[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
제시문 2
[기하] - (1) 이차곡선 - 이차곡선
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
[12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
제시문 3
[기하] - (1) 이차곡선 - 이차곡선
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
[12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
제시문 4
[기하] - (1) 이차곡선 - 이차곡선
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
[12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
문제 1-ⅰ
[기하] - (1) 이차곡선 - 이차곡선
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
[12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
문제 1-ⅱ
[기하] - (1) 이차곡선 - 이차곡선
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
[12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
[미적분] - (1) 수열의 극한 - 급수
[12미적01-04] 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.
문제 1-ⅲ
[기하] - (1) 이차곡선 - 이차곡선
[12기하01-01] 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.
[12기하01-04] 이차곡선과 직선의 위치 관계를 이해하고, 접선의 방정식을 구할 수 있다.
[수학Ⅱ] - (1) 함수의 극한과 연속 - 함수의 극한 [12수학Ⅱ01-01] 함수의 극한의 뜻을 안다.
나) 자료 출처
참고자료 도서명 저자 발행처 발행연도 쪽수
고등학교 교과서
수학 류희찬 외 천재교과서 2020 127-131
수학Ⅰ 류희찬 외 천재교과서 2020 120-122
수학 Ⅱ 박교식 외 동아출판 2020 11-15, 73-76
수학 Ⅱ 김원경 외 비상교육 2020 10-13, 71-73
미적분 이준열 외 천재교육 2020 29-35, 108-111
미적분 김원경 외 비상교육 2020 28-31, 96-98
기하 김원경 외 비상교육 2020 10-15
기하 고성은 외 좋은책신사고 2020 10-15
기하 류희찬 외 천재교과서 2020 36-40
5. 문항 해설
[수학 1-ⅰ] 포물선의 접선에 수직인 직선을 구하고 이루부터 문제의 조건에 제시된 두 점 사이의 거리 가 일정함을 보일 수 있는지 평가한다.
[수학 1-ⅱ] 제시문의 수열을 이용하여 급수를 구할 수 있는지 평가한다.
[수학 1-ⅲ] 포물선의 접선에 수직인 직선으로부터 유도된 다양한 점들의 좌표로 정의된 극한값이 초점 의 좌표에 관계없이 일정함을 보일 수 있는지 평가한다.
6. 채점 기준
하위문항 채점 기준 배점
수학1-ⅰ 접선에 수직인 직선의 방정식
도출 7점
선분 DE의 길이가 임을 도출 3점
수학1-ⅱ
도출 5점
∞
도출 5점
수학1-ⅲ
or
,
유도 각 3점
lim
→∞
도출 4점
7. 예시 답안 [수학 1-ⅰ]
점 C를 C
라 두면 E의 좌표는
가 된다.한편, ′ 이므로 C를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은
이고, 따라서 D의 좌표는
이다.따라서 선분 DE의 길이는
이다. 이는 포물선의 초점 와 준선 의 거리 와 일치한다.
[수학 1-ⅱ]
이므로 [수학 1-i]의 결과를 사용하면
= 임을 알 수 있다.따라서
∞
∞
∞
∞
lim
→∞
[수학 1-ⅲ]
접선에 수직인 직선을 라 하면
따라서
한편 직선 와 포물선을 연립하면
즉
인수분해 하면
이로부터 일반성을 잃지 않고
, 라 둘 수 있다. 따라서
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
1. 일반 정보
2. 문항 및 제시문 [ 수학 2 ]
<제시문1>
유리함수
의 그래프 위의 임의의 한 점 P 로부터 원점까지 이르는 거리를 이라 하 자.
<제시문2>
실수 , , 에 대하여 가 성립한다.
[수학 2 -ⅰ] <제시문1>의 , 에 대해 일 때, 의 최솟값과 일 때, 의 최 댓값을 각각 구하고, 그 이유를 논하시오.
[수학 2 -ⅱ] <제시문1>의 , , 에 대해 일 때, 를 에 대한 식으로 나타내고, 그 이 유를 논하시오.
[수학 2 -ⅲ] <제시문1>의 , , 점 P, 그리고 점 Q 에 대해 일 때, 선분 PQ 의 길이 를 에 대한 식으로 나타내고, 그 이유를 논하시오.
[수학 2 -ⅳ] <제시문1>의 와 에 대해 일 때, 를 한 근으로 갖는 차방정식을
이라고 하자. 이 때, , 의 값을 에 대한 식으로 표시하고, 그 이유를 논하시오.
유형 ■ 논술고사 □ 면접 및 구술고사 □ 선다형고사
전형명 논술우수전형
계열(과목) / 문항번호 자연계 1교시 / 수학 2
출제 범위
수학과 교육과정 과목명 수학, 수학Ⅱ, 미적분
핵심개념 및 용어 유리함수, 최대·최소, 두 점 사이의 거리
예상 소요 시간 30분 / 전체 100분
3. 출제 의도
본 문제는 유리함수의 그래프 위의 점과 그래프 밖의 점과의 거리에 관련된 기하 내용을 이해하고 있 는지 평가한다. 이러한 내용을 함수의 미분을 이용한 증감의 분석, 또는 산술-기하 평균을 이용한 최 대, 최소를 올바르게 적용할 수 있는지 평가한다. 또한 이를 이용하여 유리함수의 그래프 위의 점의 좌 표를 그래프 밖의 특정한 점까지의 거리와 관련지을 수 있는지를 평가한다.
4. 출제 근거
가) 교육과정 및 관련 성취기준
적용 교육과정 교육부 고시 제 2015-74호 [별책8] “수학과 교육과정”
문항 및 제시문 관련 성취기준