예제
1
[step 1] 이차함수의 식에 (-1, 1)을 대입하면
1=a+q yy ㉠
이차함수 식에 (2, -5)를 대입하면
-5=4a+q yy ㉡
[step 2] ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 3a=-6 ∴ a=-2
a=-2를 ㉠에 대입하면 1=-2+q ∴ q=3 [step 3] ∴ 2a+q=-1
유제
1 -
1[step 1] 이차함수의 식에 (1, -4)를 대입하면
-4=a(1+2)2, -4=9a
∴ a=-;9$;
[step 2] 이차함수의 식이 y=-;9$;(x+2)2이므로 (4, b)를 대입 하면
b=-;9$;(4+2)2=-16
[step 3] ∴ 9a-b=9_-;9$;-(-16)=12
유제
1 -
2[step 1] 점 D는 점 A와 원점에 대하여 대칭이므로
D(-2, 0)
[step 2] A(2, 0), D(-2, 0)이므로 정사각형 ABCD의 한 변
의 길이는 ADÓ=4
따라서 ABÓ=4이므로 점 B의 좌표는 B(2, 4)이다.
[step 3] 점 B의 좌표를 이차함수의 식에 대입하면
4=a_22 ∴ a=1
예제
2
[step 1] y=2x2의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향
으로 -2만큼 평행이동하면 y=2(x-3)2-2
[step 2] 이 그래프가 점 (m, 6)을 지나므로 x=m, y=6을 대
입하면
6=2(m-3)2-2, (m-3)2=4 ∴ m2-6m+5=0
[step 3] (m-1)(m-5)=0이므로 m=1 또는 m=5
유제
2 -
1[step 1] y=-x2의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향
으로 5만큼 평행이동하면 y=-(x-p)2+5
[step 2] 이 그래프가 점 (3, -20)을 지나므로 x=3, y=-20을 대입하면
-20=-(3-p)2+5, (3-p)2=25
∴ p2-6p-16=0
[step 3] (p+2)(p-8)=0이므로 p=-2 또는``p=8
유제
2 -
2[step 1] 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만
큼 평행이동하면
y=-2(x-m+4)2+23+n
[step 2] 평행이동한 그래프가 y=-2(x+2)2+10의 그래프와
일치하므로 -m+4=2, 23+n=10
∴ m=2, n=-13
[step 3] ∴ m+n=2+(-13)=-11
1
[step 1] f(1)=12-2_1+a=4이므로 a=5[step 2] f(-2)=(-2)2-2_(-2)+5=b이므로 b=13
[step 3] ∴ a+b=5+13=18 18
2
[step 1] 원점을 꼭짓점으로 하므로 이차함수의 식을y=ax2으로 놓을 수 있다.
[step 2] 이 그래프가 점 (-2, 8)을 지나므로
8=a_(-2)2, 4a=8 ∴ a=2 따라서 이차함수의 식은 y=2x2
[step 3] y=2x2의 그래프가 점 (m, 4)를 지나므로 4=2m2, m2=2 ∴ m=Ñ'2
따라서 구하는 양수 m의 값은 '2이다. '2
3
[step 1] 이차함수 y=;4!;x2+1의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=;4!;(x-2)2+1
[step 2] 이차함수 y=;4!!;(x-2)2+1의 그래프를 y축의 방향으
로 -3만큼 평행이동하면
y=;4!;(x-2)2+1-3=;4!;(x-2)2-2 [step 3] 따라서 a=;4!;, b=-2, x=-2이므로
abc=;4!;_(-2)_(-2)=1 1
4
[step 1] 이차함수 y=a(x-2)2의 그래프를 y축의 방향으로1만큼 평행이동하면 y=a(x-2)2+1
서술유형 실전대비 32~33쪽
[step 2] 이차함수 y=a(x-2)2+1의 그래프가 점 (3, 2)를 지
나므로 2=a+1
∴ a=1
[step 3] 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 1)이므로
m=2, n=1
∴ a+m+n=1+2+1=4 4
5
꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이므로 이차함수의 식은y=a(x-1)2+2로 놓을 수 있다. ❶ 이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=a(0-1)2+2 ∴ a=1 ❷
