4
5 ⑴ x@-x-2<0 ⑵ x@-4x-12>0
⑶ {x-4}@>0
6 ⑴ a>2 ⑵ 0<a<20
⑶ a>5
4 ⑷ 0<a<1 2
4
x@+4x>x+10에서x@+3x-10>0, {x+5}{x-2}>0 / x<-5 또는 x>2
따라서 a=-5, b=2이므로 a+b=-3
5
{x+2}{x-1}<4x+16에서 x@+x-2<4x+16, x@-3x-18<0 {x+3}{x-6}<0 / -3<x<6따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -2, -1, 0, y, 5의 8개이다.
6
① x@+2x+1={x+1}@<0 / x=-1② x@-4x+4={x-2}@>0
따라서 주어진 부등식의 해는 모든 실수이다.
③ x@+16>8x에서
x@-8x+16>0, {x-4}@>0
따라서 주어진 부등식의 해는 x=4인 모든 실수이다.
④ x@-3x-5>3x@에서 2x@+3x+5<0 2x@+3x+5=2[x+3
4 ]@+31 8 > 318 따라서 주어진 부등식의 해는 없다.
⑤ 9x-2x@>10에서
2x@-9x+10<0, {x-2}{2x-5}<0 / 2<x<5
2
따라서 해가 없는 것은 ④이다.
7
! x<0일 때, x@+4x-5<0 {x+5}{x-1}<0 / -5<x<1 그런데 x<0이므로 -5<x<0@ x>0일 때, x@-4x-5<0 {x+1}{x-5}<0 / -1<x<5 그런데 x>0이므로 0<x<5
!, @에 의하여 -5<x<5 따라서 a=-5, b=5이므로 b-a=10
8
20+25t-5t@>40에서t@-5t+4<0, {t-1}{t-4}<0 / 1<t<4
따라서 물체의 높이가 40 m 이상인 시간은 4-1=3(초) 동안이다.
9
도로의 폭을 x m라 하면 두 직선 도로를 제외한 땅의 넓 이는 가로와 세로의 길이가 각각 {40-x} m, {30-x} m 인 직사각형의 넓이와 같으므로{40-x}{30-x}>600
x@-70x+600>0, {x-10}{x-60}>0 / 0<x<10 {? 0<x<30}
따라서 도로의 최대 폭은 10 m이다.
10
가방 한 개의 가격이 {10+x}만 원이면 판매량은 {50-2x}개이므로{10+x}{50-2x}>600
x@-15x+50<0, {x-5}{x-10}<0 / 5<x<10
따라서 가방 한 개의 최소 가격은 10+5=15(만 원)
11
해가 x<-5 또는 x>-1이고 x@의 계수가 1인 이차부 등식은{x+5}{x+1}>0, x@+6x+5>0 양변에 2를 곱하면 2x@+12x+10>0 따라서 a=2, b=12이므로
ab=24
12
해가 -4<x<a이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x+4}{x-a}<0, x@+{4-a}x-4a<0따라서 a=4-a, b=-4a이므로 a=2, b=-8 / a+b=-6
13
해가 x=-3이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x+3}@<0 / x@+6x+9<0/ a=6, b=9
이를 bx@-ax-15<0에 대입하면 9x@-6x-15<0, 3x@-2x-5<0 {x+1}{3x-5}<0 / -1<x<5
3 따라서 정수 x는 0, 1이므로 구하는 합은 1이다.
14
ax@+bx+c>0의 해가 2<x<3이므로 a<0 해가 2<x<3이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x-2}{x-3}<0 / x@-5x+6<0 양변에 a를 곱하면ax@-5ax+6a>0 {? a<0}
/ b=-5a, c=6a
이를 cx@+ax+b>0에 대입하면
6ax@+ax-5a>0, 6x@+x-5<0 (? a<0) {x+1}{6x-5}<0 / -1<x<5
6
15
f{x}<0의 해가 -2<x<6이므로 f{x}=a{x+2}{x-6} {a>0}이라 하면f{3x+1} =a{3x+1+2}{3x+1-6}
=3a{x+1}{3x-5}
부등식 f{3x+1}<0, 즉 3a{x+1}{3x-5}<0에서 {x+1}{3x-5}<0 {? a>0}
/ -1<x<5 3 다른 풀이
f{x}<0의 해가 -2<x<6이므로 f{3x+1}<0의 해는 -2<3x+1<6, -3<3x<5
/ -1<x<5 3
16
f{x}>0의 해가 x<-3 또는 x>4이므로 f{x}=a{x+3}{x-4} {a>0}라 하면f{-x} =a{-x+3}{-x-4}
=a{x-3}{x+4}
부등식 f{-x}<0, 즉 a{x-3}{x+4}<0에서 {x-3}{x+4}<0 {? a>0}
/ -4<x<3
따라서 정수 x는 -3, -2, -1, 0, 1, 2의 6개이다.
