③ y=px2_10=10px2 ⇨ 이차함수이다.
④ y=2(2x+x+3)=6x+6 ⇨ 이차함수가 아니다.
⑤ y=;2!;_(x+x-2)_4=4x-4 ⇨ 이차함수가 아니다.
①, ③
612
y=(a2-a-2)x2+3x가 이차함수이려면 a2-a-2+0, (a+1)(a-2)+0
∴ a+-1이고 a+2 ②, ⑤
613
f(-1)=-(-1)2+5_(-1)-7=-13 f(2)=-22+5_2-7=-1
∴ f(-1)+f(2)=-13+(-1)=-14 ④
614
f(-2)=3_(-2)2-2a+5=21이므로
2a=-4 ∴ a=-2 ①
615
f(a)=2a2-3a-1=1이므로 2a2-3a-2=0, (2a+1)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a는 정수) 2
Ⅲ . 이차함수
이차함수와 그래프 ⑴
1
필수유형 공략하기 114~123쪽
616
f(-1)=a_(-1)2-2_(-1)-10=-3이므로
a=5 ❶
즉, f(x)=5x2-2x-10이므로
b=f(2)=5_22-2_2-10=6 ❷
∴ a+b=5+6=11 ❸
11
단계 채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기 40`%
❷ b의 값 구하기 40`%
❸ a+b의 값 구하기 20`%
617
이차함수의 그래프가 점 (-2, -8)을 지나므로 -8=a_(-2)2
∴ a=-2 -2
618
y=ax2의 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로 -1=a_22 ∴ a=-;4!;
따라서 y=-;4!;x2의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로 b=-;4!;_(-1)2=-;4!;
∴ a+b=-;4!;+{-;4!;}=-;2!; -;2!;
619
포물선의 식을 y=ax2으로 놓으면 점 (-3, 6)을 지나므로 6=a_(-3)2 ∴ a=;3@; ❶ 따라서 y=;3@;x2의 그래프가 점 (k, 2)를 지나므로
2=;3@;k2, k2=3
∴ k='3 (∵ k>0) ❷
'3
단계 채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기 50`%
❷ k의 값 구하기 50`%
620
y가 x의 제곱에 정비례하므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점은 원점이다.
y=ax2이라 하면 x=2일 때 y=6이므로 6=a_22 ∴ a=;2#;
따라서 y=;2#;x2이므로 x=4일 때
y=;2#;_42=24 ⑤
621
① y축에 대하여 대칭이다.
② 점 (-2, 12)를 지난다.
③ y=-4x2의 그래프보다 폭이 넓다.
④ 아래로 볼록한 포물선이다. ⑤
622
위로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 것은 이차항의 계수가 음수이 면서 절댓값이 가장 큰 것이므로 ④ y=-2x2의 그래프이다.
④
623
③ 폭이 가장 넓은 것은 ㄹ이고, 폭이 가장 좁은 것은 ㄷ이다.
③
624
이차함수의 꼭짓점이 원점이므로 y=ax2 이 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=a
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=4x2 ⑤
625
이차함수 y=f(x)의 꼭짓점이 원점이므로 f(x)=ax2 이 그래프가 점 (3, 6)을 지나므로
6=a_32 ∴ a=;3@;
따라서 f(x)=;3@;x2이므로 f(6)=;3@;_62=24 24
626
포물선의 식을 y=ax2으로 놓으면 이 그래프가 점 (-2, 12)을 지나므로
12=a_(-2)2 ∴ a=3 ❶ 따라서 y=3x2의 그래프가 점 (k, 27)을 지나므로
27=3k2, k2=9
∴ k=3 (∵ k>0) ❷
3
단계 채점 기준 배점
❶ 이차함수의 식 구하기 50`%
❷ k의 값 구하기 50`%
627
그래프가 어두운 부분에 있는 이차함수의 식을 y=ax2이라 하면 상수 a의 값의 범위는 -1<a<0 또는 0<a<3
①
y
O x
y=3x@
y=-x@
628
a의 값이 작은 것부터 나열하면 ㉱, ㉲, ㉰, ㉯, ㉮이다. ④
629
㉱의 그래프는 y=x2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이므로 y=-x2의 그래프이다.
y=-;2!;x2의 그래프는 위로 볼록하고, ㉱ y=-x2의 그래프보
다 폭이 넓으므로 ㉰이다. ③
630
ㄴ과 ㄹ, ㄷ과 ㅂ은 x2의 계수의 절댓값이 같고 부호가 서로 다
르므로 x축에 대하여 대칭이다. ③, ⑤
631
y=ax2의 그래프가 점 (-2, 16)을 지나므로 16=a_(-2)2
∴ a=4 ❶
y=4x2의 그래프는 y=-4x2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이 므로
b=-4 ❷
∴ a-b=4-(-4)=8 ❸
8
단계 채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기 40`%
❷ b의 값 구하기 40`%
❸ a-b의 값 구하기 20`%
632
y=-;2!;x2의 그래프가 점 (a-1, a-1)을 지나므로 a-1=-;2!;(a-1)2
-2a+2=a2-2a+1 a2=1 ∴ a=Ñ1
따라서 모든 a의 값의 곱은 -1이다. -1
633
y=;5!;x2의 그래프를 x축의 방향으로 ;3!;만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면
y=;5!;{x-;3!;}2-3 ④
634
y=6(x+3)2-4의 그래프는 y=6x2의 그래프를 x축의 방향 으로 -3만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이므로
p=-3, q=-4
∴ p+q=-3+(-4)=-7 ①
635
y=;4!;x2의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동하면 ③ y=;4!;(x-2)2+1의 그래프와 포개어진
다. ③
참고 평행이동하여 완전히 포갤 수 있으려면 이차항의 계수가 같아야 한다.