a=1이므로 y=(x-1)2+2 ❸
y=(x-1)2+2
단계 채점 기준 배점
❶ 그래프를 y=a(x-p)2+q의 꼴로 나타내기 2점
❷ a의 값 구하기 2점
❸ 이차함수의 식 구하기 2점
6
이차함수 y=(x-3)2의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표 는 (3, 0), y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 9)이다. ❶ 이차함수 y=ax2+b의 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로 0=9a+b또 점 (0, 9)를 지나므로 9=b
∴ a=-1 ❷
∴ a+b=8 ❸
8
단계 채점 기준 배점
❶ 이차함수 y=(x-3)2의 그래프가 지나는 점
구하기 2점
❷ a, b의 값 구하기 2점
❸ a+b의 값 구하기 2점
7
사각형 PQRS가 정사각형이고 점 P의 좌표가 P{1, ;3%;}이 므로 점 S의 좌표는 S{0, ;3%;} ❶ 또 정사각형의 한 변의 길이는 SPÓ=1이므로 PQÓ=1따라서 점 Q의 좌표는 Q{1, ;3@;} ❷ 이차함수 y=ax2(x¾0)의 그래프가 점 Q를 지나므로
;3@;=a ∴ 3a=2 ❸
2
단계 채점 기준 배점
❶ 두 점 P, S의 좌표 구하기 각 1점
❷ 점 Q의 좌표 구하기 4점
❸ 3a의 값 구하기 2점
8
일차함수 y=ax+b의 그래프의 기울기가 음수이므로 a<0y절편이 양수이므로 b>0 ❶
이차함수 y=a(x-b)2의 그래프에서 Ú a<0이므로 위로 볼록한 포물선이다.
Û 이차함수 y=a(x-b)2의 그래프는 y=ax2의 그래프를 x축 의 방향으로 b만큼 평행이동한 것이다.
Ü b>0이므로 꼭짓점이 y축의 오른쪽에 있다.
Ú~Ü에 의하여 이차함수 y=a(x-b)2의 그래프의 개형은 다 음 그림과 같다.
y O x
❷
따라서 제 1, 2사분면을 지나지 않는다. ❸ 제1, 2사분면
단계 채점 기준 배점
❶ a, b의 부호 찾기 각 2점
❷ 그래프의 개형 그리기 4점
❸ 지나지 않는 사분면 찾기 2점
대표 서술유형 34~35쪽
예제
1
[step 1] y =-;2!;x2-4x-3
=-;2!;(x2+8x+16-16)-3
=-;2!;(x+4)2+5
[step 2] 꼭짓점 A의 좌표는 A(-4, 5)
[step 3] y=-;2!;x2-4x-3에 x=0을 대입하면 y=-3이므로
y축과의 교점 B의 좌표는 B(0, -3)
[step 4] 따라서 (밑변)=BOÓ=0-(-3)=3,
(높이)=0-(-4)=4이므로
△ABO=;2!;_3_4=6
유제
1 -
1[step 1] y=x2-2x-3에 y=0을 대입하면 0=x2-2x-3, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
즉, x축과의 교점 A, B의 좌표는 A(-1, 0), B(3, 0)
[step 2] y=x2-2x-3에 x=0을 대입하면 y=-3이므로
y축과의 교점 C의 좌표는 C(0, -3)
[step 3] 따라서 (밑변)=ABÓ=3-(-1)=4이고
(높이)=COÓ=0-(-3)=3이므로
△ABC=;2!;_4_3=6
유제
1 -
2[step 1] y =x2-4x-5
=(x2-4x+4-4)-5=(x-2)2-9
[step 2] 이 이차함수의 꼭짓점 A의 좌표는 A(2, -9)
[step 3] y=x2-4x-5에 y=0을 대입하면 0=x2-4x-5, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
즉, x축과의 교점 B, C의 좌표는 B(-1, 0), C(5, 0)
[step 4] 따라서 (밑변)=BCÓ=5-(-1)=6이고
(높이)=0-(-9)=9이므로
△ABC=;2!;_6_9=27
예제
2
[step 1] 꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이므로 구하는 이차함수의 식을
y=a(x-p)2+q의 꼴로 나타내면 y=a(x-1)2+2
[step 2] 이 그래프가 (2, 0)을 지나므로 0=a+2 ∴ a=-2
[step 3] 따라서 이차함수의 식은
y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x이므로 y축과 만나는 점의 좌 표는 (0, 0)이다.
