 길이가 일정함을 보임 (『미적분』 교과서 Ⅲ.여러 가지 미분법-4. 음함수와 역함수의 미분법, 『기하』 교과서 Ⅰ.
이차곡선-4.이차곡선의 접선의 방정식, 천재교육).
➢[수학 1-ⅱ]
[수학 1-ⅰ]의 결과를 이용하여 임을 보임.
∞ 은 『미적분』 교과 서의 급수의 수렴 부분을 이용하여 해결(『미적분』 교과서Ⅰ.수열의 극한-4.급수의 수렴과 발산, 천재교육)➢[수학 1-ⅲ]
을 『기하』 교과서의 포물선의 접선의 방정식을 이용하여 해 결하고 <제시문4>에 주어진 포물선의 방정식과 연립한 후 , 를 구한다.
lim
→∞
는 극한에 대한 성질을 이용하여 계산(『기하』 교과서의 [Ⅰ.이차곡선 -4.이차곡선의 접선의 방정식, 『수학Ⅱ』 교과서 Ⅰ.함수의 극한과 연속- 함수의 극한, 천재교육).
자연계 1교시 <수학 2> 분석
1. 제시문 분석➢<제시문 1>
고1 『수학』 교과서에서 배운 유리함수의 기본 유형 과 두 점 사이의 거리 개념이 제시됨(고1 『수학』 교과서 Ⅴ.함수-4.유리함수, Ⅲ.도형의 방정식-1.두 점 사이의 거리, 천재교육).
➢<제시문 2>
고1 『수학』 교과서에서 배우는 곱셈공식의 하나임(고1 『수학』 교과서 Ⅰ.다항식-1.다 항식의 연산).
2. 문제 분석
➢[수학 2 -ⅰ]
<제시문 1>의 , 에 대하여 제한된 범위 내에서 의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제임. 『미적분』 교과서에서 배운 함수의 그래프를 통한 최대・최소 구하는 부분을 이 용하면 된다.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학] - (3)수와 연산 - 명제
[10수학03-08] 절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.
[미적분] - (2)미분법 - 도함수의 활용
[12미적02-12] 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.
➢[수학 2 -ⅱ]
<제시문1>의 , , 에서 제한된 범위 내에서 를 로 표현하는 문제임.<제시 문2>를 활용함.(고1 『수학』 교과서 Ⅴ.함수-4.유리함수, 천재교육).
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학] - (4)함수 - 유리함수와 무리함수
[10수학04-04] 유리함수
의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.
[수학] - (1)문자와 식 - 다항식의 연산 [10수학01-01] 다항식의 사칙연산을 할 수 있다.
➢[수학 2 -ⅲ]
특정점 Q 에 대하여 [수학 2 -ⅱ]를 이용하여 선분 PQ 의 길이를 로 나타내는 문제임.
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학] - (4)함수 - 유리함수와 무리함수
[10수학04-04] 유리함수
의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.
[수학] - (2)기하 - 평면좌표
[10수학02-01] 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.
➢[수학 2-ⅳ]
[수학 2 -ⅱ]의 결과를 이용하여 계수가 로 표현된 이차방정식을 만들 수 있는가를 알 아보는 문제임(고1 『수학』 교과서 Ⅴ.함수-4.유리함수, Ⅱ.방정식과 부등식-3.이차방정식 의 근과 계수의 관계, 천재교육).
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
관련 성취기준 [수학] - (4)함수 - 유리함수와 무리함수
[10수학04-04] 유리함수
의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.
[수학] - (1)문자와 식 - 다항식의 연산 [10수학01-01] 다항식의 사칙연산을 할 수 있다.
3. 출제의도, 채점기준, 예시답안 분석 1) 출제의도
고등학교 1학년 때 배운 유리함수를 이해하고 유리함수 위의 한 점에서 원점까지 이르 는 거리를 기하학적으로 이해하고 있는지를 평가함. 제한된 조건은 이미 유리함수에서 배웠던 분모가 이 안 되는 부분임을 인지하게 하고 그것을 이용하여 좌표와 좌표의 값의 차이와 한 점에서 원점까지 거리의 관계를 알게 하고 그것을 이차방정식으로 표현 할 수 있는가를 평가하는 문제임.
2) 채점기준
➢[수학 2 -ⅰ]
일 때, 의 최솟값, 최댓값을 함수의 미분을 통해 구할 수 있는지를 채
점. 최댓값과 최솟값을 구할 때, 미적분 교과서에서 배운 함수의 증감표를 이용하는 부분 이 포함된 점수임. 산술-기하평균으로 계산했을 때에는 산술-기하 평균의 전제조건을 파 악하는 부분과 올바르게 그것이 적용되어 있는지에 대한 부분이 평가요소임(고1 『수학』
교과서 Ⅳ.집합과 명제-5.명제의 증명과 절대부등식의 증명, 『미적분』 교과서 Ⅲ.여러 가 지 미분법-7.함수의 그래프에서 함수의 최댓값과 최솟값, 천재교육).