636
y=-3x2의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면 y=-3(x+4)2
이 그래프가 (-3, m)을 지나므로
m=-3(-3+4)2=-3 -3
637
y=-;3!;x2의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면 y=-;3!;x2+q
이 그래프가 점 (-3, 4)를 지나므로
4=-;3!;_(-3)2+q ∴ q=7 7
638
y=ax2의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3 만큼 평행이동하면
y=a(x-2)2+3
이 그래프가 (4, -1)을 지나므로 -1=a(4-2)2+3
4a+3=-1
∴ a=-1 -1
639
y=-2x2의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면
y=-2(x-1)2-3 ❶
이 그래프가 점 (-2, m)을 지나므로
m=-2(-2-1)2-3=-18-3=-21 ❷ -21
단계 채점 기준 배점
❶ 평행이동한 식 구하기 50`%
❷ m의 값 구하기 50`%
640
c=-2(3-2)2-4=-2-4=-6∴ a+b+c=2+(-4)+(-6)=-8 -8
ㄷ. y x
662
y=(x-1)2+1의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방 향으로 b만큼 평행이동하면
y=(x-a-1)2+1+b
이 그래프가 y={x+;2!;}2-;4!;의 그래프와 일치하므로 -a-1=;2!;, 1+b=-;4!;
∴ a=-;2#;, b=-;4%;
∴ a+b=-;2#;+{-;4%;}=-;;Á4Á;; ②
663
이차함수 y=-(x+1)2+4의 그래프를 x축의 방향으로 k만 큼, y축의 방향으로 3k만큼 평행이동하면
y=-(x-k+1)2+4+3k 이 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로 1=-(-2-k+1)2+4+3k
-(-1-k)2+3+3k=0, -k2+k+2=0 -(k-2)(k+1)=0
∴ k=2 (∵ k>0) 2
664
꼭짓점의 좌표가 (-2, -2)이므로 p=-2, q=-2 y=a(x+2)2-2의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 0=4a-2 ∴ a=;2!;
∴ apq=;2!;_(-2)_(-2)=2 2
665
축의 방정식이 x=-1이므로 p=-1
y=a(x+1)2+q의 그래프가 두 점 (0, 3), (1, 0)을 지나므로 3=a+q, 0=4a+q
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=4
∴ a+p+q=-1+(-1)+4=2 2
666
꼭짓점의 좌표가 (3, -4)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-3)2-4로 놓으면 이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 2=9a-4 ∴ a=;3@;
따라서 y=;3@;(x-3)2-4의 그래프 위의 점은
⑤ (6, 2)이다. ⑤
667
그래프가 '모양이므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제 2사분면 위에 있으므로 p<0, q>0 ②
668
그래프가 ;모양이므로 a<0
꼭짓점의 좌표가 (0, -q)이므로 -q>0 ∴ q<0 ②
669
y=ax+b의 그래프의 기울기가 음수, y절편이 양수이므로 a<0, b>0
따라서 y=ax2+b의 그래프로 적당한 것은 ②이다. ②
670
y=a(x+b)2의 그래프가 ;모양이므로 a<0
또 꼭짓점의 좌표가 (-b, 0)이므로 -b>0 ∴ b<0 따라서 y=ax+b의 그래프로 적당한 것은 ④이다. ④
671
㉠은 y=;3!;x2의 그래프이므로 x=2, y=a를 대입하면
a=;3!;_22=;3$; ;3$;
672
A(t, 9t2)이라 하면
B(t, t2), D(3t, 9t2), C(3t, t2) ABÓ=BCÓ이므로 8t2=2t, 2t(4t-1)=0
∴ t=;4!; (∵ t>0)
따라서 점 C의 좌표는 {;4#;, ;1Á6;} {;4#;, ;1Á6;}
673
A(-1, 2), B(2, 8)이고, C(-3, m)이라 하면 (ABÓ의 기울기)=(OCÓ의 기울기)이므로
2-(-1) =8-2 m-0
-3-0 , ;3^;= m -3
∴ m=-6
따라서 C(-3, -6)이므로 y=ax2에 x=-3, y=-6을 대입 하면
-6=a_(-3)2 ∴ a=-;3@; -;3@;
674
삼각형 POA의 밑변의 길이는 4, 높이는 y이므로
△POA=;2!;_4_y=25 ∴ y=;;ª2°;;
필수유형 뛰어넘기 124~125쪽
이 값을 y=;2!;x2에 대입하면
682
y=2x2-8x+9=2(x-2)2+1 따라서 a=2, p=2, q=1이므로
apq=2_2_1=4 ②
683
㉠ y=-;3!;x2-2x+5=-;3!;(x2+6x)+5 ①
684
y=-4(x-1)2+8=-4x2+8x+4에서
민채는 x의 계수를 제대로 보았으므로 x의 계수는 8이다.
y=-4(x+2)2+6=-4x2-16x-10에서
민국이는 상수항을 제대로 보았으므로 상수항은 -10이다.
따라서 처음 이차함수는
y=-4x2+8x-10=-4(x-1)2-6
y=-4(x-1)2-6
685
y=-x2-2ax+4a2-2b=-(x+a)2+5a2-2b 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-a, 5a2-2b)이므로 -a=1, 5a2-2b=3 ∴ a=-1, b=1
∴ a+b=-1+1=0 0
686
y=2x2+8x+a=2(x+2)2+a-8
의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, a-8)이므로 -2=b, a-8=3
따라서 a=11, b=-2이므로
a+b=11+(-2)=9 9