유제
2 -
1[step 1] y=x2+bx+c의 그래프의 축의 방정식이 x=-2이므로
y=(x+2)2+q로 놓을 수 있다.
[step 2] 이 그래프가 점 (1, 6)을 지나므로
6=(1+2)2+q ∴ q=-3
따라서 y=(x+2)2-3=x2+4x+1이므로 b=4, c=1
[step 3] ∴ b+c=4+1=5
유제
2 -
2[step 1] x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만나므로 이차함수의
식을 y=a(x+1)(x-2)로 놓을 수 있다.
[step 2] 이 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
-2a=-4 ∴ a=2
따라서 y=2(x+1)(x-2)=2x2-2x-4이므로 b=-2, c=-4
[step 3] ∴ a+b-c=2+(-2)-(-4)=4
1
[step 1] y =x2-4x+7x2+8x+12=0, (x+6)(x+2)=0
∴ x=-6 또는 x=-2
7
공이 포물선 모양으로 움직이므로 공이 움직인 자리는 이차 함수 y=ax2+bx+c의 그래프의 일부분과 같은 모양이다.그런데 이 그래프가 세 점 (0, 0), (3, 5), (12, 8)을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면 0=c yy`㉠
x=3, y=5를 대입하면 5=9a+3b yy`㉡
x=12, y=8을 대입하면 2=36a+3b yy`㉢ ❶
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-;9!;, b=2, c=0이므로 구하는 이차함수의 식은 y=-;9!;x2+2x ❷ 그런데 바닥에 떨어진 공의 높이는 0`m이므로
y=-;9!;x2+2x에 y=0을 대입하면
0=-;9!;x2+2x, x2-18x=0, x(x-18)=0
∴ x=0 또는 x=18
따라서 공이 바닥에 떨어졌을 때의 수평거리는 18`m이다. ❸ 18`m
단계 채점 기준 배점
❶ a, b, c에 관한 연립방정식 세우기 2점
❷ 이차함수의 식 구하기 3점
❸ 공이 바닥에 떨어졌을 때의 수평거리 구하기 4점
8
y=-x2과 모양이 같고 꼭짓점의 좌표가 (a, -2a)인 이차 함수의 식은 y=-(x-a)2-2a이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -a2-2a=-3, a2+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0
∴ a=1 (∵ a>0) ❶
따라서 이차함수의 식은 y=-(x-1)2-2이고 이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=0-2=-2 ❷
∴ a+k=1+(-2)=-1 ❸
-1
단계 채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기 3점
❷ k의 값 구하기 2점
❸ a+k의 값 구하기 2점
01
① 9의 제곱근은 Ñ'9=Ñ3이다.② 제곱근 9는 '9=3이다.
③ 22=4이므로 2는 4의 제곱근이다.
④ 4의 제곱근은 Ñ'4=Ñ2이다.
⑤ 0의 제곱근은 0 하나뿐이고, 음수의 제곱근은 없다.
02
(-5)2=25의 양의 제곱근은 '¶25=5이므로 A=5'¶16=4의 음의 제곱근은 -'4=-2이므로 B=-2
∴ A+B=5+(-2)=3
03
① '2'8='Ä2_8='¶16=4② (-'3)_(-'7)='Ä3_7='¶21
③ 3'2_'5=3'Ä2_5=3'¶10
④ ®;3%;_®;5^; =®É;3%;_;5^;='2
⑤ ®;2#;_5®;9&; =5®É;2#;_;9&;=5®;6&;
04
① 'Ä0.002=®É;10ª0¼00;= '¶20100② 'Ä2000='Ä20_100=10'¶20
③ ®;5!; =®É;1ª0¼0;= '¶2010
④ '¶0.02=®É;10@0;= '210
⑤ '¶20
05
x2+y2=(x+y)2-2xy이므로 13=52-2xy ∴ xy=606
"Ãa2-16a+64 ="Ã(a-8)2="Ã(108-8)2
="Ã1002
=100