➢[수학 2 -ⅱ]
<제시문2>를 이용하여 , 를 로 바꾸는 부분이 점수의 큰 부분을 차지함. 그리고
가 항상 음수가 된다는 사실을 [수학 2 -ⅰ]에서 놓치면 안 되는 부분임. (고1
『수학』 교과서 Ⅰ다항식-1.다항식의연산, Ⅴ.함수-4.유리함수에서 유리식의 의미와 유리 식 계산 부분, 천재교육).
➢[수학 2 -ⅲ]
[수학 2 -ⅱ]의 결과로 PQ 로 표현하는 것과 (i)번의 결과로부터 PQ 를 구하는 부분은 문제에서 차지하는 비중이 같아 동일점수 부여.
➢[수학 2-ⅳ]
와 의 값을 에 대한 식으로 바꾸는 부분은 [수학 2 -ⅱ]번의 결과만 도출했다면 쉽게 해결할 수 있는 문제이므로 단계를 나누지 않았음(고1 『수학』 교과서 Ⅴ.함수-4.유 리함수, Ⅱ.방정식과 부등식-3.이차방정식의 근과 계수의 관계, 천재교육).
3) 예시답안 분석
➢[수학 2 -ⅰ]
주어진 유리함수의 식을 이용하여 를 에 관한 식으로 정리함. 정리한 식을 함수 로 표현하여 이를 『미적분』 교과서에서 배운 함수의 증감표를 이용하여 최대-최소를 구 함(고1 『수학』 교과서 Ⅴ.함수-4.유리함수에서 유리식의 의미와 유리식 계산 부분, 『미적 분』 교과서 Ⅲ.여러가지 미분법-7.함수의 그래프에서 함수의 최댓값과 최솟값, 천재교 육).
별해-> 를 산술・기하평균의 전제조건을 만족시키기 위하여
로 변형함. 를 과 를 이용한 산술・기하평균에 의 한 최대-최소를 구함(고1 『수학』 교과서 Ⅳ.집합과 명제-5.명제의 증명과 절대부등식의 증명, 천재교육).
➢[수학 2 -ⅱ]
를 적절히 변형하여 를 도출함. [수학 2 -ⅰ]의 풀이를 이용하여 를 얻어냄(고1 『수학』 교과서 Ⅰ다항식-1.다항식의연산,
Ⅴ.함수-4.유리함수에서 유리식의 의미와 유리식 계산 부분, 천재교육).
➢[수학 2 -ⅲ]
[수학 2 -ⅱ]의 결과 를 이용하여 PQ 를 얻어내고 [수학 2
-ⅰ]의 결과로부터 을 얻어냄.
➢[수학 2-ⅳ]
[수학 2 -ⅲ]번의 결과로부터 를 로 표현하여 주어진 식을 정리하여 이차방정식을 구할 수 있다(고1 『수학』 교과서 Ⅴ.함수-4.유리함수, Ⅱ.방정식과 부등식-3.이차방정식 의 근과 계수의 관계, 천재교육).
<자연계 1교시 수학 종합의견>
1교시 수학 1번 문항은 포물선의 접선의 방정식, 초점, 포물선의 접선에 수직인 방정식 등을 잘 이해하고 있는지 물어보고 있음. 포물선에 대한 기하적인 직관을 대수를 통해 글 로 쓰게 함으로서 수험생이 기하와 대수의 관계를 알고 있는지 평가함. 또한 대수로 표현 된 식을 수열로 확장함으로서 급수의 수렴과 발산에 대해 공부했는지 평가함. 좌표를 주어 진 문자로 표현해 보고 이를 함수로 표현해 극한값을 구할 수 있는지에서도 평가함.
1교시 수학 2번은 고등학교 1학년에 배운 유리함수, 다항식의 곱셈공식을 이용하여 좌 표와 좌표의 차이를 함수로 표현하여 미적분 시간에 배운 함수의 최대- 최소를 이용하여 구할 수 있는지를 묻고 있으며 별해로 고등학교 1학년 집합과 명제 시간에 배운 산술-기하 평균을 이용하여 이를 구할 수 있는지에 대해 평가하고 있다.
특히 1교시 수학문제는 2022학년도 입시부터 수험생들이 수능에서 미적분과 기하 중 택 1을 해서 시험을 치르는데 고등학교 교육과정에서 이공계를 진학하기 위해서는 미적분 과 기하를 반드시 이수해야한다는 것을 암시하는 문제임.
전반적으로 수학1번, 수학 2번 문제 모두 기하에서 생각할 수 있는 직관적인 내용을 실 제 대수를 통해 표현해 낼 수 있는지에 대해 평가하고 있다. 특히 고등학교 이공계 정규교 육과정을 충실히 이행한 학생은 90% 이상의 성취도를 보일 수 있다. 1, 2번 모두 교육과 정 안에서 충실히 출제되었으며 암기가 아닌 주어진 제시문을 보고 충분히 이해하고 해결 할 수 있다.