17
f{x}>0의 해가 1<x<5이므로 f{x}=a{x-1}{x-5} {a<0}라 하면f{2020-x} =a{2020-x-1}{2020-x-5}
=a{x-2019}{x-2015}
부등식 f{2020-x}<0, 즉 a{x-2019}{x-2015}<0 에서
{x-2019}{x-2015}>0 {? a<0}
/ x<2015 또는 x>2019
따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
18
주어진 이차함수 y=f{x}의 그래프가 x축과 두 점 {-1, 0}, {3, 0}에서 만나므로f{x}=a{x+1}{x-3} {a<0}이라 하면 f [x+1
3 ] =a[x+1
3 +1][x+1
3 -3]
=a
9{x+4}{x-8}
부등식 f [x+1
3 ]<0, 즉 a
9{x+4}{x-8}<0에서 {x+4}{x-8}>0 {? a<0}
/ x<-4 또는 x>8
다른 풀이 f[x+1
3 ]<0에서 x+1
3 =t로 놓으면 주어진 그래프에 서 f{t}<0을 만족시키는 t의 값의 범위는 t<-1 또는 t>3이므로
x+1
3 <-1 또는 x+1 3 >3 / x<-4 또는 x>8
19
모든 실수 x에 대하여 이차부등식 ax@-3ax+4>0이 성 립해야 하므로a>0 yy ㉠
이차방정식 ax@-3ax+4=0의 판별식을 D라 하면 D={-3a}@-4\a\4<0
9a@-16a<0, a{9a-16}<0 / 0<a<16
9 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 0<a<16
9
20
모든 실수 x에 대하여 1x@+2kx3-k+23가 실수가 되려 면 모든 실수 x에 대하여 x@+2kx-k+2>0이 성립해 야 한다.이차방정식 x@+2kx-k+2=0의 판별식을 D라 하면 D
4=k@-{-k+2}<0
k@+k-2<0, {k+2}{k-1}<0 / -2<k<1
따라서 상수 k의 최댓값은 1이다.
21
! m=-2일 때0\x@-0\x+3=3>0이므로 모든 실수 x에 대하 여 주어진 부등식이 성립한다.
@ m=-2일 때
m+2>0이어야 하므로
m>-2 yy ㉠
또 이차방정식 {m+2}x@-2{m+2}x+3=0의 판
별식을 D라 하면
D
4={m+2}@-3{m+2}<0 m@+m-2<0, {m+2}{m-1}<0
/ -2<m<1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -2<m<1 !, @에 의하여 -2<m<1
22
x@+4x+3>mx-1, 즉 x@+{4-m}x+4>0이 항상 성립해야 한다.x@+{4-m}x+4=0의 판별식을 D라 하면 D={4-m}@-16<0
m@-8m<0, m{m-8}<0 / 0<m<8
따라서 a=0, b=8이므로 b-a=8
23
이차부등식 2x@+x-3a<0이 해를 가지려면 이차방정식 2x@+x-3a=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면D=1-4\2\{-3a}>0 1+24a>0 / a>- 1
24
따라서 구하는 정수 a의 최솟값은 0이다.
24
! a>0일 때이차함수 y=ax@+4x+a의 그래프는 아래로 볼록하 므로 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다.
@ a<0일 때
주어진 이차부등식이 해를 가지려면 이차방정식 ax@+4x+a=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므 로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4=4-a@>0, a@-4<0 {a+2}{a-2}<0 / -2<a<2 그런데 a<0이므로 -2<a<0
!, @에 의하여 -2<a<0 또는 a>0
25
-x@+2{a+3}x+a-3>0에서 x@-2{a+3}-a+3<0이 부등식이 해를 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 x@-2{a+3}-a+3>0
이 성립해야 한다.
이차방정식 x@-2{a+3}-a+3=0의 판별식을 D라 하면 D
4={a+3}@-{-a+3}<0 a@+7a+6<0, {a+6}{a+1}<0 / -6<a<-1
26
ax@-2ax-3>0이 해를 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여ax@-2ax-3<0 yy ㉠ 이 성립해야 한다.
! a=0일 때, 0\x@-0\x-3=-3<0이므로 모든 실수 x에 대하여 ㉠이 성립한다.
@ a=0일 때, a<0 yy ㉡ 또 이차방정식 ax@-2ax-3=0의 판별식을 D라 하면
D
4=a@+3a<0, a{a+3}<0
/ -3<a<0 yy ㉢
㉡, ㉢에서 -3<a<0 !, @에 의하여 -3<a<0
따라서 정수 a는 -3, -2, -1, 0의 4개이다.
27
f{x}=-x@+3x+2k=-[x- 32 ]@+2k+9 4 라 하자.1<x<2에서 f{x}<0이 항상 성 립하려면 y=f{x}의 그래프는 오 른쪽 그림과 같아야 하므로 f [3
2 ]=2k+9 4<0 / k<-9
8
28
x@-2x<0을 풀면 x{x-2}<0 / 0<x<2 f{x}=x@-ax+a@-4라 하자.0<x<2에서 f{x}<0이 항상 성 립하려면 y=f{x}의 그래프는 오 른쪽 그림과 같아야 하므로
! f{0}<0에서 a@-4<0, {a+2}{a-2}<0 / -2<a<2
@ f{2}<0에서 a@-2a<0, a{a-2}<0 / 0<a<2
!, @에 의하여 0<a<2
따라서 정수 a는 0, 1, 2의 3개이다.
29
-x@+kx+2k>-x+1, 즉 x@-{k+1}x-2k+1<0 이 주어진 범위에서 항상 성립한다.f{x}=x@-{k+1}x-2k+1이라 하자.
-1<x<3에서 f{x}<0이 항상 성립하려면 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 하므로 ! f{-1}<0에서 -k+3<0
/ k>3
@ f{3}<0에서 7-5k<0 / k>7
5
!, @에 의하여 k>3
따라서 상수 k의 최솟값은 3이다.
2 1 2#
x
y=f{x}
2 0
x y=f{x}
3 -1
x y=f{x}
81쪽
1 ⑴ -5<x<3 ⑵ x<-2 또는 x>0
⑶